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定义4给定向量组A: a1 , a2 , ⋯ , am

如果可以找到一组不全为0的数k , 使表达式k1a1+k2a2+⋯+kmam=0成立

那么称向量组A是线性相关的

如果找不到一组不全为0的数k , 使表达式k1a1+k2a2+⋯+kmam=0成立

也就是只有当数k1 , k2 , ⋯ , km全为零时 ,

表达式k1a1+k2a2+⋯+kmam=0才成立

那么称向量组A是线性无关的

线性相关举例

例子1：

设3个3维列向量构成的向量组为： 𝜶 1 = ( 1 2 3 ) , 𝜶 2 = ( 0 0 0 ) , 𝜶 3 = ( 4 5 6 ) \mathbf{\alpha}_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix},\quad\mathbf{\alpha}_{2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\quad\mathbf{\alpha}_{3} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}

验证线性相关：取常数 k 1 = 0 k_{1} = 0 ， k 2 = 1 k_{2} = 1 （非零）， k 3 = 0 k_{3} = 0 ，

则： k 1 𝜶 1 + k 2 𝜶 2 + k 3 𝜶 3 = 0 ⋅ ( 1 2 3 ) + 1 ⋅ ( 0 0 0 ) + 0 ⋅ ( 4 5 6 ) = ( 0 0 0 ) k_{1}\mathbf{\alpha}_{1} + k_{2}\mathbf{\alpha}_{2} + k_{3}\mathbf{\alpha}_{3} = 0 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 0 \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}

其中系数0，1，0不全为零

由于存在不全为零的常数使等式成立，因此 { 𝜶 1 , 𝜶 2 , 𝜶 3 } \{\mathbf{\alpha}_{1},\mathbf{\alpha}_{2},\mathbf{\alpha}_{3}\} 线性相关。

例子2：

设4个2维列向量构成的向量组为： 𝜷 1 = ( 1 0 ) , 𝜷 2 = ( 0 1 ) , 𝜷 3 = ( 2 3 ) , 𝜷 4 = ( 5 7 ) \mathbf{\beta}_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},\quad\mathbf{\beta}_{2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix},\quad\mathbf{\beta}_{3} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix},\quad\mathbf{\beta}_{4} = \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \end{pmatrix}

验证线性相关：

2 𝜷 1 + 3 𝜷 2 − 1 𝜷 3 + 0 𝜷 4 = 2 [ 1 0 ] + 3 [ 0 1 ] − 1 [ 2 3 ] + 0 [ 5 7 ] = [ 0 0 ] 2\mathbf{\beta}_{1} + 3\mathbf{\beta}_{2} - 1\mathbf{\beta}_{3} + 0\mathbf{\beta}_{4} = 2\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} - 1\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} + 0\begin{bmatrix} 5 \\ 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} 。

此时 k 1 = 2 , k 2 = 3 , k 3 = − 1 , k 4 = 0 k_{1} = 2,k_{2} = 3,k_{3} = - 1,k_{4} = 0 （不全为零），

由于存在不全为零的常数使等式成立，因此 { 𝜷 1 , 𝜷 2 , 𝜷 3 , 𝜷 4 } \{\mathbf{\beta}_{1},\mathbf{\beta}_{2},\mathbf{\beta}_{3},\mathbf{\beta}_{4}\} 线性相关。

例子3：

设3个3维列向量构成的向量组为： 𝜸 1 = ( 1 1 1 ) , 𝜸 2 = ( 2 0 − 1 ) , 𝜸 3 = ( 4 2 1 ) \mathbf{\gamma}_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},\quad\mathbf{\gamma}_{2} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ - 1 \end{pmatrix},\quad\mathbf{\gamma}_{3} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}

验证线性相关：

2 𝜸 1 + 1 𝜸 2 − 1 𝜸 3 = 2 ( 1 1 1 ) + 1 ( 2 0 − 1 ) − ( 4 2 1 ) = ( 0 0 0 ) 2\mathbf{\gamma}_{1} + 1\mathbf{\gamma}_{2} - 1\mathbf{\gamma}_{3} = 2\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ - 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} ，

其中系数 2 , 1 , − 1 2,1, - 1 不全为零，因此 { 𝜸 1 , 𝜸 2 , 𝜸 3 } \{\mathbf{\gamma}_{1},\mathbf{\gamma}_{2},\mathbf{\gamma}_{3}\} 线性相关。

