我们知道在整数环及数域上一元多项式环中都有因子分解定理 ,

那么在一般的整环中因子分解定理是否成立呢?

本节将就此问题进行简单讨论 ,

假设本节所涉及的环均为整环 ,

若R是整环 , 则U(R)表示R的单位群 , R^*表示R的非零元构成的集合 ,

$\widehat{R}$表示R的非零、不可逆元构成的集合 , 即$\widehat{R}$=R^*‒U(R) ,

一、整除性、不可约元和素元

定义7.1设R是整环 , a , b属于R , 若存在属于R的c , 使得a=bc ,

则称b整除a

或称b是a的因子 , 一般地 , 将其记为b|a ,

如果不存在这样的c , 则称b不整除a , 或称b不是a的因子 , 记为b∤a ,

若b|a和a|b同时成立 , 则称a与b相伴 , 记作a~b ,

R的可逆元及与a相伴的元素都是a的因子 , 称这样的因子为a的平凡因子 ,

a的其他因子(如果有的话)称为a的真因子 ,

整除有如下性质:

命题7.1设R是整环 , 若a , b , c , x , y属于R , 则下列结论成立:

(1)a|a(整除具有反身性);

(2)如果a|b且b|c , 那么a|c(整除具有传递性);

(3)如果a|b且a|c , 那么a|(xb+yc);

(4)a|b⟺⟨b⟩包含于⟨a⟩;

(5)a~b⟺⟨a⟩=⟨b⟩;

命题7.2设R是整环 , a , b , c属于R , 若a=bc且a≠0 , 则

(1)当b~a时 , c是可逆元;

(2)当b是可逆元时 , c~a

(3)若b是a的真因子 , 则c也是a的真因子 ,

证: (2)的结论是明显的 , (3)的结论可以由(1) , (2)得出 , 我们仅需要证明(1) ,

若b~a , 则存在属于R的d , 使得b=ad , 那么a=adc ,

根据整环的消去律可知1=dc , 即c是可逆元 ,

例7.1在整环Z[$\sqrt{- 3}$]={a+b$\sqrt{- 3}$|a , b ∈ Z}中 , 证明2∤(1±$\sqrt{- 3}$) ,

证: 若2|(1±$\sqrt{- 3}$) , 则存在属于Z[$\sqrt{- 3}$]的α , 使得2α=(1±$\sqrt{- 3}$) ,

但是α=$\frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2}$不属于Z[$\sqrt{- 3}$] , 矛盾 , 因此2∤(1±$\sqrt{- 3}$) ,

例7.2在整环Z[$\sqrt{- 3}$]={a+$\sqrt{- 3}$b|a , b ∈ Z}中 , 求4的所有因子 ,

解: 若α=a+b$\sqrt{- 3}$ , 则N(α)=a²+3b² ,

若令4=αβ , 其中α , β属于Z[$\sqrt{- 3}$] , 则16=N(α)N(β) ,

当N(α)=1 , N(β)=16时 , α=±1 , B=$\frac{4}{\pm \alpha}$=±4;

当N(α)=2 , N(β)=8时 , 这样的α , β不存在;

当N(α)=4 , N(β)=4时 , α=±2 , β=$\frac{4}{\pm 2}$=±2或α=±(1±$\sqrt{- 3}$) , β=±2(1∓$\sqrt{- 3}$)

从而4的所有因子为α=±1 , ±2 , ±(1±$\sqrt{- 3}$) , ±4 ,

定义7.2令R是整环 , a , b属于R , 若存在属于R的d , 使得d|a , d|b ,

则称d为a , b的公因子 ,

特别地 , 若d为a , b的公因子 , 并且对于任意a , b的公因子c有c|d ,

则称d为a , b的最大公因子 , 记为(a , b) ,

若1是a , b的最大公因子 , 则称a与b互素 ,

根据定义易知 , 两个最大公因子相伴 ,

实际上 , 还容易验证最大公因子具有如下性质:

(1)(a , (b , c))~((a , b) , c);

(2)(ca , cb)~c(a , b);

