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17 , 设A= [ 1 4 2 0 − 3 4 0 4 3 ] \begin{bmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 0 & - 3 & 4 \\ 0 & 4 & 3 \end{bmatrix} , 求A100

解:利用矩阵A的相似对角阵来求A100

(1)求A的特征值:

|A-λE|= | 1 − λ 4 2 0 − 3 − λ 4 0 4 3 − λ | \left| \begin{matrix} 1 - \lambda & 4 & 2 \\ 0 & - 3 - \lambda & 4 \\ 0 & 4 & 3 - \lambda \end{matrix} \right| =(1-λ) | − 3 − λ 4 4 3 − λ | \left| \begin{matrix} - 3 - \lambda & 4 \\ 4 & 3 - \lambda \end{matrix} \right| =(1-λ)(λ-5)(λ+5)

所以A的特征值为λ1=-5 , λ2=1 , λ3=5 , 并且它们互不相同

因为3阶矩阵A的3个特征值互不相等知A可对角化

(2)对应λ1=-5 , 解方程(A +5E)x=0

由A+5E= [ 6 4 2 0 2 4 0 4 8 ] ⇒ r [ 6 0 − 6 0 1 2 0 0 0 ] ⇒ r [ 1 0 − 1 0 1 2 0 0 0 ] \begin{bmatrix} 6 & 4 & 2 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 4 & 8 \end{bmatrix}\overset{r}{\Rightarrow}\begin{bmatrix} 6 & 0 & - 6 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\overset{r}{\Rightarrow}\begin{bmatrix} 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

得同解方程组： { x 1 − x 3 = 0 x 2 + 2 x 3 = 0 \left\{ \begin{array}{r} x_{1} - x_{3} = 0 \\ x_{2} + 2x_{3} = 0 \end{array} \right.\

得参数形式： { x 1 = x 3 x 2 = − 2 x 3 \left\{ \begin{array}{r} x_{1} = x_{3} \\ x_{2} = - 2x_{3} \end{array} \right.\ (x3 可任意取值)

得参数形式： { x 1 = c x 2 = − 2 c x 3 = c \left\{ \begin{matrix} x_{1} = c \\ x_{2} = - 2c \\ x_{3} = c \end{matrix} \right.\ (其中x3=c )

得齐次通解： [ x 1 x 2 x 3 ] = [ − c 2 c c ] \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix} = \left\lbrack - \begin{matrix} c \\ 2c \\ c \end{matrix} \right\rbrack =c [ 1 − 2 1 ] \begin{bmatrix} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{bmatrix} (c为任意实数)

得特征向量p1= [ 1 − 2 1 ] \begin{bmatrix} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{bmatrix}

对应λ2=1 , 解方程(A -E)x=0

由A-E= [ 0 4 2 0 − 4 4 0 4 8 ] ⇒ r [ 0 1 − 1 0 2 1 0 0 0 ] ⇒ r [ 0 1 0 0 0 1 0 0 0 ] \begin{bmatrix} 0 & 4 & 2 \\ 0 & - 4 & 4 \\ 0 & 4 & 8 \end{bmatrix}\overset{r}{\Rightarrow}\begin{bmatrix} 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\overset{r}{\Rightarrow}\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

得同解方程组： { x 2 = 0 x 3 = 0 \left\{ \begin{array}{r} x_{2} = 0 \\ x_{3} = 0 \end{array} \right.\

得参数形式： { x 1 = c x 2 = 0 x 3 = 0 \left\{ \begin{matrix} x_{1} = c \\ x_{2} = 0 \\ x_{3} = 0 \end{matrix} \right.\ (其中x1=c )

得齐次通解： [ x 1 x 2 x 3 ] = [ c 0 0 ] \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} =c [ 1 0 0 ] \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} (c为任意实数)

