定义1 设V是一个非空集合 , R为实数域

如果在V中定义了一个加法

即对于任意两个属于V的元素α , β , 总有惟一的属于V的一个元素γ与之对应

称为α与β的和 , 记作γ=α + β

在V中又定义了一个数与元素的乘法(简称数乘)

即对于任一属于R的数λ与任一属于V的元素α ,

总有惟一的属于V的一个元素δ与之对应

称为λ与α的数量乘积 , 记作δ=λα

并且这两种运算满足以下八条运算规律(设α , β , γ属于V ; λ , μ属于R):

(1) α+β=β+α; 加法交换律

(2) (α+β)+γ=α+(β+γ) 加法结合律

(3) 零元素0 , α+0=α 零元律

(4) 负元素β , α+β=0 负元律

(5) 单位元素1，1α=α 单位元律

(6) λ(μα)=(λμ)α 数乘结合律

(7) (λ+μ)α=λα+μα 数加分配律

(8) λ(α+β)=λα+λβ 向加分配律

那么 , V就称为(实数域R上的)向量空间,

V中的元素不论其本来的性质如何 , 统称为(实)向量

简言之 , 凡满足上述八条规律的加法及数乘运算 , 就称为线性运算

凡定义了线性运算的集合 , 就称向量空间 , 其中的元素就称为向量

而向量分量就是在特定基下的系数。

单位元律则保证了非零数乘有逆运算 , 即:当λ≠0时 , 若λα=β , 则α=$\frac{1}{\lambda}$β

在第四章中 , 我们把有序数组称为向量 , 并对它定义了加法和数乘运算

容易验证这些运算满足上述八条规律

最后 , 把对于运算为封闭的有序数组的集合称为向量空间

显然 , 那些只是现在定义的特殊情形

比较起来 , 现在的定义有了很大的推广

1 , 向量不一定是有序数组

2 , 向量空间中的运算只要求满足上述八条运算规律

当然也就不一定是有序数组的加法及数乘运算

例1 次数不超过n的多项式的全体 , 记作P[x]_n

即P[x]_n={p=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+⋯+a₁x+a₀ | a_n , ⋯ , a₁ , a₀ 属于R}

对于通常的多项式加法、数乘多项式的乘法构成向量空间

因为通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算满足线性运算规律

故只要验证P[x]_n对运算封闭

(a_nxⁿ+⋯+a₁x+a₀)+(b_nxⁿ+⋯+b₁x+b₀)

=(a_n+b_n)xⁿ+⋯+(a₁+b₁)x+(a₀+b₀)属于P[x]_n

λ(a_nxⁿ+⋯+a₁x+a₀)=(λa_n)xⁿ+⋯+(λa₁)x+(λa₀)属于P[x]_n

所以P[x]_n是一个向量空间

举例验证

取 $n = 2$：$P\lbrack x\rbrack_{2} = \{ ax^{2} + bx + c \mid a,b,c \in \mathbb{R}\}$

加法封闭：

$p_{1} = 3x^{2} + x + 1$，

$p_{2} = - 3x^{2} + 2x + 4$

$p_{1} + p_{2} = 3x - 3x^{2} + (3x^{2} - 3x^{2}) = 0x^{2} + 3x + 5 = 3x + 5$（次数 1 ≤ 2），

仍在 $P\lbrack x\rbrack_{2}$。

数乘封闭： $p = 4x^{2} - 2x + 3$，取 $c = 0.5$

$c \cdot p = 2x^{2} - x + 1.5$（次数 2 ≤ 2），仍在 $P\lbrack x\rbrack_{2}$。

零元：零多项式 $0$（即所有系数为 0）在 $P\lbrack x\rbrack_{2}$ 中。

负元：$p = 5x^{2} + x - 1$ 的负元是 $- 5x^{2} - x + 1$，仍在 $P\lbrack x\rbrack_{2}$。

这些都符合向量空间的条件。

例2 n次多项式的全体

Q[x]_n={p=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+⋯+a₁x+a₀ | a_n , ⋯ , a₁ , a₀ 属于R , 且a_n≠0}

对于通常的多项式加法和乘数运算不构成向量空间

原因： 在向量空间的公理中，必须包含零向量。

但在这个集合里，多项式系数 $a_{n} \neq 0$ ，

零多项式(零向量) $0 = 0x^{n} + \ldots + 0x + 0$ 不在集合Q[x]_n中。

因此对于通常的多项式加法和乘数运算Q[x]_n不构成向量空间

例3正弦函数的集合S[x]={s=Asin(x+B) | A , B属于R}

对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成向量空间

这是因为通常的函数加法及数乘运算显然满足线性运算规律

故只要验证S[x]对运算封闭:

s₁+s₂=A₁sin (x+B₁)+A₂sin(x+B₂)

=(a₁cos x+b₁sin x)+(a₂cos x+b₂sin x)

=(a₁+a₂)cos x+(b₁+b₂)sin x=Asin(x+B)属于S[x]

λs₁=λA₁sin(x+B₁)=(λA₁)sin(x+B₁)

λA₁属于R，从而λs₁属于S[x]

