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6.在 ℝ 4 \mathbb{R}^{4} 中取两个基

旧基 : 𝜶 1 = [ 1 0 0 0 ] , 𝜶 2 = [ 0 1 0 0 ] , 𝜶 3 = [ 0 0 1 0 ] , 𝜶 4 = [ 0 0 0 1 ] , :\quad\mathbf{\alpha}_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix},\quad\mathbf{\alpha}_{2} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix},\quad\mathbf{\alpha}_{3} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},\quad\mathbf{\alpha}_{4} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix},

新基 : 𝜷 1 = [ 2 1 − 1 1 ] , β 2 = [ 0 3 1 0 ] , β 3 = [ 5 3 2 1 ] , β 4 = [ 6 6 1 3 ] . :\quad\mathbf{\beta}_{1} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ - 1 \\ 1 \end{bmatrix},\quad\beta_{2} = \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},\quad\beta_{3} = \begin{bmatrix} 5 \\ 3 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix},\quad\beta_{4} = \begin{bmatrix} 6 \\ 6 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}.

(1)求由旧基到新基的过渡矩阵

(2)求向量 𝝍 = [ x 1 x 2 x 3 x 4 ] \mathbf{\psi} = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{bmatrix} 在新基中的坐标

(3)求在两个基中有相同坐标的向量 𝜻 \mathbf{\zeta}

解：设 φ在旧基下的坐标为 𝒙 = [ x 1 x 2 x 3 x 4 ] \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{bmatrix} ，在新基下的坐标为 𝒚 = [ y 1 y 2 y 3 y 4 ] \mathbf{y} = \begin{bmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \\ y_{4} \end{bmatrix} 。

根据基变换公式（新基表示旧基）

对每个旧基向量 α j \alpha_{j} 有： α j = q 1 j β 1 + q 2 j β 2 + q 3 j β 3 + q 4 j β 4 \alpha_{j} = q_{1j}\beta_{1} + q_{2j}\beta_{2} + q_{3j}\beta_{3} + q_{4j}\beta_{4}

α 1 \alpha_{1} = [ 1 0 0 0 ] = q 11 [ 2 1 − 1 1 ] + q 21 [ 0 3 1 0 ] + q 31 [ 5 3 2 1 ] + q 41 [ 6 6 1 3 ] \begin{matrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = q_{11}\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ - 1 \\ 1 \end{bmatrix} + q_{21}\begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + q_{31}\begin{bmatrix} 5 \\ 3 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} + q_{41}\begin{bmatrix} 6 \\ 6 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix} \end{matrix}

得 q 11 = 4 9 , q 21 = 1 27 , q 31 = 1 3 , q 41 = − 7 27 . q_{11} = \frac{4}{9},\quad q_{21} = \frac{1}{27},\quad q_{31} = \frac{1}{3},\quad q_{41} = - \frac{7}{27}.

α 2 \alpha_{2} = [ 0 1 0 0 ] = q 12 [ 2 1 − 1 1 ] + q 22 [ 0 3 1 0 ] + q 32 [ 5 3 2 1 ] + q 42 [ 6 6 1 3 ] \begin{matrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = q_{12}\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ - 1 \\ 1 \end{bmatrix} + q_{22}\begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + q_{32}\begin{bmatrix} 5 \\ 3 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} + q_{42}\begin{bmatrix} 6 \\ 6 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix} \end{matrix}

得 q 12 = 1 3 , q 22 = 4 9 , q 32 = 0 , q 42 = − 1 9 . q_{12} = \frac{1}{3},\quad q_{22} = \frac{4}{9},\quad q_{32} = 0,\quad q_{42} = - \frac{1}{9}.

