1 , 在Z[$\sqrt{5}$]中 , 判别2+$\sqrt{5}$与2‒$\sqrt{5}$是否相伴 ,

解: 若2+$\sqrt{5}$与2‒$\sqrt{5}$相伴 ,

则存在属于Z[$\sqrt{5}$]的可逆元u=a+b$\sqrt{5}$使得2+$\sqrt{5}$=(a+b$\sqrt{5}$)(2‒$\sqrt{5}$) ,

从而a=‒9 , b=‒4 , 即2+$\sqrt{5}$=(2‒$\sqrt{5}$)(‒9‒4$\sqrt{5}$) ,

设(‒9‒4$\sqrt{5}$)(c+d$\sqrt{5}$)=1 , 则c=‒9 , d=4 , 即‒9‒4$\sqrt{5}$是可逆元 ,

故在Z[$\sqrt{5}$]中2+$\sqrt{5}$与2‒$\sqrt{5}$相伴 ,

2 , 在Z[$\sqrt{- 3}$]={a+b$\sqrt{- 3}$|a , b ∈ Z}中 , 试证明4和2+2$\sqrt{- 3}$没有最大公因子 ,

证明: 因为4的所有因子为α=±1 , ±2 , ±(1±$\sqrt{- 3}$) , ±4 ,

下面求2+2$\sqrt{- 3}$的所有因子 ,

令2+2$\sqrt{- 3}$=αβ , 其中α , β属于Z[$\sqrt{- 3}$] , 则16=N(α)N(β) ,

当N(α)=1 , N(β)=16时 , α=±1 , β=±(2+2$\sqrt{- 3}$);

当N(α)=2 , N(β)=8时 , 这样的α , β不存在;

当N(α)=4 , N(β)=4时 , α=±2 , β=±(1+$\sqrt{- 3}$)

或α=±(1+$\sqrt{- 3}$) , β=±2或α=±(1‒$\sqrt{- 3}$) , β=∓(1‒$\sqrt{- 3}$) ,

从而2+2$\sqrt{- 3}$的所有因子为±1 , ±2 , ±(1±$\sqrt{- 3}$) , ±(2+2$\sqrt{- 3}$)

得到4和2+2$\sqrt{- 3}$公因子为±1 , ±2 , ±(1±$\sqrt{- 3}$) ,

因为2∤(1+$\sqrt{- 3}$)且(1+$\sqrt{- 3}$)∤2 , 所以4和2+2$\sqrt{- 3}$没有最大公因子 ,

3 , 在Z[$\sqrt{- 3}$]={(a+$\sqrt{- 3}$b)|a , b ∈ Z}中 , 试证明1±$\sqrt{- 3}$是不可约元 ,

证明: 先说明1±$\sqrt{- 3}$不是可逆元 ,

否则 , 若1±$\sqrt{- 3}$是可逆元 , 则存在属于Z的a , b使得(1±$\sqrt{- 3}$)(a+b$\sqrt{- 3}$)=1

从而4(a²+3b²)=1 , 与a , b属于Z矛盾 , 因此1$\pm \sqrt{- 3}$不是可逆元 ,

下面考察1±$\sqrt{- 3}$的所有因子 ,

令1±$\sqrt{- 3}$=αβ , α , β属于Z[$\sqrt{- 3}$] , 则4=N(α)N(β) ,

若N(α)=1 , 则α=±1 , α是可逆元;

若N(α)=2 , 这样的α不存在;

若N(α)=4 , 则N(β)=1 , β=±1 , 即β是可逆元 ,

从而1±$\sqrt{- 3}$与α相伴 ,

综上 , 1±$\sqrt{- 3}$仅有平凡因子 , 所以1±$\sqrt{- 3}$是不可约元 ,

4 , 设p , q是整环R的不可约元 , 且p|q , 证明p , q相伴 ,

证明: 因为q只有平凡因子 , 所以p可逆或p~q , 若p~q , 则结论得证

若p可逆 , 则与p是不可约元矛盾

5 , 在高斯整环Z[i]中 ,

试证明若对属于Z[i]的α , 有N(α)=p(p是素数) , 则α是不可约元 ,

证明: 因为N(0)=0 , N(±1)=N(±i)=1 , 所以α是非零、非可逆元 ,

令α=α₁α₂ , 则N(α)=N(α₁)N(α₂) , 又N(α)=p , 从而N(α₁)=1或N(α₂)=1 ,

若N(α₁)=1 , 则α₁=±1 , ±i , 即α₁是可逆元;