所以S[x]是一个向量空间

检验一个集合是否构成向量空间

当然不能只检验对运算的封闭性(如上面两例)

若所定义的加法和数乘运算不是通常的实数的加 , 乘运算

则就应仔细检验是否满足八条线性运算规律

例4

考虑通常的有序数组的加法运算，

以及一种特别定义的“数乘”运算：$\lambda \circ \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix},$其中 $\lambda \in \mathbb{R}$。

设全体 $n$ 个有序实数构成的集合为$S^{n} = \left\{ x = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix}\, \middle| \, x_{1},x_{2},\ldots,x_{n} \in \mathbb{R} \right\}.$

虽然 $S^{n}$ 在通常的数组加法与上述特殊数乘下具有两种运算，

但它并不构成向量空间。

原因分析

一个集合要成为向量空间，必须满足以下两个条件：

在该集合上定义有加法和数乘运算；

这些运算满足向量空间的八条公理

（封闭性、加法交换律、加法结合律、零元存在性、负元存在性、数乘与标量的结合律、

数乘单位元性质、数乘对加法的分配律）。

这里所定义的“数乘”运算 $\lambda \circ x = 0$ 与通常的数乘完全不同。

特别地，它违反了以下公理：

数乘单位元公理$1 \circ x = 0 \neq x\quad(\text{除非}x = 0).$

这与向量空间要求的 $1 \cdot x = x$ 相矛盾。

分配律与结合律

同样可验证，

该运算也不满足数乘对向量加法的分配律以及数乘对实数加法的分配律。

结论

尽管集合 $S^{n}$ 在形式上仍然是 $\mathbb{R}^{n}$ 中的元素，

但由于所定义的数乘运算不再是通常的线性运算，

并且不满足向量空间的基本公理，因此 $S^{n}$ 在此种运算下不构成向量空间。

这表明：判断一个集合是否为向量空间，不仅要看其集合结构，

更关键的是检验所定义的运算是否满足向量空间的全部公理。

若运算不符合公理要求，即使集合相同，也不能称之为向量空间。

比较Sⁿ与Rⁿ , 作为集合它们是一样的

但由于在其中所定义的运算不同

以至Rⁿ构成向量空间而Sⁿ不是向量空间

由此可见 , 向量空间的概念是集合与运算二者的结合

一般来说 , 同一个集合

若定义两种不同的线性运算 , 就构成不同的向量空间

若定义的运算不是线性运算 , 就不能构成向量空间

所以 , 所定义的线性运算是向量空间的本质 , 而其中的元素是什么并不重要

例5正实数的全体 , 记作R⁺ , 在其中定义特别的加法及数乘运算为

a⨁b=ab (a , b属于R⁺)

λ∘a=a^λ (λ属于R , a属于R⁺)

验证R⁺对上述加法与数乘运算构成线性空间

证: 实际上要验证十条：

对加法封闭：对任意的 $a,b \in \mathbb{R}^{+}$，有 $a \oplus b = ab \in \mathbb{R}^{+}$；

对数乘封闭：对任意的 $\lambda \in \mathbb{R}$，$a \in \mathbb{R}^{+}$，有 $\lambda \cdot a = a^{\lambda} \in \mathbb{R}^{+}$。

(i) $a \oplus b = ab = ba = b \oplus a$；

(ii) $(a \oplus b) \oplus c = (ab) \oplus c = (ab)c = a(bc) = a \oplus (b \oplus c)$；

(iii) $\mathbb{R}^{+}$ 中存在零元素 $1$，对任何 $a \in \mathbb{R}^{+}$，有 $a \oplus 1 = a \cdot 1 = a$；

一个元素加上零元素，结果仍为该元素本身。

(iv)$\mathbb{R}^{+}$ 中存在负元素 $a^{- 1}$ ，对任何 $a \in \mathbb{R}^{+}$，有 $a \oplus a^{- 1} = aa^{- 1} = 1$；

一个元素加上负元素，结果为零元。

(v) $1 \cdot a = a^{1} = a$；

(vi) $\lambda \cdot (\mu \cdot a) = \lambda \cdot a^{\mu} = (a^{\mu})^{\lambda} = a^{\lambda\mu} = (\lambda\mu) \cdot a$；

(vii) $(\lambda + \mu) \cdot a = a^{\lambda + \mu} = a^{\lambda}a^{\mu} = a^{\lambda} \oplus a^{\mu} = \lambda \cdot a \oplus \mu \cdot a$；

(viii) $\lambda \cdot (a \oplus b) = \lambda \cdot (ab) = (ab)^{\lambda} = a^{\lambda}b^{\lambda} = a^{\lambda} \oplus b^{\lambda} = \lambda \cdot a \oplus \lambda \cdot b$。

因此，$\mathbb{R}^{+}$ 对于所定义的运算构成线性空间。

向量空间的性质

1 , 零向量是惟一的

证:

