对于一个数学研究对象 , 我们经常通过其与同类对象的比较来研究其结构 ,

而比较的一个有效的工具就是同态 ,

同态可以将一个研究对象的某些性质移入另一个研究对象 ,

同构是一种同态 , 同构的两个研究对象有相同的代数结构及性质 ,

群是具有一个运算的代数系统 ,

因此 , 在第一章所介绍的有关代数系统的同态、同构的概念

可以移到群的同态、同构上

为了强调同态、同构的概念在群论中的重要性 , 我们有必要回顾一下这些概念

设{G ; ∘}和{G' ; ⦁}是两个群 , φ是G到G'的映射 ,

如果φ满足φ(x∘y)=φ(x)⦁φ(y) , 其中任意x , y属于G

那么称φ是群G到G'的同态 , 简称群同态 , 并记为G~G'

特别地 , 若φ是群G到G'的群同态 , 且φ是G到G'的单射(或满射) ,

则称φ是群G到G'的单同态(或满同态) ,

若φ既是单同态又是满同态 , 则称φ是G到G'的同构 , 并记为G≅G' ,

若φ是G到自身的群同态(或群同构) , 则称φ是G的自同态(或自同构) ,

群G的所有自同态构成的集合记为End(G) , 所有自同构组成的集合记为Aut(G)

例4.1若H是群G的正规子群 ,

试证明存在群G到商群G/H的满同态(称其为自然同态)

π : G→G/H , x→xH=$\overline{x}$

证: 因π是满射 , 并且π(xy)=$\overline{xy}$=$\overline{x}\ \overline{y}$=π(x)π(y) , 因此 , π是G到G/H的满同态

例4.2设G是群 , a属于G , 证明⟨a⟩~G ,

证: 定义映射φ : ⟨a⟩→G , 使得φ(a')=a' , 其中r属于Z ,

显然 , φ是单射 , 且φ(a^sa^r)=φ(a^s)φ(a^r) , 因此 , φ是⟨a⟩到G的单同态 ,

例4.3令H={$\overline{0}$ , $\overline{6}$ , $\overline{12}$}是剩余类加法群Z₁₈的子群 , 试证明(Z₁₈/H)≅Z₆

证: 因为Z₁₈是交换群 , 所以H是Z₁₈的正规子群 ,

再由商群的定义可知 , Z₁₈/H={$\overline{0}$+H , $\overline{1}$+H , $\overline{2}$+H , $\overline{3}$+H , $\overline{4}$+H , $\overline{5}$+H} ,

定义映射φ : Z₁₈/H→Z₆ , 使得φ($\overline{a}$+H)=$\overline{a}$ , 其中a=0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,

因φ是双射且φ(($\overline{a}$+H)+($\overline{b}$+H))=φ(($\overline{a}$+$\overline{b}$)+H)=$\overline{a + b}$=$\overline{a}$+$\overline{b}$=φ($\overline{a}$+H)+φ($\overline{b}$+H)

所以φ是群Z₁₈/H到Z₆的同构 ,

例4.4设G是群 , 试证明映射ad_g : G→G , x→gxg^‒1是群G的自同构

(一般地 , 称ad_g是G的内自同构) ,

证: 因为对属于群G的任意a , b , 有

ad_g(ab)=g(ab)g^‒1=gag^‒1gbg^‒1=ad_g(a)ad_g(b) ,

所以ad_g是G的自同态 , 显然 , g^‒1ag是a的原像 , 即ad_g是满射 ,

又若ad_g(a)=ad_g(b) , 则gag^‒1=gbg^‒1 , a=b , 即ad_g是单射 , 故ad_g是G的自同构

命题4.1设φ是群G到G'的同态 , 则

(1)φ(e)=e' , 其中e , e'分别是G和G'中的单位元素 ;

(2)φ(x^‒1)=φ(x)^‒1 , 其中任意x属于G ;

(3)若H是G的子群 , 则φ(H)是G'的子群 ;

(4)若H'是G'的子群 , 则φ^‒1(H')是G的子群 ,

证:(1)由e'φ(e)=φ(e)=φ(ee)=φ(e)φ(e)及群的消去律 , 我们有φ(e)=e' ,

(2)根据φ(x^‒1)φ(x)=φ(x^‒1x)=φ(e)=e' , 有φ(x)^‒1=φ(x^‒1) ,

(3)显然 , φ(H)是G'的非空子集 , 又对属于φ(H)的任意φ(x) , φ(y) ,

有φ(x)φ(y)^‒1=φ(x)φ(y^‒1)=φ(xy^‒1) ∈ φ(H) ,

因此 , 根据定理2.1可知 , φ(H)是G'的子群

(4)因为φ(e)=e'属于H' , 所以φ^‒1(H')是G的非空子集 ,

又对属于φ^‒1(H')的任意x , y , 有φ(x) , φ(y)属于H' ,

φ(xy^‒1)=φ(x)φ(y^‒1)=φ(x)φ(y)^‒1属于H' , 即xy^‒1属于φ^‒1(H') ,

因此 , 根据定理2.1可知 , φ^‒1(H')是G的子群 ,

命题4.2设φ是群G到G'的同态 , 则

(1)φ的同态像Im φ=φ(G)是G'的子群 ;

