本章第一节中把n维向量的全体所构成的集合Rⁿ叫做n维向量空间

定义6设V为n维向量的集合

如果集合V非空 , 且集合V对于向量的加法及数乘两种运算封闭

那么就称集合V为向量空间

所谓封闭 , 是指在集合V中可以进行向量的加法及数乘两种运算

具体地说 , 就是: 若a属于V , b属于V , 则a+b仍然属于V

若a属于V , λ属于R , 则λa仍然属于V

例17 3维向量的全体R³是一个向量空间

因为任意两个3维向量之和仍然是3维向量

数λ乘3维向量也仍然是3维向量 , 它们都属于R³

我们可以用有向线段形象地表示3维向量

从而向量空间R³可形象地看作以坐标原点为起点的有向线段的全体

由于以原点为起点的有向线段与其终点一一对应

因此R³也可看作取定坐标原点的点空间

类似地 , n维向量的全体Rⁿ也是一个向量空间

不过当n>3时 , 它没有直观的几何意义

例18 集合$V = \left\{ x = \begin{bmatrix} 0 \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix} \middle| x_{2},\ldots,x_{n} \in \mathbb{R} \right\}$是一个向量空间。

要证明$V$是一个向量空间，需要验证它满足向量空间的8条公理

（在加法和数乘运算下）。

首先，定义$V$上的加法运算和数乘运算为标准的向量加法和数乘

（因为$V$是$\mathbb{R}^{n}$的子集，所以直接使用$\mathbb{R}^{n}$的运算即可）。

设$\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} \in V$，且$\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 0 \\ u_{2} \\ \vdots \\ u_{n} \end{bmatrix}$,$\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 0 \\ v_{2} \\ \vdots \\ v_{n} \end{bmatrix}$,$\mathbf{w} = \begin{bmatrix} 0 \\ w_{2} \\ \vdots \\ w_{n} \end{bmatrix}$，以及标量$c,d \in \mathbb{R}$。

1.加法封闭性：$\mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 0 + 0 \\ u_{2} + v_{2} \\ \vdots \\ u_{n} + v_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ u_{2} + v_{2} \\ \vdots \\ u_{n} + v_{n} \end{bmatrix} \in V$，

因为第一个分量为0，其余分量为实数。

2.标量乘法封闭性：$c\mathbf{u} = c\begin{bmatrix} 0 \\ u_{2} \\ \vdots \\ u_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c \cdot 0 \\ cu_{2} \\ \vdots \\ cu_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ cu_{2} \\ \vdots \\ cu_{n} \end{bmatrix} \in V$，

因为第一个分量为0，其余分量为实数。

3.加法交换律：$\mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 0 \\ u_{2} + v_{2} \\ \vdots \\ u_{n} + v_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ v_{2} + u_{2} \\ \vdots \\ v_{n} + u_{n} \end{bmatrix} = \mathbf{v} + \mathbf{u}$.

4.加法结合律：

$(\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} = \begin{bmatrix} 0 \\ (u_{2} + v_{2}) + w_{2} \\ \vdots \\ (u_{n} + v_{n}) + w_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ u_{2} + (v_{2} + w_{2}) \\ \vdots \\ u_{n} + (v_{n} + w_{n}) \end{bmatrix} = \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w})$.

5.零向量存在：取$\mathbf{0}_{V} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} \in V$（因为第一个分量为0，其余为0也是实数）。

则$\mathbf{u} + \mathbf{0}_{V} = \begin{bmatrix} 0 + 0 \\ u_{2} + 0 \\ \vdots \\ u_{n} + 0 \end{bmatrix} = \mathbf{u}$.

6.负向量存在：对于$\mathbf{u}$，定义$- \mathbf{u} = \begin{bmatrix} 0 \\ - u_{2} \\ \vdots \\ - u_{n} \end{bmatrix} \in V$

（第一个分量为0，其余为实数）。

则$\mathbf{u} + ( - \mathbf{u}) = \begin{bmatrix} 0 + 0 \\ u_{2} + ( - u_{2}) \\ \vdots \\ u_{n} + ( - u_{n}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} = \mathbf{0}_{V}$.

7.标量乘法与域乘法兼容：$c(d\mathbf{u}) = c\left( \begin{bmatrix} 0 \\ du_{2} \\ \vdots \\ du_{n} \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 0 \\ c(du_{2}) \\ \vdots \\ c(du_{n}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ (cd)u_{2} \\ \vdots \\ (cd)u_{n} \end{bmatrix} = (cd)\mathbf{u}$.

