在上两节的讨论中 , 向量组只局限于含有限个向量

现在我们将去掉这一限制 , 向量组可以含无限多个向量

例如A: $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix}$ , ⋯ ,$\begin{bmatrix} k \\ k \end{bmatrix}$ , ⋯ 与 B : $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$ , ⋯ ,$\begin{bmatrix} k \\ k + 1 \end{bmatrix}$ , ⋯

就是这样的向量组

因为它们都是二维向量组 , 由定理5之(2)

当维数n小于向量个数m时，向量组是线性相关的。

知向量组A或向量组B中任意三个向量都是线性相关的

但进一步从线性无关部分组所含向量的个数来看就不一样了

向量组B中有含两个向量的线性无关部分组 , 如$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$

但向量组A中任何含两个向量的部分组都是线性相关的

换言之 , A组中只有最多含一个向量的线性无关部分组

而B组中却有最多含两个向量的线性无关部分组

上一章中 , 我们引入了矩阵的最高阶非零子式 , 并把它的阶数定义为矩阵的秩

它在前两节向量组线性表示和线性相关性的讨论中起了十分重要的作用

现在 , 按向量组与矩阵的对应

特别把含最多个向量的线性无关部分组与最高阶的非零子式相对应

就可将秩的概念引进向量组

定义5设有向量组A , 如果在A中能选出r个向量a₁ , a₂ , ⋯ , a_r满足下列条件

(i)向量组A₀ : a₁ , a₂ , ⋯ , a_r线性无关;

(ii)向量组A中任意r+1个向量(如果A中有r+1个向量的话)都线性相关

那么称向量组A₀是向量组A的一个最大线性无关向量组(简称最大无关组)

最大无关组所含向量个数r称为向量组A的秩 , 记作R_A

只含零向量的向量组没有最大无关组 , 规定它的秩为0

根据定义5 , 本节一开始给出的向量组A的秩R_A=1 , $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$是它的一个最大无关组

向量组B的秩R_B=2 , $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$是它的一个最大无关组

显然两者的最大无关组都不惟一(甚至都有无限多个)

若向量组A线性无关 , 则自身就是它的最大无关组

而其秩就等于它所含向量的个数

向量组A和它自己的最大无关组A₀是等价的

这是因为A₀组是A组的一个部分组

故A₀组总能由A组线性表示(A中每个向量都能由A组表示)

而由定义5的条件(ii)知 , 对于A中任一向量a

r+1个向量a₁ , a₂ , ⋯ , a_r , a线性相关 , 而a₁ , a₂ , ⋯ , a_r线性无关

根据定理5(3) 知 a能由a₁ , a₂ , ⋯ , a_r线性表示 , 即A组能由A₀组线性表示

所以A组与A₀组等价

n维向量组A可能含有许多个甚至无限多个向量 , 但A₀至多含n个向量

用A₀来“代表”A , 就把A组的问题转化为相应的A₀组的问题了

上述结论的逆命题也是成立的

即能与向量组自身等价的线性无关部分组一定是最大无关组

现把它作为定理3的推论叙述如下:

推论(最大无关组的等价定义)

设向量组A₀ : a₁ , a₂ , ⋯ , a_r是向量组A的一个部分组 , 且满足下列条件

(i)向量组A₀线性无关

(ii)向量组A的任一向量都能由向量组A₀线性表示

那么向量组A₀便是向量组A的一个最大无关组

证: 要证明$A_{0}$是$A$的一个极大无关组，需要验证两点：

1.$A_{0}$是$A$的线性无关部分组（已知条件(i)）。

2.$A_{0}$是“极大的”，即任意从$A$中再添加一个向量（如果存在）到$A_{0}$中，

都会使新的向量组线性相关。

由条件(ii)，$A$中任意向量$\mathbf{v}$都可以由$A_{0}$线性表示，

即存在标量$k_{1},k_{2},\cdots,k_{r}$使得$\mathbf{v} = k_{1}\mathbf{a}_{1} + k_{2}\mathbf{a}_{2} + \cdots + k_{r}\mathbf{a}_{r}.$

