5. 设矩阵A=aa^T+ bb^T , 这里a , b为n维列向量

试证明(1) R(A)⩽2 ; (2)当a , b线性相关时 , R(A)⩽1

证: (1)

步骤1：考虑$X = aa^{\mathsf{T}}$，$Y = bb^{\mathsf{T}}$。

若$a \neq 0$，则$R(aa^{\mathsf{T}}) = 1$；若$a = 0$，则$R(aa^{\mathsf{T}}) = 0$。总之$R(aa^{\mathsf{T}}) \leq 1$。

同理$R(bb^{\mathsf{T}}) \leq 1$。

步骤2：由矩阵和的秩不等式$R(X + Y) \leq R(X) + R(Y)$

可得$R(A) = R(aa^{\mathsf{T}} + bb^{\mathsf{T}}) \leq R(aa^{\mathsf{T}}) + R(bb^{\mathsf{T}}) \leq 1 + 1 = 2.$

步骤3：不论$a,b$是否线性相关、是否为零向量，上面不等式都成立，

因此恒有$R(A) \leq 2.$

(2)当$a,b$线性相关时，证明$R(A) \leq 1$

已知 $A = aa^{\mathsf{T}} + bb^{\mathsf{T}}$，$a,b \in \mathbb{R}^{n}$，且 $a,b$ 线性相关。

由线性相关的定义，存在不全为零的实数 $\alpha,\beta$ 使得 $\alpha a + \beta b = 0$。

换言之，若 $a,b$ 均非零，则其中一个可表示为另一个的常数倍；

若其中有一个为零向量，则也满足线性相关的条件。

下面分情形讨论。

情形 1：$a = 0$ 或 $b = 0$。

若 $a = 0$，则 $A = 0 \cdot 0^{\mathsf{T}} + bb^{\mathsf{T}} = bb^{\mathsf{T}}$。

若 $b = 0$，则 $A = 0$，秩 $R(A) = 0 \leq 1$；

若 $b \neq 0$，则 $bb^{\mathsf{T}}$ 的秩为 $1$，故 $R(A) = 1 \leq 1$。

若 $b = 0$，同理 $A = aa^{\mathsf{T}} + 0 \cdot 0^{\mathsf{T}} = aa^{\mathsf{T}}$，秩 $R(A) \leq 1$。

情形 2：$a \neq 0$ 且 $b \neq 0$。

由线性相关且均非零可知，存在非零实数 $\lambda$，使得 $b = \lambda a$。

代入 $A$ 得$A = aa^{\mathsf{T}} + (\lambda a)(\lambda a)^{\mathsf{T}} = aa^{\mathsf{T}} + \lambda a(\lambda a^{\mathsf{T}}) = aa^{\mathsf{T}} + \lambda^{2}(aa^{\mathsf{T}}) = (1 + \lambda^{2})aa^{\mathsf{T}}.$

记 $k = 1 + \lambda^{2}$，则 $k > 0$。

当 $a \neq 0$ 时，$aa^{\mathsf{T}}$ 是一个非零的秩 $1$ 矩阵。

用非零常数 $k$ 乘之不改变其秩，故$R(A) = R\left( k \cdot aa^{\mathsf{T}} \right) = R(aa^{\mathsf{T}}) = 1.$

结论： 综上所述，无论 $a,b$ 是否为零向量，只要它们线性相关，

$A$ 要么是零矩阵（秩 $0$），要么是单个外积矩阵的常数倍（秩 $1$），

因此恒有$R(A) \leq 1.$

 

二、举例验证

例1：$a,b$线性无关，验证$R(A) = 2$

取$n = 3$，令：$a = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix},\quad b = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

计算：$aa^{T} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$$bb^{T} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

所以：$A = aa^{T} + bb^{T} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$R(A) = 2$，即$a,b$线性无关时，符合不等式$R(A) \leq 2$

例2：$a,b$线性相关，验证$R(A) = 1$

取$n = 3$，令：$a = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix},\quad b = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = 2a$

计算：$aa^{T} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$$bb^{T} = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

所以：$A = aa^{T} + bb^{T} = \begin{bmatrix} 1 + 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$R(A) = 1$，即$a,b$线性相关时，符合不等式$R(A) \leq$1

6. 设a₁ , a₂线性无关 , a₁+b , a₂+b线性相关

求向量b用a₁ , a₂线性表示的表示式

解：

1.因$\mathbf{a}_{\mathbf{1}} + \mathbf{b},\mathbf{a}_{\mathbf{2}} + \mathbf{b}$线性相关，存在不全为零的$k_{1},k_{2}$，

