例 10 设有 $n$ 阶矩阵$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} = (\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}),$

其中$\alpha_{i} = \begin{pmatrix} a_{1i} \\ a_{2i} \\ \vdots \\ a_{ni} \end{pmatrix},$

定义 $\mathbb{R}^{n}$ 中的变换 $y = T(x)$ 为$T(x) = Ax\quad(x \in \mathbb{R}^{n}),$则 $T$ 为线性变换.

这是因为 设 $a,b \in \mathbb{R}^{n}$, 则

$$T(a + b) = A(a + b) = Aa + Ab = T(a) + T(b),$$

$$T(\lambda a) = A(\lambda a) = \lambda Aa = \lambda T(a).$$

又, $T$ 的像空间就是由 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$ 所生成的向量空间

$$T(\mathbb{R}^{n}) = \{ y = x_{1}\alpha_{1} + x_{2}\alpha_{2} + \cdots + x_{n}\alpha_{n} \mid x_{1},x_{2},\cdots,x_{n} \in \mathbb{R}\},$$

$T$ 的核 $N_{T}$ 就是齐次线性方程组 $Ax = 0$ 的解空间.

例10 中，关系式 $T(x) = Ax\ (x \in \mathbb{R}^{n})$简单明了地表示出$\mathbb{R}^{n}$中的一个线性变换.

我们自然希望$\mathbb{R}^{n}$中任何一个线性变换都能用这样的关系式来表示.

为此,考虑到$\alpha_{1} = Ae_{1},\cdots,\alpha_{n} = Ae_{n}$（$e_{1},\cdots,e_{n}$为单位坐标向量）,

即$\alpha_{i} = T(e_{i})\ (i = 1,2,\cdots,n),$

可见如果线性变换$T$有关系式$T(x) = Ax$,那么矩阵$A$应以$T(e_{i})$为列向量.

反之,如果一个线性变换$T$使$T(e_{i}) = \alpha_{i}\ (i = 1,2,\cdots,n)$,

那么$T$必有关系式

$$T(x) = T\lbrack(e_{1},\cdots,e_{n})x\rbrack = T(x_{1}e_{1} + x_{2}e_{2} + \cdots + x_{n}e_{n})$$

$$= x_{1}T(e_{1}) + x_{2}T(e_{2}) + \cdots + x_{n}T(e_{n})$$

$$= (T(e_{1}),\cdots,T(e_{n}))x = (\alpha_{1},\cdots,\alpha_{n})x = Ax.$$

总之,$\mathbb{R}^{n}$中任何线性变换$T$,都能用关系式$T(x) = Ax\ (x \in \mathbb{R}^{n})$表示,

其中$A = (T(e_{1}),\cdots,T(e_{n}))$.

把上面的讨论推广到一般的线性空间,我们有

定义7 设$T$是线性空间$V_{n}$中的线性变换,在$V_{n}$中取定一个基$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$,

如果这个基在变换$T$下的像(用这个基线性表示)为

$$\left\{ \begin{matrix} T(\alpha_{1}) = a_{11}\alpha_{1} + a_{21}\alpha_{2} + \cdots + a_{n1}\alpha_{n}, \\ T(\alpha_{2}) = a_{12}\alpha_{1} + a_{22}\alpha_{2} + \cdots + a_{n2}\alpha_{n}, \\ \cdots\cdots\cdots \\ T(\alpha_{n}) = a_{1n}\alpha_{1} + a_{2n}\alpha_{2} + \cdots + a_{nn}\alpha_{n}, \end{matrix} \right.\$$

记$T(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}) = (T(\alpha_{1}),T(\alpha_{2}),\cdots,T(\alpha_{n}))$,

上式可表示为$T(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}) = (\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n})A,$ 其中$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix},$

那么,$A$就称为线性变换$T$在基$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$下的矩阵.

显然,矩阵$A$由基的像$T(\alpha_{1}),\cdots,T(\alpha_{n})$惟一确定.

如果给出一个矩阵$A$作为线性变换$T$在基$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$下的矩阵,

也就是给出了这个基在变换$T$下的像,

那么,根据变换$T$保持线性关系的特性,我们来推导变换$T$必须满足的关系式.