得特征向量p2= [ 1 0 0 ] \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}

对应λ3=5 , 解方程(A-5E)x=0

由A -5E= [ − 4 4 2 0 − 8 4 0 4 − 2 ] ⇒ r [ 2 − 2 − 1 0 − 2 1 0 0 0 ] ⇒ r [ 1 − 2 0 0 − 2 1 0 0 0 ] \begin{bmatrix} - 4 & 4 & 2 \\ 0 & - 8 & 4 \\ 0 & 4 & - 2 \end{bmatrix}\overset{r}{\Rightarrow}\begin{bmatrix} 2 & - 2 & - 1 \\ 0 & - 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\overset{r}{\Rightarrow}\begin{bmatrix} 1 & - 2 & 0 \\ 0 & - 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

得同解方程组： { x 1 − 2 x 2 = 0 − 2 x 2 + x 3 = 0 \left\{ \begin{array}{r} x_{1} - 2x_{2} = 0 \\ {- 2x}_{2} + x_{3} = 0 \end{array} \right.\

得参数形式： { x 1 = 2 x 2 x 3 = 2 x 2 \left\{ \begin{array}{r} x_{1} = 2x_{2} \\ x_{3} = 2x_{2} \end{array} \right.\ (x2 可任意取值)

得参数形式： { x 1 = 2 c x 2 = c x 3 = 2 c \left\{ \begin{matrix} x_{1} = 2c \\ x_{2} = c \\ x_{3} = 2c \end{matrix} \right.\ (其中x2=c )

得齐次通解： [ x 1 x 2 x 3 ] = [ 2 c c 2 c ] \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2c \\ c \\ 2c \end{bmatrix} =c [ 2 1 2 ] \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} (c为任意实数)

得特征向量p3= [ 2 1 2 ] \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}

(3)令P=(p1 , p2 , p3)= [ 1 1 2 − 2 0 1 1 0 2 ] \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ - 2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix}

因为p1, p2 , p3线性无关，所以P为可逆矩阵 , 且P-1AP=Λ=diag(-5 , 1 , 5)

于是由A= PΛP-1得A100 = PΛ100P-1

由P= [ 1 1 2 − 2 0 1 1 0 2 ] \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ - 2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix} 求得P-1= 1 5 [ 0 − 2 1 5 0 − 5 0 1 2 ] \frac{1}{5}\begin{bmatrix} 0 & - 2 & 1 \\ 5 & 0 & - 5 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}

代入得A100= 1 5 [ 1 1 2 − 2 0 1 1 0 2 ] [ 5 100 1 5 100 ] [ 0 − 2 1 5 0 − 5 0 1 2 ] \frac{1}{5}\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ - 2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5^{100} & & \\ & 1 & \\ & & 5^{100} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & - 2 & 1 \\ 5 & 0 & - 5 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}

= 1 5 [ 5 100 1 2 ⋅ 5 100 − 2 ⋅ 5 100 0 5 100 5 100 0 2 ⋅ 5 100 ] [ 0 − 2 1 5 0 − 5 0 1 2 ] \frac{1}{5}\begin{bmatrix} 5^{100} & 1 & 2{\ \cdot 5}^{100} \\ - 2 \cdot 5^{100} & 0 & 5^{100} \\ 5^{100} & 0 & 2 \cdot 5^{100} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & - 2 & 1 \\ 5 & 0 & - 5 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}

= [ 1 0 5 100 − 1 0 5 100 0 0 0 5 100 ] \begin{bmatrix} 1 & 0 & 5^{100} - 1 \\ 0 & 5^{100} & 0 \\ 0 & 0 & 5^{100} \end{bmatrix}

18 , 在某国 , 每年有比例为p的农村居民移居城镇，

有比例为q的城镇居民移居农村，

假设该国总人口数不变 , 且上述人口迁移的规律也不变，

把n年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为xn和yn(xn+yn=1)

(1)求关系式 [ x n + 1 y n + 1 ] \begin{bmatrix} x_{n + 1} \\ y_{n + 1} \end{bmatrix} =A [ x n y n ] \begin{bmatrix} x_{n} \\ y_{n} \end{bmatrix} 中的矩阵A

(2)设目前农村人口与城镇人口相等,即 [ x 0 y 0 ] \begin{bmatrix} x_{0} \\ y_{0} \end{bmatrix} = [ 0.5 0.5 ] \begin{bmatrix} 0.5 \\ 0.5 \end{bmatrix} , 求 [ x n y n ] \begin{bmatrix} x_{n} \\ y_{n} \end{bmatrix}

