1 , 证明命题6.1 ,

证明: 命题6.1的(1)证明略 ,

(2)a_i , b_i都属于G_{i ,} i=1 , 2 , ⋯ , n ,

因为(a₁ , a₂ , ⋯ , a_n)(b₁ , b₂ , ⋯ , b_n)=(a₁b₁ , a₂b₂ , ⋯ , a_nb_n) ,

(b₁ , b₂ , ⋯ , b_n)(a₁ , a₂ , ⋯ , a_n)=(b₁a₁ , b₂a₂ , ⋯ , b_na_n) ,

$$所以\prod_{i\ = \ 1}^{n}G_{i}是交换群的充分必要条件是G_{1}\ ,\ G_{2}\ ,\ \cdots\ ,\ G_{n\ }是交换群$$

2 , 试确定Z₄×Z₆中6阶元素的个数 , Z₅×Z₁₅中5阶元素的个数 ,

解: Z₄中元素的阶为m=1 , 2 , 4 , Z₆中元素的阶为n=1 , 2 , 3 , 6 ,

要得到Z₄×Z₆中6阶元 , 则[m , n]=6 , m=1 , n=6或m=2 , n=3 , 6 ,

而Z₄中1阶元为$\overline{0}$ , 2阶元为$\overline{2}$ , Z₆中3阶元为$\overline{2}$ , $\overline{4}$ , 6阶元为$\overline{1}$ , $\overline{5}$ ,

因此Z₄×Z₆中6阶元为($\overline{0}$ , $\overline{1}$) , ($\overline{0}$ , $\overline{5}$) , ($\overline{2}$ , $\overline{2}$) , ($\overline{2}$ , $\overline{4}$) , ($\overline{2}$ , $\overline{1}$) , ($\overline{2}$ , $\overline{5}$) ,

即6阶元共有6个 ,

Z₅中元素的阶为m=1 , 5 , Z₁₅中元素的阶为n=1 , 3 , 5 , 15 ,

若[m , n]=5 , 则m=1 , n=5或m=5 , n=1 , 5 ,

又因Z₅中1阶元为$\overline{0}$ , 5阶元为$\overline{1}$ , $\overline{2}$ , $\overline{3}$ , $\overline{4}$

Z₁₅中1阶元为$\overline{0}$ , 5阶元为$\overline{3}$ , $\overline{6}$ , $\overline{9}$ , $\overline{12}$ ,

因此Z₅×Z₁₅中5阶元共有24个 ,

3 , 判断Z₅×Z₇是否是循环群 , 如果是循环群 , 请给出它的生成元 ,

解: $\overline{1}$属于Z₅ , $\overline{1}$属于Z₇ , ($\overline{1}$ , $\overline{1}$)的阶为[5 , 7]=35 ,

所以⟨($\overline{1}$ , $\overline{1}$)⟩=Z₅×Z₇是循环群 ,

4 , 试说明群Z₂×Z₃与群Z₆同构 ,

解: Z₂ , Z₃分别为2 , 3阶循环群 , 且(2 , 3)=1 , 从而Z₂×Z₃中存在6阶元 ,

因此Z₂×Z₃是6阶循环群 , 故Z₂×Z₃≅Z₆

5 , 试说明群Z₂×Z₂与群Z不同构 ,

解: 因为Z₂元素的阶为1或2 ,

所以Z₂×Z₂元素的阶为1或2 , 即没有4阶元 , 不是循环群 ,

而Z₄是循环群 , 因此群Z₂×Z₂与群Z₄不同构 ,

6 , 请通过比较元素的阶证明Z₈×Z₂不同构于Z₄×Z₄

证明: Z₈中元素阶为1 , 2 , 4 , 8 , Z₂中元素阶为1 , 2 ,

从而Z₈×Z₂中元素的最高阶为8 ,

而Z₄×Z₄中元素的阶为1 , 2 , 4 , 无8阶元 , 从而Z₈×Z₂与Z₄×Z₄不同构 ,

7 , 已知G₁={(1) , (12)(34)} , G₂={(1) , (13)(24)}

是群G={(1) , (12)(34) , (13)(24) , (14)(23)}的两个子群 ,

试证G是G₁和G₂的直和

证明: G₁和G₂在G中的指数为2 , 因而都是正规子群 , 且G=G₁G₂ , G₁⋂G₂={(1)} ,

因此G是G₁和G₂ , 的直和 , 即G=G₁⨁G₂

8 , 设G是循环群 , 且|G|=$p_{1}^{s_{1}}p_{2}^{s_{2}}$⋯$p_{n}^{s_{n}}$

其中s_i属于Z⁺ , p_i是互不相同的素数(i=1 , 2 , ⋯ , n)

