了解和认识代数结构的途径之一 , 就是先搞清楚其子结构 ,

即如果令G和G'是两个代数结构(例如是群结构) , 并且G≅G' ,

则当G中存在一个子结构H时 , 必定在G'中存在一个相对应的子结构H' ,

反之亦然 ,

也可以说 , 对于两个代数结构G和G' ,

如果在G中存在一个具有性质P的子结构H ,

但是在G'中根本不存在具有性质P的子结构 , 那么G≇G' ,

所以 , 研究子结构对于我们认识代数结构具有十分重要的意义 ,

定义2.1设{G ; ⦁}是群 , H是G的非空子集 ,

若“⦁”是H的运算 , 且{H ; ⦁}也是群 , 则称H是G的子群 ,

特别地 , 如果群G的子群H使不等式H≠G成立 , 则称H是G的真子群 ,

实际上 , 对于任意群G都有两个子群G和{e} , 称其为G的平凡子群 ,

G的其他子群(如果有的话)称为G的非平凡子群 ,

注意 , 若H是G的子群 , 则H的单位元和G的单位元相同 ,

事实上 , 若设e'是子群H的单位元 , 则e'e'=e' , 而在群G中我们有ee'=e' ,

因而 , e'e'=ee' , 根据群的消去律得e'=e ,

由群G和其子群H的单位元相同可知 ,

H中的元素在H中的逆元和在G中的逆元相同 ,

下面我们给出子群的判别定理 ,

定理2.1设H是群G的非空子集 , 则以下条件等价 :

(1)H是G的子群 ,

(2)对属于集合H的任意a , b , 有a^‒1属于H和ab属于H

(3)对属于集合H的任意a , b , 有ab^‒1属于H

证: (1)⇒(2)⇒(3)是显然的 , 现在证明(3)⇒(1) ,

因为H是G的非空子集 ,

所以对属于H的任意a , 由(3)有e=aa^‒1属于H , 即H有单位元 ,

又因对属于H的任意a , 有a^‒1=ea^‒1属于H , 即H中的任意元素有逆元 ,

对属于H的任意a , b , 有ab=a(b^‒1)^‒1属于H , 即G的运算也是H的运算 ,

且该运算满足结合律 ,

所以H关于G的运算是群 , 进而 , H是G的子群 ,

定理2.2设H是群G的非空有限子集 , 若G的运算也是H的运算

(即对属于H的任意h , k , 有hk属于H) , 则H是G的子群 ,

证: 因为G的运算也是H的运算 , 所以H关于G的运算是有限半群

另外 , 群G的消去律在其子集合H上同样成立 ,

因此 , 根据本章定理1.1可知 , H是G的子群 ,

例2.1证明SL_n(R)={A∈M_n(R)|det(A)=1}关于矩阵的乘法运算是群

(称为实数域上的n阶特殊线性群) ,

证: 显然 , SL_n(R)是一般线性群GL_n(R)的子集合 ,

又因对属于SL_n(R)的任意A , B , 有det(AB^‒1)=det(A)det(B)^‒1=1 ,

即AB^‒1属于SL_n(R) , 根据定理2.1知 , SL_n(R)是群 ,

例2.2设G是一个群 , 任意a属于G ,

试证明映射L_a : G→G , g→ag是G上的双变换

L(G)={L_a|a∈G}关于变换的乘法运算是一个群 ,

一般地 , 我们称L_a为G的左乘变换 , L(G)为群G的左乘变换群 ,

证: 对属于群G的任意g₁ , g₂ , 有ag₁=ag₂ ⟺ g₁=g₂ , 即L_a是G上的单变换

又由a(a^‒1g₁)=g₁ , 知a^‒1g₁是g₁的原像 , 即L_a是满变换 ,

因而L_a是G上的双变换

另外 , L(C)是全变换群S_G的子群 ,

事实上 , 对属于L(G)的任意L_a , L_b , 有L_aL_b=L_ab属于L(G) ,

进而(L_a)^‒1=$L_{a^{- 1}}$属于L(G) , 因此 , L(G)是S_G的子群 ,

例2.3设H是群G的非空子集 , 试证明C_G(H)={x∈G|xa=ax , ∀a∈H}是G的子群

证: 因为e属于C_G(H) , 所以C_G(H)是G的非空子集 ,

又因对属于集合C_G(H)的任意x , y , 和属于集合H的任意a , 我们有x^‒1a=x^‒1(ax)x^‒1=x^‒1(xa)x^‒1=ax^‒1 , 即x^‒1属于C_G(H) , ,

