1 , 试写出集合Z₄中的所有元素

解: Z₄={$\overline{0}$ , $\overline{1}$ , $\overline{2}$ , $\overline{3}$}

2 , 试写出集合Z₃×Z₅和Z₅×Z₃中的所有元素 , 并判断这两个集合是否相等 ,

解: Z₃={$\overline{0}$ , $\overline{1}$ , $\overline{2}$} , Z₅={$\overline{0}$ , $\overline{1}$ , $\overline{2}$ , $\overline{3}$ , $\overline{4}$}

Z₃ ×Z₅={($\overline{0}$ , $\overline{0}$) , ($\overline{0}$ , $\overline{1}$) , ($\overline{0}$ , $\overline{2}$) , ($\overline{0}$ , $\overline{3}$) , ($\overline{0}$ , $\overline{4}$) , ($\overline{1}$ , $\overline{0}$) , ($\overline{1}$ , $\overline{1}$) ,

($\overline{1}$ , $\overline{2}$) , ($\overline{1}$ , $\overline{3}$) , ($\overline{1}$ , $\overline{4}$) , ($\overline{2}$ , $\overline{0}$) , ($\overline{2}$ , $\overline{1}$) , ($\overline{2}$ , $\overline{2}$) , ($\overline{2}$ , $\overline{3}$) , ($\overline{2}$ , $\overline{4}$)}

Z₅ ×Z₃={($\overline{0}$ , $\overline{0}$) , ($\overline{0}$ , $\overline{1}$) , ($\overline{0}$ , $\overline{2}$) , ($\overline{1}$ , $\overline{0}$) , ($\overline{1}$ , $\overline{1}$) , ($\overline{1}$ , $\overline{2}$) , ($\overline{2}$ , $\overline{0}$) ,

($\overline{2}$ , $\overline{1}$) , ($\overline{2}$ , $\overline{2}$) , ($\overline{3}$ , $\overline{0}$) , ($\overline{3}$ , $\overline{1}$) , ($\overline{3}$ , $\overline{2}$) , ($\overline{4}$ , $\overline{0}$) , ($\overline{4}$ , $\overline{1}$) , ($\overline{4}$ , $\overline{2}$)}

这两个集合不相等 ,

3 , 设a , b , c , d都属于Z , n属于Z⁺ ,

若ac≡bd(mod n) , c≡d(mod n) , 且c与n互素 , 试证明a≡b(mod n) ,

证明: 由于c≡d(mod n) , 从而bc≡bd(mod n) ,

又因ac≡bd(mod n) , 因此ac≡bc(mod n) ,

即n|ac‒bc , 而c与n互素 , 故n|a‒b , 即a≡b(mod n) ,

4 , 设A , B , C都是集合 , 试证明C‒(A⋃B)=(C‒A)⋂(C‒B) ,

证明: 若任意的x属于C‒(A⋃B) , 则x属于C而不属于A⋃B ,

即x属于C而不属于A , 也不属于B ,

从而x属于C‒A且属于C‒B , 所以x属于(C‒A)⋂(C‒B) ,

若x属于(C‒A)⋂(C‒B) , 则x属于C‒A且属于C‒B ,

从而x属于C且不属于A , 也不属于B , 则x属于C且不属于A⋃B ,

所以任意的x属于C‒(A⋃B) ,

5 , 对于Z₃的元素$\overline{0}$ , $\overline{1}$ , $\overline{2}$ , 我们有$\overline{0}$⋂$\overline{1}$=⌀ , $\overline{0}$⋂$\overline{2}$=⌀ , $\overline{1}$⋂$\overline{2}$=⌀ ,

并且$\overline{0}$⋃$\overline{1}$⋃$\overline{2}$=Z , 试分析对于Z₅的元素是否也具有这样的性质

解: 有 ,

6 , 设A={1 , 2 , 3} , 试构造一个A×A到A的满射 ,

并说明是否存在A×A到A的单射 ,

解: 易知φ: A×A→A , (a , b)→a是一个A×A到A的满射 ,

不存在A×A到A的单射 , 因为A×A中元素个数比A中元素个数多

7 , 请分别讨论例1.5和例1.6中的映射是否是满射 , 是否是单射 ,

解: 都不是单射 , 但为满射

8 , 设φ是集合A到B的映射 , 证明φ是双射的充分必要条件是φ为可逆映射 ,

证明: 必要性 ,

因为φ是双射 , 所以对属于B的任意b , 存在属于A的唯一a , 使得b=φ(a) ,

因此 , 可以定义映射τ: B→A , b→a , 易知 , φτ=id_B , τφ=id_A ,

充分性 ,

因为φ是可逆映射 , 所以存在逆映射τ: B→A使得φτ=id_B , τφ=id_A ,

对属于B的任意b , 有φτ(b)=id_B(b)=b , 即b有原像 , φ是满射 ,

若φ(a₁)=φ(a₂) , 则a₁=τφ(a₁)=τφ(a₂)=a₂ , 即φ是单射 ,

9 , 设M_n(R)是实数域R上所有n阶方阵构成的集合 ,

V_n(R)是实数域R上的n维线性空间 , 试给出M_n(R)到V_n(R)的一个满射 ,

解: 设$\varepsilon_{1}$ , ⋯ , $\varepsilon_{n}$是V_n(R)的一组基 ,

$$则M_{n}(R) \rightarrow V_{n}(R)\ ,\ \sum_{i,j = 1}^{n}{a_{ij}E_{ij}} \rightarrow \sum_{i = 1}^{n}{a_{i1}\varepsilon_{i}}是M_{n}(R)到V_{n}(R)的一个满射$$

10 , 试证明ϕ : (Z₂ ×Z₃ )×(Z₂ ×Z₃ )→(Z₂ ×Z₃ ) ,

((${\overline{a}}_{1}$ , ${\overline{b}}_{1}$) , (${\overline{a}}_{2}$ , ${\overline{b}}_{2}$))→($\overline{a_{1}a_{2}}$ , $\overline{b_{1} + b_{2}}$)是映射 ,

证明: 令(${\overline{a}}_{1}$ , ${\overline{b}}_{1}$)=(${\overline{c}}_{1}$ , ${\overline{d}}_{1}$) , (${\overline{a}}_{2}$ , ${\overline{b}}_{2}$)=(${\overline{c}}_{2}$ , ${\overline{d}}_{2}$) ,

则$\overline{a_{1}a_{2}}$ =$\overline{c_{1}c_{2}}$ , $\overline{b_{1} + b_{2}}$=$\overline{d_{1} + d_{2}}$ , 得证 ,