解:

(1) 求矩阵 A A

根据人口迁移规律，分析第 n + 1 n + 1 年农村人口 x n + 1 x_{n + 1} 和城镇人口 y n + 1 y_{n + 1} 的构成：

农村人口：

第 n n 年农村人口留存 1 − p 1 - p （未移居城镇的比例），加上第 n n 年城镇人口迁入的 q q ，即 x n + 1 = ( 1 − p ) x n + q y n x_{n + 1} = (1 - p)x_{n} + qy_{n}

城镇人口：

第 n n 年城镇人口留存 1 − q 1 - q （未移居农村的比例），加上第 n n 年农村人口迁入的 p p ，即 y n + 1 = p x n + ( 1 − q ) y n y_{n + 1} = px_{n} + (1 - q)y_{n}

将其表示为矩阵乘法形式： [ x n + 1 y n + 1 ] = [ 1 − p q p 1 − q ] [ x n y n ] \begin{bmatrix} x_{n + 1} \\ y_{n + 1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 - p & q \\ p & 1 - q \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{n} \\ y_{n} \end{bmatrix}

因此，矩阵 A = [ 1 − p q p 1 − q ] A = \begin{bmatrix} 1 - p & q \\ p & 1 - q \end{bmatrix} 。

(2) 已知 [ x 0 y 0 ] = [ 0.5 0.5 ] \begin{bmatrix} x_{0} \\ y_{0} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.5 \\ 0.5 \end{bmatrix} ，求 [ x n y n ] \begin{bmatrix} x_{n} \\ y_{n} \end{bmatrix}

由递推关系可知： [ x n y n ] = A n [ x 0 y 0 ] \begin{bmatrix} x_{n} \\ y_{n} \end{bmatrix} = A^{n}\begin{bmatrix} x_{0} \\ y_{0} \end{bmatrix} ，需先对矩阵 A A 对角化，再求 A n A^{n} 。

步骤1：求矩阵 A A 的特征值

特征方程为 | λ E − A | = | λ − ( 1 − p ) − q − p λ − ( 1 − q ) | = ( λ − 1 ) [ λ − ( 1 − p − q ) ] = 0 |\lambda E - A| = \left| \begin{matrix} \lambda - (1 - p) & - q \\ - p & \lambda - (1 - q) \end{matrix} \right| = (\lambda - 1)\lbrack\lambda - (1 - p - q)\rbrack = 0

得特征值： λ 1 = 1 \lambda_{1} = 1 ， λ 2 = 1 − p − q \lambda_{2} = 1 - p - q 。

步骤2：求对应特征值的特征向量

对 λ 1 = 1 \lambda_{1} = 1 ，解 ( E − A ) ξ = [ p − q − p q ] ξ (E - A)\xi = \begin{bmatrix} p & - q \\ - p & q \end{bmatrix}\xi =0，得特征向量 ξ 1 = [ q p ] \xi_{1} = \begin{bmatrix} q \\ p \end{bmatrix} 。

对 λ 2 = 1 − p − q \lambda_{2} = 1 - p - q ，解 ( λ 2 E − A ) ξ = [ − q − q − p − p ] ξ = 0 (\lambda_{2}E - A)\xi = \begin{bmatrix} - q & - q \\ - p & - p \end{bmatrix}\xi = 0 ，得特征向量 ξ 2 = [ 1 − 1 ] \xi_{2} = \begin{bmatrix} 1 \\ - 1 \end{bmatrix} 。

步骤3：构造可逆矩阵 P P 并求 P − 1 P^{- 1}

令可逆矩阵 P = ( ξ 1 , ξ 2 ) = [ q 1 p − 1 ] P = (\xi_{1},\xi_{2}) = \begin{bmatrix} q & 1 \\ p & - 1 \end{bmatrix} ，得 P − 1 = − 1 p + q [ − 1 − 1 − p q ] = 1 p + q [ 1 1 p − q ] P^{- 1} = - \frac{1}{p + q}\begin{bmatrix} - 1 & - 1 \\ - p & q \end{bmatrix} = \frac{1}{p + q}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ p & - q \end{bmatrix}

