抽象代数的研究对象是有运算的集合 , 即代数系统 ,

确切地说 , 一个代数系统 ,

是指由一个集合和定义在该集合中的一种或多种运算构成的一个系统 ,

我们首先简单回顾集合的相关概念 , 以及集合的一些运算性质 ,

并给出剩余类集合及集合的笛卡儿积等概念 ,

我们称一些研究对象组成的总体为集合 , 构成集合的对象称为集合的元素 ,

令A是一个集合 , 若对象a属于A , 则用a ∈ A 表示 ,

反之 , 若对象a不属于A , 那么用a ∉ A表示 ,

我们熟知的全体自然数就构成一个集合 , 以符号N表示 ,

全体整数也构成一个集合 , 以符号Z表示 ,

类似地 , 全体有理数、实数和复数均构成集合 , 分别用Q , R和C表示 ,

令A和B是两个集合 ,

若对属于A的任意a都有a属于B , 则称集合A是集合B的子集合

记为A ⊆ B或记为B ⊇ A , 读作A包含于B或B包含A ,

特別地 ,

如果A包含于B并且B包含于A , 那么称集合A和B相等 , 记为A=B ,

我们规定不包含任何元素的集合为空集 , 并记为⌀

空集是任何集合的子集合 , 即对于任意的集合A都有空集包含于A

代数学研究的一个根本目标就是对所研究的对象进行有目的的分类 ,

对于集合 , 可以给出一种最简单的分类 , 即按集合中所含元素的个数分类 ,

如果一个集合含有有限多个元素 , 则称其为有限集 ,

否则 , 称其为无限集 , 我们熟知的N , Z , Q , R和C都是无限集 ,

有限集举例:

{1 , 2 , 3} , {a₁ , a₂ , ⋯ , a_n} , {春 , 夏 , 秋 , 冬}和$\{ x| - 2 \leqslant x \leqslant 3,x属于Z\}$ 等等 ,

另外 , 如果我们按“余数”考虑整数集合 ,

则可以定义一些更有意思的、后文经常用到的无限集和有限集 ,

例如 , 如果我们对整数按被3除的余数进行考察的话 , 则有

(1)被3除而余数是0的整数集合的子集合为{0 , ±3 , ±6 , ±9 , ⋯}

(2)被3除而余数是1的整数集合的子集合为{⋯ , ‒5 , ‒2 , 1 , 4 , 7 , 1 , ⋯}

(3)被3除而余数是2的整数集合的子集合为{⋯ , ‒7 , ‒4 , ‒1 , 2 , 5 , 8 , ⋯}

进一步 , 如果我们把上面的这三个集合分别记为$\overline{0}$ , $\overline{1}$和$\overline{2}$

并将集合$\overline{0}$ , $\overline{1}$和$\overline{2}$看成是元素 ,

那么可以构造一个新的有限集合{$\overline{0}$ , $\overline{1}$和$\overline{2}$} , 我们将其记为Z₃

对属于$Z^{+}$的任意的一个正整数n($Z^{+}$表示正整数集合) , 我们有如下的定义 ,

定义1.1 设a , b属于Z ,

若a , b被n除后余数相等 , 则称 a与b模n同余 , 记其为a ≡ b(mod n) ,

并称集合 $\overline{a}$ ={b ∈ Z|b ≡a(mod n)}为模n与a同余的剩余类

(也简称为模n的剩余类) , 其中的a则称为剩余类 $\overline{a}$ 的代表元素 ,

例如 , 取a = 26 , b = 14 , n = 12 ,

由于26除以12的余数是2 , 14除以12的余数也是2 ,

因此根据定义 , 我们可以说26与14模12同余 , 记作26 ≡ 14 (mod 12) ,

显然 , Z₃是所有模3的剩余类构成的集合 ,

所有模n的剩余类构成的集合记为Z_n , 即Z_n={$\overline{0}$ , $\overline{1}$ , $\overline{2}$ , ⋯ , $\overline{n - 1}$}

