1 , 设H是群G的子群 , 则H的所有左陪集中是否有G的子群?

都是哪些?为什么?

解: 若aH是G的子群 , 则存在有属于H的h , 使得ah等于e ,

从而有a=h^‒1 ∈ H , aH=H , 即左陪集中仅有H是G的子群 ,

2 , 求剩余类加法群Z₁₂的等于{$\overline{0}$ , $\overline{4}$ , $\overline{8}$}的子群H的所有左陪集 ,

解: 等于{$\overline{0}$ , $\overline{4}$ , $\overline{8}$}的子群H的所有左陪集为H , $\overline{1}$+H , $\overline{2}$+H , $\overline{3}$+H ,

3 , 试用拉格朗日定理证明每一个p(p是素数)阶群都是循环群 ,

并且该循环群以每一个非单位元作为它的生成元 ,

证明: 设G是p阶群 , 不等于e的任意a属于G , a的阶是p的因数且不等于1

所以a的阶是p , ⟨a⟩=G ,

4 , 试证明定理3.4 ,

证明: (1)⇒(2) , 由于H是G的正规子群 , 从而对属于群G的任意g , 都有gH=Hg , 因此gHg^‒1=H ,

(2)⇒(3) , (3)⇒(4)显然成立

(4)⇒(1) , 由ghg^‒1属于H , 任意h属于H和任意g属于G , 可知gHg^‒1包含于H

另一方面 , 对属于H的任意h , 都有h=g(g^‒1hg)g^‒1 ,

由于g^‒1属于G , 从而g^‒1hg属于H , 即h属于gHg^‒1 ,

由H的任意性可知H包含于gHg^‒1 ,

故H等于gHg^‒1 , 即gH等于Hg , 故H是G的正规子群

5 , 写出商群GL_n(R)/SL_n(R)中的单位元和每个元素的逆元 ,

解: 单位元为SL_n(R) , 元素ASL_n(R)的逆元为A^‒1SL_n(R) ,

6 , 设等于{$\overline{0}$ , $\overline{4}$}的H是{Z₈ ; +}的子群 , 试求商群Z₈/H的所有元素 ,

解: 商群Z₈/H有四个元素: H , $\overline{1}$+H , $\overline{2}$+H , $\overline{3}$+H

7 , 试找出S₃的所有正规子群和商群 , 并计算每个商群的阶 ,

解: |S₃|=6 , S₃的子群的阶为1 , 2 , 3 , 6 ,

1阶子群为{(1)} , 6阶子群为S₃ , 2 , 3阶子群为循环群 ,

所以S₃的2阶子群为⟨(12)⟩ , ⟨(13)⟩ , ⟨(23)⟩ ,

3阶子群为⟨(123)⟩=⟨(123)⟩ ,

由于(123)(12)(123)^‒1=(123)(12)(132)=(23)不属于⟨(12)⟩ ,

因此⟨(12)⟩不是正规子群 ,

同理⟨(13)⟩ , ⟨(23)⟩不是正规子群 ,

又因指数为2的子群是正规子群 , 从而⟨(123)⟩=⟨(132)⟩是S₃的正规子群 ,

因此S₃的全部正规子群为{(1)} , ⟨(123)⟩ , S₃

且S₃的商群的阶分别为|S₃/{(1)}|=6 , |S₃/⟨(123)⟩|=2 , |S₃/S₃|=1 ,

8 , 已知G=$\left\{ \pm \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}， \pm \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{pmatrix}， \pm \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & - i \end{pmatrix}， \pm \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix} \right\}$

关于矩阵的乘法是群 , 试证明G的每个子群都是正规子群 , 其中i是虚数单位 ,

证明: |G|=8 , 所以由拉格朗日定理知G有1 , 2 , 4 , 8阶子群 ,

1 , 8阶子群是正规子群 , 4阶子群的指数为2 , 也是正规子群 ,

在G中只有一个2阶子群$\left\{ \pm \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right\}$ , 易知$\left\{ \pm \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right\}$为正规子群 ,

