1.验证:

(1)2阶矩阵的全体S₁

(2)主对角线上的元素之和等于0的2阶矩阵的全体S₂

(3)2阶对称矩阵的全体S₃

对于矩阵的加法和数乘运算构成线性空间 , 并写出各个空间的一个基

解:(1)

一、明确基础概念与运算规则

首先定义研究对象和运算：

集合$S_{1}$的定义：全体2阶矩阵构成的集合，即$S_{1} = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \mid a,b,c,d \in \mathbb{R} \right\}$

（$\mathbb{R}$为实数域，若未指定域，默认实数域）。

矩阵加法：

对任意$A = \begin{pmatrix} a_{1} & b_{1} \\ c_{1} & d_{1} \end{pmatrix},B = \begin{pmatrix} a_{2} & b_{2} \\ c_{2} & d_{2} \end{pmatrix} \in S_{1}$，规定$A + B = \begin{pmatrix} a_{1} + a_{2} & b_{1} + b_{2} \\ c_{1} + c_{2} & d_{1} + d_{2} \end{pmatrix}$。

数乘运算：对任意$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in S_{1}$和数$k \in \mathbb{R}$，规定$kA = \begin{pmatrix} ka & kb \\ kc & kd \end{pmatrix}$。

二、验证$S_{1}$满足向量空间的8条运算律

向量空间的核心是“对加法和数乘封闭，且满足8条运算律”，逐一验证：

设$A,B,C \in S_{1}$，$k,l \in \mathbb{R}$，根据矩阵运算的基本性质：

1.加法交换律：$A + B = B + A$矩阵加法按元素相加，

实数加法满足交换律，故矩阵加法交换律成立。

2.加法结合律：$(A + B) + C = A + (B + C)$同理，

实数加法满足结合律，矩阵加法结合律成立。

3.存在零元素：存在$O = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \in S_{1}$，使$A + O = A$

零矩阵是2阶矩阵，属于$S_{1}$，且加零矩阵不改变原矩阵，零元素存在。

4.存在负元素：对任意$A$，存在$- A = \begin{pmatrix} - a & - b \\ - c & - d \end{pmatrix} \in S_{1}$，使$A + ( - A) = O$

$- A$是2阶矩阵，属于$S_{1}$，且与$A$相加得零矩阵，负元素存在。

5.数乘结合律：$k(lA) = (kl)A$数乘按元素缩放，实数乘法满足结合律，

故$k(lA) = \begin{pmatrix} k(la) & k(lb) \\ k(lc) & k(ld) \end{pmatrix} = (kl)A$。

6.数乘对加法的分配律：$k(A + B) = kA + kB$

左边$k(A + B) = \begin{pmatrix} k(a_{1} + a_{2}) & k(b_{1} + b_{2}) \\ k(c_{1} + c_{2}) & k(d_{1} + d_{2}) \end{pmatrix}$，

右边$kA + kB = \begin{pmatrix} ka_{1} + ka_{2} & kb_{1} + kb_{2} \\ kc_{1} + kc_{2} & kd_{1} + kd_{2} \end{pmatrix}$，两者相等。

7.加法对数乘的分配律：$(k + l)A = kA + lA$

左边$(k + l)A = \begin{pmatrix} (k + l)a & (k + l)b \\ (k + l)c & (k + l)d \end{pmatrix}$，

右边$kA + lA = \begin{pmatrix} ka + la & kb + lb \\ kc + lc & kd + ld \end{pmatrix}$，两者相等。

8.单位数乘律：$1 \cdot A = A1 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 \cdot a & 1 \cdot b \\ 1 \cdot c & 1 \cdot d \end{pmatrix} = A$，显然成立。

三、验证封闭性（向量空间的隐含条件）

除8条运算律外，需确认“运算结果仍在集合内”：

加法封闭：$A + B$是2阶矩阵，故$A + B \in S_{1}$；

数乘封闭：$kA$是2阶矩阵，故$kA \in S_{1}$。

综上，$S_{1}$对矩阵加法和数乘构成向量空间。

四、求$S_{1}$的一个基

向量空间的基需满足两个条件：

1.线性无关：向量组中任意一个向量不能由其余向量线性表示；

2.生成空间：空间中任意元素都能由该向量组线性表示。

步骤1：构造“标准基”向量组

观察2阶矩阵的结构：任意2阶矩阵$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$可拆分为：

$A = a \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + b \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + c \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + d \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$。

