1 , 试证明所有形如$\begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$的3×3实矩阵

组成的集合关于矩阵的乘法运算是群

证明: 因为单位上三角形矩阵的乘法运算封闭 ,

且每个单位上三角形矩阵的逆矩阵也是单位上三角形矩阵 ,

因此所有3×3单位上三角形实矩阵关于矩阵的乘法构成群 ,

2 , 设G是交换群 , m是一个整数 , 令G^(m)={a^m|a∈G|和G_(m)={a|a^m=e} ,

试证明G^(m)和G_(m)都是G的子群 ,

证明: 因G的单位元在G^(m)和G_(m)中 , 所以它们是非空集合 ,

对属于G^(m)的任意a , b , 存在有属于G的c , d , 使得a=c^m , b=d^m ,

则属于G^(m)的ab^‒1=c^m(d^m)^‒1=(cd^‒1)^{m ,} 即G^(m)是G的子群 ,

对属于G_(m)的任意a , b , (ab^‒1)^m=a^m(b^m)^‒1=e , ab^‒1属于G_(m) , 即G_(m)是G的子群

3 , 设H是群G的子群 , 试证明对属于G的任意g

gHg^‒1={ghg^‒1 | h∈H}是G的子群 , (称gHg^‒1为H的共轭子群) ,

证明: 显然gHg^‒1非空且对属于gHg^‒1的任意gh₁g^‒1 , gh₂g^‒1 ,

有(gh₁g^‒1)(gh₂g^‒1)^‒1=gh₁g^‒1g$h_{2}^{- 1}$g^‒1=gh₁$h_{2}^{- 1}$g^‒1 , 属于gHg^‒1

故gHg^‒1是G的子群 ,

4 , 当n⩾4时 , 试证明交错群A_n不是交换群 , 而交错群A₂和A₃是交换群 ,

解: (123)(134)≠(134)(123) , 所以A_n不是交换群 , (n⩾4)

A₃={(1) , (123) , (132)} 和A₂={(1)}是交换群 ,

5 , 设K={(1) , (12)(34) , (13)(24) , (14)(23)} , 试证明K是S₄的子群 ,

解: 令a=(12)(34) , b=(13)(24) , c=(14)(23) ,

则ab=c=ba , ac=b=ca , bc=a=cb , a²=b²=c²=(1) , 故K是S₄的子群

6 , 设H , K是群G的两个真子群 , 请说明:

群G不能被它的两个真子群覆盖 , 即G不等于(H⋃K) ,

证明: 反证 , 若G=(H⋃K) , 则H⋃K是群 , 因此H包含于K或K包含于H

若H包含于K , 则G=(H⋃K)=K , 这与K是真子群矛盾 ,

若K包含于H , 则G等于H , 这与H是真子群矛盾 ,

7 , 设G是有限交换群 , H和K是G的两个子群 ,

若(H⋂K)={e} , 试证明HK是G的子群 , 且|HK|=|H||K| ,

证明: 因为HK=KH , 所以HK是G的子群 ,

若hh=h₁k₁ , 则$h_{1}^{- 1}$h=k₁k^‒1属于(H⋂K) , 从而h=h₁ , k=k₁ ,

所以|HK|=|H||K| ,

8 , 在群{Z ; +}中 , 设d是m , n的最大公因数 , 试证明⟨{m , n}⟩=⟨d⟩ ,

证明: ⟨d⟩={dr|r∈Z} , ⟨{m , n}⟩={ms+nt|s , t∈Z} ,

因为d=(m , n) , 所以存在有属于Z的k , l , 使得d=mk+nl ,

因此d属于⟨{m , n}⟩ , ⟨d⟩包含于⟨{m , n}⟩ ,

反之 , 由d|m , d|n知m属于⟨d⟩ , n属于⟨d⟩ ,

因此⟨{m , n}⟩包含于⟨d⟩ , 故⟨{m , n}⟩=⟨d⟩ ,

9 , 试证明在群{Z ; +}中 , ⟨m⟩=⟨n⟩⟺m=±n ,

证明: 充分性 , 若m=±n , 则m属于⟨n⟩ , ⟨m⟩包含于⟨n⟩ , 同理⟨n⟩包含于⟨m⟩ ,

必要性 , 若⟨m⟩=⟨n⟩ , 则m属于⟨n⟩ , 从而n|m , 同理可知m|n , 因此m=±n ,

10 , 写出剩余类加法群{Z₃ ; +}和{Z₄ ; +}的每个元素生成的循环子群 ,

解: Z₃中⟨$\overline{0}$⟩={$\overline{0}$} , ⟨$\overline{1}$⟩={$\overline{0}$ , $\overline{1}$ , $\overline{2}$} , ⟨$\overline{2}$⟩={$\overline{0}$ , $\overline{1}$ , $\overline{2}$} ,

