下面我们用向量组线性相关性的理论来讨论线性方程组的解.

先讨论齐次线性方程组.

设有齐次线性方程组$\left\{ \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots + a_{1n}x_{n} = 0 \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2n}x_{n} = 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} \cdots\cdots\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdots\cdots \\ a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \cdots + a_{mn}x_{n} = 0 \end{matrix} \end{array} \right.\$

记A=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ a_{m1} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ a_{m2} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \cdots \\ \cdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \cdots \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{1n} \\ a_{2n} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ a_{mn} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$ , x=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ x_{n} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$

则齐次线性方程组可写成向量方程 Ax=0

若x₁=ξ₁₁ , x₂=ξ₂₁ , ⋯ , x_n=ξ_n1 为齐次线性方程组的解

则x=ξ₁=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} \xi_{11} \\ \xi_{21} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ \xi_{n1} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$的称为齐次线性方程组的解向量 ,它也就是向量方程Ax=0的解

根据向量方程Ax=0 , 我们来讨论解向量的性质

性质1若x=ξ₁ , x=ξ₂ 为向量方程Ax=0的解

则x=ξ₁ +ξ₂ 也是向量方程Ax=0的解

证: 只要验证x=ξ₁ +ξ₂ 满足方程Ax=0: A(ξ₁ +ξ₂ )=Aξ₁ +Aξ₂ =0+0=0

性质2若x=ξ₁ 为向量方程Ax=0的解 , k为实数,

则x=kξ₁也是向量方程Ax=0的解

证:只要验证x=kξ满足向量方程Ax=0: A(kξ₁)=k(Aξ₁ )=k0=0

把方程Ax=0的全体解所组成的集合记作S

如果能求得解集S的一个最大无关组S₀ : ξ₁ , ξ₂ , ⋯ ,ξ_t

那么方程Ax=0的任一解都可由最大无关组S₀ 线性表示

另一方面 , 由上述性质1、2可知

最大无关组S₀ 的任何线性组合x=k₁ξ₁ +k₂ ξ₂ +⋯+k_tξ_t 都是方程Ax=0的解

(k₁ , k₂ , ⋯ , k_t为任意实数)

因此上式便是方程Ax=0的通解

齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系

由上面的讨论可知 , 要求齐次线性方程组的通解 , 只需求出它的基础解系

设齐次线性方程组的系数矩阵A的秩为r

并设A的前r个列向量线性无关

于是A的行最简形矩阵为B=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ \vdots \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \vdots \\ \\ \vdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \\ \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ \vdots \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \\ \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} b_{11} \\ \vdots \\ b_{r1} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ \\ \vdots \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \vdots \\ \\ \vdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \\ \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} b_{1\ ,\ n - r} \\ \vdots \\ b_{r\ ,\ n - r} \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$

与B对应 , 即有参数形式方程组$\left\{ \begin{matrix} x_{1} = - b_{11}x_{r + 1} - \cdots - b_{1\ ,\ n - r}x_{n} \\ \cdots\ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdots\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdots\ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdots \\ x_{r} = - b_{r1}x_{r + 1} - \cdots - b_{r\ ,\ n - r}x_{n} \end{matrix} \right.\$

把x_r+1 , ⋯ , x_n作为自由未知数 , 并令它们依次等于c_r+1 , ⋯ , c_n

可得齐次线性方程组的通解$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{array}{r} \begin{matrix} x_{1} \\ \vdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} x_{r} \\ x_{r + 1} \end{matrix} \end{array} \\ \begin{matrix} x_{r + 2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$=$c_{1}\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{array}{r} \begin{matrix} - b_{11} \\ \vdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} - b_{r1} \\ 1 \end{matrix} \end{array} \\ \begin{matrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$+$c_{2}\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{array}{r} \begin{matrix} - b_{12} \\ \vdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} - b_{r2} \\ 0 \end{matrix} \end{array} \\ \begin{matrix} 1 \\ \vdots \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$+⋯+$c_{n - r}\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{array}{r} \begin{matrix} - b_{1\ ,\ n - r} \\ \vdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} - b_{r\ ,\ n - r} \\ 0 \end{matrix} \end{array} \\ \begin{matrix} 0 \\ \vdots \\ 1 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$

把上式记作x=c₁ξ₁ +c₂ξ₂ +⋯+c_n-rξ_n-r

可知解集S中的任一向量x能由ξ₁ , ξ₂ , ⋯ , ξ_n-r线性表示

又因为矩阵(ξ₁ , ξ₂ , ⋯ , ξ_n-r)中有n-r阶不为0的子式|E_n-r|

故R(ξ₁ , ξ₂ , ⋯ , ξ_n-r)=n-r , 所以ξ₁ , ξ₂ , ⋯ , ξ_n-r线性无关.