步骤4：求 A n A^{n}

由矩阵对角化性质， A = P Λ P − 1 A = P\Lambda P^{- 1} （其中对角矩阵 Λ = [ λ 1 0 0 λ 2 ] = [ 1 0 0 1 − p − q ] \Lambda = \begin{bmatrix} \lambda_{1} & 0 \\ 0 & \lambda_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 - p - q \end{bmatrix} ），

则 A n = P Λ n P − 1 A^{n} = P\Lambda^{n}P^{- 1} ，其中 Λ n = [ 1 n 0 0 ( 1 − p − q ) n ] = [ 1 0 0 ( 1 − p − q ) n ] \Lambda^{n} = \begin{bmatrix} 1^{n} & 0 \\ 0 & (1 - p - q)^{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & (1 - p - q)^{n} \end{bmatrix} 。

代入 P P 、 Λ n \Lambda^{n} 、 P − 1 P^{- 1} 计算：

A n = [ q 1 p − 1 ] [ 1 0 0 ( 1 − p − q ) n ] ⋅ 1 p + q [ 1 1 p − q ] A^{n} = \begin{bmatrix} q & 1 \\ p & - 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & (1 - p - q)^{n} \end{bmatrix} \cdot \frac{1}{p + q}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ p & - q \end{bmatrix}

= 1 p + q [ q + p ⋅ ( 1 − p − q ) n q − q ⋅ ( 1 − p − q ) n p − p ⋅ ( 1 − p − q ) n p + q ⋅ ( 1 − p − q ) n ] = \frac{1}{p + q}\begin{bmatrix} q + p \cdot (1 - p - q)^{n} & q - q \cdot (1 - p - q)^{n} \\ p - p \cdot (1 - p - q)^{n} & p + q \cdot (1 - p - q)^{n} \end{bmatrix}

步骤5：代入初始向量求 [ x n y n ] \begin{bmatrix} x_{n} \\ y_{n} \end{bmatrix} 已知 [ x 0 y 0 ] = [ 0.5 0.5 ] = 1 2 [ 1 1 ] \begin{bmatrix} x_{0} \\ y_{0} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.5 \\ 0.5 \end{bmatrix} = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} ，

则： [ x n y n ] = A n ⋅ 1 2 [ 1 1 ] = 1 2 ( p + q ) [ q + p ⋅ ( 1 − p − q ) n q − q ⋅ ( 1 − p − q ) n p − p ⋅ ( 1 − p − q ) n p + q ⋅ ( 1 − p − q ) n ] [ 1 1 ] \begin{bmatrix} x_{n} \\ y_{n} \end{bmatrix} = A^{n} \cdot \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{2(p + q)}\begin{bmatrix} q + p \cdot (1 - p - q)^{n} & q - q \cdot (1 - p - q)^{n} \\ p - p \cdot (1 - p - q)^{n} & p + q \cdot (1 - p - q)^{n} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}

= 1 2 ( p + q ) [ 2 q + ( p − q ) ( 1 − p − q ) n 2 p + ( q − p ) ( 1 − p − q ) n ] = \frac{1}{2(p + q)}\begin{bmatrix} 2q + (p - q)(1 - p - q)^{n} \\ 2p + (q - p)(1 - p - q)^{n} \end{bmatrix}

最终答案 (1) 矩阵 A = [ 1 − p q p 1 − q ] A = \begin{bmatrix} 1 - p & q \\ p & 1 - q \end{bmatrix} ；

(2) [ x n y n ] = 1 2 ( p + q ) [ 2 q + ( p − q ) ( 1 − p − q ) n 2 p + ( q − p ) ( 1 − p − q ) n ] \begin{bmatrix} x_{n} \\ y_{n} \end{bmatrix} = \frac{1}{2(p + q)}\begin{bmatrix} 2q + (p - q)(1 - p - q)^{n} \\ 2p + (q - p)(1 - p - q)^{n} \end{bmatrix}

使用具体数据：

18 , 在某国 , 每年有比例为10%的农村居民移居城镇，

有比例为5%的城镇居民移居农村，

假设该国总人口数不变 , 且上述人口迁移的规律也不变，

把10年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为 x 10 x_{10} 和 y 10 y_{10} ( x 10 x_{10} + y 10 y_{10} =1)