(3)(a , b)~1 , (a , c)~1⇒(a , bc)~1 ,

两个元素的最大公因子的定义及性质可以推广到有限个元素上 ,

例7.3在高斯整环Z[i]中 , 求1+i和3的公因子和最大公因子 ,

解: 若α=a+bi是1+i的因子 , 则N(α)|N(1+i) , 即(α²+b²)|2 ,

因而N(α)=2或1 , α=±(1±i)或±1或±i , 显然 , 1+i仅有平凡因子 ,

若α=a+bi是3的因子 , 则N(α)|N(3) , 即(a²+b²)|9 ,

因而N(α)=1或3或9 , 显然 , N(α)≠3 ,

当N(α)=1时 , α=±1或±i , 当N(α)=9时 , α=±3或±3i ,

所以 , 3只有平凡因子: ±1 , ±i , ±3 , ±3i ,

因此 , ±1 , ±i是1+i和3的公因子 , 这些公因子彼此相伴 ,

因而它们也是1+i和3的最大公因子 ,

定义7.3设R是整环 , a属于$\widehat{R}$ , 若a只有平凡因子 , 则称a是R的不可约元 ,

若a有非平凡因子 , 则称a是R的可约元 ,

定义7.4设R是整环 , p属于$\widehat{R}$ ,

若从p|ab能够推出p|a或p|b , 则称p是R的素元

命题7.3设R是整环 , a , b属于R且a~b ,

若a是R的不可约元(或素元) , 则b是R的不可约元(或素元) ,

证: 由a~b可知 , 存在可逆元u , 使得b=au , 又由a属于$\widehat{R}$可知b属于$\widehat{R}$ ,

若c是b的因子 , 则c是a的因子 ,

因为a只有平凡因子 , 所以c是可逆元或c与a相伴 , 从而 , c与b相伴 ,

也就是说 , c是b的平凡因子 , b是不可约元 ,

若b|cd , 则a|cd ,

因为a是素元 , 所以a|c或a|d , 而a=bu^‒1 , 因此 , b|c或b|d , 即b是素元

在讨论因子分解问题时 , 我们认为相伴的两个元素是一样的

素元的概念也可以用理想的语言表述为:

命题7.4若R是整环 , p属于R , 则当且仅当⟨p⟩是非零素理想时 , p是素元

证: 若p是素元 , 则p属于$\widehat{R}$ , 从而⟨p⟩是R的非零真理想 ,

若令ab属于⟨p⟩ , 则p|ab , 从而p|a或p|b ,

因此a属于⟨p⟩或b属于⟨p⟩ , 即⟨p⟩是素理想 ,

反之 , 若⟨p⟩是非零素理想 , 则p属于$\widehat{R}$ ,

若令p|ab , 则ab属于⟨p⟩ ,

因为⟨p⟩是素理想 , 所以a属于⟨p⟩或b属于⟨p⟩ , 进而p|a或p|b , 于是p是素元

命题7.5令R是整环 , 则R中素元一定是不可约元 ,

证: 若令p是素元 , 则⟨p⟩是非零素理想 ,

若a是p的因子 , 则存在属于R的b , 使得p=ab , 从而ab属于⟨p⟩ ,

又因为⟨p⟩是素理想 ,

所以a属于⟨p⟩或b属于⟨p⟩ , 那么p|a或p|b , 即a~p或b~p ,

再由命题7.2可知 , a是p的平凡因子 , 即p是不可约元 ,

例7.4在整数环Z中 , 素元和不可约元的概念是等价的

证: 因为n与‒n相伴 , 所以根据命题7.3的结论 , 不妨设n是正整数 ,

若n是不可约元 , 则n一定是素数 ,

由本章例5.5可知 , ⟨n⟩是非零素理想 , 再由命题7.4可知 , n是素元 ,

反之 , 由命题7.5即可得证 ,

例7.5设F是数域 , 在一元多项式环F[x]中 , 不可约元就是不可约多项式 ,

例7.6在整环Z[$\sqrt{- 3}$]={a+$\sqrt{- 3}$b|a , b ∈ Z}中 , 证明2是不可约元 , 但不是素元

证: 首先 , 2不是可逆元 ,

因为若2是可逆元 , 则存在属于Z[$\sqrt{- 3}$]的α , 使得1=2α , 则1=4N(α) , 矛盾 ,

所以 , 2不是可逆元 ,

其次 , 考察2的因子 , 令2=αβ , α , β属于Z[$\sqrt{- 3}$] , 则4=N(2)=N(α)N(β) ,

若N(α)=1 , 则α=±1 , α是可逆元;

