定义7设A , B都是n阶矩阵 , 若有可逆矩阵P , 使P^-1AP=B

则称B是A的相似矩阵 , 或说矩阵A与B相似

对A进行P^-1AP运算称为对A进行相似变换

可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵

举例说明

设$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$

取一个可逆矩阵 $P$ $= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，那么$P^{- 1} = \begin{pmatrix} 1 & - 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

计算$P^{- 1}AP = \begin{pmatrix} 1 & - 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = B$

所以 $A$ 与 $B$ 相似,

运算过程就是相似变换。

定理3若n阶矩阵A与B相似 , 则A与B的特征多项式相同

从而A与B的特征值亦相同

证明：

设 $A$ 与 $B$ 相似，则存在可逆矩阵 $P$，使得$B = P^{- 1}AP.$

考虑 $B$ 的特征多项式：

$$det(B - \lambda I) = det(P^{- 1}AP - \lambda I) = det(P^{- 1}AP - \lambda P^{- 1}P) = det(P^{- 1}(A - \lambda I)P).$$

利用行列式性质 $det(XY) = det(X)det(Y)$ 以及 $det(P^{- 1}) = \frac{1}{det(P)}$：

$$det(P^{- 1}(A - \lambda I)P) = det(P^{- 1}) \cdot det(A - \lambda I) \cdot det(P)$$

$$= det(P^{- 1}) \cdot det(P) \cdot det(A - \lambda I)$$

$$= 1 \bullet det(A - \lambda I).$$

因此$det(B - \lambda I) = det(A - \lambda I).$

即 $A$ 与 $B$ 的特征多项式相同，所以它们的特征值也相同。

证毕。

例：二阶矩阵验证

取矩阵$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$，可逆矩阵$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，先求$P^{- 1}$：

二阶矩阵逆公式：若$P = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$，则$P^{- 1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & - b \\ - c & a \end{pmatrix}$，得$P^{- 1} = \begin{pmatrix} 1 & - 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$。

步骤1：求相似矩阵$B = P^{- 1}AP$

$$P^{- 1}AP = \begin{pmatrix} 1 & - 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & - 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = B$$

步骤2：求$A$的特征多项式与特征值

特征多项式：$|\lambda E - A| = \left| \begin{matrix} \lambda - 2 & - 1 \\ - 1 & \lambda - 2 \end{matrix} \right| = (\lambda - 2)^{2} - 1 = \lambda^{2} - 4\lambda + 3$

特征值：令$\lambda^{2} - 4\lambda + 3 = 0$，解得$\lambda_{1} = 1,\lambda_{2} = 3$。

步骤3：求$B$的特征多项式与特征值

特征多项式：$|\lambda E - B| = \left| \begin{matrix} \lambda - 1 & 0 \\ - 1 & \lambda - 3 \end{matrix} \right| = (\lambda - 1)(\lambda - 3) = \lambda^{2} - 4\lambda + 3$

特征值：令$(\lambda - 1)(\lambda - 3) = 0$，解得$\lambda_{1} = 1,\lambda_{2} = 3$。

结论：$A$与$B$的特征多项式均为$\lambda^{2} - 4\lambda + 3$，特征值均为$1$和$3$，符合定理。

推论 若n阶矩阵A与对角矩阵Λ=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} \lambda_{1} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ \lambda_{2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \ddots \\ \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \lambda_{n} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$相似

则λ₁ , λ₂ , ⋯ , λ_n即是A的n个特征值

证: 若n阶矩阵A与Λ相似 , 则A与Λ的特征多项式相同

从而A与Λ的特征值亦相同,

因为λ₁ , λ₂ , ⋯ , λ_n即是Λ的n个特征值，

所以λ₁ , λ₂ , ⋯ , λ_n也就是A的n个特征值

例：2阶矩阵验证（单特征值）

步骤1：构造矩阵并求其特征值

取2阶实对称矩阵（必可对角化）：$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

特征方程为$|\lambda E - A| = 0$，展开计算：

$$|\lambda E - A| = \begin{vmatrix} \lambda - 2 & - 1 \\ - 1 & \lambda - 2 \end{vmatrix} = (\lambda - 2)^{2} - 1 = \lambda^{2} - 4\lambda + 3 = (\lambda - 1)(\lambda - 3) = 0$$

解得$A$的特征值：$\lambda_{1} = 1$，$\lambda_{2} = 3$。

步骤2：验证$A$与对角矩阵$\Lambda$相似

（1）求特征向量构造相似变换矩阵$P$

对$\lambda_{1} = 1$，解$(E - A)x = 0$，得基础解系$\xi_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ - 1 \end{pmatrix}$

