1 , 设H={$\overline{0}$ , $\overline{6}$ , $\overline{12}$ , $\overline{18}$}是剩余类加法群Z₂₄的子群 , 试证明Z₂₄/H≅Z₆ ,

证明: 因为G=Z₂₄是交换群 , 所以H=⟨$\overline{6}$⟩={$\overline{0}$ , $\overline{6}$ , $\overline{12}$ , $\overline{18}$}是G的正规子群

定义映射φ: G/H→Z₆使得φ($\overline{a}$+H)=$\overline{a}$ , 显然φ是双射且φ(($\overline{a}$+H)+($\overline{b}$+H))=φ(($\overline{a}$+$\overline{b}$)+H)=$\overline{a}$+$\overline{b}$=φ($\overline{a}$+H)+φ($\overline{b}$+H) ,

从而φ是群G/H到Z₆的同构 ,

2 , 证明任意2阶群与乘法群{1 , ‒1}同构 ,

证明: 设G={a , e}为2阶群 , 其中a²=e ,

令映射φ: G→{1 , ‒1}满足e→1 , a→‒1 , 显然φ是双射 ,

并且φ(ee)=φ(e)=1=φ(e)φ(e) , φ(ea)=φ(a)=‒1=φ(e)φ(a) ,

φ(ae)=φ(a)=‒1=φ(a)φ(e) , φ(aa)=φ(e)=1=φ(a)φ(a) ,

故任意2阶群与乘法群{1 , ‒1}同构 ,

3 , 证明剩余类加法群Z₃同构于交错群A₃ ,

证明: 二者都是交换群 ,

令映射φ: Z₃→A₃ , 满足$\overline{0}$→(1) , $\overline{1}$→(123) , $\overline{2}$→(132) , 易知φ是双射且

φ($\overline{0}$+$\overline{0}$)=(1)=φ($\overline{0}$)φ($\overline{0}$) , φ($\overline{0}$+$\overline{1}$)=(123)=φ($\overline{0}$)φ($\overline{1}$) ,

φ($\overline{2}$+$\overline{1}$)=(1)=φ($\overline{1}$)φ($\overline{2}$) , φ($\overline{0}$+$\overline{2}$)=(132)=φ($\overline{0}$)φ($\overline{2}$) ,

φ($\overline{1}$+$\overline{1}$)=(132)=φ($\overline{1}$)φ($\overline{1}$) , φ($\overline{2}$+$\overline{2}$)=(123)=φ($\overline{2}$)φ($\overline{2}$) ,

故φ是Z₃到A₃的同构映射 ,

4 , 说明整数加法群不能与有理数加法群同构 ,

证明1: 假设存在Q到Z的同构映射φ , 则必有属于Q的r , 使得φ(r)=1 ,

设φ$\left( \frac{r}{2} \right)$=a属于Z , 则2a=2φ$\left( \frac{r}{2} \right)$=φ(r)=1 , 所以a=$\frac{1}{2}$ , 这与a是整数矛盾 ,

所以整数加法群不能与有理数加法群同构 ,

证明2: 假设存在φ: Z→Q的同构映射 ,

则对属于Z的任意m , 有φ(m)=mφ(1) , φ(1)≠0 ,

若φ(a)=$\frac{\varphi(1)}{2}$ , 则aφ(1)=φ(a)=$\frac{\varphi(1)}{2}$ , a=$\frac{1}{2}$ , 矛盾 ,

故整数加法群与有理数加法群不同构 ,

5 , 说明群{Q^* ; ⦁}与{Q ; +}不同构 , 其中Q^*=Q‒{0} ,

证明: 反证 , 若φ是{Q ; +}到{Q^* ; ⦁}的同构映射 , 则φ(a)=φ$\left( \frac{a}{2} + \frac{a}{2} \right)$=φ$\left( \frac{a}{2} \right)$² ⩾0 ,

也就是说负数无原像 , 与同构矛盾 , 所以{Q ; +}与{Q^* ; ⦁}不同构 ,

6 , 设φ是群G到G'的同态 , 试证明

(1)若φ是满同态 , H是G的正规子群 , 则φ(H)是G'的正规子群 ;