α 3 \alpha_{3} = [ 0 0 1 0 ] = q 13 [ 2 1 − 1 1 ] + q 23 [ 0 3 1 0 ] + q 33 [ 5 3 2 1 ] + q 43 [ 6 6 1 3 ] \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{matrix} q_{13}\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ - 1 \\ 1 \end{bmatrix} + q_{23}\begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + q_{33}\begin{bmatrix} 5 \\ 3 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} + q_{43}\begin{bmatrix} 6 \\ 6 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix} \end{matrix}

得 q 13 = − 1 , q 23 = − 1 3 , q 33 = 0 , q 43 = 1 3 . q_{13} = - 1,\quad q_{23} = - \frac{1}{3},\quad q_{33} = 0,\quad q_{43} = \frac{1}{3}.

α 4 \alpha_{4} = [ 0 0 0 1 ] = q 14 [ 2 1 − 1 1 ] + q 24 [ 0 3 1 0 ] + q 34 [ 5 3 2 1 ] + q 44 [ 6 6 1 3 ] \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{matrix} q_{14}\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ - 1 \\ 1 \end{bmatrix} + q_{24}\begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + q_{34}\begin{bmatrix} 5 \\ 3 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} + q_{44}\begin{bmatrix} 6 \\ 6 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix} \end{matrix}

得 q 14 = − 11 9 , q 24 = − 23 27 , q 34 = − 2 3 , q 44 = 26 27 . q_{14} = - \frac{11}{9},\quad q_{24} = - \frac{23}{27},\quad q_{34} = - \frac{2}{3},\quad q_{44} = \frac{26}{27}.

因此，向量φ在新基中的坐标为

[ y 1 y 2 y 3 y 4 ] = x 1 [ q 11 q 21 q 31 q 41 ] + x 2 [ q 12 q 22 q 32 q 42 ] + x 3 [ q 13 q 23 q 33 q 43 ] + x 4 [ q 14 q 24 q 34 q 44 ] \begin{bmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \\ y_{4} \end{bmatrix} = x_{1}\begin{bmatrix} q_{11} \\ q_{21} \\ q_{31} \\ q_{41} \end{bmatrix} + x_{2}\begin{bmatrix} q_{12} \\ q_{22} \\ q_{32} \\ q_{42} \end{bmatrix} + x_{3}\begin{bmatrix} q_{13} \\ q_{23} \\ q_{33} \\ q_{43} \end{bmatrix} + x_{4}\begin{bmatrix} q_{14} \\ q_{24} \\ q_{34} \\ q_{44} \end{bmatrix}

= x 1 [ 4 9 1 27 1 3 − 7 27 ] + x 2 [ 1 3 4 9 0 − 1 9 ] + x 3 [ − 1 − 1 3 0 1 3 ] + x 4 [ − 11 9 − 23 27 − 2 3 26 27 ] = x_{1}\begin{bmatrix} \frac{4}{9} \\ \frac{1}{27} \\ \frac{1}{3} \\ - \frac{7}{27} \end{bmatrix} + x_{2}\begin{bmatrix} \frac{1}{3} \\ \frac{4}{9} \\ 0 \\ - \frac{1}{9} \end{bmatrix} + x_{3}\begin{bmatrix} - 1 \\ - \frac{1}{3} \\ 0 \\ \frac{1}{3} \end{bmatrix} + x_{4}\begin{bmatrix} - \frac{11}{9} \\ - \frac{23}{27} \\ - \frac{2}{3} \\ \frac{26}{27} \end{bmatrix}

根据基变换公式（旧基表示新基）

对每个新基向量 β j \beta_{j} 有： β j = p 1 j α 1 + p 2 j α 2 + p 3 j α 3 + p 4 j α 4 \beta_{j} = p_{1j}\alpha_{1} + p_{2j}\alpha_{2} + p_{3j}\alpha_{3} + p_{4j}\alpha_{4}

β 1 = [ 2 1 − 1 1 ] = p 11 [ 1 0 0 0 ] + p 21 [ 0 1 0 0 ] + p 31 [ 0 0 1 0 ] + p 41 [ 0 0 0 1 ] \beta_{1} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ - 1 \\ 1 \end{bmatrix} = p_{11}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + p_{21}\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + p_{31}\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + p_{41}\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} ，