对$\lambda_{2} = 3$，解$(3E - A)x = 0$，得基础解系$\xi_{2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

构造可逆矩阵$P = (\xi_{1},\xi_{2}) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{pmatrix}$，

其逆矩阵为：$P^{- 1} = \frac{1}{|P|}P^{\ast} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

（2）验证$P^{- 1}AP = \Lambda$

$$P^{- 1}AP = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \Lambda$$

结论

$A$与对角矩阵$\Lambda = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$相似，$\Lambda$的主对角线元素$1、3$，恰好是$A$的全部特征值，

在第2章中我们曾指出:若A=PBP^-1 , 则A^k=PB^kP^-1 , A的多项式φ(A)=Pφ(B)P^-1

特别 , 若有可逆矩阵P使P^-1AP=Λ为对角矩阵 , 即若A相似于对角矩阵Λ

则A^k=PΛ^kP^-1 , φ(A)=Pφ(Λ)P^-1

而对于对角矩阵Λ , 有Λ^k=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} \lambda_{1}^{k} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ \lambda_{2}^{k} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \ddots \\ \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \lambda_{n}^{k} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$ , φ(Λ)=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} \varphi\left( \lambda_{1} \right) \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ \varphi\left( \lambda_{2} \right) \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \ddots \\ \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \varphi\left( \lambda_{n} \right) \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$

由此可方便地计算A的多项式φ(A)

对n阶矩阵A , 寻求相似变换矩阵P , 使P^-1AP=Λ为对角矩阵

这就称为把矩阵A相似对角化

定理4

$n$阶矩阵$A\text{与对角矩阵相似（即}A\text{可相似对角化）}$的充分必要条件

是$A\text{有}n\text{个线性无关的特征向量}$，

例子：验证必要性

设$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$

第一步：验证 $A$ 可对角化

取矩阵$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},则P^{- 1} = \begin{pmatrix} 1 & - 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

计算$P^{- 1}AP = \begin{pmatrix} 1 & - 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$

因此 $A$ 相似于对角矩阵 $B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$，即 $A$ 可对角化。

第二步：求 $A$ 的特征值与特征向量

特征多项式为$|A - \lambda E| = \left| \begin{matrix} 2 - \lambda & 1 \\ 0 & 3 - \lambda \end{matrix} \right| = (2 - \lambda)(3 - \lambda) = 0$

解得特征值 $\lambda_{1} = 2$，$\lambda_{2} = 3$。

对于 $\lambda_{1} = 2$： 有方程组 $(A - 2E)x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\left\lbrack \begin{array}{r} x_{1} \\ x_{2} \end{array} \right\rbrack = 0$，

通解为$x = c\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},\quad c \in \mathbb{R}$，取 $v_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$。

对于 $\lambda_{2} = 3$： 有方程组 $(A - 3E)x = \begin{pmatrix} - 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\left\lbrack \begin{array}{r} x_{1} \\ x_{2} \end{array} \right\rbrack = 0$，

通解为$x = c\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix},\quad c \in \mathbb{R}$取 $v_{2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$。

第三步：检验特征向量的线性无关性

$v_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$，$v_{2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$，显然它们不成比例，故线性无关。

第四步：结论

由于 $A$ 可对角化，我们求出了它确实有两个线性无关的特征向量 $v_{1},v_{2}$，

这验证了定理的必要性： “若 $A$ 可对角化，则 $A$ 必有 $n$ 个线性无关的特征向量。”

例子：验证充分性

设$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$

第一步：求 $A$ 的特征值与特征向量

特征多项式为$|A - \lambda E| = \left| \begin{matrix} 2 - \lambda & 1 \\ 0 & 3 - \lambda \end{matrix} \right| = (2 - \lambda)(3 - \lambda) = 0$

解得特征值 $\lambda_{1} = 2$，$\lambda_{2} = 3$。

对于 $\lambda_{1} = 2$： 有方程组 $(A - 2E)x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\left\lbrack \begin{array}{r} x_{1} \\ x_{2} \end{array} \right\rbrack = 0$，

通解为$x = c\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},\quad c \in \mathbb{R}$，取 $v_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$。

对于 $\lambda_{2} = 3$： 有方程组 $(A - 3E)x = \begin{pmatrix} - 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\left\lbrack \begin{array}{r} x_{1} \\ x_{2} \end{array} \right\rbrack = 0$，