(2)若H'是G'的正规子群 , 则φ^‒1(H')是G的正规子群 ,

证明:

(1)由[第二章命题4.1]知 , φ(H)是G'的子群 , 由于φ是满同态 ,

从而对属于G'的任意g' , 存在属于G的g , 使得g'=φ(g) ,

对属于H的任意h ,

有g'φ(h)(g')^‒1=φ(g)φ(h)(φ(g))^‒1=φ(g)φ(h)φ(g^‒1)=φ(ghg^‒1) ,

又因H◁G , 从而ghg^‒1属于H , 因此g'φ(h)(g')^‒1=φ(ghg^‒1)属于φ(H) ,

故φ(H)◁G' ,

(2)由[第二章命题4.1]可知φ^‒1(H')是G的子群 ,

且对属于G的任意g和对属于φ^‒1(H')的任意h ,

有φ(h)属于H' , φ(ghg^‒1)=φ(g)φ(h)(φ(g))^‒1 ,

再根据H'是G'的正规子群 , 得φ(ghg^‒1)属于H' , 即ghg^‒1属于φ^‒1(H') ,

故φ^‒1(H')是G的正规子群 ,

φ

证明1: 设G为单群 , 且G $\cong \overline{G}$ ,

若$\overline{G}$不是1阶群 , 令$\overline{H}$◁$\overline{G}$ , 则φ^‒1($\overline{H}$)=H◁G ,

于是当H={e}时 , $\overline{H}$={$\overline{e}$} ; 当H=G时 , $\overline{H}$=$\overline{G}$ , 即$\overline{G}$是单群 ,

证明2: 设G为单群 , φ为群G到群G'的同态 , 则Ker φ={0}或Ker φ=G ,

若Ker φ={0} , 则G≅Im φ , 从而Im φ为单群 ,

若Ker φ=G , 则G/Ker φ={e}=Im φ , 此时Im φ为1阶群 ,

故单群的同态像是单群或是1阶群 ,

8 , 试证明Aut(G)关于变换的乘法运算是群 ,

Int(G)={ad_g , |g∈G}是Aut(G)的正规子群 ,

(一般地 , 我们称Aut(G)是群G的自同构群 , Int(G)是群G的内自同构群 ,

而将Aut(G)/lnt(G)称为群G的外自同构群 , )

证明: 显然 , id_G属于Aut(G) , 且对属于Aut(G)的任意φ , τ , 有φτ属于Aut(G) ,

另外 , 对属于Aut(G)的任意τ , 和对属于G的任意g₁ , g₂ ,

总存在属于G的$g_{1}^{\ '}$ , $g_{2}^{\ '}$ , 使得g₁=τ($g_{1}^{\ '}$) , g₂=τ($g_{2}^{\ '}$) ,

从而τ^‒1(g₁g₂)=τ^‒1(τ($g_{1}^{\ '}$)τ($g_{2}^{\ '}$))=τ^‒1(τ($g_{1}^{\ '}g_{2}^{\ '}$))=$g_{1}^{\ '}g_{2}^{\ '}$=τ^‒1(g₁)τ^‒1(g₂) ,

即τ^‒1属于Aut(G) , 所以Aut(G)是群 ,

对属于Aut(G)任意σ , 属于Int(G)任意ad_g , 和属于G任意g' ,

总有σ(ad_g)σ^‒1(g')=σ(gσ^‒1(g')g^‒1)=σ(g)g'σ(g)^‒1=ad_σ(g)(g') ,

即σ(ad_g)σ^‒1=ad_σ(g)属于Int(G)

所以Int(G)={ad_g |g∈G}是Aut(G)的正规子群 ,

9 , 设G是群 , 说明左乘变换群L(G)不是自同构群Aut(G)的子群 ,

证明: L_g属于L(G) , L_g(ab)=g(ab)≠L_g(a)L_g(b) ,

所以L_g不属于Aut(G)(不同态)

