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2.验证: 与向量[001]\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}不平行的全体3维数组向量

对于数组向量的加法和数乘运算不构成线性空间

证: 一、明确集合VV的定义与向量运算规则

1.集合VV的严格定义

3维数组向量与α=[001]\alpha = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}平行的充要条件是：

存在实数k∈ℝk \in \mathbb{R}，使得该向量可表示为kα=[00k]k\alpha = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ k \end{bmatrix}

（即向量的前两个分量为0，第三个分量为任意实数）。

因此，与α\alpha不平行的3维向量集合为：V={[xyz]∣x,y,z∈ℝ,且(x≠0或y≠0)}V = \left\{ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \mid \ x,y,z \in \mathbb{R},且(x \neq 0或y \neq 0) \right\}

（本质：排除所有“前两分量为0”的向量，其余3维向量均属于VV）。

2.向量的加法与数乘规则

对任意3维向量β=[x1y1z1],γ=[x2y2z2]∈V\beta = \begin{bmatrix} x_{1} \\ y_{1} \\ z_{1} \end{bmatrix},\gamma = \begin{bmatrix} x_{2} \\ y_{2} \\ z_{2} \end{bmatrix} \in V，及任意数k∈ℝk \in \mathbb{R}，

运算规则为：加法：β+γ=[x1+x2y1+y2z1+z2]\beta + \gamma = \begin{bmatrix} x_{1} + x_{2} \\ y_{1} + y_{2} \\ z_{1} + z_{2} \end{bmatrix}，数乘：kβ=[kx1ky1kz1]k\beta = \begin{bmatrix} kx_{1} \\ ky_{1} \\ kz_{1} \end{bmatrix}

二、证明VV不满足线性空间的核心条件

线性空间的核心前提是“对加法和数乘封闭”——即运算结果必须仍属于集合VV。

只需找到一个反例，证明VV对加法不封闭（或对数乘不封闭），

即可否定其为线性空间。

反例1：验证加法不封闭

取VV中的两个向量：

β=[100]\beta = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}：前两个分量中x=1≠0x = 1 \neq 0，与α\alpha不平行，故β∈V\beta \in V；

γ=[−100]\gamma = \begin{bmatrix} - 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}：前两个分量中x=−1≠0x = - 1 \neq 0，与α\alpha不平行，故γ∈V\gamma \in V。

计算它们的和：β+γ=[1+(−1)0+00+0]=[000]\beta + \gamma = \begin{bmatrix} 1 + ( - 1) \\ 0 + 0 \\ 0 + 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}

分析结果：[000]=0⋅α\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = 0 \cdot \alpha（即与α\alpha平行），因此β+γ∉V\beta + \gamma \notin V。

这说明：VV中两个元素的和不属于VV，即VV对加法不封闭。

反例2（补充）：验证数乘不封闭

取VV中的向量β=[100]∈V\beta = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \in V，取数k=0∈ℝk = 0 \in \mathbb{R}，

计算数乘结果：0⋅β=[0×10×00×0]=[000]0 \cdot \beta = \begin{bmatrix} 0 \times 1 \\ 0 \times 0 \\ 0 \times 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}

分析结果：[000]\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}与α\alpha平行，故0⋅β∉V0 \cdot \beta \notin V。

这进一步说明：VV对“零数乘”不封闭。

三、结论

由于集合VV（与α=[001]\alpha = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}不平行的全体3维数组向量）对向量的加法不封闭

（或数乘不封闭），不满足线性空间的核心定义，

因此VV对数组向量的加法和数乘运算不构成线性空间。

3 , 在线性空间P[x]3中 , 下列向量组是否为一个基?