若N(α)=2 , 则这样的α不存在;

若N(α)=4 , 则N(β)=1 , 即β是可逆元 , 从而2与α相伴 ,

综上 , 2仅有平凡因子 , 所以2是不可约元 ,

注意到 , 2|(1+$\sqrt{- 3}$)(1‒$\sqrt{- 3}$) , 但2∤(1+$\sqrt{- 3}$) , 这说明2不是素元 ,

二、唯一分解整环

定义7.5设R是整环 , 若对属于$\widehat{R}$的任意a满足以下两个条件:

(1)存在不可约元p₁ , p₂ , ⋯ , p_m , 使得a=p₁p₂⋯p_m ;

(2)如果还有不可约元q₁ , q₂ , ⋯ , q_n , 使得a=q₁q₂⋯q_{n ,} 那么m=n ,

并且经过适当调整q_i的顺序之后 , 有p_i与q_i相伴 , i=1 , 2 , ⋯ , m ,

则称R是唯一分解整环 , 当然$\widehat{R}$中任意元素a在R中有唯一分解 ,

在整数环Z中 ,

若n≠0 , ±1 , 则n可以唯一地表示成不可约元的乘积 , 因此Z是唯一分解整环

令F是数域 , 在一元多项式环F[x]中 ,

若deg f(x)⩾1 , 则f(x)可以唯一地表示成不可约多项式的乘积 ,

根据例7.5可知 , F[x]中的不可约多项式实际上是F[x]中的不可约元 ,

因此 , F[x]是唯一分解整环 ,

为了研究唯一分解整环的判定问题 , 我们先证明如下引理 ,

引理7.1设R是唯一分解整环 , a属于$\widehat{R}$ ,

令a=p₁p₂⋯p_{m ,} 其中p₁ , p₂ , ⋯ , p_m是R的不可约元 ,

若b是a的真因子 , 则b与p₁ , p₂ , ⋯ , p_m中某些因子的乘积相伴 ,

证: 因为b是a的真因子 , 所以b属于$\widehat{R}$ ,

若令a=bc , 则由命题7.2可知 , c是a的真因子 ,

从而c属于$\widehat{R}$ , 那么b , c在R中有唯一分解 ,

若设b=q₁q₂⋯q_{k ,} c=r₁r₂⋯r_{l ,} 其中q₁ , q₂ , ⋯ , q_{k ,} r₁ , r₂ , ⋯ , r_l , 是不可约元 ,

则a=q₁q₂⋯q_kr₁r₂⋯r_l

再由R中元素分解的唯一性可知 , 每个q_i与某个p_j相伴 ,

因此b与p₁ , p₂ , ⋯ , p_m中某些因子的乘积相伴 ,

由引理7.1知道 , 唯一分解整环的非零不可逆元素的真因子个数是有限的

(不考虑相伴的因素) ,

推论7.1令R是唯一分解整环 , b , p₁ , p₂ , ⋯ , p_m是R的不可约元 ,

若b|p₁p₂⋯p_m , 则存在p_i , 使得b~p_i

定理7.1若R是整环 , 则当且仅当R满足下面两个条件时 , R是唯一分解整环

(1)若R中的元素列a₁ , a₂ , ⋯ , a_n , ⋯ , 满足a_i+i|a_{i ,} i=1 , 2 , ⋯ ,

则存在某个n , 使得a_n~a_n+1~a_n+2~⋯ , 这里“~”表示元素相伴;

