定义3.1设H是群G的子群 , a属于G ,

称集合aH(或Ha)为H的左陪集(或右陪集) , 称a为aH(或Ha)的代表元 ,

显然 , 对属于H的任意h , 有hH=H , 特别地 , eH=H ,

若G是交换群 , 则aH=Ha , 此时左陪集aH(或右陪集Ha)可以记为a+H ,

例3.1试求Z₄的等于{$\overline{0}$ , $\overline{2}$}的子群H的所有左陪集 ,

解: 因为$\overline{0}$+H={$\overline{0}$ , $\overline{2}$}=H , $\overline{1}$+H={$\overline{1}$ , $\overline{3}$} , $\overline{2}$+H={$\overline{0}$ , $\overline{2}$} , $\overline{3}$+H={$\overline{3}$ , $\overline{1}$} ,

所以H的所有左陪集为H和$\overline{1}$+H ,

例3.2试求S₃的等于{(1) , (13)}的子群K的所有左陪集和右陪集 ,

解: 因为(1)K={(1) , (13)}=(13)K ,

(12)K={(12) , (132)}=(132)K ,

(23)K={(23) , (123)}=(123)K ,

所以K的所有左陪集为K , (12)K和(23)K ,

因为K(1)={(1) , (13)}=K(13) ,

K(12)={(12) , (123)}=K(123) ,

K(23)={(23) , (132)}=K(132) ,

所以K的所有右陪集为K , K(12)和K(23) ,

注意 , (12)K≠K(12) , (23)K≠K(23) ,

例3.3试求整数加法群Z的子群⟨n⟩的所有左陪集 ,

解: 因为⟨n⟩={nr|r∈Z} ,

所以⟨n⟩的所有左陪集为: 0+⟨n⟩=$\overline{0}$ , 1+⟨n⟩=$\overline{1}$ , ⋯ , n‒1+⟨n⟩=$\overline{n - 1}$

即⟨n⟩的所有左陪集构成的集合就是模n的剩余类集合Z_n ,

命题3.1设H是群G的子群 , 则对属于G的任意a , b , 下列结论等价:

(1)aH=bH ;

(2)b属于aH ;

(3)存在属于H的h , 使得b=ah ;

(4)a^‒1b属于H ,

证: (2)⇒(3)⇒(4)是显然的 , 所以我们仅需给出(1)⇒(2)和(4)⇒(1)的证明 ,

(1)⇒(2)因为e属于H , 所以b=be 属于 bH=aH ,

(4)⇒(1)令a^‒1b=h , 则b=ah ,

所以对属于H的任意h' , 有bh'=ahh' 属于 aH , 即bH包含于aH ,

类似地 , 由a=bh^‒1可得aH包含于bH , 因此 , aH=bH ,

以上结论对于右陪集同样成立 ,

命题3.2设H是群G的子群 , 则

(1)对属于群G的任意a , 都有a属于aH ,

(2)对属于群G的任意a , b , 都有aH=bH或者aH⋂bH=⌀

$$(3)G = \bigcup_{a \in G}^{}{aH}$$

证(2): 如果(aH⋂bH)不等于空集 , 则存在属于(aH⋂bH)的元素x ,

由命题3.1得aH=xH=bH , 所以aH=bH ,

命题3.2说明 , 当给定一个群的子群时 ,

这个子群的所有左陪集构成的集合就是该群的一个分类 ,

当然上述关于左陪集的结论对右陪集也同样成立 ,

定义3.2设G是群 , H是G的子群 ,

称H的互不相同的左陪集的个数为H在群G中的指数 , 记为|G : H| ,

定理3.1设G是有限群 , H是G的子群 , 则|G|=|G : H||H| ,

证: 在子群H与它的任一个左陪集aH之间存在一个双射: φ: H→aH , h→ah ,

因此|H|=|aH| ,

由命题3.2知 , 左陪集的集合是G的一个分类 , 所以|G|=|G : H||H| ,

类似地 , 在子群H与它的任一个右陪集之间也存在双射 ,

因而 , 左陪集和右陪集所含元素的个数相等 ,

推论3.1有限群G的子群H的阶是G的阶的因数 ,

显然 , 素数阶群仅有平凡子群 ,

例如交错群A₃和剩余类加法群{Z_p ; +}都只有平凡子群 , (p是素数) ,

推论3.2设H , K是有限群G的子群 , 若H包含于K , 则|G : H|=|G : K||K : H|

下面我们对陪集的结构和性质作进一步的考察 ,

即把所有陪集作为一个整体来考察 , 看它能否构成一个群?