记这4个矩阵为：

$E_{11} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$（仅(1,1)位置为1，其余为0），

$E_{12} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$（仅(1,2)位置为1，其余为0），

$E_{21} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$（仅(2,1)位置为1，其余为0），

$E_{22} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$（仅(2,2)位置为1，其余为0）。

步骤2：验证线性无关

假设存在数$k_{1},k_{2},k_{3},k_{4} \in \mathbb{R}$，使得：$k_{1}E_{11} + k_{2}E_{12} + k_{3}E_{21} + k_{4}E_{22} = O$（零矩阵）。

左边展开得：$\begin{pmatrix} k_{1} & k_{2} \\ k_{3} & k_{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$。

矩阵相等需对应元素相等，故$k_{1} = k_{2} = k_{3} = k_{4} = 0$，即$\{ E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\}$线性无关。

步骤3：验证生成性由步骤1的拆分可知，

任意2阶矩阵都能由$\{ E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\}$线性表示。

因此，$\{ E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\}$是$S_{1}$的一个基（称为2阶矩阵空间的“标准基”）。

最终结论

1. 二阶矩阵的全体$S_{1}$对矩阵加法和数乘运算构成向量空间；

2. 该向量空间的一个基为：$\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right\}$（维度为4）。

(2)一、明确基础概念与运算规则

首先定义研究对象和运算（与2阶矩阵空间一致，核心是$S_{2}$的特殊约束）：

集合$S_{2}$的定义：

主对角线元素之和为0的2阶矩阵，即$S_{2} = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & - a \end{pmatrix} \mid a,b,c \in \mathbb{R} \right\}$

（$\mathbb{R}$为实数域，主对角线元素$a + ( - a) = 0$，满足约束）。

矩阵加法：对任意$A = \begin{pmatrix} a_{1} & b_{1} \\ c_{1} & - a_{1} \end{pmatrix},B = \begin{pmatrix} a_{2} & b_{2} \\ c_{2} & - a_{2} \end{pmatrix} \in S_{2}$，

规定$A + B = \begin{pmatrix} a_{1} + a_{2} & b_{1} + b_{2} \\ c_{1} + c_{2} & - a_{1} - a_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{1} + a_{2} & b_{1} + b_{2} \\ c_{1} + c_{2} & - (a_{1} + a_{2}) \end{pmatrix}$。

数乘运算：对任意$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & - a \end{pmatrix} \in S_{2}$和数$k \in \mathbb{R}$，规定$kA = \begin{pmatrix} ka & kb \\ kc & - ka \end{pmatrix}$。

二、验证$S_{2}$满足线性空间的核心条件

线性空间需满足两个封闭性和8条运算律，逐一验证：

（一）验证封闭性（关键：运算结果仍属于$S_{2}$）

1.加法封闭：由加法定义，$A + B = \begin{pmatrix} a_{1} + a_{2} & b_{1} + b_{2} \\ c_{1} + c_{2} & - (a_{1} + a_{2}) \end{pmatrix}$，

其主对角线元素之和为$(a_{1} + a_{2}) + \lbrack - (a_{1} + a_{2})\rbrack = 0$，满足$S_{2}$的约束，故$A + B \in S_{2}$。

2.数乘封闭：由数乘定义，$kA = \begin{pmatrix} ka & kb \\ kc & - ka \end{pmatrix}$，

其主对角线元素之和为$ka + ( - ka) = 0$，满足$S_{2}$的约束，故$kA \in S_{2}$。

（二）验证8条运算律（继承矩阵运算性质）

设$A,B,C \in S_{2}$，$k,l \in \mathbb{R}$，

因$S_{2}$是2阶矩阵集合的子集，矩阵运算的8条性质天然成立：

1.加法交换律：$A + B = B + A$（元素加法满足交换律）；

2.加法结合律：$(A + B) + C = A + (B + C)$（元素加法满足结合律）；

3.存在零元素：零矩阵$O = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \in S_{2}$（主对角线和为0），且$A + O = A$；