10 , 设G是群 , C(G)是G的中心 , 试证明G/C(G)≅Int(G) ,

证明: 定义映射φ: G→Int(G) , g→ad_g ,

显然φ是满射 , 且对属于G的任意g₁ , g₂ ,

总有φ(g₁g₂)=${ad}_{g_{1}g_{2}}$=${ad}_{g_{1}}{ad}_{g_{2}}$=φ(g₁)φ(g₂) ,

由群同态基本定理知: G/Ker φ≅Int(G) ,

而Ker φ={g∈G|ad_g=ad_e}={g∈G|gg'=g'g , g'∈G}=C(G) ,

所以G/C(G)≅Int(G) ,

11 , 试给出两个群H和K ,

使得H同构于K的一个真子群且K同构于H的一个真子群 ,

解: 设H={Z ; +} , K={2Z ; +} , J={4Z ; +} , 则K为H的真子群 , J为K的真子群 ,

对属于H的任意x , 知φ: x→4x , 为H到K的真子群J的同构映射 ,

而对属于K的任意x , 知ψ: x→x , 为K到H的真子群K的同构映射 ,

习题1设φ是G到G'的同态映射 , τ是G'到G"的同态映射 ,

试证明τφ是G到G"的同态映射 ,

证明: 对属于G的任意g₁ , g₂ , 总有τφ(g₁g₂)=τ(φ(g₁)φ(g₂))=τφ(g₁)τφ(g₂) ,

所以τφ是G到G"的同态映射 ,

习题2证明群之间的关系: G~G'⟺G≅G'是等价关系 ,

证明: 易知恒等映射是G到G的同构映射 , 即关系满足反身性 ,

若φ是G到G'的同构映射 , 则φ^‒1是G'到G的双射 ,

对属于G'的任意a' , b' , 存在属于G的a , b , 使得φ(a)=a' , φ(b)=b' , φ(ab)=a'b' ,

则φ^‒1(a'b')=ab=φ^‒1(a')φ^‒1(b') , 所以φ^‒1是G'到G的同构映射 ,

即关系满足对称性 ,

若φ是G到G'的同构映射 , τ是G'到G"的同构映射 ,

则由双射的合成仍然是双射及习题1可得τφ是G到G''的同构映射 ,

即关系满足传递性 ,

综上 , 关系G~G'⟺G≅G是等价关系

习题3设G是群 , 试证明按照映射的合成运算End(G)是半群 , Aut(G)是群

证明: 因为映射的合成运算满足结合律

且对属于End(G)的任意φ , τ , 和属于G的g₁ , g₂ ,

总有φτ(g₁ , g₂ , )=φ(τ(g₁)τ(g₂))=φ(τ(g₁))φ(τ(g₂))=φτ(g₁)φτ(g₂) ,

即同态映射的合成还是同态映射 , 因此End(G)是半群 ,

对属于Aut(G)的任意φ , τ , 有φτ属于Aut(G) ,

又因为id_G属于Aut(G) , 所以Aut(G)是有单位元的半群 ,

对属于G的任意g₁ , g₂ , 存在有属于G的$g_{1}^{\ '}$ , $g_{2}^{\ '}$ , 使得g₁=τ($g_{1}^{\ '}$) , g₂=τ($g_{2}^{\ '}$) ,

从而有τ^‒1(g₁ , g₂ , )=τ^‒1(τ($g_{1}^{\ '}$)τ($g_{2}^{\ '}$))=τ^‒1(τ($g_{1}^{\ '}g_{2}^{\ '}$))=$g_{1}^{\ '}g_{2}^{\ '}$=τ^‒1(g₁)τ^‒1(g₂) ,

即τ^‒1属于Aut(G) , 所以Aut(G)是群 ,

习题4设G是群 , 映射φ: G→G , 使得φ(a)=a^‒1 ,

试证明当且仅当G是交换群时φ是G的自同构映射 ,

证明: 因φ是双射 ,

因此 , φ是G的自同构映射⟺φ(ab)=φ(a)φ(b)