(1) I: 1+x , x+x2 , 1+x3 , 2+2x+x2+x3

(2)II: -1+x , 1-x2 , -2+2x+x2 , x3

解: (1)

第一步：理解空间P[x]3P\lbrack x\rbrack_{3}

P[x]3P\lbrack x\rbrack_{3}表示次数不超过3的多项式构成的线性空间，

即形如：a+bx+cx2+dx3,a,b,c,d∈ℝa + bx + cx^{2} + dx^{3},\quad a,b,c,d \in \mathbb{R}

这是一个4维线性空间。

一个基必须满足两个条件：1.线性无关；2.能生成整个空间

（或等价地，向量个数为4且线性无关）。

由于这里给出了4个向量（多项式），只要它们线性无关，就构成一个基。

第二步：将多项式转化为向量表示

我们取P[x]3P\lbrack x\rbrack_{3}的标准基：{1,x,x2,x3}\{ 1,x,x^{2},x^{3}\}，则每个多项式可表示为坐标向量：

α1=1+x=1⋅1+1⋅x+0⋅x2+0⋅x3⇒(1100)\alpha_{1} = 1 + x = 1 \cdot 1 + 1 \cdot x + 0 \cdot x^{2} + 0 \cdot x^{3} \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}

α2=x+x2=0⋅1+1⋅x+1⋅x2+0⋅x3⇒(0110)\alpha_{2} = x + x^{2} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot x + 1 \cdot x^{2} + 0 \cdot x^{3} \Rightarrow \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}

α3=1+x3=1⋅1+0⋅x+0⋅x2+1⋅x3⇒(1001)\alpha_{3} = 1 + x^{3} = 1 \cdot 1 + 0 \cdot x + 0 \cdot x^{2} + 1 \cdot x^{3} \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}

α4=2+2x+x2+x3⇒(2211)\alpha_{4} = 2 + 2x + x^{2} + x^{3} \Rightarrow \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}

第三步：构造矩阵并判断线性无关性

将这四个向量作为列向量构成一个4×44 \times 4矩阵AA：A=(1012110201010011)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ & & & \end{pmatrix}

我们计算该矩阵的行列式或进行行变换，判断其是否满秩（秩为4）。

方法：行变换化为阶梯形

A=(1012110201010011)→(101201−1001010011)→(101201−1000110011)→A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ & & & \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ & & & \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ & & & \end{pmatrix} \rightarrow

(101201−1000110000)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ & & & \end{pmatrix}

得到阶梯形矩阵，有3个非零行，说明矩阵的秩为3<4。

第四步：结论

四个向量组成的矩阵秩为3，说明这四个向量线性相关。

虽然个数是4（与维数相同），但不线性无关，因此不能构成基。

(2)第一步：理解空间P[x]3P\lbrack x\rbrack_{3}

P[x]3P\lbrack x\rbrack_{3}表示次数不超过3的多项式构成的线性空间，

即形如：a+bx+cx2+dx3a + bx + cx^{2} + dx^{3}的所有多项式，其中a,b,c,d∈ℝa,b,c,d \in \mathbb{R}

（或某个数域，题目中记为PP，一般理解为实数域）。

这个空间的维数是4，因为标准基是：{1,x,x2,x3}\{ 1,\ x,\ x^{2},\ x^{3}\}

第二步：判断一个向量组是否为基的条件

在一个nn维线性空间中，一个向量组是基需要它满足以下两个条件：

1.向量个数=维数（这里是4个向量，满足）；

2.向量组线性无关。

或者等价地：

向量组能线性表示空间中任意向量（即生成整个空间），且个数为维数。

由于这里有4个向量，空间维数为4，

因此只需判断这4个向量是否线性无关。

如果线性无关，则构成基；否则不构成基。

第三步：将多项式转化为向量表示

我们可以将每个多项式用其在标准基{1,x,x2,x3}\{ 1,x,x^{2},x^{3}\}下的坐标向量表示。

令：−1+x=(−1)⋅1+1⋅x+0⋅x2+0⋅x3⇒[−1100]- 1 + x = ( - 1) \cdot 1 + 1 \cdot x + 0 \cdot x^{2} + 0 \cdot x^{3} \Rightarrow \begin{bmatrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}

