定义3在线性空间V中 , 如果存在n个向量α₁ , α₂ , ⋯ , α_n满足下列条件

(i)α₁ , α₂ , ⋯ , α_n线性无关

(ii)V中任一向量α总可由α₁ , α₂ , ⋯ , α_n线性表示

那么 , α₁ , α₂ , ⋯ , α_n就称为线性空间V的一个基底 , n称为线性空间V的维数。

只含一个零向量的线性空间没有基 , 约定它的维数为0。

维数为n的线性空间称为n维线性空间 , 记作V_n

这里要指出:线性空间的维数可以是无穷

对于n维线性空间V_n

若知α₁ , α₂ , ⋯ , α_n为V的一个基

则V_n可表示为V_n={α=x₁α₁+x₂α₂+ ⋯ +x_nα_n | x₁ , x₂ , ⋯ , x_n属于R}

即V_n是基所生成的线性空间 , 这就较清楚地显示出线性空间V_n的构造

若α₁ , α₂ , ⋯ , α_n为V_n的一个基 , 则对属于V_n的任何α ,

都有惟一的一组有序数x₁ , x₂ , ⋯ , x_n , 使α=x₁α₁+x₂α₂+ ⋯ +x_nα_n

反之 , 任给一组有序数x₁ , x₂ , ⋯ , x_n

总有惟一的向量α=x₁α₁+x₂α₂+ ⋯ +x_nα_n属于V_n

这样V_n的向量α与有序数组$\begin{bmatrix} \begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ x_{n} \end{matrix} \end{bmatrix}$之间存在着一一对应的关系

因此可以用这组有序数来表示向量α

定义4设α₁ , α₂ , ⋯ , α_n是线性空间V_n的一个基

对属于V_n的任一向量α , 总有且仅有一组有序数x₁ , x₂ , ⋯ , x_n

使α=x₁α₁+x₂α₂+ ⋯ +x_nα_n

x₁ , x₂ , ⋯ , x_n这组有序数就称为向量α在α₁ , α₂ , ⋯ , α_n这个基中的坐标

并记作α=$\begin{bmatrix} \begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ x_{n} \end{matrix} \end{bmatrix}$

不是所有的表出系数都叫坐标，

只有当表出所用的向量组构成一个基时，那组唯一且确定的系数才被称为坐标

例6 在线性空间P[x]₄中，

p₁=1 , p₂=x , p₃=x² , p₄=x³ , p₅=x⁴就是P[x]₄的一个基。

多项式p=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴

可表示为p=a₀p₁+a₁p₂+a₂p₃+a₃p₄+a₄p₅

因此p在这个基中的坐标为$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{0} \\ a_{1} \end{matrix} \\ \begin{matrix} a_{2} \\ a_{3} \\ a_{4} \end{matrix} \end{array}\ \right\rbrack$

若另取一个基q₁=1 , q₂=1+x , q₃=2x² , q₄=x³ , q₅=x⁴

则p=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴

=a₀-a₁+a₁+a₁x+$\frac{a_{2}}{2}$2x²+a₃x³+a₄x⁴

=(a₀-a₁)+a₁(1+x)+$\frac{a_{2}}{2}$2x²+a₃x³+a₄x⁴

=(a₀-a₁)q₁+a₁q₂+$\frac{1}{2}$a₂q₃+a₃q₄+a₄q₅

因此p在这个基中的坐标为$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{0} - a_{1} \\ a_{1} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \frac{1}{2}a_{2} \\ a_{3} \\ a_{4} \end{matrix} \end{array}\ \right\rbrack$

建立了坐标以后

就把抽象的向量α与具体的数组向量$\begin{bmatrix} \begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ x_{n} \end{matrix} \end{bmatrix}$联系起来了

并且还可把V_n中抽象的线性运算与Rⁿ中数组向量的线性运算联系起来

设α , β属于V_n , 有α=x₁α₁+x₂α₂+ ⋯ +x_nα_n , β=y₁α₁+y₂α₂+ ⋯ +y_nα_n

于是α+β=(x₁+y₁)α₁+ ⋯ +(x_n+y_n)α_n , λα=(λx₁)α₁+ ⋯ +(λx_n)α_n

即α+β的坐标是$\begin{bmatrix} x_{1} + y_{1} \\ \vdots \\ x_{n} + y_{n} \end{bmatrix}$=$\begin{bmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix}$+$\begin{bmatrix} y_{1} \\ \vdots \\ y_{n} \end{bmatrix}$

λα的坐标是$\begin{bmatrix} \lambda x_{1} \\ \vdots \\ \lambda x_{n} \end{bmatrix}$=λ$\begin{bmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix}$

总之 , 设在n维线性空间V_n中取定一个基α₁ , ⋯ , α_n

则V_n中的向量α与Rⁿ中n维数组向量空间的向量$\begin{bmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix}$之间

就有一个一一对应的关系

且这个对应关系具有下述性质:

设α⟷$\begin{bmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix}$ , β⟷$\begin{bmatrix} y_{1} \\ \vdots \\ y_{n} \end{bmatrix}$

则(i)α+β⟷$\begin{bmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix}$ + $\begin{bmatrix} y_{1} \\ \vdots \\ y_{n} \end{bmatrix}$ (ii) λα⟷ λ$\begin{bmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix}$

也就是说 , 这个对应关系保持线性组合的对应

因此 , 我们可以说V_n与Rⁿ有相同的结构 , 我们称V_n与Rⁿ同构

一般地 , 设V与U是两个线性空间

如果在它们的向量之间有一一对应关系 , 且这个对应关系保持线性组合的对应

那么就说线性空间V与U同构

显然 , 任何n维线性空间都与Rⁿ同构 , 即维数相等的线性空间都同构.

从而可知线性空间的结构完全被它的维数所决定

同构的概念除向量一一对应外 , 主要是保持线性运算的对应关系

因此 , V_n中的抽象的线性运算就可转化为Rⁿ中的线性运算

并且Rⁿ中凡是只涉及线性运算的性质就都适用于V_n

但Rⁿ中超出线性运算的性质 , 在V_n中就不一定具备

例如Rⁿ中的内积概念在V_n中就不一定有意义