9 , 令H={(1) , (13)} , K={(1) , (13) , (24) , (13)(24)}

和G={(1) , (13) , (24) , (13)(24) , (12)(34) , (14)(23) , (1234) , (1432)}

是对称群S₄的子群 ,

试证明H是K的正规子群 , K是G的正规子群 , 但H不是G的正规子群 ,

证明: $\frac{|G|}{|K|}$=2 , $\frac{|K|}{|H|}$=2 , 所以K是G的正规子群 , H是K的正规子群 ,

而(1234)(13)(1234)^‒1=(24)不属于H , 所以H不是G的正规子群 ,

10 , 设C(G)是群G的中心 , G/C(G)是循环群 , 证明G是交换群 ,

证明: 设G/C(G)=⟨$\overline{a}$⟩ , a属于G ,

则对属于群G的任意x , y , 存在属于Z的k , l , 使$\overline{x}$=$\overline{a}$^k , $\overline{y}$=$\overline{a}$^l

于是存在属于C(G)的c₁ , c₂ , 使得x=a^kc₁ , y=a^lc₂

从而xy=a^kc₁a^lc₂=a^ka^lc₂c₁=a^la^kc₂c₁=a^lc₂a^kc₁=yx , 所以G为交换群 ,

11 , 设H是群G的非空子集 ,

试证明H在G中的中心化子C_G(H)是正规化子N_G(H)的正规子群 ,

解: 显然 , C_G(H)包含于N_G(H) ,

对属于C_G(H)的任意a , 对属于N_G(H)的任意b , 和对属于H的任意h

存在有属于H的h' , 使得b^‒1h=h'b^‒1

所以(bab^‒1)h=bah'b^‒1=bh'ab^‒1=hbab^‒1

12 , 设H是群G的子群 , 试证明H是N_G(H)的正规子群 ,

证明: 显然H是它的等于{g∈G|gHg^‒1=H}的正规化子N_G(H)的子群 ,

对属于H的任意h , 和对属于N_G(H)的任意g , 有ghg^‒1属于H ,

所以H是N_G(H)的正规子群 ,

13 , 设H , K是群G的正规子群 , 试证明

(1)HK是G的正规子群 ;

(2)若H⋂K = {e} , 则对属于H的任意h和对属于K的任意k , 都有hk=kh ,

证明: (1)由子群的判别定理可知HK是群G的子群 ,

对属于H的任意h , 对属于K的任意k和对属于G的任意g ,

都有g(hk)g^‒1=(ghg^‒1)(gkg^‒1)属于HK , 所以HK是G的正规子群 ,

(2)hkh^‒1k^‒1属于(H⋂K)