根据最大无关组的等价定义 , 可知ξ₁ , ξ₂ , ⋯ , ξ_n-r是解集S的最大无关组

即ξ₁ , ξ₂ , ⋯ , ξ_n-r是齐次线性方程组的基础解系

在上面的讨论中 , 我们先求出齐次线性方程组的通解 , 再从通解求得基础解系

其实我们也可先求基础解系 , 再写出通解

这只需在得到方程组参数形式方程组以后 ,

令自由未知数x_r+1 , x_r+2 , ⋯ ,x_n取下列n-r组数

$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} x_{r + 1} \\ x_{r + 2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ x_{n} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$ , $\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$ , ⋯ , $\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ 1 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$

由参数形式方程组即依次可得$\begin{bmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{r} \end{bmatrix}$=$\begin{bmatrix} - b_{11} \\ \vdots \\ - b_{r1} \end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix} - b_{12} \\ \vdots \\ - b_{r2} \end{bmatrix}$ , ⋯ ,$\begin{bmatrix} - b_{1\ ,\ n - r} \\ \vdots \\ - b_{r\ ,\ n - r} \end{bmatrix}$

合起来便得基础解系 ξ₁=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{array}{r} \begin{matrix} - b_{11} \\ \vdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} - b_{r1} \\ 1 \end{matrix} \end{array} \\ \begin{matrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$ , ξ₁=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{array}{r} \begin{matrix} - b_{12} \\ \vdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} - b_{r2} \\ 1 \end{matrix} \end{array} \\ \begin{matrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$ , ⋯ , ξ₁=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{array}{r} \begin{matrix} - b_{1\ ,\ n - r} \\ \vdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} - b_{r\ ,\ n - r} \\ 1 \end{matrix} \end{array} \\ \begin{matrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$

定理7设m×n矩阵A的秩R(A)=r

则n元齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩R_S=n-r

当R(A)=n时 , 方程Ax=0只有零解 , 没有基础解系

(此时解集S只含一个零向量)

当R(A)=r<n时 , 由定理7可知方程Ax=0的基础解系含n-r个向量

因此 , 由最大无关组的性质可知

方程Ax=0的任何n-r个线性无关的解都可构成它的基础解系

并由此可知齐次线性方程组的基础解系并不是惟一的

它的通解的形式也不是惟一的

例12求齐次线性方程组$\left\{ \begin{array}{r} x_{1} + x_{2} - x_{3} - x_{4} = 0 \\ 2x_{1} - 5x_{2} + 3x_{3} + 2x_{4} = 0 \\ 7x_{1} - 7x_{2} + 3x_{3} + x_{4} = 0 \end{array} \right.\$ 的基础解系与通解

解: 对系数矩阵A作初等行变换变为行最简形矩阵 , 有

A=$\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 7 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ - 5 \\ - 7 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} - 1 \\ 3 \\ 3 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} \right\rbrack\overset{\begin{matrix} r_{2} - 2r_{1} \\ r_{3} - 7r_{1} \end{matrix}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ - 7 \\ - 14 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} - 1 \\ 5 \\ 10 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} - 1 \\ 4 \\ 8 \end{matrix} \right\rbrack$

$$\overset{r_{3} - 2r_{2}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ - 7 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} - 1 \\ 5 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} - 1 \\ 4 \\ 0 \end{matrix} \right\rbrack\overset{\begin{matrix} r_{2} \div ( - 7) \\ r_{1} - r_{2} \end{matrix}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \frac{- 2}{7} \\ \frac{- 5}{7} \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \frac{- 3}{7} \\ \frac{- 4}{7} \\ 0 \end{matrix} \right\rbrack$$

得同解方程组：$\left\{ \begin{array}{r} x_{1} - \frac{2}{7}x_{3} - \frac{3}{7}x_{4} = 0 \\ x_{2} - \frac{5}{7}x_{3} - \frac{4}{7}x_{4} = 0 \end{array} \right.\$