若N(α₂)=1 , 则α₂是可逆元 , 故α是不可约元 ,

6 , 在高斯整环Z[i]中 , 将1+3i表示成不可约元的乘积 ,

解: 设α是1+3i的不可约因子 ,

令1+3i=αβ , 则10=N(α)N(β) , 由上题知 , N(α)=2或5 ,

当N(α)=2时 , N(β)=5 , 取α=1+i , β=2+i , 则1+3i=(1+i)(2+i) ,

7 , 在高斯整环Z[i]中 ,

(1)判断3‒5i能否被4+i整除?

(2)求与4+i相伴的所有元素 ,

(3)证明4+i既是素元又是不可约元 ,

证明: (1)$\frac{3 - 5i}{4 + i} = \frac{(3 - 5i)(4 - i)}{16 + 1} = \frac{7 - 23i}{17}$ , 故3‒5i不能被4+i整除 ,

(2)Z[i]中可逆元为±1 , ±i , 所以4+i的所有相伴元为1‒4i , 4i‒1 , 4+i , ‒4‒i

(3)N(4+i)=17 , 根据题5可知4+i是不可约元 ,

又因Z[i]是主理想整环 , 所以4+i是素元 ,

8 , 在Z[$\sqrt{- 5}$]={(α+$\sqrt{- 5}$b)|a , b ∈ Z}中 , 证明2+$\sqrt{- 5}$是不可约元 , 但不是素元

证明: 易知 , Z[$\sqrt{- 5}$]的可逆元只有±1 , 所以2+$\sqrt{- 5}$不是可逆元 ,

令2+$\sqrt{- 5}$=αβ , 则N(α)N(β)=9 ,

若N(α)=1 , 则α=±1是可逆元;

若N(α)=3 , 不存在这样的α;

若N(α)=9 , 则N(β)=1 , β=±1是可逆元 ,

所以2+$\sqrt{- 5}$只有平凡因子 , 是不可约元 ,

因为(2+$\sqrt{- 5}$)(2‒$\sqrt{- 5}$)=9 | (3×3) , 但(2+$\sqrt{- 5}$)∤3 , 所以2+$\sqrt{- 5}$不是素元

9 , 证明Z[$\sqrt{- 5}$]不是主理想整环 ,

证明: 由8题知Z[$\sqrt{- 5}$]不是主理想整环(因为素元与不可约元不等价) ,

10 , 设R是主理想整环 , a , b属于R ,

试证明当且仅当d是a , b的公因子且存在属于R的u , v , 使得d=ua+vb时 ,

d是a , b的最大公因子

证明: 充分性 , 由最大公因子定义即可得证 ,

必要性 , 令⟨d'⟩=⟨a , b⟩ , 则存在属于R的u , v , 使得d'=u'a+v'b , 由此得到d|d' ,

因为a , b属于⟨d'⟩ , 所以d'|a , d'|b , 即d'是a , b的公因子 , 从而d'|d , d'~d ,

因此存在可逆元r , 使得d=rd' , d=ru'α+rv'b ,

11 , 在高斯整环Z[i]中 , α=9+12i , β=2+4i , 求u , v使得αu+βv=(α , β) ,

解: 令α=βq+r , 因为αβ^‒1=(9+12i)(2+4i)^‒1=$\frac{33}{10} - \frac{3}{5}i$

所以取q=3‒i , 则r=α‒βq=(9+12i)‒(2+4i)(3‒i)=‒1+2i , α=β(3‒i)+(‒1+2i)