(2)R中的不可约元是素元 ,

证: 若R是唯一分解整环 , 则R中每个非零元素的真因子个数是有限的

(可逆元的真因子个数为零) ,

所以不可能出现满足a_i+1是a_i(i=1 , 2 , ⋯)的真因子的无穷元素列a₁ , a₂ , ⋯ , a_n , ⋯

因此(1)成立 ,

下面证明条件(2)成立 ,

设属于R的c是不可约元 , 欲证c是素元 , 仅需证从c|ab , 能得到c|a或c|b ,

我们分几种情形讨论 ,

情形1 , 若a=0或b=0 , 则c|a或c|b ,

情形2 , 若a是可逆元或b是可逆元 , 则c|b或c|a ,

情形3 , 若a , b属于$\widehat{R}$ , 则a , b在R中有唯一分解 ,

若令a=p₁p₂⋯p_{m ,} b=q₁q₂⋯q_n , 其中p₁ , p₂ , ⋯ , p_m , q₁ , q₂ , ⋯ , q_n是不可约元 ,

则c|p₁p₂⋯p_mq₁q₂⋯q_{n ,}

根据推论7.1可知 , 存在某个p_i(i=1 , 2 , ⋯ , m)或某个q_i(j=1 , 2 , ⋯ , n) ,

使得c~p_i或者c~q_{j ,} 于是c|a或c|b ,

综上 , c是素元 ,

反之 , 若整环R满足条件(1)和(2) , 我们来证明R是唯一分解整环 ,

首先说明对属于$\widehat{R}$的任意元素a , 都有不可约元p , 使得p|a ,

如果a是不可约元 , 则取p=a , 若a是可约元 , 则a有真因子

设a₁是a的真因子 , 如果a₁是不可约元 , 则取p=a₁ , 否则 , a₁有真因子 ,

设a₂是a₁的真因子 , ⋯⋯ , 继续这个过程 ,

则有一个元素列a , a₁ , a₂ , ⋯ , 满足a₁|a , a_i+1|a_i , i=1 , 2 , ⋯ ,

至此 , 由条件(1) , 这个元素列一定终止于某个a_{n ,} 并且a_n是不可约元 , a_n|a ,

进而 , 我们说明分解式的存在性 ,

令p₁是不可约元且a=p₁b , 令p₂是不可约元且b=p₂c ,

对元素c重复上面的过程 , 有c=p₃d , a=p₁p₂p₃d , ⋯ ,

再由(1) , 此过程也不可能无限进行下去 , 它必定终止于有限步 ,

即存在a=p₁p₂⋯p_{n ,} 其中p₁ , p₂ , ⋯ , p_n是不可约元 ,

最后 , 我们指出分解式的唯一性 ,

令a=p₁p₂⋯p_n=q₁q₂⋯q_m , 这里每个p_{i ,} q_j都是不可约元 ,

进而由条件(2) , p_{i ,} q_j都是素元 ,

不妨设n⩽m , 因为p₁是素元 , 所以由p₁|q₁q₂⋯q_m可知 , 存在q_j使得p₁|q_j ,

因此 , 不妨假设p₁|q₁ , 由于p₁ , q₁都是不可约元 , 所以 , p₁~q₁ ,

于是存在属于U(R)的u₁ , 使得p₁=u₁q₁ , 由整环的消去律得u₁p₂⋯p_n=q₂⋯q_m ,

又由命题7.3 , u₁p₂是不可约元 , 那么类似地有 , u₁p₂~q₂ ,

进而 , 存在属于U(R)的u₂ , 使得u₁p₂=u₂q₂ ,

再由整环的消去律得u₂p₃⋯p_n=q₃⋯q_m ,

继续这个过程 , ⋯⋯ ,

若n＜m , 则存在属于U(R)的u_n使得u_n=q_n+1⋯q_m , 从而q_n+1是可逆元 , 矛盾 ,

所以 , 一定有n=m , 并且p_i~q_{i ,} 1⩽i⩽n=m

注意 , 利用定理7.1可以断定整环Z[$\sqrt{- 3}$]不是唯一分解整环 ,

但有一类非常重要的环: 主理想整环确是唯一分解整环 ,

引理7.2在主理想整环R中 , 不可约元与素元是等价的 ,

证: 由命题7.5可知 , 素元一定是不可约元 ,

因此 , 我们仅需证明R中的不可约元是素元 ,

令p是不可约元 , 如果⟨p⟩是极大理想 , 则由本章定理5.3可知 , ⟨p⟩是素理想

那么再由命题7.4可知 , p是素元 ,

为此 , 下面我们证明⟨p⟩是极大理想 ,

假设存在R的一个理想I=⟨a⟩满足⟨p⟩包含于⟨a⟩ , 则a|p ,

但是p是不可约元 , 所以a是可逆元或a~p ,