通解为$x = c\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix},\quad c \in \mathbb{R}$取 $v_{2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$。

第二步：检验特征向量的线性无关性

$v_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$，$v_{2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$，显然它们不成比例，故线性无关。

因此，$A$ 有 $2$ 个线性无关的特征向量。

第三步：构造可逆矩阵 $P$ 并对角化

令$P = (v_{1},v_{2}) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，则 $P$ 可逆，且$P^{- 1} = \begin{pmatrix} 1 & - 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$$P^{- 1}(AP) = \begin{pmatrix} 1 & - 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$$

第四步：结论

由于我们构造出了可逆矩阵 $P$，使得 $P^{- 1}AP$ 为对角矩阵，因此 $A$ 可相似对角化。

这就验证了定理的充分性：

若 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量，则 $A$ 可对角化。

推论 若 $n$ 阶矩阵 $A$ 的 $n$ 个特征值互不相等，

就一定有n个线性无关的特征向量

从而一定能相似对角化。

举例验证（2阶矩阵）

取$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

1. 求特征值

$$|\lambda I - A| = \left| \begin{matrix} \lambda - 1 & - 1 \\ 0 & \lambda - 2 \end{matrix} \right| = (\lambda - 1)(\lambda - 2) = 0$$

特征值：$\lambda_{1} = 1,\ \lambda_{2} = 2$，两个不同特征值。

2. 求特征向量

对 $\lambda_{1} = 1$：$(I - A)\xi = 0 \Rightarrow \begin{pmatrix} 0 & - 1 \\ 0 & - 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} = 0$

取一个特征向量：$\xi_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

对 $\lambda_{2} = 2$：$(2I - A)\xi = 0 \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & - 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} = 0$

取一个特征向量：$\xi_{2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

3. $\xi_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},与\xi_{2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$线性无关，正好 2 个线性无关特征向量。

4. 可相似对角化

令$P = (\xi_{1},\xi_{2}) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，则$P^{- 1}AP = \begin{pmatrix} 1 & - 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

确实相似对角化了。

当A的特征方程有重根时 , 就不一定有n个线性无关的特征向量

从而不一定能相似对角化。

例如矩阵A=$\begin{bmatrix} - 1 & 1 & 0 \\ - 4 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix}$

特征方程$|A - \lambda| = \left| \begin{matrix} - 1 - \lambda & 1 & 0 \\ - 4 & 3 - \lambda & 0 \\ 1 & 0 & 2 - \lambda \end{matrix} \right| = (2 - \lambda)(1 - \lambda)^{2}$

特征值为$\lambda_{1} = 2，\lambda_{2} = \lambda_{3} = 1$

有重根，找不到3个线性无关的特征向量

因此A不能相似对角化

当A的特征方程有重根时 , 也可能有n个线性无关的特征向量，

从而能相似对角化。

例10设矩阵A=$\begin{bmatrix} - 2 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ - 4 & 1 & 3 \end{bmatrix}$ , 那么A能否相似对角化?

若能 , 则求可逆矩阵P和对角矩阵Λ , 使P^-1AP=Λ

解:先求A的特征值

$$|A - \lambda E| = \left| \begin{matrix} - 2 - \lambda & 1 & 1 \\ 0 & 2 - \lambda & 0 \\ - 4 & 1 & 3 - \lambda \end{matrix} \right| = (2 - \lambda)\left| \begin{matrix} - 2 - \lambda & 1 \\ - 4 & 3 - \lambda \end{matrix} \right|$$

=$(2 - \lambda)$[ λ² - λ - 2 ]=-(λ+1)(λ - 2)²

解得特征值λ₁ = -1，λ₂ = λ₃= 2（二重特征值），

当λ₁ = -1时，解方程(A-(-1)E)x=0

由A-(-1)E=$\begin{bmatrix} - 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ - 4 & 1 & 4 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

得同解方程组：$\begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x_{1} - x_{3} = 0 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_{2} = 0\ \ \ \end{matrix} \right.\ \end{matrix}$，

得参数形式：$\left\{ \begin{array}{r} x_{1} = x_{3} \\ x_{2} = 0 \end{array} \right.\$ (x₃ 可任意取值)

得参数形式：$\left\{ \begin{matrix} x_{1} = c \\ x_{2} = 0 \\ x_{3} = c \end{matrix} \right.\$ (其中x₃=c)

得齐次通解：$\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix}$=$\begin{bmatrix} c \\ 0 \\ c \end{bmatrix}$=$c\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ (c为任意实数)