令β=rq₁+r_{2 ,} 因为βr^‒1=(2+4i)(‒1+2i)^‒1=$\frac{6}{5} - \frac{8}{5}i$ ,

所以取q₁=1‒2i , 则r₂=β‒rq₁=2+4i‒(‒1+2i)(1‒2i)=‒1 , β=(‒1+2i)(1‒2i)‒1

l=‒β+(‒1+2i)(‒2i+1)=‒β+α(‒2i+1)‒β(3‒i)(‒2i+1)=(7i‒2)β+(1‒2i)α ,

12 , 设R是主理想整环 , p是R的不可约元 ,

试证明对属于R的任意a , 有p|a或p与a互素

证明: 设d是p与a的最大公因子 ,

因为p是不可约元 , 所以d是可逆元或与p相伴 ,

若d是可逆元 , 则p与a互素 , 若d与p相伴 , 则p|a ,

13 , 证明Z[$\sqrt{2}$]={(a+$\sqrt{2}$b)|a , b ∈ Z}是欧氏环 ,

证明: 对α=a+b$\sqrt{2}$ , 可令δ(α)=|a²‒2b²| ,

对任意α=a+b$\sqrt{2}$ , β=c+d$\sqrt{2}$ , 有δ(αβ)=δ(α)δ(β) ,

若求q , r使得α=βq+r , 可以考虑: αβ^‒1=s+t$\sqrt{2}$ , 其中$s = \frac{ac - 2bd}{c^{2} - 2d^{2}}$ , $t = \frac{cb - ad}{c^{2} - 2d^{2}}$

然后再取属于Z的s' , t' , 使得|s‒s'| ⩽ , |t‒t'| ⩽ $\frac{1}{2}$

那么若令q=s'+t'$\sqrt{2}$ , r=α‒βq , 则有q , r属于Z[$\sqrt{2}$] , 而且α=βq+r ,

现在 , 我们只需证明r=0或δ(r)＜δ(β) , 但若r=0 , 则结论已成立 ,

若r≠0 , 则δ(r)=δ(α‒βq)=δ(β)δ(αβ^‒1‒q)=δ(β)δ(s‒s'+$\sqrt{2}$t‒$\sqrt{2}$t')

=δ(β) |(s‒s')²‒2(t‒t')² |＜δ(β) ,

即Z[$\sqrt{2}$]={a+$\sqrt{2}$b|a , b ∈ Z}是欧氏环 ,

习题1设R是主理想整环 , 试证明

(1)若(a , b)=1且a|bc , 则a|c;

(2)若(a , b)=1且a|c , b|c , 则ab|c ,

证明: 由(a , b)=1可知存在属于R的u , v , 使得ua+vb=1 ,

等式两边同时乘c得uac+vbc=c , 若a|bc , 则a|c , 若a|c , b|c , 则ab|c ,

习题2设R是主理想整环 , a是R的非零元素 , 则以下结论等价:

(1)a是素元; (2)a是不可约元; (3)⟨a⟩是素理想; (4)⟨a⟩是极大理想 ,

证明: a是不可约元⟺a是素元 ,

a是素元⟺⟨a⟩是素理想 ,

⟨a⟩是素理想⟺⟨a⟩是极大理想 ,

习题3试证明R=Z[$\sqrt{- 3}$]不是主理想整环 ,

证明: 首先 , 对α=a+b$\sqrt{- 3}$有N(α)=a²+3b²=1⟺a²=1 , 故R的可逆元只有±1 ,

其次 , 若N(α)=4 , 则α必为不可约元 ,

事实上 , 设α=βγ , 则4=N(α)=N(β)N(γ) ,

因为对属于Z的任何x , y , 必有x²+3y²≠2 , 所以必有N(β)=1或者N(γ)=1 ,

即β或γ为可逆元 , 故α为不可约元 , 据此 , 2和1±$\sqrt{- 3}$都是不可约元 ,

最后 , 由4=2⦁2=(1+$\sqrt{- 3}$)(1⎯$\sqrt{- 3}$)知4没有唯一分解 ,

故R不是唯一分解整环

当然R=Z[$\sqrt{- 3}$]不是主理想整环 ,

习题4在Z[$\sqrt{- 3}$]中 , 试证明1+$\sqrt{- 3}$是不可约元 , 也不是素元 ,

证明: 由上题知1+$\sqrt{- 3}$是不可约元 , 由于(1+$\sqrt{- 3}$)|2⦁2 , 但是(1+$\sqrt{- 3}$)∤2 ,

故1+$\sqrt{- 3}$不是素元 ,

习题5 试证明$\sqrt{- 3}$是Z[$\sqrt{- 3}$]的素元 ,

证明: 设α , β属于Z[$\sqrt{- 3}$] , 若$\sqrt{- 3}$|αβ , 则3|N(α)N(β) , 故不妨设3|N(α) ,

再设α=a+b$\sqrt{- 3}$ , 则3|(a²+3b²)

从而必有3|a , 即a=3a_{1 ,} 所以α=$\sqrt{- 3}$(b‒a₁$\sqrt{- 3}$) , 显然$\sqrt{- 3}$|α , 结论得证

习题6在Z[$\sqrt{- 5}$]={a+$\sqrt{- 5}$b | a , b ∈ Z}中判断下列元素是否是不可约元:

2 , 7 , 29 , 2‒$\sqrt{- 5}$ , 6‒$\sqrt{- 5}$ ,

解: Z[$\sqrt{- 5}$]的可逆元为±1 , 设α属于Z[$\sqrt{- 5}$] , 若α=βγ , 则N(α)=N(β)N(γ) ,

(1)若N(α)为素数p的平方且a²+5b²=p无整数解 , 则α是不可约元 ,

因为N(β)|p² , 所以N(β)=1 , p , p² , 因为a²+5b²=p无整数解 , 故N(β)≠p ,

若N(β)=1或p² , 则β=±1或±α , 即α是不可约元 ,

(2)若N(α)是素数p , 则N(β)=1或N(β)=p , 从而β=±1或±α , 即α是不可约元 ,

由(1)知2 , 7 , 2‒$\sqrt{- 5}$是不可约元 ,

由29=(3+2$\sqrt{- 5}$)(3‒2$\sqrt{- 5}$)知 , 29不是不可约元 ,

由(2)知6‒$\sqrt{- 5}$是不可约元

习题7在Z[$\sqrt{- 5}$]={a+$\sqrt{5}$bi | a , b ∈ Z}中 , 试证明3不是素元 ,

证明: 3|(1+$\sqrt{- 5}$)(1‒$\sqrt{- 5}$) , 但是因为N(3)=9 , N(1±$\sqrt{- 5}$)=6 , 故3∤ (1±$\sqrt{- 5}$)