$V_{n}$中的任意元素记为$\alpha = \sum_{i = 1}^{n}x_{i}\alpha_{i}$,有$T\left( \sum_{i = 1}^{n}x_{i}\alpha_{i} \right) = \sum_{i = 1}^{n}x_{i}T\left( \alpha_{i} \right)$

$$= \left( T\left( \alpha_{1} \right),T\left( \alpha_{2} \right),\cdots,T\left( \alpha_{n} \right) \right)\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix} = \left( \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n} \right)A\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix},$$

即$T\left\lbrack \left( \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n} \right)\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix} \right\rbrack = \left( \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n} \right)A\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix}.$

这个关系式惟一地确定一个变换 $T$，

可以验证所确定的变换 $T$ 是以 $A$ 为矩阵的线性变换。

总之，以 $A$ 为矩阵的线性变换 $T$ 由关系式 (6) 惟一确定。

定义 7 和上面一段讨论表明，在 $V_{n}$ 中取定一个基以后，

由线性变换 $T$ 可惟一地确定一个矩阵 $A$，

由一个矩阵 $A$ 也可惟一地确定一个线性变换 $T$，

这样，在线性变换与矩阵之间就有一一对应的关系。

由关系式 (6)，可见 $\alpha$ 与 $T(\alpha)$ 在基 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$ 下的坐标分别为

$\alpha = \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix},\quad T(\alpha) = A\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix},$即按坐标表示，有$T(\alpha) = A\alpha.$

总结：

给定一个线性变换，要得到它的矩阵表示式，关键在于先选定一组基，

然后把变换对每个基向量的作用“翻译”成这组基下的坐标，

再用这些坐标构造矩阵。

具体步骤如下：

1. 选取一组基

在线性空间 $V$ 中选一组基 $\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{n}$。

（在 $\mathbb{R}^{n}$ 中常取标准基 $e_{1},e_{2},\ldots,e_{n}$，

但在一般空间如多项式空间中，基是人为选定的。）

2. 计算每个基向量的像

对每个基向量 $\alpha_{j}$，计算它被变换 $T$ 作用后的结果 $T(\alpha_{j})$。

3. 将每个像向量用同一组基线性表示

把每个结果 $T(\alpha_{j})$ 表示成基 $\alpha_{1},\ldots,\alpha_{n}$ 的线性组合：

$$T(\alpha_{j}) = a_{1j}\alpha_{1} + a_{2j}\alpha_{2} + \ldots + a_{nj}\alpha_{n}$$

这里的系数 $a_{1j},a_{2j},\ldots,a_{nj}$ 就是 $T(\alpha_{j})$ 在这组基下的坐标。

4. 用这些坐标构造矩阵

把第 $j$ 个像 $T(\alpha_{j})$ 的坐标 $\begin{pmatrix} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{nj} \end{pmatrix}$ 作为矩阵的第 $j$ 列，

依次排成一个 $n \times n$ 矩阵：$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}$

这个矩阵 $A$ 就是线性变换 $T$ 在基 $\alpha_{1},\ldots,\alpha_{n}$ 下的矩阵。

5. 写出变换的矩阵表示式

对任意向量 $v \in V$，设它在基 $\alpha_{1},\ldots,\alpha_{n}$ 下的坐标是列向量 $x = (x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})^{T}$，

那么 $T(v)$ 在同一基下的坐标就是：$T(v)\text{的坐标} = Ax$

也就是说，线性变换的作用（在坐标意义下）就是矩阵乘法。

注意：

矩阵 $A$ 的列是 像向量的坐标，不是像向量本身。

同一个线性变换在不同基下对应的矩阵不同。

矩阵乘法自动保证了变换的线性性质（加法与数乘保持不变）。

这样，我们就建立了线性变换与矩阵之间的一一对应关系，

使得抽象的变换可以通过具体的矩阵运算来实现。

实例 线性变换 $T$ 在基 $\alpha_{1},\alpha_{2}$ 下的矩阵 $A$

步骤1：定义线性变换 ：$T\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{1} + x_{2} \\ 2x_{1} \end{pmatrix}$

步骤2：选取基 $\alpha_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix},\quad\alpha_{2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