若a是可逆元 , 则I=R , 若a~p , 则⟨a⟩=⟨p⟩ , 这就是说 , ⟨p⟩是极大理想

定理7.2主理想整环R是唯一分解整环 ,

证: 我们只需验证R满足定理7.1中的条件(1)和(2) ,

又根据引理7.2可知 , 条件(2)已经满足 , 下面证明条件(1)成立 ,

为此 , 若任取元素列a₁ , a₂ , a₃ , ⋯ , a_n⋯ , 其中a_i+1|a_{i ,} i=1 , 2 , ⋯ ,

则存在对应的主理想列⟨a₁⟩⊆⟨a₂⟩⊆⟨a₃⟩⊆⋯⊆⟨a_n⟩⊆⋯

$$现在,令N = \bigcup_{i \in I}^{}{\langle a_{i}\rangle},则N是环R的理想$$

由于R是主理想整环 , 因此 , 不妨令N=⟨a⟩ , 那么存在n , 使得⟨a⟩包含于⟨a_n⟩ ,

而⟨a_n⟩是包含于⟨a⟩的 , 所以⟨a⟩=⟨a_n⟩ ,

从而对属于Z⁺的任意k有⟨a⟩=⟨a_n⟩⊆⟨a_n+k⟩⊆⟨a⟩ , ⟨a_n⟩=⟨a_n+k⟩ , 即条件(1)满足 ,

定义7.6设R是整环 , 若R中的每一个非零元a都对应一个非负整数δ(a) ,

并且R中任意元素b都可以写作b=aq+r , q , r属于R , r=0或δ(r)＜δ(a) ,

则称R是欧几里得整环 , 简称欧氏环 ,

若在整数环Z中 , 令δ(a)=|a|(a属于Z) ,

在数域F上的一元多项式环F[x]中 , 令δ(f(x))=deg f(x) (f(x)属于F[x]) ,

则可知Z和F[x]都是欧氏环 ,

例7.7证明高斯整环Z[i]是欧氏环 ,

证: 事实上 , 对属于Z[i]的α=a+bi , 可令δ(x)=a²+b² , 即δ(α)=N(α) ,

因此 , 对任意α=a+bi , β=c+di , 为求q , r使得α=βq+r ,

可以考虑: αβ^‒1=s+ti , 其中s=$\frac{ac + bd}{c^{2} + d^{2}} = \frac{ac + bd}{\delta(\beta)}$ , $t = \frac{bc - ad}{\delta(\beta)}$

然后再取s' , t'属于Z , 使得|s‒s'|⩽$\frac{1}{2}$ , |t‒t'|⩽$\frac{1}{2}$ ,

那么若令q=s'+t'i , r=α‒βq , 则有q , r属于Z[i] , 而且α=βq+r ,

现在 , 我们只需证明r=0或δ(r)＜δ(β) , 但若r=0 , 则结论已成立 ,

若r≠0 , 则δ(r)=δ(α‒βq)=δ(β(αβ¹‒q))=δ(β)δ(αβ^‒1‒q)

=δ(β)δ(s‒s'+ti‒t'i)=δ(β)[(s‒s')²+(t‒t')²]

⩽δ(β)$\left\lbrack \left( \frac{1}{2} \right)^{2} + \left( \frac{1}{2} \right)^{2} \right\rbrack$＜δ(β) , 即Z[i]是欧氏环 ,

定理7.3欧氏环是主理想整环 ,

证: 设R是欧氏环 , I是R的任意一个理想 , 若I={0} , 则I=⟨0⟩是主理想;

若I≠{0} , 则由欧氏环的定义 , 对I的每一个非零元a都有一个非负整数δ(a) ,

从而存在非负整数的子集合{δ(a)|a ∈ I , a≠0} ,

于是存在属于I的非零元b使得δ(b)=min{δ(a)|a ∈ I , a≠0} ,

进而 , 对属于I的任意c , 有c=bq+r , r=0或δ(r)＜δ(b) ,

那么由属于I的r=c‒b及b的取法可知 , r=0 , 即c=bq , c属于⟨b⟩ , I=⟨b⟩ ,

于是 , I是R的主理想 ,

现在 , 我们已经知道: 欧氏环是主理想整环 , 主理想整环是唯一分解整环 ,

但是 , 它们的逆命题都不成立 ,

例如 , Z[x]是唯一分解整环 , 但不是主理想整环 ,

还有$\left\{ \left. \ a + \frac{b}{2}\left( 1 + \sqrt{- 19} \right) \right|a,b \in Z \right\}$是主理想整环 , 但不是欧氏环 ,

习题