8.标量乘法对向量加法的分配律：

$c(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = c\begin{bmatrix} 0 \\ u_{2} + v_{2} \\ \vdots \\ u_{n} + v_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ c(u_{2} + v_{2}) \\ \vdots \\ c(u_{n} + v_{n}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ cu_{2} + cv_{2} \\ \vdots \\ cu_{n} + cv_{n} \end{bmatrix} = c\mathbf{u} + c\mathbf{v}$.

9.标量乘法对标量加法的分配律：

$(c + d)\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 0 \\ (c + d)u_{2} \\ \vdots \\ (c + d)u_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ cu_{2} + du_{2} \\ \vdots \\ cu_{n} + du_{n} \end{bmatrix} = c\mathbf{u} + d\mathbf{u}$.

10.标量乘法单位元：$1 \cdot \mathbf{u} = \begin{bmatrix} 1 \cdot 0 \\ 1 \cdot u_{2} \\ \vdots \\ 1 \cdot u_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ u_{2} \\ \vdots \\ u_{n} \end{bmatrix} = \mathbf{u}$.

由于$V$满足向量空间的所有公理，因此$V$是一个向量空间。

结论：集合$V$是$\mathbb{R}^{n}$的一个子空间（因为它是非空的，且对加法和数乘封闭），

因此它是一个向量空间。

例19集合$V = \left\{ x = \begin{bmatrix} 1 \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix}\, \middle| \, x_{2},\ldots,x_{n} \in \mathbb{R} \right\}$不是向量空间

向量空间必须满足以下条件（其中$u,v,w \in V$，$c,d \in \mathbb{R}$)：

1.加法封闭性：$u + v \in V$

2.标量乘法封闭性：$cu \in V$

3.加法交换律：$u + v = v + u$

4.加法结合律：$u + (v + w) = (u + v) + w$

5.零元存在：存在$0 \in V$使得$u + 0 = u$

6.负元存在：对每个$u \in V$，存在$- u \in V$使得$u + ( - u) = 0$

7.标量乘法与域乘法兼容：$c(du) = (cd)u$

8.单位元：$1 \cdot u = u$

9.分配律：$c(u + v) = cu + cv$，$(c + d)u = cu + du$

我们只需证明$V$不满足其中一条（通常检查封闭性最简单）即可。

检查加法封闭性：

取任意两个向量$u,v \in V$：$u = \begin{bmatrix} 1 \\ u_{2} \\ \vdots \\ u_{n} \end{bmatrix},\quad v = \begin{bmatrix} 1 \\ v_{2} \\ \vdots \\ v_{n} \end{bmatrix}$

则$u + v = \begin{bmatrix} 1 + 1 \\ u_{2} + v_{2} \\ \vdots \\ u_{n} + v_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ u_{2} + v_{2} \\ \vdots \\ u_{n} + v_{n} \end{bmatrix}$

但$V$中所有向量的第一个分量必须为1，而$u + v$的第一个分量为2

（除非$n = 0$，但这里$n \geq 2$），所以$u + v \notin V$。因此，$V$对加法不封闭。

同样检查标量乘法封闭性：

取任意标量$c \in \mathbb{R}$和$u \in V$：$cu = c\begin{bmatrix} 1 \\ u_{2} \\ \vdots \\ u_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c \\ cu_{2} \\ \vdots \\ cu_{n} \end{bmatrix}$

除非$c = 1$，否则第一个分量不是1，所以$cu \notin V$（除非$c = 1$）。

因此，$V$对标量乘法也不封闭。

此外，零元不存在：

零向量应为$\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}$，但它的第一个分量是0而不是1，所以不在$V$中。

结论：由于$V$不满足加法封闭性、标量乘法封闭性，且零元不存在，

因此$V$不是向量空间。

例20 n元齐次线性方程组的解集S={x|Ax=0}是一个向量空间

(称为齐次线性方程组的解空间)

证明：

要证明$S$是一个向量空间，需要验证$S$对向量加法和数乘运算封闭，

并且包含零向量

（这些条件足以保证$S$是向量空间，

因为其他向量空间公理由父空间（通常是$\mathbb{R}^{n}$）继承）。

设$\mathbf{u},\mathbf{v} \in S$，即$A\mathbf{u} = \mathbf{0}$且$A\mathbf{v} = \mathbf{0}$。设$c$为任意标量。

1.零向量：$A\mathbf{0} = \mathbf{0}$，所以$\mathbf{0} \in S$。

2.对加法封闭：$A(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = A\mathbf{u} + A\mathbf{v} = \mathbf{0} + \mathbf{0} = \mathbf{0}$，所以$\mathbf{u} + \mathbf{v} \in S$.