14 , 设H是群G的正规子群 , 若|H|=2 , 试证明H包含于C(G) ,

证明: 设等于{e , a}的H是群G的正规子群 ,

对属于群G的任意g , 有gag^‒1属于H

因为gag^‒1 ≠ e , gag^‒1 = a , 即ga=ag , 所以H含于群G的中心 ,

15 , 设H , K是群G的有限子群 , 试证明|HK|=$\frac{|H||K|}{|H \cap K|}$

证明: HK是所有形如hK的左陪集的并 , 设左陪集个数为n , 则|HK|=n|K| ,

设H⋂K在H中左陪集个数为m , 证m=n即可 ,

又显然hK→h(H⋂K)是双射 , 故m=n ,

习题1证明有限群G的子群H的左陪集的个数和右陪集的个数相等 ,

证明: 因为φ: H→aH , h→ah是双射 ,

所以左陪集的个数等于G的阶数除以H的阶数 ,

同理右陪集的个数也等于G的阶数除以H的阶数 , 因此左、右陪集的个数相等

习题2在Z中求子群⟨4⟩的所有左陪集 ,

解: 子群⟨4⟩的所有左陪集为⟨4⟩ , 1+⟨4⟩ , 2+⟨4⟩ , 3+⟨4⟩ ,

习题3证明1 , 2 , 3 , 4 , 5阶群是交换群 , S₃不是交换群 ,

证明: 显然 , 1阶群是交换群 ,

因为素数阶群是循环群 , 循环群是交换群 , 所以2、3、5阶群是交换群 ,

设4阶群为{e , a , b , c} , 由群的消去律知ab≠e和ac≠e中至少有一个成立 ,

不妨设ab≠e , 则ab=c , 若ba=e , 则ab=e , 矛盾 ,

所以ba≠e , ba=c , 即4阶群为交换群 ,

在S₃中(12)(13)≠(13)(12) , 所以S₃不是交换群 ,

习题4判断下列集合关于集合的乘法运算是否是群:

(1)G={aH|a∈S₃} , 其中H={(12)}⊆S₃

(2)G={aH|a∈S₃} , 其中H={(12) , (123)}⊆S₃

(3)G={aH|a∈S₃} , 其中H={(1) , (123) , (132)}⊆S₃

(4)G={aH|a∈S₃} , 其中H={(1) , (12)}⊆S₃

(5)G={aH|a∈Z} , 其中H={0 , ±3 , ±6 , ±9 , ⋯}⊆Z

(6)G={aH|a∈Z} , 其中H={0 , 3 , 6 , 9 , ⋯}⊆Z

解: (3)和(5)中的H是正规子群 , 因此G关于集合的乘法运算是群 ,

(1)因为aHbH={a(12)b(12)} , 即aHbH=cH , c=a(12)b , 所以G是半群 ,

显然 , (12)H是单位元 , aH的逆元为{(12)a^‒1}=(12)a^‒1(12)H , 因此G是群 ,

(2)若a=(13) , b=(23) , 则aHbH={(1) , (13) , (23) , (132)}不属于G ,

所以G不是群 ,

(4)若a=(13) , b=(23) , 则aHbH={(1) , (12) , (23) , (132)}不属于G ,

所以G不是群 ,

(6)因为HH=H , aHbH=abH , 所以G是群 ,

习题5证明正规子群与子群的乘积是子群 ,

证明: 设H是群G的正规子群 , K是G的子群 , 下证HK , KH是G的子群 ,

对属于群H的任意h₁ , h₂ , 和对属于群K的任意k₁ , k₂ ,

有(h₁k₁)(h₂k₂)^‒1=h₁(k₁$k_{2}^{- 1}$)$h_{2}^{- 1}$(k₂$k_{1}^{- 1}$)(k₁$k_{2}^{- 1}$) ,