所以3不是素元 ,

习题8设属于Z[i]的α是属于Z的某个素数p的非平凡因子 ,

试证明α是Z[i]中的不可约元 ,

证明: 设p=αβ , 则p²=N(α)N(β) ,

因为属于Z[i]的α是p的非平凡因子 , 故N(α)≠1 , p² ,

因此N(α)=p , α是Z[i]中的不可约元 ,

习题9设α是Z[i]中的不可约元 , 试证明α是属于Z的某个素数p的不可约因子

证明: 对属于Z[i]的任意α , 有α|N(α) ,

因为Z[i]是唯一分解整环 ,

所以若α是Z[i]中的不可约元 , 则α是属于Z的某个素数p的因子 ,

习题10试证明Z[i]/⟨2+i⟩为域 ,

证明: 因为N(2+i)=5是素数 , 因此2+i是不可约元 ,

因为Z[i]是主理想整环 ,

而在主理想整环中 , 不可约元生成的理想一定是极大理想

从而Z[i]/⟨2+i⟩为域 ,

习题11在高斯整环Z[i]中 , 试证明⟨2+3i⟩是极大理想 , ⟨3‒i⟩不是素理想 ,

证明: 因为N(2+3i)=13是素数 , 所以2+3i是不可约元 , 故⟨2+3i⟩是极大理想

而3‒i=(1‒2i)(1+i) , 故3‒i不是不可约元 , 从而⟨3‒i⟩不是素理想 ,

习题12试证明环Z[$\sqrt{- 2}$]={a+b$\sqrt{- 2}$|a , b ∈ Z}是欧氏环 ,

证明: 对α=a+b$\sqrt{- 2}$ , 定义N(α)=a²+2b² , 易知 , N(αβ)=N(α)N(β) ,

令αβ^‒1=s+t$\sqrt{- 2}$ , 其中α , β属于Z[$\sqrt{- 2}$] ,

取属于Z的s' , t' , 使得$|s - s'| \leqslant \frac{1}{2}$ ,

令q=s'+t'$\sqrt{- 2}$ , r=α‒βq ,

则N(r)=N(α‒βq)=N(β)N(αβ^‒1‒q)=N(β)[(s‒s')²+2(t‒t')²]＜N(β) ,

因此 , Z[$\sqrt{- 2}$]是欧氏环 ,

习题13试证明在唯一分解整环中ab~(a , b)[a , b] ,

证明: 设a=u$p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}$⋯$p_{t}^{k_{t}}$ , b=v$p_{1}^{l_{1}}p_{2}^{l_{2}}$⋯$p_{2}^{l_{2}}$ ,

其中u , v是环中的可逆元 , p₁ , p₂ , ⋯ , p_t是互不相伴的不可约元 , k_{i ,} l_i属于N

则(a , b)=$p_{1}^{r_{1}}p_{2}^{r_{2}}$⋯$p_{t}^{r_{t}}$ , [a , b]=$p_{1}^{s_{1}}p_{2}^{s_{2}}$⋯$p_{t}^{s_{t}}$ , r_i=min{k_i , l_i} , s_i=max{k_i , l_i} ,

结论成立

习题14设R是唯一分解整环 , 属于R的a不等于0 ,

试证明R仅有有限多个主理想含有a ,

证明: 设⟨b⟩是含有a的任一理想 , 则b|a , 若a可逆 , 则b可逆 , ⟨b⟩=R ,

若a不可逆 , 则由R是唯一分解整环知a只有有限多个真因子 ,

因此 , 仅有有限多个主理想含有a ,

习题15设R是有1的交换环 , p是不可约元 , 则理想⟨p⟩是R的非平凡理想 ,

证明: 用反证法 ,

假设⟨p⟩=R , 由于1属于R , 因此必有属于R的p使得pq=1 , 从而p为可逆元 , 矛盾 ,

习题16设R是整环 , R中任何两个元素均有最大公因子 ,

试证明R中的不可约元是素元 ,

证明: 用反证法 ,

设p是不可约元 , 不是素元 , 则存在属于R的a , b , 使p|ab且p∤a , p∤b ,

因而有(p , a)~1 , (p , b)~1 , 由此得(p , ab)~1 , 这与p|ab矛盾

习题17设R是主理想整环 , R₁是整环且R包含于R_{1 ,}

又设a , b是R中非零元 , d为a , b在R中的最大公因子 ,

试证明d也是a , b在R₁中的最大公因子 ,

证明: 在R₁中仍有d|a , d|b , 于是d也是a , b在R₁中的公因子 ,

又有属于R的u , v , 使得d=au+b属于R⊆R₁ ,

若d₁是a , b在R₁中的公因子 , 则d₁|a且d₁|b ,

于是d₁|d , 即d也是a , b在R₁中的最大公因子 ,

习题18设R是主理想整环 , I是R的理想且I≠{0} , 试证明

(1)R/I的每个理想都是主理想;

(2)R/1中仅有有限多个理想 ,

证明(1)设$\overline{J}$是R/I的一个理想 , 于是有I包含于R的理想J , 使得$\overline{J}$=J/I ,

因为R是主理想整环 , 于是有属于R的a , 使得J=⟨a⟩ , 因此 , $\overline{J}$=⟨a+I⟩是主理想

(2)设I=⟨b⟩ , 若b可逆 , 则I=R , R/I只有一个理想 ,

若b不可逆 , 则b只有有限多个真因子 ,

由结论(1)知 , 若$\overline{J}$是R/I的一个理想 , 则有$\overline{J}$=J/I , J=⟨a⟩ , 由I包含于J , 可得a|b

由于b只有有限多个因子 , 所以 , R/I中仅有有限多个理想 ,