⟺(ab)^‒1=a^‒1b^‒1⟺ab=ba⟺G是交换群 ,

其中任意a , b属于G

习题5设φ是G到G'的满同态映射 , H'是G'的正规子群 , H={g∈G|φ(g)∈H'} ,

试证明H是G的正规子群 , 且G/H≅G'/H' ,

证明: H是G的正规子群的证明参见[习题2.4题6] ,

下面用群同态基本定理证明G/H≅G'/H' ,

易知τ: G→G'/H' , g→φ(g)H'是满同态φ: G→G'和π: G'→G'/H'的合成 ,

因而τ是满同态 ,

τ的核为Ker τ={g∈G|φ(g)∈H'}=H , 由群同态基本定理可知G/H≅G'/H' ,

习题6证明整数加法群与它的任意一个非平凡子群同构 ,

证明: 群的同构的证明关键是构造群G到G'的元素间对应关系φ , 并证明

(1)φ是映射: 若a=b , 则φ(a)=φ(b) ;

(2)φ是单射: 若φ(a)=φ(b) , 则a=b ;

(3)φ是满射: 对属于G'的任意b , 总存在有属于G的a , 使得b=φ(a) ;

(4)φ保持运算: 对属于G的任意a , b , 有φ(ab)=φ(a)φ(b) ,

设整数加法群的非平凡子群为⟨m⟩(m属于Z⁺) ,

定义映射φ: Z→⟨m⟩ , 使得φ(a)=ma ,

若φ(a)=φ(b) , 则ma=mb , 从而a=b , φ是单射 ,

对属于⟨m⟩的任意ma , 有φ(a)=ma , 即φ是满射 ,

对属于Z的任意a , b , 有φ(a+b)=m(a+b)=ma+mb=φ(a)+φ(b) ,

综上 , Z≅⟨m⟩ ,

习题7已知{R ; +}是实数集关于数的加法运算构成的群 ,

{R⁺ ; ⦁}是正实数集关于数的乘法运算构成的群 , 证明R≅R⁺ ,

证明: 易知φ: R→R⁺ , a→10^a是映射 , 若10^a=10^b , 则a=b , 即φ是单射 ,

对属于R⁺的任意b , 存在有属于R的lg b , 使得φ(lg b)=b , 即φ是满射 ,

对属于R的任意a , b , 有φ(a+b)=10^a+b=10^a10^b=φ(a)φ(b) ,

综上 , R≅R⁺ ,

习题8试证明GL_n(R)/SL_n(R)≅R^* ,

证明: 定义映射φ: GL_n(R)→R^* , A→det(A) , 显然这是满射 ,

又因为φ(AB)=det(AB)=det(A)det(B)=φ(A)φ(B) , 所以φ是满同态 ,

根据群同态基本定理可得GL_n(R)/Ker φ≅R^* , 而Ker φ={A∈GL_n(R)|det(A)=1} ,

所以GL_n(R)/SL_n(R)≅R^* ,

习题9已知非零实数集R^*关于数的乘法运算构成群 ,

令r_a : x→xa , 其中任意x属于R^* , a属于R^* , 试证明r_a是R^*的变换 ;