满足：$k_{1}(\mathbf{a}_{\mathbf{1}} + \mathbf{b}) + k_{2}(\mathbf{a}_{\mathbf{2}} + \mathbf{b}) = \mathbf{0}$

2.展开并整理向量等式得：$k_{1}\mathbf{a}_{\mathbf{1}} + k_{2}\mathbf{a}_{\mathbf{2}} + (k_{1} + k_{2})\mathbf{b} = \mathbf{0}$

3.分析$k_{1} + k_{2}$的取值：

假设$k_{1} + k_{2} = 0$，则式$k_{1}\mathbf{a}_{\mathbf{1}} + k_{2}\mathbf{a}_{\mathbf{2}} + (k_{1} + k_{2})\mathbf{b} = \mathbf{0}$简化为$k_{1}\mathbf{a}_{\mathbf{1}} + k_{2}\mathbf{a}_{\mathbf{2}} = \mathbf{0}$。

因$\mathbf{a}_{\mathbf{1}},\mathbf{a}_{\mathbf{2}}$线性无关，故$k_{1} = k_{2} = 0$，这与“$k_{1},k_{2}$不全为零”矛盾。

因此，必有$k_{1} + k_{2} \neq 0$，可将$\mathbf{b}$单独解出。

4.解出$\mathbf{b}$：由式$k_{1}\mathbf{a}_{\mathbf{1}} + k_{2}\mathbf{a}_{\mathbf{2}} + (k_{1} + k_{2})\mathbf{b} = \mathbf{0}$移项得：$(k_{1} + k_{2})\mathbf{b} = - k_{1}\mathbf{a}_{\mathbf{1}} - k_{2}\mathbf{a}_{\mathbf{2}}$

两边除以$k_{1} + k_{2}$，

得：$\mathbf{b} = - \frac{k_{1}}{k_{1} + k_{2}}\mathbf{a}_{\mathbf{1}} + - \frac{k_{2}}{k_{1} + k_{2}}\mathbf{a}_{\mathbf{2}}$

$k_{1},k_{2}$是“不全为零”的任意实数，$k_{1} + k_{2} \neq 0$。

7. 设a₁ , a₂线性相关 , b₁ , b₂也线性相关

问a₁+b₁ , a₂+b₂是否一定线性相关? 试举例说明

解: 向量组a₁+b₁ , a₂+b₂不一定线性相关

例如令向量组Ⅰ: a₁=$\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ , a₂=$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ , 向量组Ⅱ: b₁=$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ , b₂=$\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

则这两向量组均线性相关

但向量组a₁+b₁ =$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ , a₂+b₂=$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$线性无关

8. 举例说明下列各命题是错误的:

(1) 若向量组a₁ , a₂ , ⋯ , a_m线性相关 , 则a₁ 可由a₂ , ⋯ ,a_m线性表示

答: 命题(1)是错误的

例如取向量a₁=$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ , a₂=$\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ ,

向量组a₁ , a₂线性相关，但a₁并不能由a₂线性表示

注: 向量组a₁ , a₂ , ⋯ , a_m线性相关的充要条件

是其中至少有一个向量能由其余向量线性表示

但并不指明是哪一个向量 , 更不是说任一个向量可由其余向量线性表示

(2)若有不全为零的数λ₁ , λ₂ , ⋯ , λ_m

使λ₁a₁+λ₂a₂+⋯+λ_ma_m+λ₁b₁+λ₂b₂+⋯+λ_mb_m=0成立

则a₁ , a₂ , ⋯ , a_m线性相关 , b₁ , b₂ , ⋯ , b_m亦线性相关

命题(2)是错误的

例如:取a₁=$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ , a₂=$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ , b₁=$\begin{bmatrix} - 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ , b₂=$\begin{bmatrix} 0 \\ - 1 \end{bmatrix}$ , 再取λ₁ =λ₂=1

有不全为零的数λ₁ , λ₂ ，使λ₁a₁+λ₂a₂+λ₁b₁+λ₂b₂=0成立

但a₁ , a₂线性无关 , b₁ , b₂也线性无关

注:关系式λ₁a₁+λ₂a₂+⋯+λ_ma_m+λ₁b₁+λ₂b₂+⋯+λ_mb_m=0(λ_i不全为0)

只能说明向量组a₁+b₁ , ⋯ , a_m+b_m线性相关

(3)若只有当λ₁ , λ₂ , ⋯ , λ_m全为零时

等式λ₁a₁+λ₂a₂+⋯+λ_ma_m+λ₁b₁+λ₂b₂+⋯+λ_mb_m=0才能成立

则a₁ , a₂ , ⋯ , a_m线性无关 , b₁ , b₂ , ⋯ , b_m亦线性无关

命题(3)是错误的

例如:取a₁=$\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ , a₂=$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ , b₁=$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ , b₂=$\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ ,