3.对数乘封闭：$A(c\mathbf{u}) = c(A\mathbf{u}) = c\mathbf{0} = \mathbf{0}$，所以$c\mathbf{u} \in S$.

因此，$S$对加法和数乘封闭，且包含零向量，故$S$是一个向量空间。

结论：$n$元齐次线性方程组$A\mathbf{x} = \mathbf{0}$的解集$S$构成一个向量空间

（通常称为解空间，零空间或核空间，记作$ker(A)$）。

验证：$n$元齐次线性方程组的解集是一个向量空间

例子

考虑一个3元齐次线性方程组：$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & - 1 \\ 2 & 4 & - 2 \end{bmatrix},\quad Ax = 0,\quad\text{其中}x = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix}$

即方程组为：$\left\{ \begin{matrix} x_{1} + 2x_{2} - x_{3} = 0 \\ 2x_{1} + 4x_{2} - 2x_{3} = 0 \end{matrix} \right.\$

三、求解解集 $S$

得：$x = \begin{bmatrix} - 2s + t \\ s \\ t \end{bmatrix} = s\begin{bmatrix} - 2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + t\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

因此，解集为：$S = \left\{ s\begin{bmatrix} - 2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + t\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\, \middle| \, s,t \in \mathbb{R} \right\}$

四、验证向量空间性质

1. 零向量在 $S$ 中

取 $s = 0,t = 0$，得 $x = 0$，显然满足 $A0 = 0$，所以 $0 \in S$。

2. 加法封闭性

任取 $u,v \in S$，即存在 $s_{1},t_{1},s_{2},t_{2}$

使得：$u = s_{1}\begin{bmatrix} - 2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + t_{1}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix},\quad v = s_{2}\begin{bmatrix} - 2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + t_{2}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

则$u + v = (s_{1} + s_{2})\begin{bmatrix} - 2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + (t_{1} + t_{2})\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \in S$

且 $A(u + v) = Au + Av = 0 + 0 = 0$，故 $u + v \in S$。

3. 数乘封闭性

任取 $c \in \mathbb{R}$，$u \in S$，则$cu = cs_{1}\begin{bmatrix} - 2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + ct_{1}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \in S$

且 $A(cu) = cAu = c \cdot 0 = 0$，故 $cu \in S$。

五、结论

此例中，齐次线性方程组的解集 $S$ 满足向量空间的三个基本条件，

因此是一个向量空间（更准确地说，是 $\mathbb{R}^{3}$ 的子空间）。

这验证了：任意 $n$ 元齐次线性方程组 $Ax = 0$ 的解集都是一个向量空间。

例21 非齐次线性方程组的解集S={x|Ax=b}不是向量空间

证明：

一个集合是向量空间需要满足一些条件，特别是必须包含零向量（即加法单位元），并且对加法和数乘封闭。

1.零向量不在$S$中（除非$\mathbf{b} = \mathbf{0}$）：

考虑零向量$\mathbf{0}$。代入方程：$A\mathbf{0} = \mathbf{0}$。

但$A\mathbf{0} = \mathbf{0} \neq \mathbf{b}$（除非$\mathbf{b} = \mathbf{0}$）。

因此，除非$\mathbf{b} = \mathbf{0}$（此时方程组是齐次的），否则$\mathbf{0} \notin S$。

而如果$\mathbf{b} = \mathbf{0}$，则方程组是齐次的，解集是向量空间。

但这里是非齐次（$\mathbf{b} \neq \mathbf{0}$），所以$\mathbf{0} \notin S$。

由于向量空间必须包含零向量，而$S$不包含零向量（当$\mathbf{b} \neq \mathbf{0}$），

所以$S$不是向量空间。

2.对加法不封闭：

假设$\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2} \in S$，即$A\mathbf{x}_{1} = \mathbf{b}$和$A\mathbf{x}_{2} = \mathbf{b}$。

考虑它们的和：$A(\mathbf{x}_{1} + \mathbf{x}_{2}) = A\mathbf{x}_{1} + A\mathbf{x}_{2} = \mathbf{b} + \mathbf{b} = 2\mathbf{b}$。

但$2\mathbf{b} \neq \mathbf{b}$（因为$\mathbf{b} \neq \mathbf{0}$），所以$\mathbf{x}_{1} + \mathbf{x}_{2} \notin S$。