得参数形式：$\left\{ \begin{array}{r} x_{1} = \frac{2}{7}x_{3} + \frac{3}{7}x_{4} \\ x_{2} = \frac{5}{7}x_{3} + \frac{4}{7}x_{4} \end{array} \right.\$ (x₃ , x₄可任意取值)

得参数形式：$\left\{ \begin{array}{r} \begin{matrix} x_{1} = \frac{2}{7}c_{1} + \frac{3}{7}c_{2} \\ x_{2} = \frac{5}{7}c_{1} + \frac{4}{7}c_{2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} x_{3} = c_{1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ x_{4} = c_{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix} \end{array} \right.\$ (其中x₃=c₁ , x₄=c₂ )

得具体通解：$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} x_{3} \\ x_{4} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} \frac{2}{7}c_{1} + \frac{3}{7}c_{2} \\ \frac{5}{7}c_{1} + \frac{4}{7}c_{2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} c_{1} \\ \ c_{2} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$=$c_{1}\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} \frac{2}{7} \\ \frac{5}{7} \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$+$c_{2}\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} \frac{3}{7} \\ \frac{4}{7} \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$ (c₁ , c₂为任意实数)

得基础解系 ξ₁=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} \frac{2}{7} \\ \frac{5}{7} \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$ , ξ₂=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} \frac{3}{7} \\ \frac{4}{7} \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$

还可以根据已有基础解系找到新的基础解系

例如，η₁=ξ₁+ξ₂=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} \frac{2 + 3}{7} \\ \frac{5 + 4}{7} \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 + 0 \\ 0 + 1 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} \frac{5}{7} \\ \frac{9}{7} \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$ ，η₂=ξ₁ - ξ₂=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} \frac{2 - 3}{7} \\ \frac{5 - 4}{7} \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 - 0 \\ 0 - 1 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} \frac{- 1}{7} \\ \frac{1}{7} \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$

构造方法：

对于基础解系ξ₁，ξ₂，设η₁=k₁₁ξ₁+k₁₂ξ₂，η₂=k₂₁ξ₁+k₂₂ξ₂

并且设有数c₁ ，c₂，使得c₁η₁+c₂η₂=0，那么η₁，η₂也是其础解系

判定原理：

因为c₁(k₁₁ξ₁+k₁₂ξ₂)+c₂(k₂₁ξ₁+k₂₂ξ₂)=(c₁k₁₁+c₂k₂₁)ξ₁+(c₁k₁₂+c₂k₂₂)ξ₂=0

而ξ₁，ξ₂是基础解系，线性无关，得方程组$\left\{ \begin{matrix} c_{1}k_{11} + c_{2}k_{21} = 0 \\ c_{1}k_{12} + c_{2}k_{22} = 0 \end{matrix} \right.\$

当方程组只有零解c₁=c₂=0时, η₁，η₂线性无关，可构成其础解系

例13 设A_m×nB_n×l=O , 证明R(A)+R(B)⩽n

证:

第一步：将矩阵 $B$ 按列分块

设$B = (\beta_{1},\beta_{2},\ldots,\beta_{l}),$

其中每个 $\beta_{j} \in \mathbb{R}^{n}$（即 $\beta_{j}$ 是 $n$ 维列向量，$j = 1,2,\ldots,l$）。

第二步：利用 $AB = O$ 推导列向量的性质

已知 $AB = O$，按分块矩阵乘法规则：

$$AB = A(\beta_{1},\beta_{2},\ldots,\beta_{l}) = (A\beta_{1},A\beta_{2},\ldots,A\beta_{l}) = (0,0,\ldots,0)，$$