线性无关举例：

例子1：向量组: 𝒗 1 = [ 1 0 0 ] , 𝒗 2 = [ 0 1 0 ] , 𝒗 3 = [ 0 0 1 ] \mathbf{v}_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix},\quad\mathbf{v}_{2} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},\quad\mathbf{v}_{3} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}

验证: c 1 𝒗 1 + c 2 𝒗 2 + c 3 𝒗 3 = c 1 [ 1 0 0 ] + c 2 [ 0 1 0 ] + c 3 [ 0 0 1 ] = [ c 1 c 2 c 3 ] = [ 0 0 0 ] c_{1}\mathbf{v}_{1} + c_{2}\mathbf{v}_{2} + c_{3}\mathbf{v}_{3} = c_{1}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + c_{2}\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + c_{3}\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}

要使得最终结果为零向量，必须且只能有 c 1 = 0 , c 2 = 0 , c 3 = 0 c_{1} = 0,c_{2} = 0,c_{3} = 0 。

因此，这组向量线性无关。

例子2：向量组: 𝒗 1 = [ 1 2 ] , 𝒗 2 = [ 3 1 ] \mathbf{v}_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix},\quad\mathbf{v}_{2} = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}

验证: c 1 𝒗 1 + c 2 𝒗 2 = 0 • [ 1 2 ] + 0 • [ 3 1 ] = 0 • [ 1 0 ] + 0 • [ 3 − 5 ] = 0 • [ 1 0 ] + 0 • [ 3 1 ] = [ 0 0 ] c_{1}\mathbf{v}_{1} + c_{2}\mathbf{v}_{2} = 0 \bullet \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + 0 \bullet \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix} = \ 0 \bullet \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + 0 \bullet \begin{bmatrix} 3 \\ - 5 \end{bmatrix} = \ 0 \bullet \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + 0 \bullet \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}

要使得最终结果为零向量，必须且只能有 c 1 = 0 , c 2 = 0 c_{1} = 0,c_{2} = 0

因此，这组向量线性无关。

对于只含一个向量a的向量组

当a=0时是线性相关的 , 当a≠0时是线性无关的

对于含两个向量a1 , a2的向量组

它线性相关的充分必要条件是a1 , a2的分量对应成比例

其几何意义是两向量共线

三个向量线性相关的几何意义是三向量共面

向量组A: a1 , a2 , ⋯ , am(m>2)线性相关

就是在向量组A中至少有一个向量能由其余m-1个向量线性表示

这是因为如果向量组A线性相关,

则有不全为0的数k1 , k2 , ⋯ , km使k1a1+k2a2+⋯+kmam=0

因k1 , k2 , ⋯ , km不全为0 , 不妨设k1≠0

于是便有a1= − 1 k 1 \frac{- 1}{k_{1}} (k2a2+⋯+kmam) , 即a1能由a2 , ⋯ , am线性表示

如果向量组A中有某个向量能由其余m-1个向量线性表示,

不妨设am由a1 , ⋯ , am-1线性表示,

即有λ1 , ⋯ , λm-1使am=λ1a1 + ⋯ + λm-1am-1

于是λ1a1 + ⋯ + λm-1am-1+(-1)am=0

因为λ1 , ⋯ , λm-1 , -1这m个数不全为0(至少-1≠0) ,

所以向量组A线性相关

向量组的线性相关与线性无关的概念也可移用于线性方程组.

当方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时 , 这个方程就是多余的

这时称方程组(各个方程)是线性相关的

当方程组中没有多余方程 , 就称该方程组(各个方程)线性无关(或线性独立)

显然 , 方程组Ax=b线性相关的充分必要条件是

矩阵B=(A , b)的行向量组线性相关

向量组A: a1 , a2 , ⋯ , am构成矩阵A=(a1 , a2 , ⋯ , am)