设$V$是一个向量空间，对于任意向量$\alpha \in V$，向量空间的公理规定：

1.存在一个向量$0 \in V$，使得$\alpha + 0 = \alpha$。

2.向量加法满足交换律：对任意$\alpha,\beta \in V$，有$\alpha + \beta = \beta + \alpha$。

证明过程假设向量空间$V$中存在两个不同的零向量，记为$0_{1}$和$0_{2}$。

因为$0_{1}$是零向量，根据零向量的定义，对任意向量$\alpha \in V$，有$\alpha + 0_{1} = \alpha$。

特别地，取$\alpha = 0_{2}$，则有：$0_{2} + 0_{1} = 0_{2}\quad(1)$

同理，因为$0_{2}$是零向量，对任意向量$\alpha \in V$有$\alpha + 0_{2} = \alpha$。

特别地，取$\alpha = 0_{1}$，则有：$0_{1} + 0_{2} = 0_{1}\quad(2)$

根据向量加法的交换律，有$0_{1} + 0_{2} = 0_{2} + 0_{1}$。

结合式(1)和式(2)可得：$0_{1} = 0_{1} + 0_{2} = 0_{2} + 0_{1} = 0_{2}$

这与假设“$0_{1}$和$0_{2}$是不同的零向量”矛盾，因此向量空间中零向量的惟一性得证。

结论：向量空间中的零向量是惟一的。

2 , 任一向量的负向量是惟一的 , α的负向量记作-α

证:设β , γ都是α的负向量 , 即α+β=0 , α+γ=0

于是β=β+0=β+(α+γ)=(α+β)+γ=0+γ=γ

3、三个性质 0α=θ 、(-1)α=-α 、cθ=θ

证: 1.验证$0\alpha = \theta$（其中$0$是实数，$\theta$是零向量）

根据向量空间对数量乘法和向量加法的公理：

对任意实数$k$、$m$和向量$\alpha$，有$(k + m)\alpha = k\alpha + m\alpha$。

对任意向量$\alpha$，有$\alpha + \theta = \alpha$。

令$k = 0$，$m = 0$，则：$(0 + 0)\alpha = 0\alpha + 0\alpha$

左边$(0 + 0)\alpha = 0\alpha$，因此：$0\alpha = 0\alpha + 0\alpha$

两边同时加上$0\alpha$的负向量$- (0\alpha)$，根据向量加法的逆元性质（$\beta + ( - \beta) = \theta$）：

$$0\alpha + ( - (0\alpha)) = (0\alpha + 0\alpha) + ( - (0\alpha))$$

左边为$\theta$，右边根据加法结合律化简为$0\alpha + (0\alpha + ( - (0\alpha))) = 0\alpha + \theta = 0\alpha$，

因此：$\theta = 0\alpha$

即$0\alpha = \theta$得证。

2.验证$( - 1)\alpha = - \alpha$（其中$- 1$是实数，$- \alpha$是$\alpha$的负向量）

根据向量空间公理：

对实数$1$，有$1\alpha = \alpha$。

数乘对实数加法的分配律：$(k + m)\alpha = k\alpha + m\alpha$。

令$k = 1$，$m = - 1$，则：$(1 + ( - 1))\alpha = 1\alpha + ( - 1)\alpha$

左边$(1 + ( - 1))\alpha = 0\alpha = \theta$（已证$0\alpha = \theta$），右边$1\alpha + ( - 1)\alpha = \alpha + ( - 1)\alpha$，

因此：$\theta = \alpha + ( - 1)\alpha$

根据负向量的定义（若$\alpha + \beta = \theta$，则$\beta = - \alpha$），可知$( - 1)\alpha$是$\alpha$的负向量，

即：$( - 1)\alpha = - \alpha$

3.验证$c\theta = \theta$（其中$c$是实数）

根据向量空间公理：

对任意实数$c$和向量$\alpha$、$\beta$，有$c(\alpha + \beta) = c\alpha + c\beta$。

零向量的性质：$\theta + \theta = \theta$。

令$\alpha = \theta$，$\beta = \theta$，则：$c(\theta + \theta) = c\theta + c\theta$

左边$c(\theta + \theta) = c\theta$（因$\theta + \theta = \theta$），因此：$c\theta = c\theta + c\theta$

两边同时加上$c\theta$的负向量$- (c\theta)$，同理可得：$\theta = c\theta$

即$c\theta = \theta$得证。

4 , 如果cα=θ , 则c=0或α=θ (其中0,c是实数，θ是零向量，α是向量)

证：

若$c = 0$，根据已证性质$0\alpha = \theta$，此时无论$\alpha$是什么向量，等式均成立。

若$c \neq 0$，推导$\alpha = \theta$

若$c \neq 0$，则实数$c$存在倒数$\frac{1}{c}$（即$\frac{1}{c} \cdot c = 1$）。

$$c\alpha = \theta$$

$$\frac{1}{c}(c\alpha) = \frac{1}{c}\theta$$

$$1\alpha = \frac{1}{c}\theta$$

$$\alpha = \theta$$

综上，当$c\alpha = \theta$时，只能是$c = 0$或$\alpha = \theta$，性质得证。

定义2设V是一个向量空间 , L是V的一个非空子集

如果L对于V中所定义的加法和数乘两种运算也构成一个向量空间

则称L为V的子空间

定理1

线性空间V的非空子集L构成子空间的充分必要条件是

L对于V中的线性运算封闭