步骤3：计算每个基向量的像 $T(\alpha_{1}),T(\alpha_{2})$

$$T(\alpha_{1}) = T\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 1 \\ 2 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$$

$$T(\alpha_{2}) = T\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 2 \\ 2 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$$

步骤4. 将像$T(\alpha_{1})$用基$\alpha_{1},\alpha_{2}$线性表示

$$\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} = a_{11}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + a_{21}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\ \ \ \ \Longrightarrow a_{11} = 2,\mspace{6mu} a_{21} = 0$$

将像 $T(\alpha_{2})$用基$\alpha_{1},\alpha_{2}$线性表示

$$\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} = a_{12}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + a_{22}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\ \ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow a_{12} = 4,\mspace{6mu} a_{22} = - 1$$

步骤5. 得到矩阵 $A$ $= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 0 & - 1 \end{pmatrix}$

例 11 在 $P\lbrack x\rbrack_{3}$ 中，取基$p_{1} = x^{3},\ p_{2} = x^{2},\ p_{3} = x,\ p_{4} = 1,$

求微分运算 $D$ 的矩阵。

解:$\left\{ \begin{matrix} Dp_{1} = 3x^{2} = 0p_{1} + 3p_{2} + 0p_{3} + 0p_{4}, \\ Dp_{2} = 2x = 0p_{1} + 0p_{2} + 2p_{3} + 0p_{4}, \\ Dp_{3} = 1 = 0p_{1} + 0p_{2} + 0p_{3} + 1p_{4}, \\ Dp_{4} = 0 = 0p_{1} + 0p_{2} + 0p_{3} + 0p_{4}. \end{matrix} \right.\$

所以 D 在这组基下的矩阵为$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$

例 12 在 $\mathbb{R}^{3}$ 中，$T$ 表示将向量投影到 $xOy$ 平面的线性变换，

即$T(xi + yj + zk) = xi + yj.$

(1) 取基为 $i,j,k$，求 $T$ 的矩阵；

(2) 取基为 $\alpha = i,\beta = j,\gamma = i + j + k$，求 $T$ 的矩阵。

解 (1)$\left\{ \begin{matrix} Ti = i, \\ Tj = j, \\ Tk = 0, \end{matrix} \right.\$ 即$T(i,j,k) = (i,j,k)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$

(2)$\left\{ \begin{matrix} T\alpha = i = \alpha, \\ T\beta = j = \beta, \\ T\gamma = i + j = \alpha + \beta, \end{matrix} \right.\$ 即$T(\alpha,\beta,\gamma) = (\alpha,\beta,\gamma)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$

由上例可见，同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵。一般地，我们有

定理 3 设线性空间 $V_{n}$ 中取定两个基$\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{n};\quad\beta_{1},\beta_{2},\ldots,\beta_{n},$

由基 $\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{n}$ 到基 $\beta_{1},\beta_{2},\ldots,\beta_{n}$ 的过渡矩阵为 $P$，

$V_{n}$ 中的线性变换 $T$ 在这两个基下的矩阵依次为 $A$ 和 $B$，那么 $B = P^{- 1}AP$。

证 按定理的假设，有$(\beta_{1},\cdots,\beta_{n}) = (\alpha_{1},\cdots,\alpha_{n})P，P$ 可逆；

及$T(\alpha_{1},\cdots,\alpha_{n}) = (\alpha_{1},\cdots,\alpha_{n})A,$ ，$T(\beta_{1},\cdots,\beta_{n}) = (\beta_{1},\cdots,\beta_{n})B,$

于是$(\beta_{1},\cdots,\beta_{n})B = T(\beta_{1},\cdots,\beta_{n}) = T\lbrack(\alpha_{1},\cdots,\alpha_{n})P\rbrack$

$$= \lbrack T(\alpha_{1},\cdots,\alpha_{n})\rbrack P = (\alpha_{1},\cdots,\alpha_{n})AP$$

$$= (\beta_{1},\cdots,\beta_{n})P^{- 1}AP$$

因为 $\beta_{1},\cdots,\beta_{n}$ 线性无关，所以$B = P^{- 1}AP.$

证毕

这定理表明 $A$ 与 $B$ 相似，且两个基之间的过渡矩阵 $P$ 就是相似变换矩阵。

定理：线性变换在不同基下的矩阵不同

一、前置知识回顾

设线性空间 $V$ 是 $\mathbb{R}^{2}$（二维实向量空间），

线性变换 $T:V \rightarrow V$，若 $V$ 的两组基分别为：

1. 基 $\alpha_{1},\alpha_{2}$：任意向量 $x = x_{1}\alpha_{1} + x_{2}\alpha_{2}$，

$T(x)$ 在基 $\alpha_{1},\alpha_{2}$ 下的坐标由 $A\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}$ 给出，$A$ 是 $T$ 在基 $\alpha_{1},\alpha_{2}$ 下的矩阵。