Z₄中⟨$\overline{0}$⟩={$\overline{0}$} , ⟨$\overline{1}$⟩={$\overline{0}$ , $\overline{1}$ , $\overline{2}$ , $\overline{3}$} , ⟨$\overline{2}$⟩={$\overline{0}$ , $\overline{2}$} , ⟨$\overline{3}$⟩={$\overline{0}$ , $\overline{1}$ , $\overline{2}$ , $\overline{3}$} ,

11 , 写出三次对称群S₃的每个元素生成的循环子群 ,

解: ⟨(1)⟩={(1)} , ⟨(12)⟩={(1) , (12)} , ⟨(13)⟩={(1) , (13)} ,

⟨(23)⟩={(1) , (23)} , ⟨(123)⟩={(1) , (123)(132)}=⟨(123)⟩ ,

习题1证明SO₃={A ∈ SL₃(R)| A^TA=E₃}关于矩阵的乘法运算是群 ,

证明: 若A , B都属于SO₃ ,

则AB^‒1属于SL₃(R) , (AB^‒1)^TAB^‒1=E₃ , 即AB^‒1属于SO₃

所以SO₃关于矩阵的乘法运算是群 ,

习题2证明任何一个置换群的元素或全部是偶置换或奇偶置换各半 ,

证明: 交错群的元素全部是偶置换 ,

若置换群G中含有奇置换σ , 设G中偶置换和奇置换的个数分别为m , n ,

一个奇置换与每个偶置换合成得到m个奇置换 , 则m⩽n ,

取一个奇置换与每个奇置换合成得到n个偶置换 , 则n⩽m , 因此m=n

习题3在S₃中H={(12) , (13)} , K={(12) , (23)} , V={(123) , (132)} , 求HV , KV

解: HV={(23) , (13) , (12)} , KV={(23) , (13) , (12)} ,

注: 由HV=KV , 不能推出H=K , 但是 , 由aH=aK , 可以推出H=K ,

习题4证明群G的任意子群和G的中心的乘积仍是G的子群 ,

证明: 设H是G的子群 , C是G的中心 ,

对属于H的任意h , h' , 和对属于C的任意c , c' ,

有(hc)(h'c')=hh'cc'属于HC , 有(hc)^‒1=c^‒1h^‒1=h^‒1c^‒1属于HC

所以HC是G的子群 ,

习题5设H是群G的子群 , a属于G ,

试证明当且仅当a属于H时 , aH是G的子群 ,

证明: 若a属于H , 则等于H的aH是G的子群 ,

若aH是G的子群 , 则存在属于H的h使得ah=e , 进而a=h^‒1属于H

习题6求交错群A₃在对称群S₃中的中心化子和正规化子 ,

解: 正规子群的正规化子是整个群 ,

中心化子为$C_{S_{3}}$(A₃)=A_{3 ,} 正规化子为$N_{S_{3}}$(A₃)=S₃ ,

习题7在群{Z ; +}中 , 求子群⟨n⟩在Z中的正规化子 ,

解: 交换群的子群的正规化子是整个群 , ⟨n⟩在Z中的正规化子为Z ,

习题8群G能被它的三个真子群覆盖么?

解: 不能 , 例如整数加群Z的子群⟨3⟩ , ⟨5⟩ , ⟨7⟩不能覆盖Z ,

习题9求有理数加法群的子群$\left\langle \frac{1}{2} \right\rangle$和$\left\langle \frac{1}{2}\ ,\ \frac{1}{4} \right\rangle$的元素 ,

解: $\left\langle \frac{1}{2} \right\rangle$=$\left\{ \left. \ \frac{n}{2}\ \right|\ n \in Z \right\}$ , $\left\langle \frac{1}{2}\ ,\ \frac{1}{4} \right\rangle$=$\left\{ \left. \ \frac{n}{4}\ \right|\ n \in Z \right\}$

习题10已知{Q^* ; ⦁}是非零有理数关于数的乘法运算构成的群 ,

求其子群$\left\langle \frac{1}{2} \right\rangle$和$\left\langle \frac{1}{2}\ ,\ \frac{1}{4} \right\rangle$的元素 ,