因此，$S$对加法不封闭。

3.对数乘不封闭（非零标量）：

假设$\mathbf{x} \in S$，即$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$。

考虑数乘$k\mathbf{x}$（其中$k \neq 1$）：$A(k\mathbf{x}) = kA\mathbf{x} = k\mathbf{b}$。

但$k\mathbf{b} \neq \mathbf{b}$（因为$k \neq 1$且$\mathbf{b} \neq \mathbf{0}$），所以$k\mathbf{x} \notin S$。

因此，$S$对数乘不封闭。

结论：

由于$S$不包含零向量（当$\mathbf{b} \neq \mathbf{0}$），且对加法和数乘不封闭，

因此$S$不是向量空间。

例22

设α，β为两个n维向量 ，定义集合L={ξ=tα+hβ | t , h ∈ R}

如果对属于集合L的任意ξ₁ , ξ₂和属于实数R的k,

有ξ₁+ξ₂=(t₁+t₂)α+(h₁+h₂)β属于集合L , kξ₁=(kt₁)α+(kh₁)β属于集合L

那么集合L是一个向量空间，并称此向量空间为由向量α，β所生成的向量空间。

一般地 , 由向量组a₁ , a₂ , ⋯ , a_m所生成的向量空间为以下形式：

L={x=λ₁a₁+λ₂a₂+⋯+λ_ma_m | λ₁ , λ₂ , ⋯ , λ_m ∈R}

例23设向量组a₁ , ⋯ , a_m与向量组b₁ , ⋯ ,b₂等价

记L₁={x=λ₁a₁+⋯+λ_ma_m | λ₁ , ⋯ , λ_m ∈ R} , L₂={x=μ₁b₁+⋯+μ_sb_s | μ₁ , ⋯ , μ_s ∈ R}

试证L₁=L₂

证:

1.证明$L_{1} \subseteq L_{2}$：

由于向量组$a_{1},\ldots,a_{m}$与$b_{1},\ldots,b_{s}$等价，每一个$a_{i}$都可以由$b_{1},\ldots,b_{s}$线性表示。

即存在常数$c_{i1},\ldots,c_{is} \in \mathbb{R}$ 使得：$a_{i} = c_{i1}b_{1} + c_{i2}b_{2} + \cdots + c_{is}b_{s}\ ，i = 1,\ldots,m.$

任取$x \in L_{1}$，则存在$\lambda_{1},\ldots,\lambda_{m} \in \mathbb{R}$使得：$x = \lambda_{1}a_{1} + \lambda_{2}a_{2} + \cdots + \lambda_{m}a_{m}.$

将每个$a_{i}$用$b_{1},\ldots,b_{s}$线性表示代入：

$$x = \lambda_{1}(c_{11}b_{1} + \cdots + c_{1s}b_{s}) + \lambda_{2}(c_{21}b_{1} + \cdots + c_{2s}b_{s}) + \cdots + \lambda_{m}(c_{m1}b_{1} + \cdots + c_{ms}b_{s}).$$

合并同类项：

$$x = (\lambda_{1}c_{11} + \lambda_{2}c_{21} + \cdots + \lambda_{m}c_{m1})b_{1} + \cdots + (\lambda_{1}c_{1s} + \lambda_{2}c_{2s} + \cdots + \lambda_{m}c_{ms})b_{s}.$$

令$\mu_{j} = \lambda_{1}c_{1j} + \lambda_{2}c_{2j} + \cdots + \lambda_{m}c_{mj}$ ，$j = 1,\ldots,s$，

则：$x = \mu_{1}b_{1} + \mu_{2}b_{2} + \cdots + \mu_{s}b_{s} \in L_{2}.$

因此$L_{1} \subseteq L_{2}$.

