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1. 已知向量组

A: a1=[0123]\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack , a2=[3012]\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack , a3=[2301]\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack , B: b1=[2112]\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack , b2=[0−211]\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ - 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack , b3=[4413]\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 4 \\ 4 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack

试证明B组能由A组线性表示 , 但A组不能由B组线性表示

证:

一、证明BB能由AA线性表示

即对每个𝒃j\mathbf{b}_{j}(j=1,2,3j = 1,2,3)，存在实数k1j,k2j,k3jk_{1j},k_{2j},k_{3j}使得：𝒃j=k1j𝒂1+k2j𝒂2+k3j𝒂3\mathbf{b}_{j} = k_{1j}\mathbf{a}_{1} + k_{2j}\mathbf{a}_{2} + k_{3j}\mathbf{a}_{3}

这等价于求解线性方程组：{0⋅k1+3k2+2k3=bj11⋅k1+0⋅k2+3k3=bj22k1+1k2+0⋅k3=bj33k1+2k2+1k3=bj4\left\{ \begin{matrix} 0 \cdot k_{1} + 3k_{2} + 2k_{3} = b_{j1} \\ 1 \cdot k_{1} + 0 \cdot k_{2} + 3k_{3} = b_{j2} \\ 2k_{1} + 1k_{2} + 0 \cdot k_{3} = b_{j3} \\ 3k_{1} + 2k_{2} + 1k_{3} = b_{j4} \end{matrix} \right.\

其中(bj1,bj2,bj3,bj4)(b_{j1},b_{j2},b_{j3},b_{j4})是𝒃j\mathbf{b}_{j}的分量。

1.对于𝒃1=[2112]\mathbf{b}_{1} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}：方程组：{3k2+2k3=2k1+3k3=12k1+k2=13k1+2k2+k3=2\left\{ \begin{matrix} 3k_{2} + 2k_{3} = 2\quad \\ k_{1} + 3k_{3} = 1\quad \\ 2k_{1} + k_{2} = 1\quad \\ 3k_{1} + 2k_{2} + k_{3} = 2\quad \end{matrix} \right.\ 有解；

2.对于𝒃2=[0−211]\mathbf{b}_{2} = \begin{bmatrix} 0 \\ - 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}：方程组：{3k2+2k3=0k1+3k3=−22k1+k2=13k1+2k2+k3=1\left\{ \begin{matrix} 3k_{2} + 2k_{3} = 0\quad \\ k_{1} + 3k_{3} = - 2\quad \\ 2k_{1} + k_{2} = 1\quad \\ 3k_{1} + 2k_{2} + k_{3} = 1\quad \end{matrix} \right.\ 有解；

3.对于𝒃3=[4413]\mathbf{b}_{3} = \begin{bmatrix} 4 \\ 4 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}：方程组：{3k2+2k3=4k1+3k3=42k1+k2=13k1+2k2+k3=3\left\{ \begin{matrix} 3k_{2} + 2k_{3} = 4\quad \\ k_{1} + 3k_{3} = 4\quad \\ 2k_{1} + k_{2} = 1\quad \\ 3k_{1} + 2k_{2} + k_{3} = 3\quad \end{matrix} \right.\ 有解；

综上，每个𝒃j\mathbf{b}_{j}都能由AA线性表示，故BB能由AA线性表示。

二、证明AA不能由BB线性表示

只需证明至少有一个𝒂i\mathbf{a}_{i}不能由BB线性表示。我们以𝒂1\mathbf{a}_{1}为例。

假设𝒂1\mathbf{a}_{1}能由BB线性表示，即存在实数x1,x2,x3x_{1},x_{2},x_{3}使得：𝒂1=x1𝒃1+x2𝒃2+x3𝒃3\mathbf{a}_{1} = x_{1}\mathbf{b}_{1} + x_{2}\mathbf{b}_{2} + x_{3}\mathbf{b}_{3}

代入分量得方程组：{2x1+0x2+4x3=01x1−2x2+4x3=11x1+1x2+1x3=22x1+1x2+3x3=3\left\{ \begin{matrix} 2x_{1} + 0x_{2} + 4x_{3} = 0\quad \\ 1x_{1} - 2x_{2} + 4x_{3} = 1\quad \\ 1x_{1} + 1x_{2} + 1x_{3} = 2\quad \\ 2x_{1} + 1x_{2} + 3x_{3} = 3\quad \end{matrix} \right.\ 无解；

即𝒂1\mathbf{a}_{1}不能由BB线性表示。

故AA不能由BB线性表示。

2. 已知向量组

A: a1=[011]\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} , a2=[110]\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} , B: b1=[−101]\begin{bmatrix} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} , b2=[121]\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} , b3=[32−1]\begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ - 1 \end{bmatrix}