(1)求关系式 [ x n + 1 y n + 1 ] \begin{bmatrix} x_{n + 1} \\ y_{n + 1} \end{bmatrix} =A [ x n y n ] \begin{bmatrix} x_{n} \\ y_{n} \end{bmatrix} 中的矩阵A

(2)设目前农村人口与城镇人口相等,即 [ x 0 y 0 ] \begin{bmatrix} x_{0} \\ y_{0} \end{bmatrix} = [ 0.5 0.5 ] \begin{bmatrix} 0.5 \\ 0.5 \end{bmatrix} , 求 [ x 10 y 10 ] \begin{bmatrix} x_{10} \\ y_{10} \end{bmatrix}

解：

(1) 求矩阵 A A

根据人口迁移规律，分析第 n + 1 n + 1 年农村人口 x n + 1 x_{n + 1} 和城镇人口 y n + 1 y_{n + 1} 的构成：

农村人口：第 n n 年农村人口留存 90 % 90\% （ 1 − 10 % 1 - 10\% ），加上第 n n 年城镇人口迁入的 5 % 5\% ，即 x n + 1 = 0.9 x n + 0.05 y n x_{n + 1} = 0.9x_{n} + 0.05y_{n}

城镇人口：第 n n 年城镇人口留存 95 % 95\% （ 1 − 5 % 1 - 5\% ），加上第 n n 年农村人口迁入的 10 % 10\% ，即 y n + 1 = 0.1 x n + 0.95 y n y_{n + 1} = 0.1x_{n} + 0.95y_{n}

将其表示为矩阵乘法形式： [ x n + 1 y n + 1 ] = [ 0.9 0.05 0.1 0.95 ] [ x n y n ] \begin{bmatrix} x_{n + 1} \\ y_{n + 1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.9 & 0.05 \\ 0.1 & 0.95 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{n} \\ y_{n} \end{bmatrix}

因此，矩阵 A = [ 0.9 0.05 0.1 0.95 ] A = \begin{bmatrix} 0.9 & 0.05 \\ 0.1 & 0.95 \end{bmatrix} 。

(2) 求 [ x 10 y 10 ] \begin{bmatrix} x_{10} \\ y_{10} \end{bmatrix} 由递推关系可知： [ x n y n ] = A n [ x 0 y 0 ] \begin{bmatrix} x_{n} \\ y_{n} \end{bmatrix} = A^{n}\begin{bmatrix} x_{0} \\ y_{0} \end{bmatrix} ，

已知 [ x 0 y 0 ] = [ 0.5 0.5 ] \begin{bmatrix} x_{0} \\ y_{0} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.5 \\ 0.5 \end{bmatrix} ，需先对矩阵 A A 对角化，再求 A 10 A^{10} 。

步骤1：求矩阵 A A 的特征值

特征方程为 | λ E − A | = | λ − 0.9 − 0.05 − 0.1 λ − 0.95 | = ( λ − 1 ) ( λ − 0.85 ) = 0 |\lambda E - A| = \left| \begin{matrix} \lambda - 0.9 & - 0.05 \\ - 0.1 & \lambda - 0.95 \end{matrix} \right| = (\lambda - 1)(\lambda - 0.85) = 0

得特征值： λ 1 = 1 \lambda_{1} = 1 ， λ 2 = 0.85 \lambda_{2} = 0.85 。

步骤2：求对应特征值的特征向量

对 λ 1 = 1 \lambda_{1} = 1 ，解 ( E − A ) ξ = [ 0.1 − 0.05 − 0.1 0.05 ] [ x 1 x 2 ] = [ 0 0 ] (E - A)\xi = \begin{bmatrix} 0.1 & - 0.05 \\ - 0.1 & 0.05 \end{bmatrix}\left\lbrack \begin{array}{r} x_{1} \\ x_{2} \end{array} \right\rbrack = \left\lbrack \begin{array}{r} 0 \\ 0 \end{array} \right\rbrack ：