4.存在负元素：对$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & - a \end{pmatrix}$，负矩阵$- A = \begin{pmatrix} - a & - b \\ - c & a \end{pmatrix} \in S_{2}$

（主对角线和为0），且$A + ( - A) = O$；

5.数乘结合律：$k(lA) = (kl)A$（元素数乘满足结合律）；

6.数乘对加法的分配律：$k(A + B) = kA + kB$（元素数乘对加法满足分配律）；

7.加法对数乘的分配律：$(k + l)A = kA + lA$（元素加法对数乘满足分配律）；

8.单位数乘律：$1 \cdot A = A$（1乘任何元素不变）。

综上，$S_{2}$对矩阵加法和数乘运算构成线性空间。

三、求$S_{2}$的一个基

线性空间的基需满足两个条件：①线性无关；②生成所有元素。

步骤1：构造候选基向量组

观察$S_{2}$中矩阵的结构：

任意元素$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & - a \end{pmatrix}$可拆分为3个“简单矩阵”的线性组合：

$A = a \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{pmatrix} + b \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + c \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$。

记这3个矩阵为：

$A_{1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{pmatrix}$（主对角线元素1和-1，其余为0，满足和为0）；

$A_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$（(1,2)位置为1，其余为0，主对角线和为0）；

$A_{3} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$（(2,1)位置为1，其余为0，主对角线和为0）。

步骤2：验证线性无关

假设存在数$k_{1},k_{2},k_{3} \in \mathbb{R}$，使得：$k_{1}A_{1} + k_{2}A_{2} + k_{3}A_{3} = O$（零矩阵）。

左边展开得：$\begin{pmatrix} k_{1} & k_{2} \\ k_{3} & - k_{1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$。

矩阵相等需对应元素相等，故：

(1,1)位置：$k_{1} = 0$；(1,2)位置：$k_{2} = 0$；

(2,1)位置：$k_{3} = 0$；(2,2)位置：$- k_{1} = 0$（与$k_{1} = 0$一致）。

仅当$k_{1} = k_{2} = k_{3} = 0$时等式成立，故$\{ A_{1},A_{2},A_{3}\}$线性无关。

步骤3：验证生成性

由步骤1的拆分可知，

任意$S_{2}$中的矩阵都能由$\{ A_{1},A_{2},A_{3}\}$线性表示（系数为$a,b,c$）。

因此，$\{ A_{1},A_{2},A_{3}\}$是$S_{2}$的一个基（该线性空间的维度为3）。

最终结论

1.主对角线元素之和为0的2阶矩阵全体$S_{2}$，对矩阵加法和数乘运算构成线性空间；

2.该线性空间的一个基为：$\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \right\}$。

(3)

一、明确基础概念与运算规则

首先定义研究对象和运算

（核心是$S_{3}$的“对称矩阵”约束：矩阵满足$A^{T} = A$，即转置等于自身）：

集合$S_{3}$的定义：全体2阶对称矩阵构成的集合，即$S_{3} = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} \mid a,b,c \in \mathbb{R} \right\}$

（$\mathbb{R}$为实数域，因对称矩阵满足“(1,2)位置元素=(2,1)位置元素”，故两处均为$b$）。

矩阵加法：对任意$A = \begin{pmatrix} a_{1} & b_{1} \\ b_{1} & c_{1} \end{pmatrix},B = \begin{pmatrix} a_{2} & b_{2} \\ b_{2} & c_{2} \end{pmatrix} \in S_{3}$，

规定$A + B = \begin{pmatrix} a_{1} + a_{2} & b_{1} + b_{2} \\ b_{1} + b_{2} & c_{1} + c_{2} \end{pmatrix}$（满足对称矩阵“(1,2)=(2,1)”的约束）。

数乘运算：对任意$A = \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} \in S_{3}$和数$k \in \mathbb{R}$，规定$kA = \begin{pmatrix} ka & kb \\ kb & kc \end{pmatrix}$