得： p 11 = 2 , p 21 = 1 , p 31 = − 1 , p 41 = 1 p_{11} = 2,p_{21} = 1,p_{31} = - 1,p_{41} = 1 。

β 2 = [ 0 3 1 0 ] = p 12 [ 1 0 0 0 ] + p 22 [ 0 1 0 0 ] + p 32 [ 0 0 1 0 ] + p 42 [ 0 0 0 1 ] \beta_{2} = \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = p_{12}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + p_{22}\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + p_{32}\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + p_{42}\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}

得： p 12 = 0 , p 22 = 3 , p 32 = 1 , p 42 = 0 p_{12} = 0,p_{22} = 3,p_{32} = 1,p_{42} = 0 。

β 3 = [ 5 3 2 1 ] = p 13 [ 1 0 0 0 ] + p 23 [ 0 1 0 0 ] + p 33 [ 0 0 1 0 ] + p 43 [ 0 0 0 1 ] \beta_{3} = \begin{bmatrix} 5 \\ 3 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} = p_{13}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + p_{23}\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + p_{33}\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + p_{43}\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}

得： p 13 = 5 , p 23 = 3 , p 33 = 2 , p 43 = 1 p_{13} = 5,p_{23} = 3,p_{33} = 2,p_{43} = 1 。

β 4 = [ 6 6 1 3 ] = p 14 [ 1 0 0 0 ] + p 24 [ 0 1 0 0 ] + p 34 [ 0 0 1 0 ] + p 44 [ 0 0 0 1 ] \beta_{4} = \begin{bmatrix} 6 \\ 6 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix} = p_{14}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + p_{24}\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + p_{34}\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + p_{44}\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}

得： p 14 = 6 , p 24 = 6 , p 34 = 1 , p 44 = 3 p_{14} = 6,p_{24} = 6,p_{34} = 1,p_{44} = 3 。

因此，向量φ在旧基中的坐标为

[ x 1 x 2 x 3 x 4 ] = y 1 [ p 11 p 21 p 31 p 41 ] + y 2 [ p 12 p 22 p 32 p 42 ] + y 3 [ p 13 p 23 p 33 p 43 ] + y 4 [ p 14 p 24 p 34 p 44 ] \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{bmatrix} = y_{1}\begin{bmatrix} p_{11} \\ p_{21} \\ p_{31} \\ p_{41} \end{bmatrix} + y_{2}\begin{bmatrix} p_{12} \\ p_{22} \\ p_{32} \\ p_{42} \end{bmatrix} + y_{3}\begin{bmatrix} p_{13} \\ p_{23} \\ p_{33} \\ p_{43} \end{bmatrix} + y_{4}\begin{bmatrix} p_{14} \\ p_{24} \\ p_{34} \\ p_{44} \end{bmatrix}

= y 1 [ 2 1 − 1 1 ] + y 2 [ 0 3 1 0 ] + y 3 [ 5 3 2 1 ] + y 4 [ 6 6 1 3 ] = y_{1}\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ - 1 \\ 1 \end{bmatrix} + y_{2}\begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + y_{3}\begin{bmatrix} 5 \\ 3 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} + y_{4}\begin{bmatrix} 6 \\ 6 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}

(3) 求在两个基中有相同坐标的向量 ζ \zeta

解：设 ζ \zeta 在旧基下的坐标为 x = [ x 1 x 2 x 3 x 4 ] x = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{bmatrix} ，在新基下的坐标也为 x = [ x 1 x 2 x 3 x 4 ] x = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{bmatrix} 。

