返回

设α1 , ⋯ , αn及β1 , ⋯ , βn是向量空间Vn中的两个基

且有关系式{β1=p11α1+p21α2+⋯+pn1αnβ2=p12α1+p22α2+⋯+pn2αn⋯⋯⋯⋯⋯⋯βn=p1nα1+p2nα2+⋯+pnnαn\left\{ \begin{array}{r} \begin{matrix} \beta_{1} = p_{11}\alpha_{1} + p_{21}\alpha_{2} + \cdots + p_{n1}\alpha_{n} \\ \beta_{2} = p_{12}\alpha_{1} + p_{22}\alpha_{2} + \cdots + p_{n2}\alpha_{n} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \cdots\cdots\ \ \ \ \cdots\cdots\ \ \ \ \cdots\cdots \\ \beta_{n} = p_{1n}\alpha_{1} + p_{2n}\alpha_{2} + \cdots + p_{nn}\alpha_{n} \end{matrix} \end{array} \right.\

把α1 , α2 , ⋯ , αn这n个有序向量记作(α1 , α2 , ⋯ , αn) , 记n阶矩阵P=(pij)

利用向量和矩阵的形式 ,表达式{β1=p11α1+p21α2+⋯+pn1αnβ2=p12α1+p22α2+⋯+pn2αn⋯⋯⋯⋯⋯⋯βn=p1nα1+p2nα2+⋯+pnnαn\left\{ \begin{array}{r} \begin{matrix} \beta_{1} = p_{11}\alpha_{1} + p_{21}\alpha_{2} + \cdots + p_{n1}\alpha_{n} \\ \beta_{2} = p_{12}\alpha_{1} + p_{22}\alpha_{2} + \cdots + p_{n2}\alpha_{n} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \cdots\cdots\ \ \ \ \cdots\cdots\ \ \ \ \cdots\cdots \\ \beta_{n} = p_{1n}\alpha_{1} + p_{2n}\alpha_{2} + \cdots + p_{nn}\alpha_{n} \end{matrix} \end{array} \right.\

可表示为(β1 , β2 ,⋯ , βn)=(α1 , α2 , ⋯ , αn)P ,

这两个表达式都称为基变换公式

矩阵P称为由基α1 , α2 , ⋯ , αn到基β1 , β2 ,⋯ , βn的过渡矩阵

由于β1 , β2 ,⋯ , βn线性无关 , 故过渡矩阵P可逆

定理2 设 VnV_{n} 中的向量 φ

在基 α1,α2,⋯,αn\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n} 下的坐标为x=[x1x2⋮xn],x = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix},

在基 β1,β2,⋯,βn\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n} 下的坐标为y=[y1y2⋮yn].y = \begin{bmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ \vdots \\ y_{n} \end{bmatrix}.

若两个基满足关系式：{β1=p11α1+p21α2+⋯+pn1αn,β2=p12α1+p22α2+⋯+pn2αn,⋮βn=p1nα1+p2nα2+⋯+pnnαn,\left\{ \begin{matrix} \beta_{1} = p_{11}\alpha_{1} + p_{21}\alpha_{2} + \cdots + p_{n1}\alpha_{n}, \\ \beta_{2} = p_{12}\alpha_{1} + p_{22}\alpha_{2} + \cdots + p_{n2}\alpha_{n}, \\ \quad \vdots \\ \beta_{n} = p_{1n}\alpha_{1} + p_{2n}\alpha_{2} + \cdots + p_{nn}\alpha_{n}, \end{matrix} \right.\

或写成矩阵形式：(β1,β2,⋯,βn)=(α1,α2,⋯,αn)P,(\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}) = (\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n})P,

其中P=[p11p12⋯p1np21p22⋯p2n⋮⋮⋱⋮pn1pn2⋯pnn],P = \begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} & \cdots & p_{1n} \\ p_{21} & p_{22} & \cdots & p_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ p_{n1} & p_{n2} & \cdots & p_{nn} \end{bmatrix},

则坐标变换公式为：{x1=p11y1+p12y2+⋯+p1nyn,x2=p21y1+p22y2+⋯+p2nyn,⋮xn=pn1y1+pn2y2+⋯+pnnyn,\left\{ \begin{matrix} x_{1} = p_{11}y_{1} + p_{12}y_{2} + \cdots + p_{1n}y_{n}, \\ x_{2} = p_{21}y_{1} + p_{22}y_{2} + \cdots + p_{2n}y_{n}, \\ \quad \vdots \\ x_{n} = p_{n1}y_{1} + p_{n2}y_{2} + \cdots + p_{nn}y_{n}, \end{matrix} \right.\

或写成矩阵形式：x=Py,x = Py, 以及y=P−1x.y = P^{- 1}x.