2.证明$L_{2} \subseteq L_{1}$：

同理，由于向量组等价，每一个$b_{j}$也可以由$a_{1},\ldots,a_{m}$线性表示。

即存在常数$d_{j1},\ldots,d_{jm} \in \mathbb{R}$使得：$b_{j} = d_{j1}a_{1} + d_{j2}a_{2} + \cdots + d_{jm}a_{m}\ ，j = 1,\ldots,s.$

任取$x \in L_{2}$，则存在$\mu_{1},\ldots,\mu_{s} \in \mathbb{R}$使得：$x = \mu_{1}b_{1} + \mu_{2}b_{2} + \cdots + \mu_{s}b_{s}.$

将每个$b_{j}$用$a_{1},\ldots,a_{m}$线性表示代入：

$$x = \mu_{1}(d_{11}a_{1} + \cdots + d_{1m}a_{m}) + \mu_{2}(d_{21}a_{1} + \cdots + d_{2m}a_{m}) + \cdots$$

$$+ \mu_{s}(d_{s1}a_{1} + \cdots + d_{sm}a_{m})$$

合并同类项：

$$x = (\mu_{1}d_{11} + \mu_{2}d_{21} + \cdots + \mu_{s}d_{s1})a_{1} + \cdots + (\mu_{1}d_{1m} + \mu_{2}d_{2m} + \cdots + \mu_{s}d_{sm})a_{m}.$$

令$\lambda_{i} = \mu_{1}d_{1i} + \mu_{2}d_{2i} + \cdots + \mu_{s}d_{si}$ ，$i = 1,\ldots,m$，

则：$x = \lambda_{1}a_{1} + \lambda_{2}a_{2} + \cdots + \lambda_{m}a_{m} \in L_{1}.$

因此$L_{2} \subseteq L_{1}$.

由以上两部分，有$L_{1} \subseteq L_{2}$且$L_{2} \subseteq L_{1}$，故$L_{1} = L_{2}$.

定义7 设有向量空间V₁及V₂ , 若V₁包含于V₂ , 就称V₁是V₂ 的子空间

例如任何由n维向量所组成的向量空间V , 总有V包含于Rⁿ

这样的向量空间总是Rⁿ的子空间

据此可知,例18、例20、例22中的向量空间均是Rⁿ的子空间

定义8设V是向量空间 , 如果r个向量a₁ , a₂ , ⋯ , a_r属于V , 且满足

(i)a₁ , a₂ , ⋯ , a_r线性无关

(ii)V中任一向量都可由a₁ , a₂ , ⋯ , a_r线性表示

那么 , 向量组a₁ , a₂ , ⋯ , a_r就称为向量空间V的一个基

r称为向量空间V的维数 ,记作dim(V)， 并称V为r维向量空间

如果向量空间V没有基 , 那么V的维数为0 , 0维向量空间只含一个零向量0

若把向量空间V看作向量组 , 则由最大无关组的等价定义可知

V的基就是向量组的最大无关组 , V的维数就是向量组的秩

例如 , 由例8知 ,

任何n个线性无关的n维向量都可以是向量空间Rⁿ的一个基

且由此可知Rⁿ的维数为n , 所以我们把Rⁿ称为n维向量空间

又如 , 向量空间V={x=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ x_{2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ x_{n} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$ | x₂ , ⋯ ,x_n ∈ R}的一个基

可取为e₂=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$, ⋯ , e_n=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ \vdots \\ 1 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$，并由此可知它是n-1维向量空间