只有当λ₁ =λ₂=0时，等式λ₁a₁+λ₂a₂+λ₁b₁+λ₂b₂=λ₁$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$+λ₂$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$=$\begin{bmatrix} \lambda_{2} \\ \lambda_{1} \end{bmatrix}$=0才成立

但向量组a₁ , a₂和向量组b₁ , b₂都线性相关

注: 题设条件只能说明a₁+b₁ , ⋯ , a_m+b_m线性无关

(4)若a₁ , a₂ , ⋯ , a_m线性相关 , b₁ , b₂ , ⋯ , b_m亦线性相关

则有不全为零的数λ₁ , λ₂ , ⋯ , λ_m

使λ₁a₁+λ₂a₂+⋯+λ_ma_m=0 , λ₁b₁+λ₂b₂+⋯+λ_mb_m=0同时成立

命题(4)是错误的

反例：

设向量组：

$\mathbf{a}_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$，$\mathbf{a}_{2} = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix}$（线性相关，因$\mathbf{a}_{2} = 2\mathbf{a}_{1}$）；

$\mathbf{b}_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ - 1 \end{bmatrix}$，$\mathbf{b}_{2} = \begin{bmatrix} 3 \\ - 3 \end{bmatrix}$（线性相关，因$\mathbf{b}_{2} = 3\mathbf{b}_{1}$）。

第一步：找$\mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2}$的非零系数

对$\mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2}$，取不全为零的数$\lambda_{1} = 2,\lambda_{2} = - 1$，满足：$2\mathbf{a}_{1} - 1\mathbf{a}_{2} = 2\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$。

代入$\mathbf{b}_{1},\mathbf{b}_{2}$：$2\mathbf{b}_{1} - 1\mathbf{b}_{2} = 2\begin{bmatrix} 1 \\ - 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 \\ - 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 - 3 \\ - 2 + 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} - 1 \\ 1 \end{bmatrix} \neq \mathbf{0}$。

第二步：找$\mathbf{b}_{1},\mathbf{b}_{2}$的非零系数

对$\mathbf{b}_{1},\mathbf{b}_{2}$，取不全为零的数$\mu_{1} = 3,\mu_{2} = - 1$，满足：$3\mathbf{b}_{1} - 1\mathbf{b}_{2} = 3\begin{bmatrix} 1 \\ - 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 \\ - 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$。

代入$\mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2}$：$3\mathbf{a}_{1} - 1\mathbf{a}_{2} = 3\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 - 2 \\ 3 - 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \neq \mathbf{0}$。

结论：

不存在同一组不全为零的$\lambda_{1},\lambda_{2}$，同时使$\lambda_{1}\mathbf{a}_{1} + \lambda_{2}\mathbf{a}_{2} = \mathbf{0}$和$\lambda_{1}\mathbf{b}_{1} + \lambda_{2}\mathbf{b}_{2} = \mathbf{0}$成立。

注: 线性相关性是针对每一组向量内部而言的，

并不意味着存在同一组不全为零的系数能同时使两组向量都线性组合为零。

9 , 设b₁=a₁+a₂ , b₂=a₂+a₃ , b₃=a₃+a₄ , b₄=a₄+a₁

试证明向量组b₁ , b₂ , b₃ , b₄线性相关

向量直接相加 ：

$$\mathbf{b}_{1} - \mathbf{b}_{2} + \mathbf{b}_{3} - \mathbf{b}_{4} = (\mathbf{a}_{1} + \mathbf{a}_{2}) - (\mathbf{a}_{2} + \mathbf{a}_{3}) + (\mathbf{a}_{3} + \mathbf{a}_{4}) - (\mathbf{a}_{4} + \mathbf{a}_{1}) = \mathbf{0}$$

所以：$1 \cdot \mathbf{b}_{1} - 1 \cdot \mathbf{b}_{2} + 1 \cdot \mathbf{b}_{3} - 1 \cdot \mathbf{b}_{4} = \mathbf{0}$

系数不全为零（例如 $1, - 1,1, - 1$），故线性相关。

注: 从证明可见 , 不管a₁ , a₂ , a₃ , a₄是否线性相关 , b₁ , b₂ , b₃ , b₄总是线性相关的

10 , 设b₁=a₁ , b₂=a₁ +a₂ , ⋯ , b_r=a₁ +a₂ + ⋯ +a_r

且向量组a₁ , a₂ , ⋯ , a_r线性无关，试证明向量组b₁ , b₂ , ⋯ , b_r线性无关

证: 直接利用线性无关定义

设 $k_{1}b_{1} + k_{2}b_{2} + \cdots + k_{r}b_{r} = 0$，

代入 $b_{i}$ 的表达式：$k_{1}a_{1} + k_{2}(a_{1} + a_{2}) + \cdots + k_{r}(a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{r}) = 0$