1−x2=1⋅1+0⋅x+(−1)⋅x2+0⋅x3⇒[10−10]1 - x^{2} = 1 \cdot 1 + 0 \cdot x + ( - 1) \cdot x^{2} + 0 \cdot x^{3} \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ - 1 \\ 0 \end{bmatrix}

−2+2x+x2=(−2)⋅1+2⋅x+1⋅x2+0⋅x3⇒[−2210]- 2 + 2x + x^{2} = ( - 2) \cdot 1 + 2 \cdot x + 1 \cdot x^{2} + 0 \cdot x^{3} \Rightarrow \begin{bmatrix} - 2 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}

x3=0⋅1+0⋅x+0⋅x2+1⋅x3⇒[0001]x^{3} = 0 \cdot 1 + 0 \cdot x + 0 \cdot x^{2} + 1 \cdot x^{3} \Rightarrow \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}

构造矩阵AA，其列为这些坐标向量：A=[−11−2010200−1100001]A = \begin{bmatrix} - 1 & 1 & - 2 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ & & & \end{bmatrix}

我们判断这个矩阵的秩是否为4，即行列式是否非零，或是否满秩。

第四步：化为行阶梯形,进行行变换判断秩。

A=[−11−2010200−1100001]→[1020−11−200−1100001]→[102001000−1100001]→A = \begin{bmatrix} - 1 & 1 & - 2 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\ - 1 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow

[1020010000100001]→[1000010000100001]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

第五步：结论

因为矩阵AA秩是为4，所以四个向量线性无关。

又因为它们的个数等于空间维数4，所以它们构成P[x]3P\lbrack x\rbrack_{3}的一个基。

4 , 在R3中求向量φ=[731]\begin{bmatrix} 7 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}在基α1=[135]\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{bmatrix} , α2=[632]\begin{bmatrix} 6 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix} , α3=[310]\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}中的坐标

解:

要求在基 α1,α2,α3\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3} 下的坐标 (x1,x2,x3)(x_{1},x_{2},x_{3})，即φ=x1α1+x2α2+x3α3\varphi = x_{1}\alpha_{1} + x_{2}\alpha_{2} + x_{3}\alpha_{3}

1. 列成矩阵方程[163331520][x1x2x3]=[731]\begin{bmatrix} 1 & 6 & 3 \\ 3 & 3 & 1 \\ 5 & 2 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}

2. 解方程组得

坐标是[x1x2x3]=[1−26]\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ - 2 \\ 6 \end{bmatrix}

5.在ℝ3\mathbb{R}^{3}中给定两组基：

旧基:α1=[121],α2=[233],α3=[37−2]:\ \alpha_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix},\ \alpha_{2} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 3 \end{bmatrix},\ \alpha_{3} = \begin{bmatrix} 3 \\ 7 \\ - 2 \end{bmatrix} ；新基:β1=[314],β2=[521],β3=[11−6]:\ \beta_{1} = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix},\ \beta_{2} = \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix},\ \beta_{3} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ - 6 \end{bmatrix}

试求两组基之间的坐标变换公式。

解：设向量φ在旧基中的坐标为x=[x1x2x3]x = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix}，在新基中的坐标为y=[y1y2y3]y = \begin{bmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{bmatrix}。

情形1：对每个旧基向量αj\alpha_{j}有：αj=q1jβ1+q2jβ2+q3jβ3\alpha_{j} = q_{1j}\beta_{1} + {q_{2j}\beta}_{2} + q_{3j}\beta_{3} 。

α1\alpha_{1}=[121]=q11[314]+q21[521]+q31[11−6]\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} = q_{11}\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix} + q_{21}\begin{bmatrix} 5 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} + q_{31}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ - 6 \end{bmatrix} ，得：q11=13,q21=−9,q31=7q_{11} = 13,\ q_{21} = - 9,\ q_{31} = 7