得特征向量 ξ 1 = [ 1 2 ] \xi_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} 。

对 λ 2 = 0.85 \lambda_{2} = 0.85 ，解 ( 0.85 E − A ) ξ = [ − 0.05 − 0.05 − 0.1 − 0.1 ] [ x 1 x 2 ] = [ 0 0 ] (0.85E - A)\xi = \begin{bmatrix} - 0.05 & - 0.05 \\ - 0.1 & - 0.1 \end{bmatrix}\left\lbrack \begin{array}{r} x_{1} \\ x_{2} \end{array} \right\rbrack = \left\lbrack \begin{array}{r} 0 \\ 0 \end{array} \right\rbrack ：

得特征向量 ξ 2 = [ 1 − 1 ] \xi_{2} = \begin{bmatrix} 1 \\ - 1 \end{bmatrix} 。

步骤3：构造可逆矩阵 P P 并求 P − 1 P^{- 1}

令 P = ( ξ 1 , ξ 2 ) = [ 1 1 2 − 1 ] P = (\xi_{1},\xi_{2}) = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{bmatrix} ，则 P − 1 = [ 1 3 1 3 2 3 − 1 3 ] P^{- 1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} \end{bmatrix}

步骤4：求 A 10 A^{10}

由对角化性质 A = P Λ P − 1 A = P\Lambda P^{- 1} （ Λ = [ λ 1 0 0 λ 2 ] = [ 1 0 0 0.85 ] \Lambda = \begin{bmatrix} \lambda_{1} & 0 \\ 0 & \lambda_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0.85 \end{bmatrix} ），得 A n = P Λ n P − 1 A^{n} = P\Lambda^{n}P^{- 1} ，

因此： A 10 = P [ 1 10 0 0 0.85 10 ] P − 1 A^{10} = P\begin{bmatrix} 1^{10} & 0 \\ 0 & {0.85}^{10} \end{bmatrix}P^{- 1}

= [ 1 1 2 − 1 ] [ 1 0 0 0.85 10 ] [ 1 3 1 3 2 3 − 1 3 ] = 1 3 [ 1 + 2 ⋅ 0.85 10 1 − 0.85 10 2 − 2 ⋅ 0.85 10 2 + 0.85 10 ] = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & {0.85}^{10} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} \end{bmatrix} = \frac{1}{3}\begin{bmatrix} 1 + 2 \cdot {0.85}^{10} & 1 - {0.85}^{10} \\ 2 - 2 \cdot {0.85}^{10} & 2 + {0.85}^{10} \end{bmatrix}

步骤5：计算 [ x 10 y 10 ] = A 10 [ 0.5 0.5 ] \begin{bmatrix} x_{10} \\ y_{10} \end{bmatrix} = A^{10}\begin{bmatrix} 0.5 \\ 0.5 \end{bmatrix} 将初始向量代入，

[ x 10 y 10 ] = 1 3 [ 1 + 2 ⋅ 0.85 10 1 − 0.85 10 2 − 2 ⋅ 0.85 10 2 + 0.85 10 ] [ 0.5 0.5 ] ≈ [ 0.3661 0.6339 ] \begin{bmatrix} x_{10} \\ y_{10} \end{bmatrix} = \frac{1}{3}\begin{bmatrix} 1 + 2 \cdot {0.85}^{10} & 1 - {0.85}^{10} \\ 2 - 2 \cdot {0.85}^{10} & 2 + {0.85}^{10} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0.5 \\ 0.5 \end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix} 0.3661 \\ 0.6339 \end{bmatrix}

最终答案 (1) 矩阵 A = [ 0.9 0.05 0.1 0.95 ] A = \begin{bmatrix} 0.9 & 0.05 \\ 0.1 & 0.95 \end{bmatrix} ；

(2) [ x 10 y 10 ] ≈ [ 0.3661 0.6339 ] \begin{bmatrix} x_{10} \\ y_{10} \end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix} 0.3661 \\ 0.6339 \end{bmatrix} （或保留精确形式 1 6 [ 2 + 0.85 10 4 − 0.85 10 ] \frac{1}{6}\begin{bmatrix} 2 + {0.85}^{10} \\ 4 - {0.85}^{10} \end{bmatrix} ）。