试证明A组与B组等价

证：一、证明BB能由AA线性表示

即对每个𝒃j\mathbf{b}_{j}(j=1,2,3j = 1,2,3)，存在实数k1j,k2jk_{1j},k_{2j}使得：𝒃j=k1j𝒂1+k2j𝒂2\mathbf{b}_{j} = k_{1j}\mathbf{a}_{1} + k_{2j}\mathbf{a}_{2}

这等价于求解线性方程组：{0⋅k1+1⋅k2=bj11⋅k1+1⋅k2=bj21⋅k1+0⋅k2=bj3\left\{ \begin{matrix} 0 \cdot k_{1} + 1 \cdot k_{2} = b_{j1} \\ 1 \cdot k_{1} + 1 \cdot k_{2} = b_{j2} \\ 1 \cdot k_{1} + 0 \cdot k_{2} = b_{j3} \end{matrix} \right.\ ，其中(bj1,bj2,bj3)(b_{j1},b_{j2},b_{j3})是𝒃j\mathbf{b}_{j}的分量。

1.对于𝒃1=[−101]\mathbf{b}_{1} = \begin{bmatrix} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}：方程组：{k2=−1k1+k2=0k1=1\left\{ \begin{matrix} k_{2} = - 1\quad \\ k_{1} + k_{2} = 0\quad \\ k_{1} = 1\quad \end{matrix} \right.\ 有解；

2.对于𝒃2=[121]\mathbf{b}_{2} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}：方程组：{k2=1k1+k2=2k1=1\left\{ \begin{matrix} k_{2} = 1\quad \\ k_{1} + k_{2} = 2\quad \\ k_{1} = 1\quad \end{matrix} \right.\ 有解；

3.对于𝒃3=[32−1]\mathbf{b}_{3} = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ - 1 \end{bmatrix}：方程组：{k2=3k1+k2=2k1=−1\left\{ \begin{matrix} k_{2} = 3\quad \\ k_{1} + k_{2} = 2\quad \\ k_{1} = - 1\quad \end{matrix} \right.\ 有解；

综上，每个𝒃j\mathbf{b}_{j}都能由AA线性表示，故BB能由AA线性表示。

二、证明AA能由BB线性表示

即对每个𝒂i\mathbf{a}_{i}(i=1,2i = 1,2)，存在实数xi1,xi2,xi3x_{i1},x_{i2},x_{i3}使得：𝒂i=xi1𝒃1+xi2𝒃2+xi3𝒃3\mathbf{a}_{i} = x_{i1}\mathbf{b}_{1} + x_{i2}\mathbf{b}_{2} + x_{i3}\mathbf{b}_{3}

这等价于求解线性方程组：{−1⋅x1+1⋅x2+3⋅x3=ai10⋅x1+2⋅x2+2⋅x3=ai21⋅x1+1⋅x2+(−1)⋅x3=ai3\left\{ \begin{matrix} - 1 \cdot x_{1} + 1 \cdot x_{2} + 3 \cdot x_{3} = a_{i1} \\ 0 \cdot x_{1} + 2 \cdot x_{2} + 2 \cdot x_{3} = a_{i2} \\ 1 \cdot x_{1} + 1 \cdot x_{2} + ( - 1) \cdot x_{3} = a_{i3} \end{matrix} \right.\

其中(ai1,ai2,ai3)(a_{i1},a_{i2},a_{i3})是𝒂i\mathbf{a}_{i}的分量。

1.对于𝒂1=[011]\mathbf{a}_{1} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}：方程组：{−x1+x2+3x3=02x2+2x3=1x1+x2−x3=1\left\{ \begin{matrix} - x_{1} + x_{2} + 3x_{3} = 0\quad \\ 2x_{2} + 2x_{3} = 1\quad \\ x_{1} + x_{2} - x_{3} = 1\quad \end{matrix} \right.\ 有解；

（解不唯一，但存在即可）

2.对于𝒂2=[110]\mathbf{a}_{2} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}：方程组：{−x1+x2+3x3=12x2+2x3=1x1+x2−x3=0\left\{ \begin{matrix} - x_{1} + x_{2} + 3x_{3} = 1\quad \\ 2x_{2} + 2x_{3} = 1\quad \\ x_{1} + x_{2} - x_{3} = 0\quad \end{matrix} \right.\ 有解；

（解不唯一，但存在即可）

综上，每个𝒂i\mathbf{a}_{i}都能由BB线性表示，故AA能由BB线性表示。

结论：BB能由AA线性表示；AA能由BB线性表示。

因此，向量组AA与BB等价。

3. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关

(1) [−131]\begin{bmatrix} - 1 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix} , [210]\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} , [141]\begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix} (2) [230]\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix} , [−140]\begin{bmatrix} - 1 \\ 4 \\ 0 \end{bmatrix} , [002]\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}