（同样满足对称矩阵的约束）。

二、验证$S_{3}$满足线性空间的核心条件

线性空间需满足两个封闭性和8条运算律，逐一验证：

（一）验证封闭性（关键：运算结果仍属于$S_{3}$）

1.加法封闭：由加法定义，$A + B = \begin{pmatrix} a_{1} + a_{2} & b_{1} + b_{2} \\ b_{1} + b_{2} & c_{1} + c_{2} \end{pmatrix}$，

其(1,2)位置元素$b_{1} + b_{2}$与(2,1)位置元素相等，满足$(A + B)^{T} = A + B$，

即$A + B$是对称矩阵，故$A + B \in S_{3}$。

2.数乘封闭：由数乘定义，$kA = \begin{pmatrix} ka & kb \\ kb & kc \end{pmatrix}$，

其(1,2)位置元素$kb$与(2,1)位置元素相等，满足$(kA)^{T} = kA$，

即$kA$是对称矩阵，故$kA \in S_{3}$。

（二）验证8条运算律（继承矩阵运算性质）

设$A,B,C \in S_{3}$，$k,l \in \mathbb{R}$，

因$S_{3}$是2阶矩阵集合的子集，矩阵运算的8条性质天然成立：

1.加法交换律：$A + B = B + A$（矩阵加法按元素相加，实数加法满足交换律）；

2.加法结合律：$(A + B) + C = A + (B + C)$（实数加法满足结合律）；

3.存在零元素：零矩阵$O = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \in S_{3}$（零矩阵是对称矩阵），且$A + O = A$；

4.存在负元素：对$A = \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}$，负矩阵$- A = \begin{pmatrix} - a & - b \\ - b & - c \end{pmatrix} \in S_{3}$

（负矩阵仍是对称矩阵），且$A + ( - A) = O$；

5.数乘结合律：$k(lA) = (kl)A$（矩阵数乘按元素缩放，实数乘法满足结合律）；

6.数乘对加法的分配律：$k(A + B) = kA + kB$（元素数乘对加法满足分配律）；

7.加法对数乘的分配律：$(k + l)A = kA + lA$（元素加法对数乘满足分配律）；

8.单位数乘律：$1 \cdot A = A$（1乘任何矩阵不改变原矩阵）。

综上，$S_{3}$对矩阵加法和数乘运算构成线性空间。

三、求$S_{3}$的一个基线性空间的基需满足两个条件：

①线性无关；②生成所有元素。

步骤1：构造候选基向量组

观察$S_{3}$中对称矩阵的结构：

任意元素$A = \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}$可拆分为3个“简单对称矩阵”的线性组合：

$A = a \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + b \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + c \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$。

记这3个矩阵为：

$B_{1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$（(1,1)位置为1，其余为0，是对称矩阵）；

$B_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$（(1,2)和(2,1)位置为1，其余为0，是对称矩阵）；

$B_{3} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$（(2,2)位置为1，其余为0，是对称矩阵）。

步骤2：验证线性无关

假设存在数$k_{1},k_{2},k_{3} \in \mathbb{R}$，使得：$k_{1}B_{1} + k_{2}B_{2} + k_{3}B_{3} = O$（零矩阵）。

左边展开得：$\begin{pmatrix} k_{1} & k_{2} \\ k_{2} & k_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$。

矩阵相等需对应元素相等，

故：(1,1)位置：$k_{1} = 0$；(1,2)位置：$k_{2} = 0$；

(2,2)位置：$k_{3} = 0$；(2,1)位置：$k_{2} = 0$（与$k_{2} = 0$一致）。

仅当$k_{1} = k_{2} = k_{3} = 0$时等式成立，故$\{ B_{1},B_{2},B_{3}\}$线性无关。

步骤3：验证生成性

由步骤1的拆分可知，

任意$S_{3}$中的对称矩阵都能由$\{ B_{1},B_{2},B_{3}\}$线性表示（系数为$a,b,c$）。

因此，$\{ B_{1},B_{2},B_{3}\}$是$S_{3}$的一个基（该线性空间的维度为3）。

最终结论

(1)2阶对称矩阵的全体$S_{3}$，对矩阵加法和数乘运算构成线性空间；

(2)该线性空间的一个基为：$\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right\}$。