那么，

x 1 [ 4 9 1 27 1 3 − 7 27 ] + x 2 [ 1 3 4 9 0 − 1 9 ] + x 3 [ − 1 − 1 3 0 1 3 ] + x 4 [ − 11 9 − 23 27 − 2 3 26 27 ] = x 1 [ 2 1 − 1 1 ] + x 2 [ 0 3 1 0 ] + x 3 [ 5 3 2 1 ] + x 4 [ 6 6 1 3 ] x_{1}\begin{bmatrix} \frac{4}{9} \\ \frac{1}{27} \\ \frac{1}{3} \\ - \frac{7}{27} \end{bmatrix} + x_{2}\begin{bmatrix} \frac{1}{3} \\ \frac{4}{9} \\ 0 \\ - \frac{1}{9} \end{bmatrix} + x_{3}\begin{bmatrix} - 1 \\ - \frac{1}{3} \\ 0 \\ \frac{1}{3} \end{bmatrix} + x_{4}\begin{bmatrix} - \frac{11}{9} \\ - \frac{23}{27} \\ - \frac{2}{3} \\ \frac{26}{27} \end{bmatrix} = x_{1}\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ - 1 \\ 1 \end{bmatrix} + x_{2}\begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_{3}\begin{bmatrix} 5 \\ 3 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} + x_{4}\begin{bmatrix} 6 \\ 6 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}

{ − 14 9 x 1 + 1 3 x 2 − 6 x 3 − 65 9 x 4 = 0 − 26 27 x 1 − 23 9 x 2 − 10 3 x 3 − 185 27 x 4 = 0 4 3 x 1 − x 2 − 2 x 3 − 5 3 x 4 = 0 − 34 27 x 1 − 1 9 x 2 − 2 3 x 3 − 55 27 x 4 = 0 \left\{ \begin{matrix} - \frac{14}{9}x_{1} + \frac{1}{3}x_{2} - 6x_{3} - \frac{65}{9}x_{4} = 0\quad \\ - \frac{26}{27}x_{1} - \frac{23}{9}x_{2} - \frac{10}{3}x_{3} - \frac{185}{27}x_{4} = 0\quad \\ \frac{4}{3}x_{1} - x_{2} - 2x_{3} - \frac{5}{3}x_{4} = 0\quad \\ - \frac{34}{27}x_{1} - \frac{1}{9}x_{2} - \frac{2}{3}x_{3} - \frac{55}{27}x_{4} = 0\quad \end{matrix} \right.\

得： x 1 = k , x 2 = k , x 3 = k , x 4 = − k . x_{1} = k,\quad x_{2} = k,\quad x_{3} = k,\quad x_{4} = - k.

因此在两个基中有相同坐标的向量为： ζ = [ k k k − k ] = k [ 1 1 1 − 1 ] , k ∈ ℝ . \zeta = \begin{bmatrix} k \\ k \\ k \\ - k \end{bmatrix} = k\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ - 1 \end{bmatrix},\quad k \in \mathbb{R}.

7 , 2阶矩阵的全体S1对于矩阵的加法和数乘运算构成线性空间,

设线性空间S1中向量

a1= [ 1 2 1 0 ] \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} , a2= [ − 1 − 1 1 1 ] \begin{bmatrix} - 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} , b1= [ 1 3 3 1 ] \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} , b2= [ 2 − 1 4 1 ] \begin{bmatrix} 2 & - 1 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}

(1)问b1能否由a1 , a2线性表示? b2能否由a1 , a2线性表示?

(2)求由向量组a1 , a2 , b1 , b2所生成的向量空间L的维数和一个基

解: (1)

为了利用线性方程组判断线性表示关系，

将每个 2 × 2 2 \times 2 矩阵按“行优先”规则展开为 ℝ 4 \mathbb{R}^{4} 中的列向量

𝒂 1 \mathbf{a}_{1} 展开为列向量： 𝒂 1 = [ 1 2 1 0 ] \mathbf{a}_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} （第1行 1 , 2 1,2 ，第2行 1 , 0 1,0 ）

𝒂 2 \mathbf{a}_{2} 展开为列向量： 𝒂 2 = [ − 1 − 1 1 1 ] \mathbf{a}_{2} = \begin{bmatrix} - 1 \\ - 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} （第1行 − 1 , − 1 - 1, - 1 ，第2行 1 , 1 1,1 ）