解: (1)判定向量组𝒂1=[−131]\mathbf{a}_{1} = \begin{bmatrix} - 1 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix},𝒂2=[210]\mathbf{a}_{2} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},𝒂3=[141]\mathbf{a}_{3} = \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix}的线性相关性

设存在一组数k1,k2,k3k_{1},k_{2},k_{3}，使得：k1[−131]+k2[210]+k3[141]=[000]k_{1}\begin{bmatrix} - 1 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix} + k_{2}\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + k_{3}\begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}

这等价于一个齐次线性方程组：{−1k1+2k2+1k3=03k1+1k2+4k3=01k1+0k2+1k3=0\left\{ \begin{matrix} - 1k_{1} + 2k_{2} + 1k_{3} = 0 \\ 3k_{1} + 1k_{2} + 4k_{3} = 0 \\ 1k_{1} + 0k_{2} + 1k_{3} = 0 \end{matrix} \right.\

方程组有无限多解。故该向量组线性相关。

(2)判定向量组𝒃1=[230]\mathbf{b}_{1} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix},𝒃2=[−140]\mathbf{b}_{2} = \begin{bmatrix} - 1 \\ 4 \\ 0 \end{bmatrix},𝒃3=[002]\mathbf{b}_{3} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}的线性相关性

设存在一组数k1,k2,k3k_{1},k_{2},k_{3}，使得：k1[230]+k2[−140]+k3[002]=[000]k_{1}\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix} + k_{2}\begin{bmatrix} - 1 \\ 4 \\ 0 \end{bmatrix} + k_{3}\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}

这等价于一个齐次线性方程组：{2k1−k2+0k3=03k1+4k2+0k3=00k1+0k2+2k3=0\left\{ \begin{matrix} 2k_{1} - k_{2} + 0k_{3} = 0 \\ 3k_{1} + 4k_{2} + 0k_{3} = 0 \\ 0k_{1} + 0k_{2} + 2k_{3} = 0 \end{matrix} \right.\

方程组只有唯一解：k1=0,k2=0,k3=0k_{1} = 0,k_{2} = 0,k_{3} = 0，故该向量组线性无关。

4. 问a取什么值时下列向量组线性相关?

a1=[a11]\begin{bmatrix} a \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} , a2=[1a−1]\begin{bmatrix} 1 \\ a \\ - 1 \end{bmatrix} , a3=[1−1a]\begin{bmatrix} 1 \\ - 1 \\ a \end{bmatrix}

向量组线性相关的充要条件是：

存在不全为零的实数k1,k2,k3k_{1},k_{2},k_{3}，使得k1𝒂𝟏+k2𝒂𝟐+k3𝒂𝟑=𝟎k_{1}\mathbf{a}_{\mathbf{1}} + k_{2}\mathbf{a}_{\mathbf{2}} + k_{3}\mathbf{a}_{\mathbf{3}} = \mathbf{0}

该等式等价于齐次线性方程组：{ak1+k2+k3=0k1+ak2−k3=0k1−k2+ak3=0\left\{ \begin{matrix} ak_{1} + k_{2} + k_{3} = 0 \\ k_{1} + ak_{2} - k_{3} = 0 \\ k_{1} - k_{2} + ak_{3} = 0 \end{matrix} \right.\ 有无穷解。

若向量组秩<3，则方程组有无穷解。

对向量组进行变换：

a1=[a11]\begin{bmatrix} a \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} , a2=[1a−1]\begin{bmatrix} 1 \\ a \\ - 1 \end{bmatrix} , a3=[1−1a]\begin{bmatrix} 1 \\ - 1 \\ a \end{bmatrix}

a1=[100]\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} , a2=[−1a+1a+1]\begin{bmatrix} - 1 \\ a + 1 \\ a + 1 \end{bmatrix} , a3=[a−(a+1)(1−a)(1+a)]\begin{bmatrix} a \\ - (a + 1) \\ (1 - a)(1 + a) \end{bmatrix}

a1=[100]\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} , a2=[−1a+10]\begin{bmatrix} - 1 \\ a + 1 \\ 0 \end{bmatrix} , a3=[a−(a+1)(a+1)(2−a)]\begin{bmatrix} a \\ - (a + 1) \\ (a + 1)(2 - a) \end{bmatrix}

若a+1=0a + 1 = 0（即a=−1a = - 1），向量组的秩为1，

方程组有无穷解，向量组线性相关。

若2−a=02 - a = 0（即a=2a = 2），向量组的秩为2，

方程组有无穷解，向量组线性相关。

结论 当a=−1a = - 1或a=2a = 2时，向量组线性相关。