定理2体现了同一向量在不同基下的坐标关系

证明

设向量φ在基α1,…,αn\alpha_{1},\ldots,\alpha_{n}与β1,…,βn\beta_{1},\ldots,\beta_{n}下的坐标分别为xx与yy，

即φ=(α1,…,αn)x=(β1,…,βn)y.= (\alpha_{1},\ldots,\alpha_{n})x = (\beta_{1},\ldots,\beta_{n})y.

由基变换关系(β1,…,βn)=(α1,…,αn)P(\beta_{1},\ldots,\beta_{n}) = (\alpha_{1},\ldots,\alpha_{n})P

代入得φ=(α1,…,αn)x=(β1,…,βn)y=(α1,…,αn)(Py).= (\alpha_{1},\ldots,\alpha_{n})x = (\beta_{1},\ldots,\beta_{n})y = (\alpha_{1},\ldots,\alpha_{n})(Py).

由于坐标在给定基下唯一，故x=Pyx = Py。

又PP可逆，故y=P−1xy = P^{- 1}x。

分量形式即由矩阵乘法直接得到。

定理得证。

例5. 在ℝ3\mathbb{R}^{3}中给定两组基：

旧基Φ:α1=[121],α2=[233],α3=[37−2]\Phi:\ \alpha_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix},\ \alpha_{2} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 3 \end{bmatrix},\ \alpha_{3} = \begin{bmatrix} 3 \\ 7 \\ - 2 \end{bmatrix} ；新基Δ:β1=[314],β2=[521],β3=[11−6]\Delta:\ \beta_{1} = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix},\ \beta_{2} = \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix},\ \beta_{3} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ - 6 \end{bmatrix}

试求两组基之间的坐标变换公式。

解：设向量φ在旧基中的坐标为x=[x1x2x3]x = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix}，在新基中的坐标为y=[y1y2y3]y = \begin{bmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{bmatrix}。

情形1：对每个旧基向量αj\alpha_{j}有：αj=q1jβ1+q2jβ2+q3jβ3\alpha_{j} = q_{1j}\beta_{1} + {q_{2j}\beta}_{2} + q_{3j}\beta_{3} 。

α1\alpha_{1}=[121]=q11[314]+q21[521]+q31[11−6]\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} = q_{11}\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix} + q_{21}\begin{bmatrix} 5 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} + q_{31}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ - 6 \end{bmatrix} ，得：q11=13,q21=−9,q31=7q_{11} = 13,\ q_{21} = - 9,\ q_{31} = 7

α2\alpha_{2}=[233]=q12[314]+q22[521]+q32[11−6]\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 3 \end{bmatrix} = q_{12}\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix} + q_{22}\begin{bmatrix} 5 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} + q_{32}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ - 6 \end{bmatrix} ，得：q12=19,q22=−13,q32=10q_{12} = 19,\ q_{22} = - 13,\ q_{32} = 10

α3\alpha_{3}=[37−2]=q13[314]+q23[521]+q33[11−6]\begin{bmatrix} 3 \\ 7 \\ - 2 \end{bmatrix} = q_{13}\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix} + q_{23}\begin{bmatrix} 5 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} + q_{33}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ - 6 \end{bmatrix} ，得：q13=43,q23=−30,q33=24q_{13} = 43,\ q_{23} = - 30,\ q_{33} = 24

因此，向量φ在新基中的坐标为

[y1y2y3]=x1[q11q21q31]+x2[q12q22q32]+x3[q13q23q33]=x1[13−97]+x2[19−1310]+x3[43−3024]\begin{bmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{bmatrix} = x_{1}\begin{bmatrix} q_{11} \\ q_{21} \\ q_{31} \end{bmatrix} + x_{2}\begin{bmatrix} q_{12} \\ q_{22} \\ q_{32} \end{bmatrix} + x_{3}\begin{bmatrix} q_{13} \\ q_{23} \\ q_{33} \end{bmatrix} = x_{1}\begin{bmatrix} 13 \\ - 9 \\ 7 \end{bmatrix} + x_{2}\begin{bmatrix} 19 \\ - 13 \\ 10 \end{bmatrix} + x_{3}\begin{bmatrix} 43 \\ - 30 \\ 24 \end{bmatrix}