以左陪集为例进行分析 ,

令G是群 , H是G的子群 , H的所有左陪集构成的集合为Σ_H={aH|a∈G} ,

我们知道在群G的子集间有乘法运算

即对属于集合Σ_H的任意aH , bH , 有(aH)(bH)=aHbH ,

但这个运算不一定是Σ_H的运算 , 即aHbH不一定是左陪集 ,

要想使得aHbH是左陪集 , 一个最简单、直接的方式就是:

子群H满足等式aH=Ha(任意a属于G) , 则此时一定有(aH)(bH)=aHbH=abH

那么 , 这样的子群存在吗?

很明显 , 如果群G是交换群 , 则G的任意子群都满足上述要求的条件 ,

但是 , 如果群G不是交换群呢?

例3.4令等于{(1) , (13)}的K是对称群S₃的一个子群 ,

在例3.2中 , 我们得到(12)K不等于K(12) ,

但是 , 如果我们考虑对称群S₃的等于{(1) , (123) , (132)}的子群A₃ ,

则可以验证它可使等式aA₃=A₃a成立 , (任意a属于S₃) ,

上面的例子说明 ,

对于一个群G来说 , 并不是所有的子群都能满足我们希望具备的条件 ,

但是 , 我们希望子群具备这个条件 , 而且也确实有子群满足这样的条件 ,

定义3.3设H是群G的子群 , 若对属于群G的任意a都有aH=Ha ,

则称H是G的正规子群 , 记为H◁G ,

交换群的任意子群都是正规子群 , 另外 , {e} , G和C(G)都是群G的正规子群 ,

定理3.2令H是群G的正规子群 ,

若Σ_H={aH|a∈G} , 则Σ_H关于集合的乘法运算是群 ,

我们称Σ_H这个群为G的关于H的商群 , 并记为G/H ,

证: 由于对属于Σ_H的任意aH , bH , cH ,

总存在有(aH)(bH)=aHbH=abHH=abH属于Σ_H

和((aH)(bH))(cH)=(abH)(cH)=abcH=(aH)(bcH)=(aH)((bH)(cH)) ,

所以集合的乘法运算是Σ_H上的一个运算 , 且这个运算满足结合律 ,

又由于有H(aH)=(eH)(aH)=eaH=aH和(a^‒1H)(aH)=eH=H ,

所以H是Σ_H的单位元 , a^‒1H是aH的逆元 ,

这就是说Σ_H关于集合的乘法运算是群 ,

若将商群中的元素gH简记为$\overline{g}$ ,

则有G/H={$\overline{g}$|g∈H} , 且$\overline{g}$₁$\overline{g}$₂=$\overline{g_{1}g_{2}}$ , $\overline{e}$=H , ($\overline{g}$)^‒1=$\overline{g^{- 1}}$ ,

若G是有限群 , 则由定理3.1可知 , G/H的阶(左陪集的个数)是G的阶的因数

例3.5 H={$\overline{0}$ , $\overline{3}$}是群{Z₆ ; +}的正规子群 , 试求商群Z₆/H中的所有元素 ,

解: 因为H在Z₆中的左陪集有三个: $\overline{0}$+H , $\overline{1}$+H和$\overline{2}$+H ,

所以Z₆/H={$\overline{0}$+H , $\overline{1}$+H , $\overline{2}$+H}={$\overline{\overline{0}}$ , $\overline{\overline{1}}$ , $\overline{\overline{2}}$} ,