(2)φ的同态核Ker φ={x ∈ G|φ(x)=e'}是G的正规子群 , 其中e'是G'的单位元素

(3)φ是群G到G'的单同态⟺Ker φ={e} , 其中e是G的单位元素 ,

证:(1)因为G是G的子群 , 所以根据命题4.1(3) , Im φ=φ(G)是G'的子群 ,

(2)由于{e'}是G'的子群 , 根据命题4.1(4) , Ker φ=φ^‒1(e')是G的子群 ,

下面证明Ker φ是G的正规子群 ,

因为对属于Ker φ的任意x , 和属于G的任意g ,

有φ(gxg^‒1)=φ(g)φ(x)φ(g^‒1)=φ(g)e'φ(g)^‒1=e' , 即gxg^‒1属于Ker φ ,

所以(2)的结论成立 ,

(3)若φ是G到G'的单同态 , 则φ^‒1(e')仅含有一个元素 , 而e属于φ^‒1(e') ,

因此Ker φ=φ^‒1(e')={e} ,

反之 , 若Ker φ={e} ,

则当φ(x)=φ(y)时 , 有φ(xy^‒1)=φ(x)φ(y^‒1)=φ(x)φ(y)^‒1=e' , 即xy^‒1属于Ker φ

从而xy^‒1=e , x=y , 所以φ是群G到G'的单同态 ,

定理4.1(群同态基本定理)设φ是群G到G'的同态 , 则G/Ker φ≅Im φ ,

证: 记Ker φ=H , 则H是G的正规子群 ,

我们定义ψ: G/H→Im φ , 使得对属于G/H的任意xH , 有ψ(xH)=φ(x) , 如图2.1

下面我们证明ψ是G/H到Im φ的同构映射 ,

首先 , ψ是G/H到Im φ的映射 , 对属于G/H的任意xH , yH ,

若xH=yH , 则x^‒1y属于H , 从而φ(x^‒1y)=e'(e'是G'的单位元) ,

进而φ(x)=φ(y) , 所以ψ(xH)=ψ(yH) ,

其次 , ψ是G/H到Im φ的同态映射 , 对属于G的任意x , y ,

有ψ((xH)(yH))=ψ(xyH)=φ(xy)=φ(x)φ(y)=ψ(xH)ψ(yH) ,

最后 , ψ是双射 , 它的满射性是显然的 ,

另外 , 如果xH属于Ker ψ , 则e'=ψ(xH)=φ(x) , 即x属于Ker φ=H ,

所以xH=H , Ker ψ={H} , 这表明ψ是单射 ,

定理4.2设H是群G的正规子群 , K是G的子群 , 试证明 :

(1)HK是G的子群 , H是HK的正规子群 ;

(2)(群的第一同构定理)K/(K⋂H)≅(HK)/H ;

(3)(群的第二同构定理)若K是G的正规子群 , 且H包含于K ,

则(G/H)/(K/H)≅(G/K) ,

证: (1)因为对属于H的任意h₁ , h₂ , 和对属于K的任意k₁ , k₂ ,

有(h₁k₁)(h₂k₂)^‒1=h₁k₁$k_{2}^{- 1}h_{2}^{- 1}$ ,

令k₁$k_{2}^{- 1}$=k , 则由H是G的正规子群可知k$h_{2}^{- 1}$k^‒1属于H ,

从而(h₁k₁)(h₂k₂)^‒1=h₁k$h_{2}^{- 1}$k^‒1k属于HK , 因此 , HK是G的子群 ,

因为H是G的正规子群 , H包含于HK , 所以H是HK的正规子群 ,

(2)定义映射φ : K→(HK)/H , 使得φ(k)=kH ,

因为对属于K的任意k₁ , k₂ , 有φ(k₁k₂)=(k₁k₂)H=(k₁H)(k₂H)=φ(k₁)φ(k₂)

所以φ是K到(HK)/H的群同态 ,

下面考证φ是满射 , 因为HK是φ的子群 , 因此 , HK=KH ,

那么对属于H的任意h和对属于K的任意k ,

存在有属于H的h'和属于K的k' , 使得hk=k'h' ,

再由φ(k')=k'H=k'h'H=hkH可知φ是满射 ,

因为Ker φ={h∈K|kH=H}={k∈K|k∈H}=K⋂H ,

所以由同态基本定理得K/(K⋂H)≅(HK)/H ,

(3)根据群同态基本定理 , 要证明(G/H)/(K/H)≅(G/K) ,

只需要说明φ : G/H→G/K , gH→gK是满同态 , 且Ker φ=K/H ,

对属于G的任意g₁ , g_{2 ,} 若g₁H=g₂H , 则$g_{1}^{- 1}g_{2}$属于包含于K的H ,

从而g₁K=g₂K , 即φ是G/H到G/K的映射 , φ的满射性是显然的 ,

另外 , 由K和H是群G的正规子群得φ((g₁H)(g₂H))=φ(g₁g₂H)=g₁g₂K=(g₁K)(g₂K)=φ(g₁H)φ(g₂H) ,

因而φ是G/H到G/K的满同态 ,

另外 , Ker φ={gH|gK=K}={gH|g∈K}=K/H , 所以结论得证,

定理4.3任何一个群都与一个变换群同构 ,

证: 设G是一个群 , 下面我们来证群G与它的左乘变换群L(G)同构 ,

定义映射φ : G→L(G) , x→L_x , 显然φ是满射 ,

若L_x=L_{y ,} 则对属于G的任意z , 有xz=yz , 从而x=y , 即φ是单射 ,

对属于G的任意x , y , 有φ(xy)=L_xy=L_xL_y=φ(x)φ(y) , 所以 , G与L(G)同构

推论4.1任一个有限群都与一个置换群同构

习题