情形2：对每个新基向量βj\beta_{j}有：βj=p1jα1+p2jα2+p3jα3\beta_{j} = p_{1j}\alpha_{1} + p_{2j}\alpha_{2} + p_{3j}\alpha_{3} 。

β1\beta_{1}=[314]=p11[121]+p21[233]+p31[37−2]\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix} = p_{11}\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} + p_{21}\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 3 \end{bmatrix} + p_{31}\begin{bmatrix} 3 \\ 7 \\ - 2 \end{bmatrix} ，得：p11=−12,p21=6,p31=1p_{11} = - 12,\ p_{21} = 6,\ p_{31} = 1

β2\beta_{2}=[521]=p12[121]+p22[233]+p32[37−2]\begin{bmatrix} 5 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} = p_{12}\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} + p_{22}\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 3 \end{bmatrix} + p_{32}\begin{bmatrix} 3 \\ 7 \\ - 2 \end{bmatrix} ，得：p12=−26,p22=11,p32=3p_{12} = - 26,\ p_{22} = 11,\ p_{32} = 3

β3\beta_{3}=[11−6]=p13[121]+p23[233]+p33[37−2]\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ - 6 \end{bmatrix} = p_{13}\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} + p_{23}\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 3 \end{bmatrix} + p_{33}\begin{bmatrix} 3 \\ 7 \\ - 2 \end{bmatrix} ，得：p13=−11,p23=3,p33=2p_{13} = - 11,\ p_{23} = 3,\ p_{33} = 2

因此，向量φ在旧基中的坐标为

[x1x2x3]=y1[p11p21p31]+y2[p12p22p32]+y3[p13p23p33]=y1[−1261]+y2[−26113]+y3[−1132]\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix} = y_{1}\begin{bmatrix} p_{11} \\ p_{21} \\ p_{31} \end{bmatrix} + y_{2}\begin{bmatrix} p_{12} \\ p_{22} \\ p_{32} \end{bmatrix} + y_{3}\begin{bmatrix} p_{13} \\ p_{23} \\ p_{33} \end{bmatrix} = y_{1}\begin{bmatrix} - 12 \\ 6 \\ 1 \end{bmatrix} + y_{2}\begin{bmatrix} - 26 \\ 11 \\ 3 \end{bmatrix} + y_{3}\begin{bmatrix} - 11 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}\

例7 在 P[x]3P\lbrack x\rbrack_{3} 中取两个基

旧基：α1=x3+2x2−x,α2=x3−x2+x+1,α3=−x3+2x2+x+1,α4=−x3−x2+1,\begin{aligned} \alpha_{1} & = x^{3} + 2x^{2} - x, \\ \alpha_{2} & = x^{3} - x^{2} + x + 1, \\ \alpha_{3} & = - x^{3} + 2x^{2} + x + 1, \\ \alpha_{4} & = - x^{3} - x^{2} + 1, \end{aligned} ， 新基：β1=2x3+x2+1,β2=x2+2x+2,β3=−2x3+x2+x+2,β4=x3+3x2+x+2.\begin{aligned} \beta_{1} & = 2x^{3} + x^{2} + 1, \\ \beta_{2} & = x^{2} + 2x + 2, \\ \beta_{3} & = - 2x^{3} + x^{2} + x + 2, \\ \beta_{4} & = x^{3} + 3x^{2} + x + 2. \end{aligned}

求坐标变换公式

解：写出数值基向量组

旧基:α1=[12−10],α2=[1−111],α3=[−1211],α4=[−1−101]旧基:\alpha_{1} = \begin{bmatrix} \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 1 \\ 0 \end{matrix} \end{bmatrix},\alpha_{2} = \begin{bmatrix} \begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \end{bmatrix},\alpha_{3} = \begin{bmatrix} \begin{matrix} - 1 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \end{bmatrix},\alpha_{4} = \begin{bmatrix} \begin{matrix} - 1 \\ - 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \end{bmatrix}

新基:β1=[2101],β2=[0122],β3=[−2112],β4=[1312]新基:\beta_{1} = \begin{bmatrix} \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \end{bmatrix},\beta_{2} = \begin{bmatrix} \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix} \end{bmatrix},\beta_{3} = \begin{bmatrix} \begin{matrix} - 2 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \end{bmatrix},\beta_{4} = \begin{bmatrix} \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \end{bmatrix}