𝒃 1 \mathbf{b}_{1} 展开为列向量： 𝒃 1 = [ 1 3 3 1 ] \mathbf{b}_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix} （第1行 1 , 3 1,3 ，第2行 3 , 1 3,1 ）

𝒃 2 \mathbf{b}_{2} 展开为列向量： 𝒃 2 = [ 2 − 1 4 1 ] \mathbf{b}_{2} = \begin{bmatrix} 2 \\ - 1 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix} （第1行 2 , − 1 2, - 1 ，第2行 4 , 1 4,1 ）

一、判断 𝒃 1 \mathbf{b}_{1} 能否由 𝒂 1 \mathbf{a}_{1} 、 𝒂 2 \mathbf{a}_{2} 线性表示

1.线性表示的等价条件

若 𝒃 1 \mathbf{b}_{1} 能由 𝒂 1 \mathbf{a}_{1} 、 𝒂 2 \mathbf{a}_{2} 线性表示，则存在实数 x 1 , x 2 x_{1},x_{2} ，使得： x 1 𝒂 1 + x 2 𝒂 2 = 𝒃 1 x_{1}\mathbf{a}_{1} + x_{2}\mathbf{a}_{2} = \mathbf{b}_{1}

2.转化为一般线性方程组

将 𝒂 1 , 𝒂 2 , 𝒃 1 \mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2},\mathbf{b}_{1} 的列向量形式代入上式，按分量展开得一般线性方程组：

{ 1 ⋅ x 1 + ( − 1 ) ⋅ x 2 = 1 （ 第 1 分 量 ： 1 x 1 − 1 x 2 = 1 ） 2 ⋅ x 1 + ( − 1 ) ⋅ x 2 = 3 （ 第 2 分 量 ： 2 x 1 − 1 x 2 = 3 ） 1 ⋅ x 1 + 1 ⋅ x 2 = 3 （ 第 3 分 量 ： 1 x 1 + 1 x 2 = 3 ） 0 ⋅ x 1 + 1 ⋅ x 2 = 1 （ 第 4 分 量 ： 0 x 1 + 1 x 2 = 1 ） \left\{ \begin{matrix} 1 \cdot x_{1} + ( - 1) \cdot x_{2} = 1\quad （第1分量：1x_{1} - 1x_{2} = 1） \\ 2 \cdot x_{1} + ( - 1) \cdot x_{2} = 3\quad （第2分量：2x_{1} - 1x_{2} = 3） \\ 1 \cdot x_{1} + 1 \cdot x_{2} = 3\quad （第3分量：1x_{1} + 1x_{2} = 3） \\ 0 \cdot x_{1} + 1 \cdot x_{2} = 1\quad （第4分量：0x_{1} + 1x_{2} = 1） \end{matrix} \right.\

3.求解线性方程组

方程组有唯一解 x 1 = 2 , x 2 = 1 x_{1} = 2,x_{2} = 1 ，

因此 𝒃 1 \mathbf{b}_{1} 能由 𝒂 1 \mathbf{a}_{1} 、 𝒂 2 \mathbf{a}_{2} 线性表示，且表示式为： 𝒃 1 = 2 𝒂 1 + 1 𝒂 2 \mathbf{b}_{1} = 2\mathbf{a}_{1} + 1\mathbf{a}_{2}

二、判断 𝒃 2 \mathbf{b}_{2} 能否由 𝒂 1 \mathbf{a}_{1} 、 𝒂 2 \mathbf{a}_{2} 线性表示

1.线性表示的等价条件

若 𝒃 2 \mathbf{b}_{2} 能由 𝒂 1 \mathbf{a}_{1} 、 𝒂 2 \mathbf{a}_{2} 线性表示，则存在实数 y 1 , y 2 y_{1},y_{2} ，使得： y 1 𝒂 1 + y 2 𝒂 2 = 𝒃 2 y_{1}\mathbf{a}_{1} + y_{2}\mathbf{a}_{2} = \mathbf{b}_{2}

2.转化为一般线性方程组

将 𝒂 1 , 𝒂 2 , 𝒃 2 \mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2},\mathbf{b}_{2} 的列向量形式代入上式，按分量展开得一般线性方程组：