设由向量组a₁ , a₂ , ⋯ , a_m所生成的向量空间

L={x=λ₁a₁ +λ₂ a₂ + ⋯ + λ_ma_m | λ₁ , λ₂ , ⋯ , λ_m ∈ R}

显然向量空间L与向量组a₁ , a₂ , ⋯ , a_m等价

所以向量组a₁ , a₂ , ⋯ , a_m的最大无关组就是L的一个基,

向量组a₁ , a₂ , ⋯ , a_m的秩就是L的维数

若向量组a₁ , a₂ , ⋯ , a_r是向量空间V的一个基

则V可表示为V={x=λ₁a₁ +λ₂ a₂ + ⋯ + λ_ra_r | λ₁ , λ₂ , ⋯ , λ_r ∈ R}

即V是基所生成的向量空间 , 这就较清楚地显示出向量空间V的构造

例如齐次线性方程组的解空间S={x|Ax=0}

若能找到解空间的一个基ξ₁ , ξ₂ , ⋯ , ξ_n-r

则解空间可表示为S={x=c₁ξ₁ + c₂ξ₂ +⋯+ c_n-rξ_n-r | c₁ , c₂ , ⋯ , c_n-r ∈ R}

定义9 如果在向量空间V中取定一个基a₁ , a₂ , ⋯ , a_r

那么V中任一向量x可惟一地表示为x=λ₁a₁ +λ₂ a₂ + ⋯ + λ_ra_r

数组λ₁ , λ₂ , ⋯ , λ_r 称为向量x在基a₁ , a₂ , ⋯ , a_r中的坐标

特别地 , 在n维向量空间Rⁿ中取单位坐标向量组e₁ , e₂ , ⋯ , e_n为基，

则以x₁ , x₂ , ⋯ , x_n为分量的向量x , 可表示为x=x₁e₁ + x₂e₂ + ⋯ + x_ne_n

可见向量在基e₁ , e₂ , ⋯ , e_n中的坐标就是该向量的分量

因此,e₁ , e₂ , ⋯ , e_n叫做Rⁿ中的自然基

例24 设$a_{1} = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ - 1 \end{bmatrix},a_{2} = \begin{bmatrix} 2 \\ - 1 \\ 2 \end{bmatrix},a_{3} = \begin{bmatrix} - 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}\ ,\ b_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ - 4 \end{bmatrix},b_{2} = \begin{bmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix},$

验证a₁ , a₂ , a₃是R³的一个基 , 并求b₁ , b₂在这个基中的坐标

一、验证 $a_{1},a_{2},a_{3}$ 是 $\mathbb{R}^{3}$ 的一个基

要验证 $a_{1},a_{2},a_{3}$ 是 $\mathbb{R}^{3}$ 的基，需满足两个条件：

1. $a_{1},a_{2},a_{3}$ 线性无关；

2. 任意 $\mathbb{R}^{3}$ 中的向量可由 $a_{1},a_{2},a_{3}$ 线性表示

（因 $\mathbb{R}^{3}$ 是3维空间，3个线性无关向量必为基）。

矩阵秩法（通用，适用于任意 $n$ 维空间）

原理 向量组的 秩（极大线性无关组的个数）= 向量组的个数 $\Leftrightarrow$ 向量组线性无关。

对于 $\mathbb{R}^{n}$，若向量组个数 = $n$ 且秩 = $n$，则该向量组是基。

步骤

1. 构造矩阵 $A = \lbrack a_{1},a_{2},a_{3}\rbrack$；

2. 求矩阵 $A$ 的秩（通过初等行变换化为行阶梯形，非零行的个数即为秩）：

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 2 & - 1 \\ 2 & - 1 & 2 \\ - 1 & 2 & 2 \end{bmatrix}\overset{\text{行变换}}{\rightarrow}\begin{bmatrix} 1 & - 2 & - 2 \\ 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 9 \end{bmatrix}$$

（行变换过程：交换第1、3行并乘-1；第2行减2×第1行；第3行减2×第1行；后续消元得到上三角矩阵）

3. 行阶梯形有3个非零行，故 $\text{rank}(A) = 3$；

4. 结论：向量组个数 = 秩 = 3（$\mathbb{R}^{3}$ 维数），故 $a_{1},a_{2},a_{3}$ 是 $\mathbb{R}^{3}$ 的基。

二、求 $b_{1},b_{2}$ 在基 $a_{1},a_{2},a_{3}$ 中的坐标

坐标定义

若 $b = x_{1}a_{1} + x_{2}a_{2} + x_{3}a_{3}$，则 $(x_{1},x_{2},x_{3})^{T}$ 是 $b$ 在该基下的坐标，

等价于解非齐次方程组 $Ax = b$（$A = \lbrack a_{1},a_{2},a_{3}\rbrack$）。

（1）求 $b_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ - 4 \end{bmatrix}$ 的坐标

步骤1：构造方程组 $Ax = b_{1}$

$$\left\{ \begin{matrix} 2x_{1} + 2x_{2} - x_{3} = 1\quad(1) \\ 2x_{1} - x_{2} + 2x_{3} = 0\quad(2) \\ - x_{1} + 2x_{2} + 2x_{3} = - 4\quad(3) \end{matrix} \right.\$$

步骤2：消元求解 得$x_{1} = \frac{2}{3}$，$x_{2} = - \frac{2}{3}$，$x_{3} = - 1$

结论：$b_{1}$ 的坐标为 $\left( \frac{2}{3}, - \frac{2}{3}, - 1 \right)^{T}$。

（2）求 $b_{2} = \begin{bmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}$ 的坐标 步骤1：构造方程组 $Ax = b_{2}$

$$\left\{ \begin{matrix} 2x_{1} + 2x_{2} - x_{3} = 4\quad(1) \\ 2x_{1} - x_{2} + 2x_{3} = 3\quad(2) \\ - x_{1} + 2x_{2} + 2x_{3} = 2\quad(3) \end{matrix} \right.\$$