再由(xy)a=x(ay)=a(xy) , 即xy属于C_G(H) ,

所以根据定理2.1 , 知C_G(H)是G的子群

我们称群C_G(H)是H在G中的中心化子 ,

特别地 , 当H=G时 , 记C_G(G)=C(G) , 并称C(G)是G的中心 ,

明显地 , 群的中心是交换群 , 且群G是交换群的充分必要条件是G=C(G) ,

例2.4证明n次对称群S_n中的偶置换构成的集合A_n关于变换的乘法运算是群 ,

证: 因为A_n是S_n的有限子集合 , 且偶置换的合成是偶置换 ,

因此 , 根据定理2.2 , A_n关于变换的乘法运算是群 ,

一般地 , 全变换群的子群称为变换群 , n次对称群S_n的子群称为置换群 ,

特别地 , S_n的子群A_n称为n次交错群 ,

设G是群 , H , K是G的非空子集 , 我们规定H , K的乘积为HK={hk|h∈H , k∈K}

特别地 , 若K={a} , 则记HK=Ha , 类似地 , 可以定义aH ,

易知 , 群的子集的乘法运算满足结合律 ,

另外 , 我们也规定H^‒1={h^‒1|h∈H} ,

例2.5设H是群G的非空子集 , 试证明N_G(H)={x∈G|xHx^‒1=H}是G的子群 ,

称N_G(H)是H在G中的正规化子 ,

证: 因为e属于N_G(H) , 所以N_G(H)是G的非空子集 ,

另外 , 对属于N_G(H)的任意x , y , 有

xyH(xy)^‒1=x(yHy^‒1)x^‒1=xHx^‒1=H和x^‒1Hx=x^‒1(xHx^‒1)x=H ,

即xy和x^‒1属于N_G(H) ,

因此 , 根据定理2.1知 , N_G(H)是G的子群

例2.6证明H={(1) , (12)}和K={(1) , (13)}都是S₃的子群 , 并求HK ,

证: 因为(1)(1)=(1) , (1)(12)=(12) , (12)(12)=(1)都在H中 ,

所以根据定理2.2可知 , H是S₃的子群 ,

又因为(1)(1)=(1) , (1)(13)=(13) , (13)(13)=(1)都在K中 ,

所以根据定理2.2可知 , K是S₃的子群 ,

另外 , HK={(1) , (12) , (13) , (132)}

注意 , 因为(132)^‒1=(123)不属于HK , 所以HK不是S₃的子群

定理2.3若H和K是群G的子群 , 则

(1)H⋂K是群G的子群 ;

(2)HK是G的子群⟺HK=KH ;