{ 1 ⋅ y 1 + ( − 1 ) ⋅ y 2 = 2 （ 第 1 分 量 ： 1 y 1 − 1 y 2 = 2 ） 2 ⋅ y 1 + ( − 1 ) ⋅ y 2 = − 1 （ 第 2 分 量 ： 2 y 1 − 1 y 2 = − 1 ） 1 ⋅ y 1 + 1 ⋅ y 2 = 4 （ 第 3 分 量 ： 1 y 1 + 1 y 2 = 4 ） 0 ⋅ y 1 + 1 ⋅ y 2 = 1 （ 第 4 分 量 ： 0 y 1 + 1 y 2 = 1 ） \left\{ \begin{matrix} 1 \cdot y_{1} + ( - 1) \cdot y_{2} = 2\quad （第1分量：1y_{1} - 1y_{2} = 2） \\ 2 \cdot y_{1} + ( - 1) \cdot y_{2} = - 1\quad （第2分量：2y_{1} - 1y_{2} = - 1） \\ 1 \cdot y_{1} + 1 \cdot y_{2} = 4\quad （第3分量：1y_{1} + 1y_{2} = 4） \\ 0 \cdot y_{1} + 1 \cdot y_{2} = 1\quad （第4分量：0y_{1} + 1y_{2} = 1） \end{matrix} \right.\

3.求解线性方程组

方程组无解。

因此 𝒃 2 \mathbf{b}_{2} 不能由 𝒂 1 \mathbf{a}_{1} 、 𝒂 2 \mathbf{a}_{2} 线性表示。

(2)一、核心概念与解题思路

向量组生成的线性空间 L = L ( 𝒂 1 , 𝒂 2 , 𝒃 1 , 𝒃 2 ) L = L(\mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2},\mathbf{b}_{1},\mathbf{b}_{2}) ，其维数等于该向量组的秩

（即向量组中线性无关向量的最大个数）；

其基是该向量组的一个极大线性无关组

由于向量为 2 × 2 2 \times 2 矩阵（属于 2 × 2 2 \times 2 矩阵空间，与 ℝ 4 \mathbb{R}^{4} 同构），

需先将矩阵转化为 ℝ 4 \mathbb{R}^{4} 中的列向量

（统一按“行优先”展开，即先取第1行元素，再取第2行元素），

再通过初等行变换求矩阵的秩与极大无关组。

二、步骤1：将矩阵向量转化为 ℝ 4 \mathbb{R}^{4} 中的列向量

按“行优先”规则展开每个 2 × 2 2 \times 2 矩阵（矩阵 [ m 11 m 12 m 21 m 22 ] \begin{bmatrix} m_{11} & m_{12} \\ m_{21} & m_{22} \end{bmatrix} 对应列向量 [ m 11 m 12 m 21 m 22 ] \begin{bmatrix} m_{11} \\ m_{12} \\ m_{21} \\ m_{22} \end{bmatrix} ）：

𝒂 1 = [ 1 2 1 0 ] ⇒ 𝒂 1 = [ 1 2 1 0 ] \mathbf{a}_{1} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \Longrightarrow \mathbf{a}_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}

𝒂 2 = [ − 1 − 1 1 1 ] ⇒ 𝒂 2 = [ − 1 − 1 1 1 ] \mathbf{a}_{2} = \begin{bmatrix} - 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \Longrightarrow \mathbf{a}_{2} = \begin{bmatrix} - 1 \\ - 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}

𝒃 1 = [ 1 3 3 1 ] ⇒ 𝒃 1 = [ 1 3 3 1 ] \mathbf{b}_{1} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \Longrightarrow \mathbf{b}_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}

𝒃 2 = [ 2 − 1 4 1 ] ⇒ 𝒃 2 = [ 2 − 1 4 1 ] \mathbf{b}_{2} = \begin{bmatrix} 2 & - 1 \\ 4 & 1 \end{bmatrix} \Longrightarrow \mathbf{b}_{2} = \begin{bmatrix} 2 \\ - 1 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix}