设向量φ在旧基中的坐标为x=[x1x2x3x4]x = \left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} \\ x_{4} \end{array} \right\rbrack，在新基中的坐标为y=[y1y2y3y4]y = \left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{matrix} \\ y_{4} \end{array} \right\rbrack。

由基变换公式（新基β表示旧基α）

对每个旧基向量α\alpha有：αj=q1jβ1+q2jβ2+q3jβ3+q4jβ4\alpha_{j} = q_{1j}\beta_{1} + q_{2j}\beta_{2} + q_{3j}\beta_{3} + q_{4j}\beta_{4}

α1\alpha_{1}=[12−10]=q11[2101]+q21[0122]+q31[−2112]+q41[1312]\begin{bmatrix} \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 1 \\ 0 \end{matrix} \end{bmatrix} = q_{11}\begin{bmatrix} \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \end{bmatrix} + q_{21}\begin{bmatrix} \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix} \end{bmatrix} + q_{31}\begin{bmatrix} \begin{matrix} - 2 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \end{bmatrix} + q_{41}\begin{bmatrix} \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \end{bmatrix} ，

得：q11=0,q21=−1,q31=0,q41=1q_{11} = 0,\ q_{21} = - 1,\ q_{31} = 0,q_{41} = 1,

α2\alpha_{2}=[1−111]=q12[2101]+q22[0122]+q32[−2112]+q42[1312]\begin{bmatrix} \begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \end{bmatrix} = q_{12}\begin{bmatrix} \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \end{bmatrix} + q_{22}\begin{bmatrix} \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix} \end{bmatrix} + q_{32}\begin{bmatrix} \begin{matrix} - 2 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \end{bmatrix} + q_{42}\begin{bmatrix} \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \end{bmatrix} ，

得：q12=1,q22=1,q32=0,q42=−1q_{12} = 1,\ q_{22} = 1,\ q_{32} = 0{,q}_{42} = - 1,

α3\alpha_{3}=[−1211]=q13[2101]+q23[0122]+q33[−2112]+q43[1312]\begin{bmatrix} \begin{matrix} - 1 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \end{bmatrix} = q_{13}\begin{bmatrix} \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \end{bmatrix} + q_{23}\begin{bmatrix} \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix} \end{bmatrix} + q_{33}\begin{bmatrix} \begin{matrix} - 2 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \end{bmatrix} + q_{43}\begin{bmatrix} \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \end{bmatrix} ，

得：q13=−1,q23=0,q33=0,q43=1q_{13} = - 1,\ q_{23} = 0,\ q_{33} = 0{,q}_{43} = 1,

α4\alpha_{4}=[−1−101]=q14[2101]+q24[0122]+q34[−2112]+q44[1312]\begin{bmatrix} \begin{matrix} - 1 \\ - 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \end{bmatrix} = q_{14}\begin{bmatrix} \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \end{bmatrix} + q_{24}\begin{bmatrix} \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix} \end{bmatrix} + q_{34}\begin{bmatrix} \begin{matrix} - 2 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \end{bmatrix} + q_{44}\begin{bmatrix} \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \end{bmatrix} ，

得：q13=1,q23=0,q33=1,q44=−1q_{13} = 1,\ q_{23} = 0,\ q_{33} = 1{,q}_{44} = - 1,

坐标变换公式为（旧坐标x表示新坐标y）：

[y1y2y3y4]=x1[q11q21q31q41]+x2[q12q22q32q42]+x3[q13q23q33q43]+x4[q14q24q34q44]\begin{bmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \\ y_{4} \end{bmatrix} = x_{1}\begin{bmatrix} q_{11} \\ q_{21} \\ q_{31} \\ q_{41} \end{bmatrix} + x_{2}\begin{bmatrix} q_{12} \\ q_{22} \\ q_{32} \\ q_{42} \end{bmatrix} + x_{3}\begin{bmatrix} q_{13} \\ q_{23} \\ q_{33} \\ q_{43} \end{bmatrix} + x_{4}\begin{bmatrix} q_{14} \\ q_{24} \\ q_{34} \\ q_{44} \end{bmatrix}

=x1[0−101]+x2[110−1]+x3[−1001]+x4[101−1]= x_{1}\begin{bmatrix} 0 \\ - 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + x_{2}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ - 1 \end{bmatrix} + x_{3}\begin{bmatrix} - 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + x_{4}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ - 1 \end{bmatrix}