命题1.1 在Z_n中下列结论成立:

(1)a属于$\overline{a}$

(2)若b属于$\overline{a}$ , 则$\overline{b}$= $\overline{a}$

(3)$\overline{b}$=$\overline{a}$的充分必要条件是存在整数t , 使得a ‒ b = nt ,

证: (1)因为a ≡ a(mod n) , 所以a属于$\overline{a}$

2. 对属于b的任意c , 由定义1.1知c ≡ b(mod n) ,

   又由b属于$\overline{a}$有b≡a(mod n) , 因此c≡a(mod n) , 即c属于$\overline{a}$ , 所以$\overline{b}$包含于$\overline{a}$

类似地 , 可以证明$\overline{b}$包含$\overline{a}$ , 因此$\overline{b}$=$\overline{a}$

(3)若$\overline{b}$=$\overline{a}$ , 则由(1)知b属于$\overline{a}$ , 因此b≡a(mod n) ,

再由整数的带余除法(x=yq+r)可知存在整数t , 使得a‒b=nt ,

反之 , 若a‒b=nt , 则b≡a(mod n) , 所以 , 由(2)有$\overline{b}$=$\overline{a}$

由命题1.1(2)知$\overline{a}$中任何元素都是$\overline{a}$的代表元素 , 因此剩余类的代表元素不唯一

集合之间存在我们熟知的一些运算关系 :

交集A ⋂ B={x|x ∈ A且x ∈ B} , 例如 , {1 , 2 , 3} ⋂{2 , 3 , 4 , 5}={2 , 3} ,

并集A ⋃ B={x|x ∈ A或x ∈ B} , 例如 , {1 , 2 , 3} ⋃{2 , 3 , 4 , 5}={1 , 2 , 3 , 4 , 5} ,

差集A ‒ B={x|x ∈ A , x ∉ B}等 , 例如 , {1 , 2 , 3}‒{2 , 3 , 4 , 5}={1} ,

更一般地 , 基于某个指标集I(可以是无限集) , 我们可以定义

$$\bigcap_{i \in I}^{}A_{i} = A_{1} \cap A_{2} \cap \cdots \cap A_{n} = \{ x|\ \forall\ i\ \ \in \ I\ ,\ x\ \in \ A_{i}\}$$

$$\bigcup_{i \in I}^{}A_{i} = A_{1} \cup A_{2} \cup \cdots A_{2} = \{ x|\ \forall\ i\ \ \in \ I\ ,\ x\ \in \ A_{i}\}$$