若设所有这样的变换构成的集合为r_R* ,

试证明r_R*关于变换的乘法运算是群且与R^*同构 ,

证明: 因为非零元素的乘积是非零元素 ,

所以r_a是R^*的变换 , r₁是R^*的恒等变换 ,

又因为r_br_a=r_ab=r_ar_b , r₁r_a=r_a , $r_{a^{- 1}}$r_a=r₁ ,

所以r_R*关于变换的乘法运算是交换群 ,

定义映射φ: R^*→r_R* , 使得φ(a)=r_a

因为φ(ab)=r_ab=r_ar_b=φ(a)φ(b)及φ是双射 , 可知r_R*与R^*同构

习题10试证明S₄的子群H={(1) , (12)(34) , (13)(24) , (14)(23)}

与4次单位根群G={1 , ‒1 , i , ‒i}不同构 ,

证明: 若两个群同构 , 则它们有相同的代数性质 ,

若G与H同构 , 则它们之间的同构映射保持元素的阶不变 ,

G有4阶元素i , 则H也应该有4阶元素 , 但是H的元素阶只有1和2两种情况 ,

所以二者不同构 ,

习题11已知{R ; +}是实数集关于数的加法运算构成的群 ,

{R^* ; ⦁}是非零实数集关于数的乘法运算构成的群 ,

试证明{R ; +}与{R^* ; ⦁}不同构 ,

证明: 假设存在{R^* ; ⦁}到{R ; +}的同构映射φ , 则φ(1)=0 ,

设φ(‒1)=a , 显然a不等于0 , 于是φ(1)=φ(‒1)+φ(‒1)=2a ,

因此a=0 , 矛盾 ,

习题12设G₁和G₂分别为n₁ , n₂阶循环群 ,

试证明当且仅当n₂ | n₁时 , 存在G₁到G₂的满同态映射

证明: 必要性 , 设φ是G₁到G₂的满同态映射 , G₂=⟨b⟩ ,

则存在属于G₁的a , 使得φ(a)=b , 从而e=φ($a^{n_{1}}$)=$b^{n_{1}}$ , 因此n₂|n₁ ,

充分性 , 设G₁=⟨a⟩ , G₂=⟨b⟩ , φ: G₁→G₂ , φ(a^m)=b^m ,

若$a^{m_{1}}$=$a^{m_{2}}$ , 则$a^{m_{1} - m_{2}}$=e , 从而n₁|(m₁‒m₂)

由已知得n₂|(m₁‒m₂) ,

所以$b^{m_{1} - m_{2}}$=e , $b^{m_{1}}$=$b^{m_{2}}$ , φ是G₁到G₂的满同态映射 ,

习题13试证明当且仅当φ($\overline{a}$)=aφ($\overline{1}$) , mφ($\overline{1}$)=$\overline{0}$时 , φ: Z_m→Z_n是同态映射

证明: 必要性 , φ($\overline{a}$)=φ(a$\overline{1}$)=aφ($\overline{1}$) , mφ($\overline{1}$)=φ(m$\overline{1}$)=φ($\overline{0}$)=$\overline{0}$ ,

充分性 , 若$\overline{a}$=$\overline{b}$ , 则m|(a‒b) , 由mφ($\overline{1}$)=$\overline{0}$知(a‒b)φ($\overline{1}$)=$\overline{0}$ ,

从而aφ($\overline{1}$)=bφ($\overline{1}$) , 即φ($\overline{a}$)=φ($\overline{b}$) , φ是Z_m到Z_n的映射 ,

又因为φ($\overline{a}$+$\overline{b}$)=(a+b)φ($\overline{1}$) , φ($\overline{a}$)+φ($\overline{b}$)=aφ($\overline{1}$)+bφ($\overline{1}$) ,

所以φ是Z_m到Z_n的同态映射 ,

习题14试求Z₁₂到Z₁₅的所有同态映射 , 并求每一个同态映射的核

解: 设φ是Z₁₂到Z₁₅一个同态映射 , 则由12φ($\overline{1}$)=$\overline{0}$知φ($\overline{1}$)=$\overline{0}$ , $\overline{5}$ , $\overline{10}$ ,

同态映射φ($\overline{a}$)=$\overline{0}$的核为Z₁₂

同态映射φ($\overline{a}$)=a$\overline{5}$的核为{$\overline{0}$ , $\overline{3}$ , $\overline{6}$ , $\overline{9}$}

同态映射φ($\overline{a}$)=a$\overline{10}$的核为{$\overline{0}$ , $\overline{3}$ , $\overline{6}$ , $\overline{9}$}