2. 基 $\beta_{1},\beta_{2}$：同理，$T$ 在基 $\beta_{1},\beta_{2}$ 下的矩阵为 $B$。

实例1 线性变换 $T$ 在基 $\alpha_{1},\alpha_{2}$ 下的矩阵

步骤1：定义线性变换 ：$T\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{1} + x_{2} \\ 2x_{1} \end{pmatrix}$

步骤2：选取基$\alpha_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix},\quad\alpha_{2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

步骤3：计算每个基向量的像$T(\alpha_{1}),T(\alpha_{2})$

$T(\alpha_{1}) = T\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 1 \\ 2 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$

$$T(\alpha_{2}) = T\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 2 \\ 2 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$$

步骤4. 将像向量用基$\alpha_{1},\alpha_{2}$线性表示

$$\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} = a_{11}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + a_{21}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\ \ \ \ \Longrightarrow a_{11} = 2,\mspace{6mu} a_{21} = 0$$

$$\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} = a_{12}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + a_{22}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\ \ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow a_{12} = 4,\mspace{6mu} a_{22} = - 1$$

步骤5. 线性变换 $T$ 在基 $\alpha_{1},\alpha_{2}$ 下的矩阵为 $A$ $= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 0 & - 1 \end{pmatrix}$

实例2 线性变换 $T$ 在基 $\beta_{1},\beta_{2}$ 下的矩阵

步骤1：定义线性变换 ：$T\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{1} + x_{2} \\ 2x_{1} \end{pmatrix}$

步骤2：选取基 $\beta_{1} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix},\quad\beta_{2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$

步骤3：计算每个基向量的像 $T(\beta_{1}),T(\beta_{2})$

$$T(\beta_{1}) = T\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 1 \\ 2 \times 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$$

$$T(\beta_{2}) = T\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 3 \\ 2 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$$

步骤4. 将像向量用基 $\beta_{1},\beta_{2}$ 线性表示

$$\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = b_{11}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + b_{21}\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}\ \ \ \ \ \Longrightarrow b_{11} = 1,\mspace{6mu} b_{21} = 1$$

$$\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} = b_{12}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + b_{22}\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}\ \ \ \ \ \Longrightarrow b_{12} = 2,\mspace{6mu} b_{22} = 0$$

步骤5. 线性变换 $T$ 在基 $\beta_{1},\beta_{2}$ 下的矩阵 为 $B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

实例3 线性变换 $T$ 在自然基 $e_{1},e_{2}$ 下的矩阵

步骤1：定义线性变换 ：$T\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{1} + x_{2} \\ 2x_{1} \end{pmatrix}$

步骤2：选取自然基 $e_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},\quad e_{2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

步骤3：计算每个基向量的像 $T(e_{1}),T(e_{2})$

$$T(e_{1}) = T\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 0 \\ 2 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$$

$$T(e_{2}) = T\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 + 1 \\ 2 \times 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$

步骤4. 将像向量用基$e_{1},e_{2}$线性表示

$$\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = c_{11}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_{21}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\ \ \ \ \Longrightarrow c_{11} = 1,\mspace{6mu} c_{21} = 2$$

$$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = c_{12}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_{22}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\ \ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow c_{12} = 1,\mspace{6mu} c_{22} = 0$$

步骤5. 线性变换 $T$ 在基 $e_{1},e_{2}$ 下的矩阵为 C $= \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$

三、结果对比

$T$ 在基 $\alpha_{1},\alpha_{2}$ 下的矩阵：$A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 0 & - 1 \end{pmatrix}$

$T$ 在基 $\beta_{1},\beta_{2}$ 下的矩阵：$B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