(3)H⋃K是G的子群⟺H包含于K或者K包含于H ,

证: (1)G的单位元在H⋂K中 , 所以H⋂K非空 ,

对属于H⋂K的任意a , b , 易知ab^‒1属于H⋂K , 因此H⋂K是群G的子群 ,

(2)(⇒)设HK是G的子群 , 对属于HK的任意hk , 有(hk)^‒1属于HK ,

即存在属于H的h' , 和属于K的k' , 使得(hk)^‒1=h'k' ,

从而hk=(h'k')^‒1=(k')^‒1(h')^‒1属于KH , 即HK包含于KH ,

反之 , 对属于KH的任意kh , 有(kh)^‒1=h^‒1K^‒1属于HK , 而HK是G的子群 ,

因此HK的元素的逆元在HK中 , 即kh属于HK ,

从而KH包含于HK , 因此HK=KH ,

(⇐)设HK=KH , 显然e属于不为空集的HK ,

又因对属于H的任意h₁ , h₂ , 对属于群K的任意k₁ , k₂ ,

由已知条件HK=KH可知

一定存在有属于H的h' , 和存在有属于K的k' , 使得(k₁$k_{2}^{- 1}$)$h_{2}^{- 1}$=h'k' ,

从而(h₁k₁)(h₂k₂)^‒1=h₁(k₁$k_{2}^{- 1}h_{2}^{- 1}$)=h₁(h'k')属于HK ,

因此 , 根据定理2.1可知HK是G的子群 ,

(3)充分性是显然的 , 我们用反证法来证必要性 ,

若H包含于K和K包含于H都不成立 ,

则在H中存在有不属于K的h , 在K中存在有不属于H的k ,

但是h , k都属于H⋃K ,

因为H⋃K是G的子群 , 所以hk属于H⋃K , 从而hk属于H或hk属于K ,

若hk属于H , 则k=h^‒1hk属于H , 这与k不属于H矛盾 ,

若hk属于K , 则h=hkk^‒1属于K , 这与h不属于K矛盾 ,

因此假设不成立 , 即一定有H包含于K或者K包含于H ,

注意 , 定理2.3的结论(1)可以推广到多个子群的情形 ,

$$即若H_{i}(i属于I)是G的子群,则\bigcap_{i \in I}^{}H_{i}是G的子群$$

在考察群G的结构时 , 不仅其子群的结构能帮助我们更好地把握群C的结构 ,

另外 , 我们也不可避免地要考察其中元素的性质 ,

一般来说 , 通过确定G的尽可能少的元素的集合来把握群G的性质和结构 ,

例如 , 在线性代数中 , 我们可以通过基底来把握空间 ,

对于群 , 也有类似的方法

定义2.2设G是群 , A是G的非空子集 ,

称G的所有包含A的子群的交为A生成的子群 , 并记其为⟨A⟩ ,

特别地 , 如果G=⟨A⟩ , 那么称A是G的生成集 ,

也称集合A生成群G , 称A中的元素为G的生成元 ,

实际上 , 在没有特别说明的情况下 , 我们都希望生成集满足最小条件 ,

即⟨A⟩≠⟨A‒{a}⟩ , ∀a∈A

易知 , ⟨A⟩={a₁ , a₂⋯a_n| a_i ∈(A⋃A^‒1) , n=1 , 2 , ⋯} ,

一般地 , 我们把由有限个元素生成的群(|A|＜∞)叫做有限生成群 ,

特别地 , 把由属于G的一个元素a生成的群(A={a})叫做循环群 , 记为⟨a⟩ ,

显然 , ⟨a⟩={a^r | r ∈ Z}

例2.7易知 , n次单位根群G=⟨ε⟩(其中ε是n次本原单位根) ,

剩余类加法群Z_n=⟨$\overline{1}$⟩ , 整数加法群Z=⟨1⟩=⟨‒1⟩等都是循环群 ,

对属于集合Z的任意n生成的群为⟨n⟩={rn|r∈Z} ,

对属于集合Z₆的任意$\overline{2}$生成的群为⟨$\overline{2}$⟩={$\overline{0}$ , $\overline{2}$ , $\overline{4}$} ,

例2.8试确定整数加法群Z的所有子群 ,

解: 设H是Z的子群 , 若H不等于{0} , 则在H中存在最小正整数 , 设为n ,

对属于H的任意m , 由整数的带余除法有m=nq+r ,

其中q , r都属于Z , 而r大于等于0且小于n ,

因为属于H的r=m‒nq , 所以由n的取法可知r=0 ,

即m=nq属于⟨n⟩ , 故H包含于⟨n⟩ ,

而n属于H , 由生成群的定义有⟨n⟩包含于H ,

因此 , H=⟨n⟩ , 即整数加法群的子群都是循环群 ,

而且是由子群中的最小正整数生成的 ,

习题