命题1.2 设A , B , C均为集合 , 则(A ⋂B)⋃C=(A ⋃C) ⋂(B ⋃C) ,

证: 首先 , 证明(A ⋂B) ⋃C包含于(A ⋃C)⋂(B ⋃C) ,

对属于(A ⋂B) ⋃C的任意x , 有x属于A ⋂B或x属于C ,

若x属于A ⋂B , 则x属于A且x属于B ,

从而有x属于A ⋃C且x属于B ⋃C , 即x属于(A ⋃C) ⋂(B ⋃C) ,

若x属于C , 则x属于A ⋃C且x属于B ⋃C , 从而x属于(A ⋃C) ⋂(B ⋃C) ,

于是对属于(A ⋂B) ⋃C的任意x , 总有x属于(A ⋃C) ⋂(B ⋃C) ,

即(A ⋂B) ⋃C包含于(A ⋃C) ⋂(B ⋃C) ,

其次 , 证明(A ⋃C) ⋂(B ⋃C)包含于(A ⋂B) ⋃C

对属于(A ⋃C) ⋂(B ⋃C)的任意x , 有x属于A ⋃C且x属于B ⋃C ,

如果x不属于C , 则有x属于A且x属于B , 即x属于A ⋂B ,

所以x属于(A⋂B)⋃C ,

如果x属于C , 则显然有x属于(A ⋂B) ⋃C ,

于是 , 对属于(A ⋃C) ⋂(B ⋃C)的任意x , 总有x属于(A⋂B)⋃C ,

即(A ⋃C) ⋂(B ⋃C)包含于(A ⋂B) ⋃C

至此 , 有(A ⋂B) ⋃C=(A ⋃C) ⋂(B ⋃C) ,

事实上 , 关于集合的“⋂ , ⋃”运算 , 还有许多很好的性质 ,

例如 , 我们很容易验证

A ⋂B=B ⋂A , A ⋃B=B ⋃A ,

(A ⋂B) ⋂C=A ⋂(B ⋂C) , (A ⋃B) ⋃C=A ⋃(B ⋃C)等等 ,

定义1.2 设A和B是两个集合 ,

则称集合A ×B={(a , b)|a ∈ A , b ∈ B}为集合A和B的笛卡儿积 ,

并规定(a , b)=(x , y) ⟺ a=x , b=y ,

例如 , 当A={1 , 2} , B={3 , 4}时 , A ×B={(1 , 3) , (1 , 4) , (2 , 3) , (2 , 4)}

一般地 , 我们可以定义n(可以是无穷大)个集合的笛卡儿积为

$$\prod_{i = 1}^{n}{A_{1} \times \cdots \times A_{i} \times \cdots \times A_{n} = \{{(a}_{1}\ ,\ \cdots\ ,\ a_{i}\ ,\ \cdots\ ,\ a_{n})\ |\ a_{i} \in A_{i}\ ,}1 \leqslant i \leqslant n\}$$

并且规定(a₁ , ⋯ , a_i , ⋯ , a_n)=(b₁ , ⋯ , b_i , ⋯ , b_n)⟺a_i=b_i , i=1 , $\cdots$ , n

容易知道 , 有限个有限集合的笛卡儿积还是有限集合 ,

显然 , A×⌀=⌀×A=⌀

但是 , 在一般情况下A ×B≠B×A ,

例如 , 当A={1 , 2} , B={3 , 4}时 ,

A ×B={(1 , 3) , (1 , 4) , (2 , 3) , (2 , 4)}≠{(3 , 1) , (3 , 2) , (4 , 1) , (4 , 2)}=B ×A

例1.1 求集合$Z_{2}$={$\overline{0}$ , $\overline{1}$}和$Z_{5}$={$\overline{0}$ , $\overline{1}$ , $\overline{2}$ , $\overline{3}$ , $\overline{4}$}的笛卡儿积 ,

解: Z₂×Z₅

={($\overline{0}$ , $\overline{0}$) , ($\overline{0}$ , $\overline{1}$) , ($\overline{0}$ , $\overline{2}$) , ($\overline{0}$ , $\overline{3}$) , ($\overline{0}$ , $\overline{4}$) , ($\overline{1}$ , $\overline{0}$) , ($\overline{1}$ , $\overline{1}$) , ($\overline{1}$ , $\overline{2}$) ,

($\overline{1}$ , $\overline{3}$) , ($\overline{1}$ , $\overline{4}$)}

注意 , Z₂中的$\overline{0}\ ,\ \overline{1}$与Z₅中的$\overline{0}\ ,\ \overline{1}$含义是有区别的 ,

下面 , 我们简单回顾一下与映射相关的概念及性质

定义1.3 设A和B是两个非空集合 , φ是它们元素之间的对应法则 ,

若对属于A的任意的a , 在法则φ的作用下都有唯一的属于B的b与之对应 ,

则称φ是集合A到B的映射 , 并记b=φ(a) ,

而且称在φ下 , b是a的像 , a是b的原像 ,

若φ是集合A到B的映射且b=φ(a) ,

则我们时常用φ : A→B , a→b或$A\overset{\varphi}{\rightarrow}B$ , $a\overset{\varphi}{\rightarrow}b$表示