现在考虑将$\mathbf{v}$添加到$A_{0}$中，得到新的向量组$A_{0} \cup \{\mathbf{v}\}$。

我们需要证明这个新向量组是线性相关的。

事实上，可以写出：$k_{1}\mathbf{a}_{1} + k_{2}\mathbf{a}_{2} + \cdots + k_{r}\mathbf{a}_{r} - \mathbf{v} = \mathbf{0}.$

由于$\mathbf{v}$的系数是$- 1 \neq 0$，所以这是一个非平凡的线性组合等于零向量。

因此，$A_{0} \cup \{\mathbf{v}\}$线性相关。

这说明，对于$A$中任意不在$A_{0}$中的向量$\mathbf{v}$，添加后都会导致线性相关。

因此，$A_{0}$是$A$的一个极大线性无关组。

例8全体n维向量构成的向量组记作Rⁿ , 求Rⁿ的一个最大无关组及Rⁿ的秩

解:

一、理解问题

$\mathbb{R}^{n}$是所有$n$维实向量的集合，即：$\mathbb{R}^{n} = \left\{ \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix}\,|\, x_{1},x_{2},\ldots,x_{n} \in \mathbb{R} \right\}$

它是一个$n$维实向量空间。

在这个空间中，我们要找一个最大线性无关组，也就是这个空间的一个基。

向量组的秩就是最大线性无关组中向量的个数，也就是空间的维数。

二、标准基（单位坐标向量组）

考虑如下$n$个$n$维向量：$\mathbf{e}_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix},\quad\mathbf{e}_{2} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix},\quad\cdots,\quad\mathbf{e}_{n} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

这组向量称为$\mathbb{R}^{n}$的标准基（或自然基）。

三、验证它是最大线性无关组

我们要验证这组向量满足最大无关组的两个条件：

1.线性无关性

考虑线性组合：$c_{1}\mathbf{e}_{1} + c_{2}\mathbf{e}_{2} + \cdots + c_{n}\mathbf{e}_{n} = \mathbf{0}$

左边就是：$\begin{bmatrix} c_{1} \\ c_{2} \\ \vdots \\ c_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} \Rightarrow c_{1} = c_{2} = \cdots = c_{n} = 0$

所以$\{\mathbf{e}_{1},\mathbf{e}_{2},\ldots,\mathbf{e}_{n}\}$线性无关。

2.$\mathbb{R}^{n}$中任一向量都可由它线性表示

任取$\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{n}$，有：$\mathbf{x} = x_{1}\mathbf{e}_{1} + x_{2}\mathbf{e}_{2} + \cdots + x_{n}\mathbf{e}_{n}$

所以$\mathbb{R}^{n}$中任一向量都能由$\{\mathbf{e}_{1},\ldots,\mathbf{e}_{n}\}$线性表示。

四、结论

根据定理（若一个部分组线性无关且能表示整个向量组，则是最大无关组），

可知：$\{\mathbf{e}_{1},\mathbf{e}_{2},\ldots,\mathbf{e}_{n}\}$是$\mathbb{R}^{n}$的一个最大线性无关组。

而且，最大无关组中向量的个数为$n$，

所以：

$\mathbb{R}^{n}$的一个最大无关组：$\left\{ \mathbf{e}_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix},\ \mathbf{e}_{2} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix},\ \ldots,\ \mathbf{e}_{n} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$

$\mathbb{R}^{n}$的秩：n

注：实际上，$\mathbb{R}^{n}$的任意一组$n$个线性无关的$n$维向量都可以作为它的最大无关组（即一组基），

但标准基是最简单、最常用的一个例子。

例9设齐次线性方程组$\left\{ \begin{array}{r} x_{1} + 2x_{2} + x_{3} - 2x_{4} = 0 \\ 2x_{1} + 3x_{2} - x_{4} = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ x_{1} - x_{2} - 5x_{3} + 7x_{4} = 0 \end{array} \right.\$

的全体解向量构成的向量组为S , 求S的秩

解: 先解方程 , 为此把系数矩阵A化成行最简形矩阵

A=$\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 2 \\ 3 \\ - 1 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ - 5 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} - 2 \\ - 1 \\ 7 \end{matrix} \right\rbrack\overset{\begin{matrix} r_{2} - 2r_{1} \\ r_{3} - r_{1} \end{matrix}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ - 3 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ - 6 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} - 2 \\ 3 \\ 9 \end{matrix} \right\rbrack\overset{\begin{matrix} r_{1} + 2r_{2} \\ r_{3} - 3r_{2} \\ r_{2} \times ( - 1) \end{matrix}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} - 3 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 4 \\ - 3 \\ 0 \end{matrix} \right\rbrack$