试证明G有阶为$p_{1}^{s_{1}}$的子群G_i(i=1 , 2 , ⋯ , n) , 且G= G_i ,

证明: 设G=⟨a⟩ , 令n_i=$\frac{|G|}{p_{i}^{s_{i}}}$ , 则G_i=⟨$a^{n_{i}}$⟩是G的阶为$p_{i}^{s_{i}}$的子群 ,

由[第二章例6.5]可知G= G_i ,

9 , 设G₁ , G₂ , ⋯ , G_n是群G的正规子群 ,

若G=G₁G₂⋯G_n , 试证明下述两个条件等价:

(1)G中每个元素可唯一地表示为a₁a₂⋯a_n的形式 , 其中a_i属于G_i , i=1 , 2 , ⋯ , n

(2)G中单位元可唯一地表示为a₁a₂⋯a_n的形式 , 其中a_i属于G_i , i=1 , 2 , ⋯ , n

证明: (1)⇒(2)显然 ,

(2)⇒(1) , 若x属于G_i⋂G_j , i≠j , 则令x=a_i=a_j , 那么e=a_i$a_{j}^{- 1}$ ,

根据单位元表法唯一可知e=a_i$\ {= a}_{j}^{- 1}$ , 从而G_i⋂G_j={e} ,

又因为G_{i ,} G_j是正规子群 , 所以a_ia_j=a_ja_i ,

若a=a₁a₂⋯a_n=b₁b₂⋯b_n , 则e=a₁$a_{1}^{- 1}$a₂$a_{2}^{- 1}$⋯a_n$a_{n}^{- 1}$

根据单位元表法唯一可知a_i$a_{i}^{- 1}$=e , a_i=b_i , 即a的表法唯一

10 , 试确定Z⨁Z是否是循环群 ,

解: 若Z⨁Z是循环群 , 设Z⨁Z=⟨(a , b)⟩ , 令(1 , 0)=r(a , b) , 则ra=1 , rb=0 ,

因此b=0 ,

同理由(0 , 1)=s(a , b)可得a=0 , 从而Z⨁Z=⟨(a , b)⟩=⟨(0 , 0)⟩={(0 , 0)} , 矛盾 ,

故Z⨁Z不是循环群 ,

11 , 令G是p^k(p是素数)阶循环群 , 证明G不能表示成其真子群的直和 ,

证明: 反证 , 设G= G_i , 且|G_i|=$p^{k_{i}}$ , k_i<k , 令G_i=⟨g_i⟩ ,

则 G_i中元素阶最大值为[$p^{k_{1}}$ , $p^{k_{2}}$ , ⋯ , $p^{k_{n}}$]<p^k ,

所以 G_i不是p^k(p是素数)阶循环群 , 矛盾 ,

习题1求群$Z_{3}^{\ast}$×Z₆的所有元素的阶 ,

解: 群$Z_{3}^{\ast}$的元素$\overline{1}$ , $\overline{2}$的阶依次为1 , 2 ,

群Z₆的元素$\overline{0}$ , $\overline{1}$ , $\overline{2}$ , $\overline{3}$ , $\overline{4}$ , $\overline{5}$的阶依次为1 , 6 , 3 , 2 , 3 , 6 ,

由[第二章推论6.1]知 ,

($\overline{1}$ , $\overline{0}$) , ($\overline{1}$ , $\overline{1}$) , ($\overline{1}$ , $\overline{2}$) , ($\overline{1}$ , $\overline{3}$) , ($\overline{1}$ , $\overline{4}$) , ($\overline{1}$ , $\overline{5}$)的阶依次为1 , 6 , 3 , 2 , 3 , 6 ,

($\overline{2}$ , $\overline{0}$) , ($\overline{2}$ , $\overline{1}$) , ($\overline{2}$ , $\overline{2}$) , ($\overline{2}$ , $\overline{3}$) , ($\overline{2}$ , $\overline{4}$) , ($\overline{2}$ , $\overline{5}$)的阶依次为2 , 6 , 6 , 2 , 6 , 6 ,