另外 , 对于A到B的映射φ ,

若A中不同的元素在φ下的像不同 , 则称φ是单射

也就是说 , 对属于A的a₁ , a₂ , 当时φ(a₁)=φ(a₂)时 , 必有a₁ = a₂

若B中的每个元素在φ下都有原像 , 则称φ是满射 ,

若φ既是单射又是满射 , 则称φ是双射(或称φ是一一映射) ,

集合A到A自身的映射称为A上的变换 ,

对于变换 , 同样有单变换 , 满变换和双变换的概念 ,

设φ是集合A到B的映射 , 若A₀是A的子集合 , 则记φ(A₀)={φ(a)|a ∈ A₀} ,

若B₀是B的子集合 , 则记φ^‒1(B₀)={a ∈ A|φ(a) ∈ B₀} ,

特別地 , 当B₀={b}为单点集时 , 记φ^‒1(b)={a ∈ A|φ(a)=b} ,

显然 , 若φ(A)=B , 则φ是满射 ,

例1.2 设A是一个非空集合 , 定义φ: A→A , a→a ,

即对属于A的任意a , 有φ(a)=a , 显然 , φ是映射 ,

一般地 , 我们称映射φ是A上的恒等映射 , 显然 , 恒等映射是双变换 ,

集合A上的恒等映射记为id_A或者1_A

在不至于引起混淆的情况下 , 也可以将其简记为id或者1 ,

例1.3 定义φ : Z→Z₃ , n→$\overline{n}$ , 即对属于Z的任意n , φ(n)=$\overline{n}$ ,

易知φ是Z到Z₃的满射 , 但不是单射 ,

例1.4 设φ是集合A到B的映射 , A₀是A的非空子集 ,

若v: A₀→B是A₀到B的映射 , 且对属于A₀的任意a , 有v(a)=φ(a) ,

则称v是φ在A₀上的限制 , 并记其为$v = \varphi|_{A_{0}}$

例1.5 试证明φ : Zₙ×Zₙ→Z , $(\overline{a},\overline{b},) \rightarrow \overline{ab}$是一个映射

证: 对任意$(\overline{a},\overline{b},) = (\overline{c},\overline{d},)$ , 有$\overline{a} = \overline{c}\ ,\ \overline{b} = \overline{d}$

于是由命题1.1(3)可知 , 存在整数s , t使得a‒c = nt , b‒d = ns ,

所以ab‒cd=(a‒c)b+c(b‒d)=n(tb‒cs) ,

进而由命题1.1(3)得$\overline{ab} = \overline{cd}$即相等元素的像相等 , φ是一个映射 ,

例1.6 试证明ϕ : Zₙ×Zₙ→Zₙ , $(\overline{a}\ ,\ \overline{b}\ ) \rightarrow \ \overline{a + b}$是一个映射 ,

证: 对任意$(\overline{a}\ ,\ \overline{b}\ ) = (\ \overline{c}\ ,\ \overline{d}\ )$有$\overline{a} = \overline{c}\ ,\ \overline{b} = \overline{d}$ ,

于是由命题1.1(3)可知 , 存在整数s , t使得a‒c=nt , b‒d=ns ,

所以(a+b)‒(c+d)=(a‒c)+(b‒d)=n(t+s) ,

进而由命题1.1(3)有$\overline{a + b} = \overline{c + d}$ , 即相等元素的像相等 , ϕ是一个映射

例1.7 试说明τ: Z₂Z₃×Z₃→Z₃ , $(\overline{a},\overline{b},) \rightarrow \overline{ab}$不是一个映射 ,

解: 按照τ的定义有$(\ \overline{0},\ \overline{1}\ ) \rightarrow \ \overline{0}\$ , $(\ \overline{0},\ \overline{1}\ ) = (\overline{2}\ ,\ \overline{1}\ )$→$\overline{2}\$ , 即$(\ \ \overline{0},\ \overline{1}\ )$的像不唯一 ,