α2\alpha_{2}=[233]=q12[314]+q22[521]+q32[11−6]\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 3 \end{bmatrix} = q_{12}\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix} + q_{22}\begin{bmatrix} 5 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} + q_{32}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ - 6 \end{bmatrix} ，得：q12=19,q22=−13,q32=10q_{12} = 19,\ q_{22} = - 13,\ q_{32} = 10

α3\alpha_{3}=[37−2]=q13[314]+q23[521]+q33[11−6]\begin{bmatrix} 3 \\ 7 \\ - 2 \end{bmatrix} = q_{13}\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix} + q_{23}\begin{bmatrix} 5 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} + q_{33}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ - 6 \end{bmatrix} ，得：q13=43,q23=−30,q33=24q_{13} = 43,\ q_{23} = - 30,\ q_{33} = 24

因此，向量φ在新基中的坐标为，

[y1y2y3]=x1[q11q21q31]+x2[q12q22q32]+x3[q13q23q33]=x1[13−97]+x2[19−1310]+x3[43−3024]\begin{bmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{bmatrix} = x_{1}\begin{bmatrix} q_{11} \\ q_{21} \\ q_{31} \end{bmatrix} + x_{2}\begin{bmatrix} q_{12} \\ q_{22} \\ q_{32} \end{bmatrix} + x_{3}\begin{bmatrix} q_{13} \\ q_{23} \\ q_{33} \end{bmatrix} = x_{1}\begin{bmatrix} 13 \\ - 9 \\ 7 \end{bmatrix} + x_{2}\begin{bmatrix} 19 \\ - 13 \\ 10 \end{bmatrix} + x_{3}\begin{bmatrix} 43 \\ - 30 \\ 24 \end{bmatrix}

情形2：对每个新基向量βj\beta_{j}有：βj=p1jα1+p2jα2+p3jα3\beta_{j} = p_{1j}\alpha_{1} + p_{2j}\alpha_{2} + p_{3j}\alpha_{3} 。

β1\beta_{1}=[314]=p11[121]+p21[233]+p31[37−2]\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix} = p_{11}\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} + p_{21}\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 3 \end{bmatrix} + p_{31}\begin{bmatrix} 3 \\ 7 \\ - 2 \end{bmatrix} ，得：p11=−12,p21=6,p31=1p_{11} = - 12,\ p_{21} = 6,\ p_{31} = 1

β2\beta_{2}=[521]=p12[121]+p22[233]+p32[37−2]\begin{bmatrix} 5 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} = p_{12}\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} + p_{22}\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 3 \end{bmatrix} + p_{32}\begin{bmatrix} 3 \\ 7 \\ - 2 \end{bmatrix} ，得：p12=−26,p22=11,p32=3p_{12} = - 26,\ p_{22} = 11,\ p_{32} = 3

β3\beta_{3}=[11−6]=p13[121]+p23[233]+p33[37−2]\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ - 6 \end{bmatrix} = p_{13}\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} + p_{23}\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 3 \end{bmatrix} + p_{33}\begin{bmatrix} 3 \\ 7 \\ - 2 \end{bmatrix} ，得：p13=−11,p23=3,p33=2p_{13} = - 11,\ p_{23} = 3,\ p_{33} = 2

因此，向量φ在旧基中的坐标为，

[x1x2x3]=y1[p11p21p31]+y2[p12p22p32]+y3[p13p23p33]=y1[−1261]+y2[−26113]+y3[−1132]\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix} = y_{1}\begin{bmatrix} p_{11} \\ p_{21} \\ p_{31} \end{bmatrix} + y_{2}\begin{bmatrix} p_{12} \\ p_{22} \\ p_{32} \end{bmatrix} + y_{3}\begin{bmatrix} p_{13} \\ p_{23} \\ p_{33} \end{bmatrix} = y_{1}\begin{bmatrix} - 12 \\ 6 \\ 1 \end{bmatrix} + y_{2}\begin{bmatrix} - 26 \\ 11 \\ 3 \end{bmatrix} + y_{3}\begin{bmatrix} - 11 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}\