因为H是G的正规子群 , K是G的子群 ,

所以(k₁$k_{2}^{- 1}$)$h_{2}^{- 1}$(k₂$k_{1}^{- 1}$)属于H , k₁$k_{2}^{- 1}$属于K ,

从而(h₁k₁)(h₂k₂)^‒1属于HK , 即HK是G的子群 ,

因为HK是子群 , 所以KH=HK是G的子群 ,

习题6举例说明子群的乘积不一定是子群

解: S₃的子群H={(1) , (12)}和K={(1) , (13)}的乘积

HK={(1) , (13) , (12) , (132)}不是S₃的子群

习题7证明群的中心是正规子群 ,

证明: 设群G的中心为C , C是G的子群 ,

且对属于群G的任意g和对属于群C的x , 都有gxg^‒1=xgg^‒1=x属于C

所以C是G的正规子群 ,

习题8设H是群C的子群 ,

试证明当且仅当H是正规子群时 , H的任意两个左陪集的乘积仍是左陪集 ,

证明: 必要性 , 对任意两个左陪集xH , yH ,

设xHyH=zH , 则xy=xeye属于zH , 从而xyH=zH , 即xHyH=xyH ,

对属于群G的任意x , 都有xHx^‒1H=H ,

所以对属于群H的任意h , 都有xhx^‒1属于H ,

从而xh属于Hx , 即xH包含于Hx ,

同理可证Hx包含于xH , 所以xH=Hx , H是正规子群 ,

充分性显然 ,

习题9令H={A∈GL_n(R)|det(A)=±1} , 试证明H是GL_n(R)的正规子群 ,

证明: 设g属于GL_n(R) , h属于H , 则det(ghg^‒1)=det(h)=±1 ,

所以ghg^‒1属于H , H是GL_n(R)的正规子群 ,

习题10令H={(a_ij) ∈ GL_n(R)|a_ij=0 , i≠j} , 试证明H不是GL_n(R)的正规子群 ,

证明: 设h=(a_ij)属于H , a₁₁≠a₂₂ , g=E+E₁₂ ,

则ghg^‒1=(E+E₁₂)h(E‒E₁₂)=h+(a₂₂‒a₁₁)E₁₂不属于H ,

所以H不是GL_n(R)的正规子群 ,

习题11设H是C的正规子群 ,

试证明当且仅当a^‒1b^‒1ab属于H时 , G/H是交换群 , 其中任意a , b属于G ,

证明: G/H是交换群⟺$\overline{a}\ \overline{b}$⟺ $\overline{b}\overline{a}$ ⟺abH⟺baH⟺a^‒1b^‒1ab属于H ,

习题12由群G的元素a , b所做成的元素a^‒1b^‒1ab=[a , b]叫做a与b的换位子 ,

G中所有换位子生成的子群叫做G的换位子群 , 记作[G , G] ,

试证明

(1)[G , G]是G的正规子群 ;

(2)G/[G , G]是交换群 ;

(3)如果H是G的正规子群且G/H为交换群 , 那么[G , G]是H的子群

证明:

(1)对属于群G的任意a , b , g , 有

g[a , b]g^‒1=ga^‒1b^‒1abg^‒1=(ga^‒1g^‒1)(gb^‒1g^‒1)(gag^‒1)(gbg^‒1)=[gag^‒1 , gbg^‒1]∈[G , G]

因此[G , G]是G的正规子群 ,

(2)由上题可知 ,

(3)对属于群G的任意a , b , 因为G/H是交换群 , 所以(ab)H=(ba)H ,

又因为H是G的正规子群 , 所以(ba)^‒1(ab)∈H , [a , b]∈H , 故[G , G]是H的子群

习题13求S₃ , A₄的换位子群 ,

解:

(1)S₃的正规子群仅有H={(1)} , A₃={(1) , (123 , )(132)} , S₃

而S₃/H≅S₃不是交换群 , S₃/A₃={$\overline{(1)}$ , $\overline{(12)}$}为交换群 ,

再有群G的换位子群[G , G]是使商群G/H为交换群的最小正规子群H ,

则群S₃的换位子群为A₃={(1) , (123 , ) , (132)} ,

(2)因为A₄不是交换群 , 所以[A₄ , A₄]不等于{(1)} ,

令K={(1) , (12)(34) , (14)(23) , (13)(24)} , 易知K为A₄的正规子群 ,

又因为商群A₄/K为3阶群 , 因此是循环群 , 从而就是交换群 ,

所以[A₄ , A₄]是K的子群 ,

又因为K中的子群只有{(1)}与K本身是G的正规子群 , 而[A₄ , A₄]不等于{(1)} ,

所以[A₄ , A₄]=K ,

习题14试证明交换群的商群还是交换群 ,

证明: 设H是交换群G的子群 , 则对属于G/H的任意xH , yH

有(xH)(yH)=(xyH)=(yxH)=(yH)(xH) ,

所以G/H是交换群 ,

习题15分别求商群Z/⟨6⟩和S_n/A_n的所有子群 ,

解: Z中包含⟨6⟩的子群有⟨1⟩ , ⟨2⟩ , ⟨3⟩ , ⟨6⟩

所以Z/⟨6⟩的子群有⟨1⟩/⟨6⟩ , ⟨2⟩/⟨6⟩ , ⟨3⟩/⟨6⟩ , ⟨6⟩/⟨6⟩ ,

S_n/A_n的阶为2 , 子群为平凡子群A_n/A_n和S_n/A_n ,

习题16试证明当且仅当G/H是单群时 , H是G的极大正规子群 ,

证明: 必要性 , 若K/H是G/H的正规子群 ,

则由[第二章定理3.3]可知 , K是G的包含H的正规子群 ,

由H的极大性可知 , K=H或K=G ,

从而K/H是G/H的平凡正规子群 , G/H是单群 ,

充分性 , K是G的包含H的正规子群 , 则K/H是G/H的正规子群 ,

因为G/H是单群 , 所以K=H或K=G , 因此 , H是G的极大正规子群

习题17设p , q是两个素数且p小于q , 试证明pq阶群G最多有一个q阶子群

证明: 设H , K是G的两个q阶子群 , 则H⋂K是H的子群 ,

由拉格朗日定理可知|H⋂K|=1或q , 由[习题2.3的题15]得|H⋂K||HK|=q²

若|H⋂K|=1 , 则|HK|=q²大于|G| , 矛盾 , 所以|H⋂K|=q , 从而H=K

习题18试证明S_n可由n‒1个对换(12) , (13) , ⋯ , (1n)生成

证明: 根据[第二章引理3.1] ,

若σ=(i₁i₂⋯i_t)是S_n的一个轮换 , τ是S_n的任意一个置换 ,

则τστ^‒1=(τ(i₁)τ(i₂)⋯τ(i_t)) , 那么(ij)=(1i)(1j)(li) ,

习题19试证明S_n可由n‒1个对换(12) , (23) , (34) , ⋯ , (n‒1 , n)生成

证明: (23)(34)⋯(i‒1 , i)=(23⋯i) ,

令τ^‒1=(2⋯i) , 则τ(12)τ^‒1=(1i) , 再由习题18得证 ,

习题20试证明S_n可由轮换(123⋯n)和(12)生成 ,

证明: 由(123⋯n)ⁱ(12)(123⋯n)^‒i=(1+i , 2+i)及习题19即可得证 ,

习题21设n大于2 , 证明S_n的中心为{(1)} ,

证明: 由上题知S_n由轮换(123⋯n)和(12)生成 ,

若σ属于S_n的中心 , 则σ与(123⋯n)和(12)可交换 ,

由(12)=σ(12)σ^‒1=(σ(1)σ(2))得σ(1)=1 , σ(2)=2或σ(1)=2 , σ(2)=1 ,

再由(12⋯n)=σ(12⋯n)σ^‒1=(σ(1)σ(2)⋯σ(n))知σ(1)=1 , σ(2)=2 , ⋯ , σ(n)=n ,

即σ=(1) , S_n的中心为{(1)} ,

习题22设n大于4 , 证明S_n中只有一个非平凡正规子群 ,

证明: 我们知道A_n是S_n的正规子群 ,

若H是S_n的另一个非平凡的正规子群 ,

则由A_n是单群可知A_n⋂H={(1)}或A_n⋂H=A_n ,

若A_n⋂H={(1)} , 则由|A_n⋂H||A_nH|=|A_n||H|及2|A_n|=|S_n|可知|H|=2 ,

根据[习题2.3的题14]知H含在S_n的中心中 , 这与上题结论矛盾 ,

若A_n⋂H=A_n , 则A_n包含于H , H中有奇置换 ,

若一个置换群含有奇置换 ,

则奇置换的个数不小于偶置换的个数 , 从而H=S_n矛盾 ,

综上 , S_n中只有三个正规子群: {(1)} , A_n , S_n