得与λ=-1对应的特征向量ξ₁=$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$。

当λ₂ = λ₃= 2时，解方程(A-2E)x=0

由A-2E=$\begin{bmatrix} - 4 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ - 4 & 1 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} - 4 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

得同解方程组：4x₁−x₂−x₃=0

得参数形式： $x_{1} = \frac{1}{4}x_{2} + \frac{1}{4}x_{3}$ (x₂ , x₃可任意取值)

得参数形式：$\left\{ \begin{matrix} x_{1} = \frac{1}{4}c_{1} + \frac{1}{4}c_{2} \\ x_{2} = c_{1} \\ x_{3} = c_{2} \end{matrix} \right.\$ (其中x₂=c₁ , x₃=c₂ )

得齐次通解：$\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix}$=$\begin{bmatrix} \frac{1}{4}c_{1} + \frac{1}{4}c_{2} \\ c_{1} \\ c_{2} \end{bmatrix}$=$c_{1}\begin{bmatrix} \frac{1}{4} \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$+$c_{2}\begin{bmatrix} \frac{1}{4} \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ (c₁ , c₂为任意实数)

得与λ=2对应的线性无关特征向量为ξ₂=$\begin{bmatrix} \frac{1}{4} \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ 0 \end{bmatrix}$ , ξ₃=$\begin{bmatrix} \frac{1}{4} \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{bmatrix}$

矩阵A是3阶矩阵，特征向量的并集是线性无关的，

这里我们求得3个线性无关的特征向量ξ₁, ξ₂, ξ₃，所以矩阵A可以相似对角化。

可逆矩阵P由特征向量作为列向量构成，

即P=(ξ₁, ξ₂, ξ₃)=$\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}\ \right\rbrack$ P^-1=$\left\lbrack \begin{matrix} \frac{4}{3} \\ 0 \\ \frac{- 1}{3} \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \frac{- 1}{3} \\ \frac{1}{4} \\ \frac{1}{12} \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \frac{- 1}{3} \\ 0 \\ \frac{1}{3} \end{matrix}\ \right\rbrack$

Λ=P^-1AP=$\left\lbrack \begin{matrix} \frac{4}{3} \\ 0 \\ \frac{- 1}{3} \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \frac{- 1}{3} \\ \frac{1}{4} \\ \frac{1}{12} \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \frac{- 1}{3} \\ 0 \\ \frac{1}{3} \end{matrix}\ \right\rbrack\begin{bmatrix} - 2 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ - 4 & 1 & 3 \end{bmatrix}\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}\ \right\rbrack = \begin{bmatrix} - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$

上例说明：

当A的特征方程有重根时 ,也可能有n个线性无关的特征向量

也就可相似对角化。

例11设A=$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & t \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ , 问t为何值时 , 矩阵A能相似对角化?

解:

依据n阶矩阵A可相似对角化的充要条件：A有n个线性无关的特征向量，

对于3阶矩阵，A可相似对角化的充要条件是：A有3个线性无关的特征向量。

步骤1：求矩阵A的所有特征值

矩阵的特征方程为$|\lambda E - A| = 0$，

其中特征矩阵$\lambda E - A$为：$\lambda E - A = \begin{pmatrix} \lambda & 0 & - 1 \\ - 1 & \lambda - 1 & - t \\ - 1 & 0 & \lambda \end{pmatrix}$

按第二列展开计算行列式（第二列仅有$\lambda - 1$非零，计算最简）：

$$|\lambda E - A| = (\lambda - 1) \cdot ( - 1)^{2 + 2} \cdot \left| \begin{matrix} \lambda & - 1 \\ - 1 & \lambda \end{matrix} \right| = = (\lambda - 1)(\lambda^{2} - 1) = = (\lambda - 1)^{2}(\lambda + 1)$$

解得A的特征值为：$\lambda = 1$（二重根），$\lambda = - 1$（单根）。

步骤2：分析特征向量的数量要求

对应某个特征值的线性无关的特征向量，

就是齐次线性方程组$(\lambda E - A)x = 0$的基础解系中的向量。

1. 对于单根特征值$\lambda = - 1$：

代入得齐次方程组$( - E - A)x = 0$，其系数矩阵为：$- E - A = \begin{pmatrix} - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & - 2 & - t \\ - 1 & 0 & - 1 \end{pmatrix}$