因此τ不是一个映射

定义1.4 设ψ是集合A到B的映射 , ϕ是集合B到C的映射 ,

则存在映射ϕψ: A→C , 满足对属于A的任意a , 有ϕψ(a)=ϕ(ψ(a)) ,

称映射ϕψ是ϕ与ψ的合成(如图1.1) ,

易知 , 映射的合成满足结合律 ,

即对于映射ψ: A→B , ϕ: B→C和σ: C→D有σ (ϕψ)=(σϕ)ψ ,

且对任意映射ψ: A→B , 有ψ id_A=ψ和id_Bψ=ψ ,

特别地 , 若ϕ是集合A上的变换 ,

则我们用ϕᵗ表示t个ϕ的合成 , 并规定ϕ⁰=${id}_{A}$

例1.8 令2Z表示偶数集合 , 定义映射ψ: Z→2Z , 使得ψ (a)=2a ,

和映射ϕ: 2Z→Z , 使得ϕ(a)=$\ \frac{1}{2}\ a$ , 求ψϕ和ϕψ

解: 易知 , 合成映射ϕψ =id_Z , 合成映射ψϕ =id_2Z

定义1.5 设ψ是集合A到B的映射 ,

若存在集合B到A的映射ϕ , 使得ϕψ=id_A , 并且ψϕ=id_B

则称ψ是可逆映射 , ϕ是ψ的逆映射 ,

命题1.3 设ψ是集合A到B的映射 , 若ψ是可逆映射 , 则ψ的逆映射是唯一的

证: 设ϕ和ϑ是ψ的两个逆映射 , 则ϑ=id_Aϑ=(ϕψ)ϑ=ϕ(ψϑ)=ϕid_B=ϕ

既然逆映射是唯一的 , 如果ψ是可逆映射 , 那么以后我们将ψ的逆映射记为ψ^‒1 ,

特别地 , 若ψ是集合A到A的可逆映射(变换) , n是正整数 , 则记ψ^‒n=(ψ^‒1)ⁿ

关于逆映射我们有如下性质 ,

命题1.4 若ψ是集合A到B的可逆映射 , ϕ是集合B到C的可逆映射 ,

则可逆映射的合成ψϕ还是可逆映射 , 并且(ϕψ)^‒1=ψ^‒1ϕ^‒1

命题1.5 设A , B是非空集合 , ψ : A→B是映射 , 则

(1)ψ是单射的充分必要条件是存在映射ϕ: B→A , 使得ϕψ=id_A

(2)ψ是满射的充分必要条件是存在映射ϕ: B→A , 使得ψϕ=id_B

证: 在此我们只考证如果存在映射ϕ: B→A , 使得ϕψ=id_A , 则ψ是单射的情形

事实上 , 如果ψ不是单射 , 那么存在属于A的a₁≠a₂ , 使得ψ(a₁)=ψ(a₂ )

从而id_A(a₁)=Фψ(a₁)=Фψ(a₂ )=id_A(a₂ ) , 即a₁=a₂ 矛盾 ,

以后为了讨论映射问题的方便 , 我们可使用图形表示映射的合成关系 :

多边形的顶点表示集合 , 有箭头的线段表示映射 ,

特别地 ,

如果由始点集合A到终点集合B所经历的各条线路所组成的映射合成都相等 , 则称这样的图形是交换图 ,

例如 , 若f_nf_n‒1⋯f₂f₁=g_mg_m‒1⋯g₂g₁ , 则称图1.2是交换图 ,

再如 , 若$A\overset{f}{\rightarrow}B\ ,B\overset{g}{\rightarrow}C\ ,A\overset{\sigma}{\rightarrow}C\$是映射 , 并且它们满足g f=σ , 则图1.3是交换图

类似地 , 若$A\overset{f}{\rightarrow}B\ ,C\overset{g}{\rightarrow}D\ ,A\overset{\sigma}{\rightarrow}C\ ,B\overset{\tau}{\rightarrow}D\$是映射 , 并且它们满足τ f = gσ ,

则图1.4是交换图 ,

习题