整理得：$(k_{1} + k_{2} + \cdots + k_{r})a_{1} + (k_{2} + \cdots + k_{r})a_{2} + \cdots + k_{r}a_{r} = 0$

由于 $a_{1},a_{2},\cdots,a_{r}$ 线性无关，故系数全为零：$\left\{ \begin{matrix} k_{1} + k_{2} + \cdots + k_{r} = 0 \\ k_{2} + \cdots + k_{r} = 0 \\ \vdots \\ k_{r} = 0 \end{matrix} \right.\$

从最后一个方程开始，依次代入得：

$k_{r} = 0 \Rightarrow k_{r - 1} + k_{r} = k_{r - 1} = 0 \Rightarrow \cdots \Rightarrow k_{1} = 0$

因此所有 $k_{i} = 0$，故 $b_{1},b_{2},\cdots,b_{r}$ 线性无关。

11 , 设向量组a₁ , a₂ , a₃线性无关 , 判断向量组b₁ , b₂ , b₃的线性相关性

(1) b₁=a₁+a₂ , b₂=2a₂+3a₃ , b₃=5a₁+3a₂

(2)b₁=a₁+2a₂+3a₃ , b₂=2a₁+2a₂+4a₃ , b₃=3a₁+a₂+3a₃

(3) b₁=a₁-a₂ , b₂=2a₂+a₃ , b₃=a₁+a₂+a₃

解: (1)

设 $k_{1}\mathbf{b}_{1} + k_{2}\mathbf{b}_{2} + k_{3}\mathbf{b}_{3} = \mathbf{0}$，

代入表达式：$k_{1}(\mathbf{a}_{1} + \mathbf{a}_{2}) + k_{2}(2\mathbf{a}_{2} + 3\mathbf{a}_{3}) + k_{3}(5\mathbf{a}_{1} + 3\mathbf{a}_{2}) = \mathbf{0}.$

整理得：$(k_{1} + 5k_{3})\mathbf{a}_{1} + (k_{1} + 2k_{2} + 3k_{3})\mathbf{a}_{2} + (3k_{2})\mathbf{a}_{3} = \mathbf{0}.$

由于 $\mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2},\mathbf{a}_{3}$ 线性无关，系数必须全为零：$\left\{ \begin{matrix} k_{1} + 5k_{3} = 0 \\ k_{1} + 2k_{2} + 3k_{3} = 0 \\ 3k_{2} = 0 \end{matrix} \right.\$

有唯一解 $k_{1} = k_{2} = k_{3} = 0$，故 $\mathbf{b}_{1},\mathbf{b}_{2},\mathbf{b}_{3}$ 线性无关。

(2)

设有x₁ , x₂ , x₃ 使表达式x₁b₁+x₂b₂+x₃b₃=0成立

即x₁(a₁+ 2a₂+ 3a₃) + x₂(2a₁ +2a₂ + 4a₃) + x₃(3a₁+a₂ + 3a₃)=0

也即(x₁+2x₂+3x₃)a₁+(2x₁+2x₂+x₃)a₂+(3x₁+4x₂+3x₃)a₃=0

因a₁ , a₂ , a₃线性无关 , 故有$\left\{ \begin{array}{r} x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} = 0 \\ 2x_{1} + 2x_{2} + x_{3} = 0 \\ 3x_{1} + 4x_{2} + 3x_{3} = 0 \end{array} \right.\$

有唯一解x₁ = x₂ = x₃ =0于是 , b₁ , b₂ , b₃线性无关

(3)

设有x₁ , x₂ , x₃ 使表达式x₁b₁+x₂b₂+x₃b₃=0成立

即x₁(a₁- a₂) + x₂(2a₂ + a₃) + x₃(a₁+a₂ + a₃)=0

也即(x₁+x₃)a₁+(-x₁+2x₂+x₃)a₂+(x₂+x₃)a₃=0

因a₁ , a₂ , a₃线性无关 , 故有$\left\{ \begin{array}{r} x_{1} + 3x_{3} = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ - x_{1} + 2x_{2} + x_{3} = 0 \\ x_{2} + x_{3} = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{array} \right.\$

方程组有无穷解，于是 , b₁ , b₂ , b₃线性相关