例3.6交错群A₃是对称群S₃的正规子群 , 试求商群S₃/A₃中所有元素

解: 因为$\frac{\left| S_{3} \right|}{\left| A_{3} \right|}$=2 , 所以A₃在S₃中的左陪集有两个: A₃和(12)A₃ ,

从而 , S₃/A₃={A₃和(12)A₃}

定理3.3若H是群G的正规子群 , 则

(1)G的包含H的子群与G/H的子群一一对应 ,

特别地 , G/H的任意一个子群形如K/H , 其中K是G的包含H的子群 ;

(2)G的包含H的正规子群与G/H的正规子群一一对应 , ,

证(1): 令G的包含H的子群构成的集合为A , G/H的子群构成的集合为B ,

若K属于A , 则H是K的正规子群 , 且商群K/H是G/H的子群 ,

定义映射φ: A→B , K→K/H , 则可证明φ是双射 ,

因为若K₁/H=K₂/H , 则对属于K₁的任意k₁ , 存在属于K₂的k₂ , 使得k₁H=k₂H ,

从而存在属于H的h , 使得k₁=k₂h属于K₂

因此 , K₁包含于K_{2 ,} 同样地 , 我们有K₂包含于K₁ ,

所以K₁=K₂ , 这说明φ是单射

若$\overline{K}$是G/H的子群 , 则等于{k∈G|kH∈$\overline{K}$}的K是G的包含H的子群 , 且φ(K)=$\overline{K}$

这说明φ是满射 , 因而φ是双射 ,

由此也得到 , G/H的任意一个子群形如K/H , 其中K是G的包含H的子群 ,

下面我们给出正规子群的一些判别方法 ,

根据本章例2.5 , 我们容易知道:

若H是群的子群 , 则H是G的正规子群的充分必要条件是N_G(H)=G ,

定理3.4设H是群G的子群 , 则下列条件等价:

(1)H是G的正规子群

(2)对属于群G的任意g , 都有的gHg^‒1等于H

(3)对属于群G的任意g , 都有gHg^‒1包含于H

(4)对属于群H的任意h , 属于群G的任意g , 都有ghg^‒1属于H

例3.7试证明特殊线性群SL_n(R)是一般线性群CL_n(R)的正规子群 ,

证: 我们已经知道 , SL_n(R)是CL_n(R)的子群 ,

另外 , 对属于SL_n(R)的任意A , 和对属于CL_n(R)的任意B都有det(BAB^‒1)=det(A)=1 , 所以BAB^‒1属于SL_n(R) ,

由定理3.4可知SL_n(R)是CL_n(R)的正规子群 ,

例3.8证明指数为2的子群是正规子群 ,

证: 若H是群G的指数为2的子群 , 则左右陪集各有两个 ,

对属于群G的任意a ,

若a属于H , 则aH=Ha=H ;

若a不属于H , 则有左陪集集合Σ_H={H , aH}和右陪集集合$\Sigma_{H}^{\ '}$等于{H , Ha} ,

因为Σ_H和$\Sigma_{H}^{\ '}$都是群G的一个分类 , 因此aH=Ha ,

所以 , 根据定义3.3可知 , H是G的正规子群 ,

因为|S_n: A_n|=$\frac{\left| S_{n} \right|}{\left| A_{n} \right|}$==2 , 因此 , 交错群A_n是对称群S_n的正规子群 ,