初等行变换后可得该矩阵的秩为2。

根据齐次线性方程组的性质：

基础解系所含线性无关解的个数 = 未知数个数 - 系数矩阵的秩，

此处未知数个数为3，因此基础解系含$3 - 2 = 1$个线性无关的解，

即$\lambda = - 1$对应1个线性无关的特征向量，该结果与参数t无关。

2. 对于二重根特征值$\lambda = 1$：

要让A总共有3个线性无关的特征向量，

必须让$\lambda = 1$对应2个线性无关的特征向量（1+2=3，满足3阶矩阵的要求）。

结合齐次线性方程组的性质，此处未知数个数为3，

要让基础解系含2个线性无关的解，必须满足：$3 - r(E - A) = 2$

即核心要求为$r(E - A) = 1$。

步骤3：化简$E - A$，求解参数t

代入$\lambda = 1$，得：$E - A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - t \\ - 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

对矩阵做初等行变换（初等行变换不改变矩阵的秩）：

变换后的矩阵为：$\begin{pmatrix} 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & - t - 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

要让该矩阵的秩为1，必须让矩阵中不全为零的行仅有1行，

因此第2行必须为全零行，即：$- t - 1 = 0$

解得$t = - 1$。

结论验证 当$t = - 1$时，$E - A$初等行变换后为$\begin{pmatrix} 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，秩为1，

此时$(E - A)x = 0$的基础解系含2个线性无关的解，

即$\lambda = 1$对应2个线性无关的特征向量。

加上$\lambda = - 1$对应的1个线性无关的特征向量，A总共有3个线性无关的特征向量，完全满足相似对角化的充要条件。

最终结论 当且仅当$t = - 1$时，矩阵A能相似对角化。

把$t = - 1$代入验证

例11设A=$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ , 那么A能否相似对角化?

若能 , 则求可逆矩阵P和对角矩阵Λ , 使P^-1AP=Λ

解:先求A的特征值

$$|A - \lambda E| = \left| \begin{matrix} 0 - \lambda & 0 & 1 \\ 1 & 1 - \lambda & - 1 \\ 1 & 0 & 0 - \lambda \end{matrix} \right|$$

解得特征值λ₁ = -1，λ₂ = λ₃= 1（二重特征值），

当λ₁ = -1时，解方程(A-(-1)E)x=0

由A-(-1)E=$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

得同解方程组：$\begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{3} = 0 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_{2} - x_{3} = 0\ \ \ \end{matrix} \right.\ \end{matrix}$，

得参数形式：$\left\{ \begin{array}{r} x_{1} = - x_{3} \\ x_{2} = x_{3} \end{array} \right.\$ (x₃ 可任意取值)

得参数形式：$\left\{ \begin{matrix} x_{1} = - c \\ x_{2} = c \\ x_{3} = c \end{matrix} \right.\$ (其中x₃=c)

得齐次通解：$\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix}$=$\begin{bmatrix} - c \\ c \\ c \end{bmatrix}$=$c\begin{bmatrix} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ (c为任意实数)

得对应λ=-1的特征向量ξ₁=$\begin{bmatrix} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$。

当λ₂ = λ₃= 1时，解方程(A-E)x=0

由A-E=$\begin{bmatrix} - 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} - 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ $\rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

得同解方程组：x₁−x₃=0

得参数形式： $x_{1} = x_{3}$ ( x₃可任意取值)

得参数形式：$\left\{ \begin{matrix} x_{1} = c_{2} \\ x_{2} = c_{1} \\ x_{3} = c_{2} \end{matrix} \right.\$ (其中x₂=c₁, x₃=c₂)

得齐次通解：$\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix}$=$\begin{bmatrix} c_{2} \\ c_{1} \\ c_{2} \end{bmatrix}$=$c_{1}\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + c_{2}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ (c₁,c₂为任意实数)

得对应λ=1的线性无关特征向量为ξ₂=$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ , ξ₃=$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

矩阵A是3阶矩阵，特征向量的并集是线性无关的，

这里我们求得3个线性无关的特征向量ξ₁, ξ₂, ξ₃，所以矩阵A可以相似对角化。

可逆矩阵P由特征向量作为列向量构成，

即P=(ξ₁, ξ₂, ξ₃)=$\left\lbrack \begin{matrix} {- 1} \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\ \right\rbrack$ P^-1=$\begin{bmatrix} - 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

Λ=P^-1AP=$\begin{bmatrix} - 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\left\lbrack \begin{matrix} {- 1} \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right\rbrack = \begin{bmatrix} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

验证了当t=-1时，矩阵A可以对解化。