步骤2：构造向量组构成的矩阵（列向量按列排列）

将上述4个列向量作为列，构造矩阵 M M

（后续通过初等行变换化为行阶梯形，不改变列向量的线性关系）：

M = [ 1 − 1 1 2 2 − 1 3 − 1 1 1 3 4 0 1 1 1 ] → [ 1 − 1 1 2 0 1 1 − 5 0 2 2 2 0 1 1 1 ] → M = \begin{bmatrix} 1 & - 1 & 1 & 2 \\ 2 & - 1 & 3 & - 1 \\ 1 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & - 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & - 5 \\ 0 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow

[ 1 − 1 1 2 0 1 1 − 5 0 0 0 12 0 0 0 6 ] → [ 1 − 1 1 2 0 1 1 − 5 0 0 0 1 0 0 0 0 ] \begin{bmatrix} 1 & - 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & - 5 \\ 0 & 0 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & - 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & - 5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

步骤4：分析行阶梯形，求向量组的秩与极大无关组

1.求秩（即空间 L L 的维数）

行阶梯形中非零行的个数即为矩阵的秩，也是向量组的秩。

上述行阶梯形有3个非零行，

因此：向量组 𝒂 1 , 𝒂 2 , 𝒃 1 , 𝒃 2 \mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2},\mathbf{b}_{1},\mathbf{b}_{2} 的秩为3；生成空间 L L 的维数为3。

2.求极大无关组（即空间 L L 的一个基）

行阶梯形中主元所在的列，对应原矩阵 M M 的列，即为向量组的极大无关组：

行阶梯形的主元分别在第1列、第2列、第4列（主元位置： ( 1 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 4 ) (1,1),(2,2),(3,4) ）；

原矩阵 M M 的第1列对应 𝒂 1 \mathbf{a}_{1} ，第2列对应 𝒂 2 \mathbf{a}_{2} ，第4列对应 𝒃 2 \mathbf{b}_{2} ；

因此 𝒂 1 , 𝒂 2 , 𝒃 2 \mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2},\mathbf{b}_{2} 是向量组的一个极大线性无关组，可作为空间 L L 的一个基。

验证极大无关组的线性无关性（可选）

假设存在 k 1 , k 2 , k 3 k_{1},k_{2},k_{3} 使得 k 1 𝒂 1 + k 2 𝒂 2 + k 3 𝒃 2 = 𝟎 k_{1}\mathbf{a}_{1} + k_{2}\mathbf{a}_{2} + k_{3}\mathbf{b}_{2} = \mathbf{0} ，

转化为方程组： { k 1 − k 2 + 2 k 3 = 0 2 k 1 − k 2 − k 3 = 0 k 1 + k 2 + 4 k 3 = 0 0 k 1 + k 2 + k 3 = 0 \left\{ \begin{matrix} k_{1} - k_{2} + 2k_{3} = 0 \\ 2k_{1} - k_{2} - k_{3} = 0 \\ k_{1} + k_{2} + 4k_{3} = 0 \\ 0k_{1} + k_{2} + k_{3} = 0 \end{matrix} \right.\

解得唯一解 k 1 = k 2 = k 3 = 0 k_{1} = k_{2} = k_{3} = 0 ，故 𝒂 1 , 𝒂 2 , 𝒃 2 \mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2},\mathbf{b}_{2} 线性无关。

三、最终结论

1.向量组 𝒂 1 , 𝒂 2 , 𝒃 1 , 𝒃 2 \mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2},\mathbf{b}_{1},\mathbf{b}_{2} 生成的空间 L L 的维数为3；

2.空间 L L 的一个基为 { 𝒂 1 , 𝒂 2 , 𝒃 2 } \{\mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2},\mathbf{b}_{2}\}

（或其他极大无关组，如 { 𝒂 1 , 𝒂 2 , 𝒃 1 } \{\mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2},\mathbf{b}_{1}\} ，答案不唯一）。