例3.9若H是群G的n阶子群 , 且G的阶为n的子群只有一个 ,

试证明H是群G的正规子群 ,

证: 易知 , 对属于群G的任意g , 有gHg^‒1是G的阶为n的子群 ,

从而gHg^‒1=H , gH=Hg , 所以 , H是G的正规子群 ,

若称gHg^‒1为H的共轭子群 , 则H是G的正规子群的充分必要条件是

H的共轭子群只有一个 , 就是H本身 ,

最后 , 我们简单介绍一下后文将用到的交错群A_n的单群性质 ,

定义3.4设G是群 , 若|G|>1且G的正规子群仅有G和{e} , 则称G是单群 ,

显然 , 任意素数阶群都是单群 ,

例如交错群A₃(3阶群)和剩余类加法群Z_p(p是素数)都是单群 ,

而且A₃和Z_p还是交换单群 ,

下面我们将证明交错群A_n(n⩾5)也是单群 ,

引理3.1设等于(i₁i₂⋯i_t)的σ是对称群S_n中的一个轮换 ,

则对属于群S_n的任意τ , 有τστ^‒1=(τ(i₁)τ(i₂)⋯τ(i_t)) ,

证: 显然 , τστ^‒1(τ(i_t))=τσ(i_t)=τ(i₁) ,

若1⩽j<t , 则有τστ^‒1(τ(i_j))=τσ(i_j)=τ(i_j+1) ,

若k属于{1 , 2 , ⋯ , n}‒{τ(i₁) , τ(i₂) , ⋯ , τ(i_t)} , 即k≠τ(i_j) , 1⩽j<t ,

那么τ^‒1(k)不属于{i₁i₂⋯i_t} ,

因而σ(τ^‒1(k))=τ^‒1(k) , τσ(τ^‒1(k))=k , 结论得证 ,

定理3.5若n⩾5 , 则交错群A_n是单群 ,

证: 设H是A_n的正规子群 , 且H不等于{(1)} , 下面我们证明H等于A_n

因为任意偶置换可以写成3轮换(长度为3的轮换)的乘积 ,

因此我们仅需要证明H包含所有的3轮换

对属于S_n的任意σ , 如果σ(i)等于i , 则称i是σ的不动点 ,

下面我们用d(σ)表示σ的不动点的个数 ,

若不等于(1)的σ是H中有不动点个数最多的元素(这样的元素是存在的) ,

则可证明σ是3轮换 , 即d(σ)等于n‒3 ,

事实上 , 若d(σ)不等于n‒3 , 则d(σ)小于n‒3

(显然 , d(σ)不会等于n和n‒1 ,

又因为属于H的σ是偶置换 , 因此 , d(σ)不等于n‒2)

将σ表示成不相交的轮换的乘积 , 并将最长的轮换写在最左边 ,

不妨设σ=(123⋯)⋯(最长轮换的长度大于等于3)

或σ=(12)(34)⋯(最长轮换的长度为2)

并取属于A_n的τ等于(345) ,

因为H是A_n的正规子群 , 因此有tστ^‒1属于H , 进而有σ^‒1τστ^‒1属于H ,

令σ^‒1τστ^‒1等于δ ,

若d(σ)等于n‒4 , 则σ等于(12)(34)(等于(1234)的σ不是偶置换) ,

从而δ=σ^‒1τστ^‒1

=(34)(12)(345)(12)(34)(354)

=(34)(12)(34)(45)(12)(34)(34)(35)

=(45)(35)

=(453)

=τ ,

即d(δ)等于n‒3 , 这与σ的取法矛盾 ,

若d(σ)小于n‒4 , 即至少有5个元素在σ的作用下发生变化 ,

若σ(i)=i , 则i大于5 , 从而 , τ(i)=i ,

因此δ(i)=i , 即在σ作用下不动的元素在δ作用下也不动 ,

然而δ(1)=σ^‒1τστ^‒1(1)=σ^‒1τσ(1)=σ^‒1τ(2)=σ^‒1(2)=1 ,

所以d(δ)大于d(σ) , 但这与σ的取法矛盾 ,

因此假设不成立 , 所以只能有d(σ)=n‒3 ,

下面证明H包含A_n中所有的3轮换 ,

不妨设上述属于H的σ等于(123) ,

对属于A的任意(ijk) , 在A_n中取元素$\omega = \left( \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 & 2 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 3 & 4\ \ \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 5\ \ & \cdots & n\ \ \end{matrix} \\ \begin{matrix} i & j \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \begin{matrix} k & t_{4} \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} t_{5} & \cdots & t_{n} \end{matrix} \end{array} \right)$

(注意 , 若ω不是偶置换 , 则可以取ω'=(t₄t₅)ω , )

则由引理3 , 1有ωσω'=(ω(1)ω(2)ω(3))=(ijk) ,

又因H是A_n的正规子群 , 所以(ijk)属于H ,

习题