步骤2：消元求解得 $x_{1} = \frac{4}{3}$。 $x_{2} = 1$；$x_{3} = \frac{2}{3}$；

结论：$b_{2}$ 的坐标为 $\left( \frac{4}{3},1,\frac{2}{3} \right)^{T}$。

最终结果 1. $a_{1},a_{2},a_{3}$ 是 $\mathbb{R}^{3}$ 的一个基（已验证）；

2. $b_{1}$ 在该基下的坐标：$\boxed{\left( \frac{2}{3}, - \frac{2}{3}, - 1 \right)^{T}}$；

3. $b_{2}$ 在该基下的坐标：$\boxed{\left( \frac{4}{3},1,\frac{2}{3} \right)^{T}}$。

例25在ℝ³中取定一个旧基α₁,α₂,α₃，再取一个新基β₁,β₂,β₃。

求用旧基α₁,α₂,α₃表示新基β₁,β₂,β₃的表示式(基变换公式)，

并求任一向量在两个基中的坐标关系式(坐标变换公式)。

解：

1.用旧基表示新基的表示式

设旧基为α₁,α₂,α₃，新基为β₁,β₂,β₃。

每个新基向量都可以用旧基向量的线性组合表示：

对于β₁：设$\beta_{1} = p_{11}\alpha_{1} + p_{21}\alpha_{2} + p_{31}\alpha_{3},$

求出组合系数$p_{11},p_{21},p_{31}$。

对于β₂：设$\beta_{2} = p_{12}\alpha_{1} + p_{22}\alpha_{2} + p_{32}\alpha_{3},$

求出组合系数$p_{12},p_{22},p_{32}$。

对于β₃：设$\beta_{3} = p_{13}\alpha_{1} + p_{23}\alpha_{2} + p_{33}\alpha_{3},$

求出组合系数$p_{13},p_{23},p_{33}$。

基变换公式(旧基表示新基)表示为:$\left\{ \begin{matrix} \beta_{1} = p_{11}\alpha_{1} + p_{21}\alpha_{2} + p_{31}\alpha_{3} \\ \beta_{2} = p_{12}\alpha_{1} + p_{22}\alpha_{2} + p_{32}\alpha_{3} \\ \beta_{3} = p_{13}\alpha_{1} + p_{23}\alpha_{2} + p_{33}\alpha_{3} \end{matrix} \right.\$

得基变换系数向量组：$\begin{bmatrix} p_{11} \\ p_{21} \\ p_{31} \end{bmatrix},\quad\begin{bmatrix} p_{12} \\ p_{22} \\ p_{32} \end{bmatrix},\quad\begin{bmatrix} p_{13} \\ p_{23} \\ p_{33} \end{bmatrix}.$

2. 坐标变换公式（新坐标表示旧坐标）：

设向量 φ 在旧基下的坐标为 $(x_{1},x_{2},x_{3})$，即：$\varphi = x_{1}\alpha_{1} + x_{2}\alpha_{2} + x_{3}\alpha_{3}$

设向量 φ 在新基下的坐标为 $(y_{1},y_{2},y_{3})$，即：$\varphi = y_{1}\beta_{1} + y_{2}\beta_{2} + y_{3}\beta_{3}$

由$\varphi = y_{1}\beta_{1} + y_{2}\beta_{2} + y_{3}\beta_{3}$

得$\varphi = y_{1}(p_{11}\alpha_{1} + p_{21}\alpha_{2} + p_{31}\alpha_{3}) + y_{2}(p_{12}\alpha_{1} + p_{22}\alpha_{2} + p_{32}\alpha_{3})$

$$+ y_{3}(p_{13}\alpha_{1} + p_{23}\alpha_{2} + p_{33}\alpha_{3})$$

整理得：

$$\varphi = (p_{11}y_{1} + p_{12}y_{2} + p_{13}y_{3})\alpha_{1} + (p_{21}y_{1} + p_{22}y_{2} + p_{23}y_{3})\alpha_{2}$$

$$+ (p_{31}y_{1} + p_{32}y_{2} + p_{33}y_{3})\alpha_{3}$$

再由$\varphi = x_{1}\alpha_{1} + x_{2}\alpha_{2} + x_{3}\alpha_{3}$

得向量$\varphi$在两个基中的坐标关系式：$\left\{ \begin{matrix} x_{1} = p_{11}y_{1} + p_{12}y_{2} + p_{13}y_{3} \\ x_{2} = p_{21}y_{1} + p_{22}y_{2} + p_{23}y_{3} \\ x_{3} = p_{31}y_{1} + p_{32}y_{2} + p_{33}y_{3} \end{matrix} \right.\$