基变换公式（旧基α表示新基β）

对每个新基向量βj\beta_{j}有：βj=p1jα1+p2jα2+p3jα3+p4jα4\beta_{j} = p_{1j}\alpha_{1} + p_{2j}\alpha_{2} + p_{3j}\alpha_{3} + p_{4j}\alpha_{4}

β1=[2101]=p11[12−10]+p21[1−111]+p31[−1211]+p41[−1−101]\beta_{1} = \begin{bmatrix} \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \end{bmatrix} = p_{11}\begin{bmatrix} \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 1 \\ 0 \end{matrix} \end{bmatrix} + p_{21}\begin{bmatrix} \begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \end{bmatrix} + p_{31}\begin{bmatrix} \begin{matrix} - 1 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \end{bmatrix} + p_{41}\begin{bmatrix} \begin{matrix} - 1 \\ - 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \end{bmatrix}

解得：p11=1,p21=1,p31=0,p41=0p_{11} = 1,\ p_{21} = 1,\ p_{31} = 0,\ p_{41} = 0，

β2=[0122]=p12[12−10]+p22[1−111]+p32[−1211]+p42[−1−101]\beta_{2} = \begin{bmatrix} \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix} \end{bmatrix} = p_{12}\begin{bmatrix} \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 1 \\ 0 \end{matrix} \end{bmatrix} + p_{22}\begin{bmatrix} \begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \end{bmatrix} + p_{32}\begin{bmatrix} \begin{matrix} - 1 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \end{bmatrix} + p_{42}\begin{bmatrix} \begin{matrix} - 1 \\ - 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \end{bmatrix}

解得：p12=0,p22=1,p32=1,p42=0p_{12} = 0,\ p_{22} = 1,\ p_{32} = 1,\ p_{42} = 0，

β3\beta_{3}：[−2112]=p13[12−10]+p23[1−111]+p33[−1211]+p43[−1−101]\begin{bmatrix} \begin{matrix} - 2 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \end{bmatrix} = p_{13}\begin{bmatrix} \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 1 \\ 0 \end{matrix} \end{bmatrix} + p_{23}\begin{bmatrix} \begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \end{bmatrix} + p_{33}\begin{bmatrix} \begin{matrix} - 1 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \end{bmatrix} + p_{43}\begin{bmatrix} \begin{matrix} - 1 \\ - 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \end{bmatrix}

解得：p13=0,p23=0,p33=1,p43=1p_{13} = 0,\ p_{23} = 0,\ p_{33} = 1,\ p_{43} = 1，

β4=[1312]=p14[12−10]+p24[1−111]+p34[−1211]+p44[−1−101]\beta_{4} = \begin{bmatrix} \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \end{bmatrix} = p_{14}\begin{bmatrix} \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 1 \\ 0 \end{matrix} \end{bmatrix} + p_{24}\begin{bmatrix} \begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \end{bmatrix} + p_{34}\begin{bmatrix} \begin{matrix} - 1 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \end{bmatrix} + p_{44}\begin{bmatrix} \begin{matrix} - 1 \\ - 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \end{bmatrix}

解得：p14=1,p24=1,p34=1,p44=0p_{14} = 1,\ p_{24} = 1,\ p_{34} = 1,\ p_{44} = 0，

坐标变换公式为（新坐标表示旧坐标）：

[x1x2x3x4]=y1[p11p21p31p41]+y2[p12p22p32p42]+y3[p13p23p33p43]+y4[p14p24p34p44]\begin{bmatrix} \begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} x_{3} \\ x_{4} \end{matrix} \end{bmatrix} = y_{1}\begin{bmatrix} p_{11} \\ p_{21} \\ p_{31} \\ p_{41} \end{bmatrix} + y_{2}\begin{bmatrix} p_{12} \\ p_{22} \\ p_{32} \\ p_{42} \end{bmatrix} + y_{3}\begin{bmatrix} p_{13} \\ p_{23} \\ p_{33} \\ p_{43} \end{bmatrix} + y_{4}\begin{bmatrix} p_{14} \\ p_{24} \\ p_{34} \\ p_{44} \end{bmatrix}

=y1[1100]+y2[0110]+y3[0011]+y4[1110]= y_{1}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + y_{2}\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + y_{3}\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + y_{4}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}