得同解方程组：$\left\{ \begin{matrix} x_{1} - 3x_{3} + 4x_{4} = 0 \\ x_{2} + 2x_{3} - 3x_{4} = 0 \end{matrix} \right.\$

得参数形式：$\left\{ \begin{array}{r} x_{1} = 3x_{3} - 4x_{4} \\ x_{2} = - 2x_{3} + 3x_{4} \end{array} \right.\$ (x₃ , x₄可任意取值)

得参数形式：$\left\{ \begin{array}{r} \begin{matrix} x_{1} = 3c_{1} - 4c_{2} \\ x_{2} = - 2c_{1} + 3c_{2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} x_{3} = c_{1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ x_{4} = c_{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix} \end{array} \right.\$ (其中x₃=c₁ , x₄=c₂ )

得向量形式：$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} x_{3} \\ x_{4} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 3c_{1} - 4c_{2} \\ - 2c_{1} + 3c_{2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} c_{1} \\ \ c_{2} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$=$c_{1}\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 3 \\ - 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$+$c_{2}\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} - 4 \\ 3 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$=$c_{1}\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$+$c_{2}\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$

(c₁ , c₂为任意实数)

把上式记作x=c₁ξ₁ + c₂ξ₂ , 知S={x=c₁ξ₁ + c₂ξ₂ | c₁ , c₂ ∈R}

即S能由向量组ξ₁ , ξ₂线性表示，且ξ₁ , ξ₂线性无关

因此根据最大无关组的等价定义知ξ₁ , ξ₂是S的最大无关组 , 从而R_S=2

对于只含有限个n维向量的向量组A: a₁ , a₂ , ⋯ , a_m

它可以构成矩阵A=(a₁ , a₂ , ⋯ , a_m)

把定义5与上章矩阵的最高阶非零子式及矩阵的秩的定义作比较

容易想到向量组A的秩就等于矩阵A的秩 , 即有下面定理

定理6矩阵的秩等于它的列向量组的秩 , 也等于它的行向量组的秩

证: 设A=(a₁ , a₂ , ⋯ , a_m) , R(A)=r ,并设r阶子式D_r≠0

根据定理4 , 由D_r≠0知D_r所在的r列构成的n×r矩阵的秩为r

故此r列线性无关

又由A中所有r+1阶子式均为零,

知A中任意r+1个列向量构成的n×(r+1)矩阵的秩小于r+1

故此r+1列线性相关

因此D_r所在的r列是A的列向量组的一个最大无关组

所以列向量组的秩等于r

类似可证矩阵A的行向量组的秩也等于R(A)

向量组a₁ , a₂ , ⋯ , a_m的秩也记作R(a₁ , a₂ , ⋯ , a_m)

从上述证明中可见:

若D_r是矩阵A的一个最高阶非零子式

则D_r所在的r列即是A的列向量组的一个最大无关组

D_r所在的r行即是A的行向量组的一个最大无关组

例10设矩阵A=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} - 1 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 6 \\ 6 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} - 1 \\ - 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2 \\ - 9 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 2 \\ 7 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 2 \\ 4 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 4 \\ 9 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$

求矩阵A的列向量组的一个最大无关组

并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示

解:

给定矩阵：$A = \begin{bmatrix} 2 & - 1 & - 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & - 2 & 1 & 4 \\ 4 & - 6 & 2 & - 2 & 4 \\ 3 & 6 & - 9 & 7 & 9 \end{bmatrix}$，列向量依次记为：$\mathbf{c}_{1},\mathbf{c}_{2},\mathbf{c}_{3},\mathbf{c}_{4},\mathbf{c}_{5}$.