习题15求Z到Z_n的所有同态映射 ,

证明: 因为Z=⟨1⟩是循环群 ,

所以若设φ是Z到Z_n一个同态映射 , 则φ(n)=nφ(1) , 即φ完全由φ(1)决定 ,

又因为φ(a+b)=(a+b)φ(1)=aφ(1)+bφ(1)=φ(a)+φ(b) ,

所以Z到Z_n的同态映射φ有n个 , 分别满足φ(1)=$\overline{0}$ , $\overline{1}$ , ⋯ , $\overline{n - 1}$ ,

习题16设H是群G的子群 ,

试证明H是G的正规子群⟺对G的任意内自同构φ , 有φ(H)包含于H ,

证明: 对属于G的任意g , 同构映射φ: G→G , a→gag^‒1是G的内自同构 ,

因此 , H是G的正规子群

⟺对属于G的任意g和对属于H的任意h , 有ghg^‒1属于H

⟺对属于G的任意g和对属于H的任意h , 有φ_g(H)属于H

⟺对G内任意内自同构φ , 有φ(H)包含于H ,

习题17设C(G)是群G的中心 , φ属于Aut(G) , 试证明φ(C(G))包含于C(G) ,

证明: 对属于G的任意b , 存在有属于G的c , 使得φ(c)=b ,

对属于C(G)任意a有ac=ca ,

且(a)b=φ(a)φ(c)=φ(ac)=φ(ca)=φ(c)φ(a)=bφ(a) ,

所以φ(C(G))包含于C(G) ,

习题18试证明有理数加法群的任一有限生成子群都是循环群 ,

证明: 设A=$\left\{ \frac{a_{1}}{b_{1}},\frac{a_{2}}{b_{1}},\cdots,\frac{a_{m}}{b_{m}} \right\}$ , 其中a_i , b_i属于Z , b_i不等于0 , i=1 , 2 , ⋯ , m ,

通过通分可以设b₁=b₂=⋯=b_m=b ,

令B={a₁ , a₂ , ⋯ , a_m} , 则⟨A⟩≅⟨B⟩ , 而⟨B⟩是整数加法群的子群 , 是循环群 ,

所以⟨A⟩是循环群 ,

习题19若群G的自同构群是1阶群 , 则G是交换群 ,

证明: 对属于G的任意g , 定义映射φ: G→G , 使得φ(a)=gag^‒1 ,

因φ是G的自同构映射 , 从而φ=id_G , 则gag^‒1=a , G是交换群 ,

习题20求群Z_n的所有自同态和自同构 ,

证明: 对s=0 , 1 , ⋯ , n‒1 , 令φ($\overline{a}$)=a$\overline{s}$ , 则nφ($\overline{1}$)=$\overline{0}$ ,

由习题12和习题13可知 , φ是Z_n的(满)自同态映射 ,

若由a$\overline{s}$=$\overline{0}$一定能推出$\overline{a}$=$\overline{0}$ , 即由n|as一定能推出n|a , 则需要(n , s)=1 ,

所以当φ满足φ($\overline{a}$)=a$\overline{s}$ , (n , s)=l时 , φ是Z_n的自同构

习题21证明非交换群的内自同构群不能是循环群 ,

证明: 根据[习题2.4题10]G/C(G)≅Int(G) ,

根据[习题2.3题10]若G/C(G)是循环群 , 则G是交换群 ,

习题22求克莱因四元群K₄={(1) , (12)(34) , (13)(24) , (14)(23)}的自同构群

解: 若φ是K₄的自同构 , 则φ: (1)→(1) , 而对于其余三个元素 ,

φ将它们做了一个置换 , 因此 , K₄的自同构群与S₃同构 ,

习题23设群G只有有限个子群 , φ是G的自同态 ,

试证明若φ是满射 , 则φ是单射 ,

证明: 由群同态基本定理得G/Ker φ≅G ,

即G的子群个数与G/Ker φ的子群个数相等 ,

再由[第二章定理3.3]知 ,

G/Ker φ的子群个数与G的包含Ker φ的子群个数相等 ,

因此 , G的子群个数与G的包含Ker φ的子群个数相等 ,

因此所有子群包含Ker φ , 当然Ker φ包含于{0} , 所以φ是单射 ,