将 $y_{1},y_{2},y_{3}$ 视为未知数，解该方程组，

即可通过旧坐标 $(x_{1},x_{2},x_{3})$ 求得新坐标 $(y_{1},y_{2},y_{3})$。

例26 设$\mathbb{R}^{3}$的两个基为

$$旧基:\alpha_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix},\alpha_{2} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},\alpha_{3} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix},新基:\beta_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix},\beta_{2} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 3 \end{bmatrix},\beta_{3} = \begin{bmatrix} 3 \\ 7 \\ 1 \end{bmatrix}.$$

(1) 设向量$\varphi$在旧基下的坐标为$\begin{bmatrix} - 2 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$，求$\varphi$在新基下的坐标

(2) 求旧基到新基的由基变换系数构成的向量组

解：设向量φ在旧基中的坐标为$x = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix}$，在新基中的坐标为$y = \begin{bmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{bmatrix}$

(1)由基变换公式（新基β表示旧基α）

对每个旧基向量$\alpha_{j}$有：$\alpha_{j} = q_{1j}\beta_{1} + q_{2j}\beta_{2} + q_{3j}\beta_{3}$

$\alpha_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = q_{11}\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} + q_{21}\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 3 \end{bmatrix} + q_{31}\begin{bmatrix} 3 \\ 7 \\ 1 \end{bmatrix}$，解得：$q_{11} = - 18,q_{21} = 5,q_{31} = 3$，

$\alpha_{2} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = q_{12}\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} + q_{22}\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 3 \end{bmatrix} + q_{32}\begin{bmatrix} 3 \\ 7 \\ 1 \end{bmatrix}$，解得：$q_{12} = - 11,q_{22} = 3,q_{32} = 2$，

$\alpha_{3} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = q_{13}\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} + q_{23}\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 3 \end{bmatrix} + q_{33}\begin{bmatrix} 3 \\ 7 \\ 1 \end{bmatrix}$，解得：$q_{13} = - 6,q_{23} = 2,q_{33} = 1$，

因此，$\varphi$在新基中的坐标为：

$$\begin{bmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{bmatrix} = x_{1}\begin{bmatrix} q_{11} \\ q_{21} \\ q_{31} \end{bmatrix} + x_{2}\begin{bmatrix} q_{12} \\ q_{22} \\ q_{32} \end{bmatrix} + x_{3}\begin{bmatrix} q_{13} \\ q_{23} \\ q_{33} \end{bmatrix} = x_{1}\begin{bmatrix} - 18 \\ 5 \\ 3 \end{bmatrix} + x_{2}\begin{bmatrix} - 11 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix} + x_{3}\begin{bmatrix} - 6 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$$

$$= ( - 2) \times \begin{bmatrix} - 18 \\ 5 \\ 3 \end{bmatrix} + 1 \times \begin{bmatrix} - 11 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix} + 2 \times \begin{bmatrix} - 6 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13 \\ - 3 \\ - 2 \end{bmatrix}$$

(2)根据基变换公式(旧基α表示新基β):

对每个新基向量$\beta_{j}$有：$\beta_{j} = p_{1j}\alpha_{1} + p_{2j}\alpha_{2} + p_{3j}\alpha_{3}$

$\beta_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} = p_{11}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + p_{21}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + p_{31}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$，解得：$p_{11} = - 1,p_{21} = 1,p_{31} = 1$，

$\beta_{2} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 3 \end{bmatrix} = p_{12}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + p_{22}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + p_{32}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$，解得：$p_{12} = - 1,p_{22} = 0,p_{32} = 3$，

$\beta_{3} = \begin{bmatrix} 3 \\ 7 \\ 1 \end{bmatrix} = p_{13}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + p_{23}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + p_{33}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$，解得：$p_{13} = - 4,p_{23} = 6,p_{33} = 1$，

因此，$\varphi$在旧基中的坐标为：

$$\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix} = y_{1}\begin{bmatrix} p_{11} \\ p_{21} \\ p_{31} \end{bmatrix} + y_{2}\begin{bmatrix} p_{12} \\ p_{22} \\ p_{32} \end{bmatrix} + y_{3}\begin{bmatrix} p_{13} \\ p_{23} \\ p_{33} \end{bmatrix} = y_{1}\begin{bmatrix} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + y_{2}\begin{bmatrix} - 1 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix} + y_{3}\begin{bmatrix} - 4 \\ 6 \\ 1 \end{bmatrix}$$