步骤1：将矩阵$A$化为行最简形，以确定列向量的线性关系。

对$A$进行行初等变换得：$\begin{bmatrix} 1 & 0 & - 1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$，这就是行最简形矩阵$R$。

步骤2：从行最简形确定主元列和自由列。

主元列：第1列、第2列、第4列。

自由列：第3列、第5列。

所以，原矩阵$A$的列向量组的一个最大无关组是$\{\mathbf{c}_{1},\mathbf{c}_{2},\mathbf{c}_{4}\}$。

步骤3：将自由列（第3列和第5列）用最大无关组线性表示。

从行最简形$R$中直接读出线性关系：

对于第3列（自由列）：在$R$中，第3列为：$\begin{bmatrix} - 1 \\ - 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

这表示：$\mathbf{c}_{3} = ( - 1) \cdot \mathbf{c}_{1} + ( - 1) \cdot \mathbf{c}_{2} + 0 \cdot \mathbf{c}_{4}$

即：$\mathbf{c}_{3} = - \mathbf{c}_{1} - \mathbf{c}_{2}$

对于第5列（自由列）：在$R$中，第5列为：$\begin{bmatrix} 4 \\ 3 \\ - 3 \\ 0 \end{bmatrix}$

这表示：$\mathbf{c}_{5} = 4 \cdot \mathbf{c}_{1} + 3 \cdot \mathbf{c}_{2} + ( - 3) \cdot \mathbf{c}_{4}$

即：$\mathbf{c}_{5} = 4\mathbf{c}_{1} + 3\mathbf{c}_{2} - 3\mathbf{c}_{4}$

最终答案：

矩阵$A$的列向量组的一个最大无关组为$\{\mathbf{c}_{1},\mathbf{c}_{2},\mathbf{c}_{4}\}$，即：$\left\{ \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \\ 3 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} - 1 \\ 1 \\ - 6 \\ 6 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ - 2 \\ 7 \end{bmatrix} \right\}$

其他列向量的线性表示：

$$\mathbf{c}_{3} = - \mathbf{c}_{1} - \mathbf{c}_{2}$$

$$\mathbf{c}_{5} = 4\mathbf{c}_{1} + 3\mathbf{c}_{2} - 3\mathbf{c}_{4}$$

本例的解法表明:

如果矩阵A_m×n与B_l×n的行向量组等价(这时齐次线性方程Ax=0与 Bx=0可互推)

则方程Ax=0与Bx=0同解

从而A的列向量组各向量之间与B的列向量组各向量之间有相同的线性关系

如果B是一个行最简形矩阵 , 则容易看出B的列向量组各向量之间的线性关系

从而也就得到A的列向量组各向量之间的线性关系

(一个向量组的这种线性关系一般很多 , 但只要求出这个向量组的最大无关组

及不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示的表示式

有了这些 , 就能推知其余的线性关系)

依据向量组的秩的定义及定理6

可知前面介绍的定理1 , 2 , 3 , 4中出现的矩阵的秩都可改为向量组的秩

例如定理2可叙述为

定理2’

向量组b₁ , b₂ , ⋯ , b_l 能由向量组a₁ , a₂ , ⋯ , a_m 线性表示的充分必要条件

是R(a₁ , a₂ , ⋯ , a_m )=R(a₁ , a₂ , ⋯ , a_m , b₁ , b₂ , ⋯ , b_l)

这里记号R(a₁ , a₂ , ⋯ , a_m)既可理解为矩阵的秩 , 也可理解成向量组的秩

前面我们建立定理1、2、3时 , 限制向量组只含有限个向量

现在我们要去掉这一限制 , 把定理1、2、3推广到一般情形

推广的方法是利用向量组的最大无关组作过渡

下面仅推广定理3

定理3’ 若向量组B能由向量组A线性表示 , 则R_B⩽R_A

证:

证明过程（极大无关组替换法）

第 1 步：取 $A$ 的一个极大线性无关组

设 $r(A) = r$，由秩的定义，向量组 $A$ 的秩就是其极大线性无关组所含向量的个数。

不妨设 $A_{0}:\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{r}$ 是 $A$ 的一个极大线性无关组（可通过调换次序实现）。

那么： 1. $A_{0}$ 线性无关； 2. $A$ 中其余向量 $\alpha_{r + 1},\ldots,\alpha_{s}$ 都可由 $A_{0}$ 线性表示。