这里每个 $0$ 表示 $m$ 维零向量。

因此对任意 $j$ 有$A\beta_{j} = 0，$

即 $\beta_{j}$ 是齐次线性方程组 $Ax = 0$ 的解向量。

记 $N(A) = \{ x \in \mathbb{R}^{n} \mid Ax = 0\}$ 为 $A$ 的零空间（解空间），

则$\beta_{1},\beta_{2},\ldots,\beta_{l} \in N(A)。$

第三步：考虑 $\beta_{1},\ldots,\beta_{l}$ 生成的子空间与 $N(A)$ 的关系

$\beta_{1},\ldots,\beta_{l}$ 构成 $N(A)$ 中的一个向量组（不一定生成整个 $N(A)$，但都在 $N(A)$ 中）。

向量组的秩 $R(\beta_{1},\ldots,\beta_{l})$ 就是该向量组中极大线性无关组所含向量个数，

它等于矩阵 $B$ 的列秩，也就是 $R(B)$。

由于向量组落在空间 $N(A)$ 中，因此其秩不大于 $N(A)$ 的维数

（子空间中的向量组生成的子空间维数不超过母空间维数）：$R(B) \leq dimN(A)。$

第四步：利用秩-零度定理

对 $m \times n$ 矩阵 $A$，秩-零度定理为：$R(A) + dimN(A) = n，$

于是$\dim N(A) = n - R(A)。$

第五步：代入不等式并整理

由第三步和第四步可得：$R(B) \leq n - R(A)。$

移项即得：$R(A) + R(B) \leq n。$

例14设n元齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解 , 试证明R(A)=R(B)

证明

核心思想 同解意味着解空间维数相同，结合秩-零度定理直接推导秩相等。

步骤 1. 设$Ax = 0$的解空间为$N(A)$，$Bx = 0$的解空间为$N(B)$。

2. 已知$Ax = 0$与$Bx = 0$同解，故解空间完全重合，即$N(A) = N(B)$，

因此解空间维数相等：$\dim N(A) = dimN(B)$。

3. 对$Ax = 0$应用秩-零度定理：$R(A) + dimN(A) = n$；

对$Bx = 0$应用秩-零度定理：$R(B) + dimN(B) = n$。

4. 两式联立：$R(A) + dimN(A) = R(B) + dimN(B)$，因$\dim N(A) = dimN(B)$，故$R(A) = R(B)$。

例15 设A为矩阵，试证明R(A^TA)=R(A)

证:

例15 设A为矩阵，试证明R(A^TA)=R(A)

方法一：通过“解空间等价”证明（最基础核心方法）

核心逻辑： 秩的本质与线性方程组的解密切相关：

$R(A) = n - dimN(A)$（$N(A)$ 是 $Ax = 0$ 的零空间，$n$ 是 $A$ 的列数）。

若能证明 $N(A) = N(A^{T}A)$（零空间相同），

则由秩-零化度定理可直接推出 $R(A) = R(A^{T}A)$。

证明步骤：

1. 证明 $N(A) \subseteq N(A^{T}A)$ 任取 $x \in N(A)$，即 $Ax = 0$。

两边左乘 $A^{T}$，得 $A^{T}(Ax) = A^{T}0$，即 $(A^{T}A)x = 0$。

因此 $x \in N(A^{T}A)$，故 $N(A) \subseteq N(A^{T}A)$。

2. 证明 $N(A^{T}A) \subseteq N(A)$ 任取 $x \in N(A^{T}A)$，即 $(A^{T}A)x = 0$。

两边左乘 $x^{T}$，得 $x^{T}(A^{T}A)x = x^{T}0 = 0$。

由矩阵乘法结合律，$x^{T}A^{T}Ax = (Ax)^{T}(Ax)$（设 $y = Ax$，则等式变为 $y^{T}y = 0$）。

由于 $y^{T}y = \parallel y \parallel^{2}$（向量 $y$ 的欧氏范数平方），而范数非负，故 $\parallel y \parallel^{2} = 0 \Leftrightarrow y = 0$，即 $Ax = 0$。

因此 $x \in N(A)$，故 $N(A^{T}A) \subseteq N(A)$。

3. 结论 由1和2得 $N(A) = N(A^{T}A)$，故 $dimN(A) = dimN(A^{T}A)$。

由秩-零化度定理：$R(A) = n - dimN(A)$，$R(A^{T}A) = n - dimN(A^{T}A)$，

因此 $R(A^{T}A) = R(A)$。

下面讨论非齐次线性方程组.