习题2设G是n=st阶循环群 , 且(s , t)=1 ,

试证明G可以表示成s阶和1阶子群的直和 ,

证明: 设G=⟨a⟩ , 则G有s阶子群⟨$a^{\frac{n}{s}}$⟩和t阶子群⟨$a^{\frac{n}{t}}$⟩ ,

由(s , t)=1可知⟨a^t⟩⋂⟨a^s⟩={0} , |⟨a^t⟩+⟨a^s⟩|=st ,

故G=⟨a^t⟩⨁⟨a^s⟩ ,

习题3设G是n阶循环群 , 证明G可以表示为其子群直和的形式 ,

证明: 设n的标准分解式是n=$p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}$⋯$p_{t}^{k_{t}}$ ,

其中p₁ , p₂ , ⋯ , p_n是n的不同素因子 ,

根据[第二章例6.5] , 只需要证明G有$p_{i}^{k_{i}}$阶子群 ,

设G=⟨a⟩ , r_i=$\frac{n}{p_{i}^{k_{i}}}$ , 则⟨$a^{r_{i}}$⟩是$p_{i}^{k_{i}}$阶子群 ,

习题4证明Z_m×Z_n是循环群的充分必要条件是m与n互素

证明: 根据(a , b)的阶为a与b阶的最小公倍数 ,

可知Z_m×Z_n为循环群的充分必要条件是Z_m×Z_n中有阶为mn的元素(a , b) ,

则a与b的阶分别为m和n , 且m与n互素 , 反之显然 ,

习题5证明Z₂⨁Z₂≅K₄

证明: Z₂⨁Z₂是4阶群 , 且没有4阶元素 , 因此与克莱因四元群同构 ,

习题6求Z₁₀×Z₆中10阶元素的个数 ,

解: 若a属于Z₁₀ , b属于Z₆ , 则(a , b)的阶是a , b阶的最小公倍数 ,

Z₁₀中

元素$\overline{0}$的阶为1 ,

元素$\overline{1}$ , $\overline{3}$ , $\overline{7}$ , $\overline{9}$的阶为10 ,

元素$\overline{2}$ , $\overline{4}$ , $\overline{6}$ , $\overline{8}$的阶为5 ,

元素$\overline{5}$的阶为2;

Z₆中

元素$\overline{0}$的阶为1 ,

元素$\overline{1}$ , $\overline{5}$的阶为6 ,

元素$\overline{2}$ , $\overline{4}$的阶为3 ,

元素$\overline{3}$的阶为2 ,

Z₁₀×Z₆中阶为10的元素有($\overline{1}$ , $\overline{0}$) , ($\overline{3}$ , $\overline{0}$) , ($\overline{7}$ , $\overline{0}$) , ($\overline{9}$ , $\overline{0}$) , ($\overline{1}$ , $\overline{3}$) , ($\overline{3}$ , $\overline{3}$) , ($\overline{7}$ , $\overline{3}$) , ($\overline{9}$ , $\overline{3}$) , ($\overline{2}$ , $\overline{3}$) , ($\overline{4}$ , $\overline{3}$) , ($\overline{6}$ , $\overline{3}$) , ($\overline{8}$ , $\overline{3}$) , 共12个 ,

习题7设G₁ , G₂都是群 ,

试证明φ: G₁×G₂→G₁ , (a , b)→a是G₁×G₂到G₁的满同态 , 且Ker φ≅G₂ ,

证明: 因φ是满射 ,

且φ((a₁ , b₁)·(a₂ , b₂))=φ((a₁a₂ , b₁b₂))=a₁a₂=φ((a₁ , b₁))φ((a₂ , b₂)) ,

因此φ是G₁×G₂到G₁的满同态 ,

Ker φ={(a , b)|a=e}={e}×G₂≅G₂

习题8设G₁ , G₂是群 , G=G₁×G₂ , 试证明C(G)=C(G₁)×C(G₂) ,

证明: 若(a , b)属于C(G) ,

则对属于G的任意(a' , b') , 有(a'a , b'b)=(a' , b')(a , b)=(a , b)(a' , b')=(aa' , bb') ,

即a'a=aa' , b'b=bb' , (a , b)属于C(G₁)×C(G₂) ,

反之 , 若(a , b)属于C(G₁)×C(G₂) ,

则对属于G的任意(a' , b') , 有(a' , b')(a , b)=(a'a , b'b)=(aa' , bb')=(a , b)(a' , b') ,

即(a , b)属于C(G) ,