第 2 步：$A$ 的所有向量都可由 $A_{0}$ 线性表示

由极大无关组的性质：

$$\alpha_{r + 1} = a_{11}\alpha_{1} + \ldots + a_{1r}\alpha_{r}$$

$$\alpha_{r + 2} = a_{21}\alpha_{1} + \ldots + a_{2r}\alpha_{r}$$

$$\vdots$$

$$\alpha_{s} = a_{(s - r)1}\alpha_{1} + \ldots + a_{(s - r)r}\alpha_{r}$$

并且显然 $\alpha_{1},\ldots,\alpha_{r}$ 可由 $A_{0}$ 自身线性表示（系数取 1 或 0）。

第 3 步：$B$ 可由 $A_{0}$ 线性表示

已知 $B$ 可由 $A$ 线性表示，即对任意 $j \in \{ 1,\ldots,t\}$，

有$\beta_{j} = b_{j1}\alpha_{1} + b_{j2}\alpha_{2} + \ldots + b_{js}\alpha_{s}。$

将第 2 步中 $\alpha_{r + 1},\ldots,\alpha_{s}$ 用 $A_{0}$ 表示的式子代入上式，

那么 $\beta_{j}$ 就化为只含 $\alpha_{1},\ldots,\alpha_{r}$ 的线性组合。

因此，向量组 $B$ 的每个向量 $\beta_{j}$ 都可由 $A_{0}$ 线性表示。

第 4 步：$B$ 的秩不超过 $A_{0}$ 所含向量的个数

$A_{0}$ 含有 $r$ 个向量，并且 $B$ 的每个向量可由这 $r$ 个向量线性表示。

根据秩的定义，如果一个向量组的所有向量都可由某 $r$ 个向量线性表示，

那么这个向量组的秩 $\leq r$。

（这是因为：从 $B$ 中任取极大无关组，所含向量个数为 $r(B)$，

每个该极大无关组的向量可由 $A_{0}$ 线性表示，

由线性表示的传递性可得 $r(B) \leq r$，否则会推出 $A_{0}$ 线性相关的矛盾。）

形式化证明这个结论：

设 $B_{0}$ 是 $B$ 的一个极大线性无关组，含 $r(B)$ 个向量。

由于 $B$ 可由 $A_{0}$ 线性表示，所以 $B_{0}$ 也可由 $A_{0}$ 线性表示。

又 $B_{0}$ 线性无关，如果一个线性无关组能由另一个向量组 $A_{0}$ 线性表示，

则其向量个数 $\leq$ $A_{0}$ 的秩

（这是线性代数基本引理，否则会有替换定理推出矛盾）。

$A_{0}$ 的秩 = $r$（因为 $A_{0}$ 是 $A$ 的极大无关组，所以秩为 $r$）。

因此 $r(B) = |B_{0}| \leq r = r(A)$。

第 5 步：得到结论

于是我们得到：$r(B) \leq r(A)。$

今后 , 定理3与3’将不加区别 , 都称定理3

定理1和2与推广后的定理也不加区别

例11设向量组B能由向量组A线性表示 , 且它们的秩相等，

试证明向量组A与向量组B等价

证: 利用极大无关组等价证明

设向量组$A$的一个极大无关组为$A_{0}:\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{r}$，$r(A) = r$；

向量组$B$的一个极大无关组为$B_{0}:\beta_{1},\beta_{2},\ldots,\beta_{s}$，$r(B) = s$。

已知条件：

1.$B$能由$A$线性表示$\Longrightarrow B_{0}$能由$A_{0}$线性表示（极大无关组与原向量组等价）。

2.$r(A) = r(B) \Longrightarrow r = s$。

步骤1：证明$B_{0}$能由$A_{0}$线性表示且秩相等

因为$B_{0}$能由$A_{0}$线性表示，且$r(A_{0}) = r(B_{0}) = r$，而$A_{0}$是线性无关的向量组，

所以$B_{0}$中的$r$个向量可以由$A_{0}$的$r$个线性无关向量线性表示，

故$B_{0}$线性无关且与$A_{0}$等价。

（反证：若$B_{0}$与$A_{0}$不等价，则$r(B_{0}) < r(A_{0})$，与$r(A_{0}) = r(B_{0})$矛盾）

步骤2：传递到原向量组

$A$与$A_{0}$等价，$B$与$B_{0}$等价；

$A_{0}$与$B_{0}$等价；

由等价的传递性，$A$与$B$等价。