设有非齐次线性方程组 $\left\{ \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots + a_{1n}x_{n} = b_{1} \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2n}x_{n} = b_{2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \cdots\cdots\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdots\cdots \\ a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \cdots + a_{mn}x_{n} = b_{m} \end{matrix} \end{array} \right.\$

它也可写作向量方程Ax=b

向量方程Ax=b的解也就是非齐次线性方程组的解向量

性质3设x=η₁ , 及x=η₂都是向量方程Ax=b的解

则x=η₁ - η₂为对应的齐次线性方程组Ax=0的解

证: A(η₁ - η₂)=Aη₁ - Aη₂=b-b=0 , 即x=η₁ - η₂满足方程Ax=0

性质4设x=η是方程Ax=b的解 , x=ξ是方程Ax=0的解 ,

则x=ξ+η仍是方程Ax=b的解

证: A(ξ+η)=Aξ+Aη=0+b=b , 即x=ξ+η满足方程Ax=b

于是 , 如果求得方程Ax=b的一个解η*(称为特解)

那么方程Ax=b的通解为x=k₁ξ₁+⋯+k_n-rξ_n-r+η*(k₁ , ⋯ , k_n-r为任意实数)

其中ξ₁ , ⋯ , ξ_n-r是方程Ax=0的基础解系

事实上 , 由性质4知上式右端向量总是方程Ax=b的解

反过来 , 设x⁰为方程Ax=b的任一解

由性质3知x⁰-η*是方程Ax=0的解

从而可由其基础解系线性表示为x⁰-η*=$k_{1}^{0}$ξ₁+$k_{2}^{0}$ξ₂+⋯+$k_{n - r}^{0}$ξ_n-r

即x⁰=η*+$k_{1}^{0}$ξ₁+$k_{2}^{0}$ξ₂+⋯+$k_{n - r}^{0}$ξ_n-r

至此我们已得到了非齐次线性方程的解的结构:

非齐次方程的通解=对应的齐次方程的通解+非齐次方程的一个特解

例16 求解方程组$\left\{ \begin{array}{r} x_{1} - x_{2} - x_{3} + x_{4} = 0 \\ x_{1} - x_{2} + x_{3} - 3x_{4} = 1 \\ x_{1} - x_{2} - 2x_{3} + 3x_{4} = \frac{- 1}{2} \end{array} \right.\$

解: 对增广矩阵B施行初等行变换:

B=$\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ - 1 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ - 3 \\ 3 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ \frac{- 1}{2} \end{matrix} \right\rbrack\overset{\begin{matrix} r_{2} - r_{1} \\ r_{3} - r_{1} \end{matrix}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ - 4 \\ 2 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ \frac{- 1}{2} \end{matrix} \right\rbrack\overset{\begin{matrix} r_{1} - r_{3} \\ r_{2} \div 2 \\ r_{3} + r_{2} \end{matrix}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} - 1 \\ - 2 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{matrix} \right\rbrack$

可见R(A)=R(B)=2 , 故方程组有解 , 并有$\left\{ \begin{array}{r} x_{1} = x_{2} + x_{4} + \frac{1}{2} \\ x_{3} = 2x_{4} + \frac{1}{2}\ \ \ \ \ \ \end{array} \right.\$

取x₂=x₄=0 , 则x₁=x₃=$\frac{1}{2}\$ ,即得方程组的一个解η*=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} \frac{1}{2} \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} \frac{1}{2} \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$

在对应的齐次线性方程组$\left\{ \begin{array}{r} x_{1} - x_{2} - x_{3} + x_{4} = 0 \\ x_{1} - x_{2} + x_{3} - 3x_{4} = 0 \\ x_{1} - x_{2} - 2x_{3} + 3x_{4} = 0 \end{array} \right.\$中，

得同解方程组：$\left\{ \begin{array}{r} x_{1} - x_{2} - x_{4} = 0 \\ x_{3} - 2x_{4} = 0 \end{array} \right.\$

得参数形式：$\left\{ \begin{array}{r} x_{1} = x_{2} + x_{4} \\ x_{3} = 2x_{4}\ \ \ \ \ \ \end{array} \right.\$ (x₂ , x₄可任意取值)

得参数形式：$\left\{ \begin{array}{r} \begin{matrix} x_{1} = c_{1} + c_{2} \\ x_{2} = c_{1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix} \\ \begin{matrix} x_{3} = 2c_{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ x_{4} = c_{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix} \end{array} \right.\$ (其中x₂=c₁ , x₄=c₂ )

得齐次线性方程组具体通解：$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} x_{3} \\ x_{4} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} c_{1} + c_{2} \\ c_{1} \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2c_{2} \\ \ c_{2} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$=$c_{1}\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$+$c_{2}\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$ (c₁ , c₂为任意实数)

于是方程组所求通解为$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} x_{3} \\ x_{4} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$=c₁$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$+c₂$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$+$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} \frac{1}{2} \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} \frac{1}{2} \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$