解: $\left\langle \frac{1}{2} \right\rangle$={2ⁿ | n∈Z} , $\left\langle \frac{1}{2}\ ,\ \frac{1}{4} \right\rangle$={2ⁿ | n∈Z}

习题11在群{Z ; +}中 , 求循环子群⟨m⟩+⟨n⟩的生成元 ,

解: 由[第二章例2 , 8]知⟨m⟩+⟨n⟩是循环群 ,

设⟨m⟩+⟨n⟩=⟨r⟩及d是m , n的最大公因数 ,

则存在有属于Z的s , t , 使得d=ms+nt , 即d属于⟨r⟩ ,

所以⟨d⟩包含于⟨r⟩

因为r属于(⟨m⟩+⟨n⟩) , 所以r=ma+nb , 进而d|r ,

所以⟨r⟩包含于⟨d⟩

得⟨r⟩=⟨d⟩ , 即d是⟨m⟩+⟨n⟩的生成元

习题12设G是阶大于2的群 ,

试证明若G的每个元素满足x²=e , 则G有4阶子群 ,

证明: 易知G是交换群 , 设e , a , b是G的三个不同元素 , 其中e是G的单位元

则e , a , b生成的G的子群为{e , a , b , ab} , 它是4阶子群 ,

习题13令⟨6⟩是群{Z ; +}的子群 , 求⟨6⟩的所有子群及{Z ; +}中包含⟨6⟩的子群

解: 在整数集合中 , ⟨m⟩包含于⟨n⟩⟺n|m , 因此⟨6⟩的所有子群为⟨6t⟩ , t属于N

Z中包含⟨6⟩的子群有⟨1⟩ , ⟨2⟩ , ⟨3⟩ , ⟨6⟩ ,

习题14当n⩾3时 , 试证明{(123) , (124) , ⋯ , (12n)}是A_n的生成集 ,

证明: 当{i , j , k}⋂{1 , 2}=⌀时 , (ijk)=(12i)(12j)(12k)(12i)(12j) ,

且(1i2)=(12i)(12i) , (12j)(1i2)=(1ij) , (1j2)(12i)=(2ij) ,

根据[第一章命题2.1]知 , A_n可以由长度为3的轮换生成 ,

因此 , A_n可由{(123) , (124) , ⋯ , (12n)}生成 ,

习题15试证明SL₂(Z)=$\left\{ \left. \ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\ \right|\ a,b,c,d \in Z,ad - bc = 1 \right\}$

关于矩阵的乘法运算是群且生成集为$\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \right\}$

证明: 易知若A , B属于SL₂(Z) , 则AB属于SL₂(Z) ,

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$是单位元 , $\begin{pmatrix} d & - b \\ - c & a \end{pmatrix}$是$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$的逆元 ,

因此SL₂(Z)关于矩阵的乘法运算是群 ,

记A=$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , B=$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ , Q=B^‒1AB^‒1 , 则Q²=$\begin{pmatrix} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{pmatrix}$ ,

令$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$属于SL₂(Z) ,

当a=0或d=0 , b=‒c=±1时

$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & d \end{pmatrix}$=B^d‒1AB^{‒1 ,} $\begin{pmatrix} 0 & - 1 \\ 1 & d \end{pmatrix}$=B^1‒dA^‒1B

或$\begin{pmatrix} a & 1 \\ - 1 & 0 \end{pmatrix}$=B^‒1AB^a‒1 , $\begin{pmatrix} a & - 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$=BA^‒1B^1‒a

当b=0或c=0 , a=d=±1时

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ c & 1 \end{pmatrix}$=B^c , $\begin{pmatrix} - 1 & 0 \\ c & - 1 \end{pmatrix}$=B^‒cQ²或$\begin{pmatrix} 1 & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$=A^b , $\begin{pmatrix} - 1 & b \\ 0 & - 1 \end{pmatrix}$=Q²A^‒b

当a , b , c , d都不为零时 , 则a , c互素 , 不妨设|a|＜|c| , c=aq+r , 0 ⩽r＜|a| ,

则$\begin{pmatrix} - q & 1 \\ - 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$=$\begin{pmatrix} r & d - bq \\ - a & - b \end{pmatrix}$

若r≠0 , 则继续使用带余除法 , 直至左上角位置元素为零 , 则可得证 ,