$T$ 在自然基 $e_{1},e_{2}$ 下的矩阵：$C = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$

验证了同一线性变换在不同基下的矩阵不同。

例 13 设 $V_{2}$ 中的线性变换 $T$ 在基 $\alpha_{1},\alpha_{2}$ 下的矩阵为$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix},$

求 $T$ 在基 $\alpha_{2},\alpha_{1}$ 下的矩阵。

解：$(\alpha_{2},\alpha_{1}) = (\alpha_{1},\alpha_{2})\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},$

即 $P = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$，求得 $P^{- 1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$，于是 $T$ 在基 $\alpha_{2},\alpha_{1}$ 下的矩阵为

$$\begin{aligned} B & = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{11} & a_{12} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{22} & a_{21} \\ a_{12} & a_{11} \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

例14：

已知线性变换 $T$ 在旧基下的矩阵为$A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 0 & - 1 \end{pmatrix},$

其中旧基为$\alpha_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix},\quad\alpha_{2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$，新基为$\beta_{1} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix},\quad\beta_{2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}.$

求线性变换 $T$ 在新基 $\beta_{1},\beta_{2}$ 下的矩阵 $B$。

解：设向量φ在旧基中的坐标为$x = \left\lbrack \begin{array}{r} x_{1} \\ x_{2} \end{array} \right\rbrack$，在新基中的坐标为$y = \left\lbrack \begin{array}{r} y_{1} \\ y_{2} \end{array} \right\rbrack$。

1：对每个旧基向量$\alpha_{j}$有：$\alpha_{j} = q_{1j}\beta_{1} + {q_{2j}\beta}_{2}$ 。

$\alpha_{1}$=$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = q_{11}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + q_{21}\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ ，得：$q_{11} = \frac{2}{5},\ q_{21} = \frac{1}{5},\$

$\alpha_{2}$=$\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = q_{12}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + q_{22}\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ ，得：$q_{12} = \frac{1}{5},\ q_{22} = \frac{3}{5},\$

因此，向量φ在新基中的坐标为

$\left\lbrack \begin{array}{r} y_{1} \\ y_{2} \end{array} \right\rbrack = x_{1}\left\lbrack \begin{array}{r} q_{11} \\ q_{21} \end{array} \right\rbrack + x_{2}\left\lbrack \begin{array}{r} q_{12} \\ q_{22} \end{array} \right\rbrack = x_{1}\left\lbrack \begin{array}{r} \frac{2}{5} \\ \frac{1}{5} \end{array} \right\rbrack + x_{2}\left\lbrack \begin{array}{r} \frac{1}{5} \\ \frac{3}{5} \end{array} \right\rbrack$

2：对每个新基向量$\beta_{j}$有：$\beta_{j} = p_{1j}\alpha_{1} + p_{2j}\alpha_{2}$ 。

$\beta_{1}$=$\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = p_{11}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + p_{21}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ ，得：$p_{11} = 3,\ p_{21} = - 1,\$

$\beta_{2}$=$\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} = p_{12}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + p_{22}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ ，得：$p_{12} = - 1,\ p_{22} = 2,\$

因此，向量φ在旧基中的坐标为

$$\left\lbrack \begin{array}{r} x_{1} \\ x_{2} \end{array} \right\rbrack = y_{1}\left\lbrack \begin{array}{r} p_{11} \\ p_{21} \end{array} \right\rbrack + y_{2}\left\lbrack \begin{array}{r} p_{12} \\ p_{22} \end{array} \right\rbrack = y_{1}\left\lbrack \begin{array}{r} 3 \\ - 1 \end{array} \right\rbrack + y_{2}\left\lbrack \begin{array}{r} - 1 \\ 2 \end{array} \right\rbrack\$$

B=$\begin{pmatrix} \frac{2}{5} & \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} & \frac{3}{5} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 0 & - 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

定义 8 线性变换 $T$ 的像空间 $T(V_{n})$ 的维数，称为线性变换 $T$ 的秩。

显然，若 $A$ 是 $T$ 的矩阵，则 $T$ 的秩就是 $R(A)$。

若 $T$ 的秩为 $r$，则 $T$ 的核 $N_{T}$ 的维数为 $n - r$。