向量组A线性相关 , 就是齐次线性方程组x1a1 + x2a2 + ⋯ + xmam=0

即 Ax=0有非零解

定理4 向量组A: a1 , a2 , ⋯ , am线性相关的充分必要条件是

向量组所构成的矩阵A=(a1 , a2 , ⋯ , am)的秩小于向量个数m

向量组A: a1 , a2 , ⋯ , am线性无关的充分必要条件是

向量组所构成的矩阵A=(a1 , a2 , ⋯ , am)的秩等于向量个数m

例：线性相关的向量组 𝒂 1 = [ 1 2 3 ] , 𝒂 2 = [ 4 5 6 ] , 𝒂 3 = [ 7 8 9 ] \mathbf{a}_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix},\quad\mathbf{a}_{2} = \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{bmatrix},\quad\mathbf{a}_{3} = \begin{bmatrix} 7 \\ 8 \\ 9 \end{bmatrix}

步骤：

1.构造矩阵 A = ( 𝒂 1 , 𝒂 2 , 𝒂 3 ) A = (\mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2},\mathbf{a}_{3}) ： A = [ 1 4 7 2 5 8 3 6 9 ] A = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}

2.求矩阵 A A 的秩：

进行行初等变换： [ 1 4 7 2 5 8 3 6 9 ] → R 2 − 2 R 1 , R 3 − 3 R 1 [ 1 4 7 0 − 3 − 6 0 − 6 − 12 ] → R 3 − 2 R 2 [ 1 4 7 0 − 3 − 6 0 0 0 ] \begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}\overset{R_{2} - 2R_{1},R_{3} - 3R_{1}}{\rightarrow}\begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 0 & - 3 & - 6 \\ 0 & - 6 & - 12 \end{bmatrix}\overset{R_{3} - 2R_{2}}{\rightarrow}\begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 0 & - 3 & - 6 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

非零行有2行，所以 r a n k ( A ) = 2 rank(A) = 2 。

3.向量个数 m = 3 m = 3 ，且 r a n k ( A ) = 2 < 3 rank(A) = 2 < 3 。

4.因此向量组线性相关。

例：线性无关的向量组 𝒂 1 = [ 1 1 0 ] , 𝒂 2 = [ 0 1 1 ] , 𝒂 3 = [ 1 0 1 ] \mathbf{a}_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},\quad\mathbf{a}_{2} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix},\quad\mathbf{a}_{3} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}

步骤：1.构造矩阵 A = ( 𝒂 1 , 𝒂 2 , 𝒂 3 ) A = (\mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2},\mathbf{a}_{3}) ： A = [ 1 0 1 1 1 0 0 1 1 ] A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}

2.求矩阵 A A 的秩：

进行行初等变换： [ 1 0 1 1 1 0 0 1 1 ] → R 2 − R 1 [ 1 0 1 0 1 − 1 0 1 1 ] → R 3 − R 2 [ 1 0 1 0 1 − 1 0 0 2 ] \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}\overset{R_{2} - R_{1}}{\rightarrow}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}\overset{R_{3} - R_{2}}{\rightarrow}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}

非零行有3行，所以 R ( A ) = 3 R(A) = 3 。

3.向量个数 m = 3 m = 3 ，且 R ( A ) = 3 = m R(A) = 3 = m 。

4.因此向量组线性无关。

例4试讨论n维单位坐标向量组的线性相关性

解:

一、明确基本概念

n维单位坐标向量组是由n个特殊的n维列向量构成的向量组，记为 { 𝜺 1 , 𝜺 2 , … , 𝜺 n } \{\mathbf{\varepsilon}_{1},\mathbf{\varepsilon}_{2},\ldots,\mathbf{\varepsilon}_{n}\} ，

其中每个向量的特点是：第i个分量为1，其余分量均为0（i=1,2,...,n）。

具体形式如下： 𝜺 1 = ( 1 0 0 ⋮ 0 ) , 𝜺 2 = ( 0 1 0 ⋮ 0 ) , … , 𝜺 n = ( 0 0 0 ⋮ 1 ) \mathbf{\varepsilon}_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix},\quad\mathbf{\varepsilon}_{2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix},\quad\ldots,\quad\mathbf{\varepsilon}_{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix}

二、推导n维单位坐标向量组的线性相关性

要判断 { 𝜺 1 , 𝜺 2 , … , 𝜺 n } \{\mathbf{\varepsilon}_{1},\mathbf{\varepsilon}_{2},\ldots,\mathbf{\varepsilon}_{n}\} 的线性相关性，需分析其线性组合等于零向量的系数情况：

步骤1：

构造线性组合等式设存在常数 k 1 , k 2 , … , k n k_{1},k_{2},\ldots,k_{n} ，使得： k 1 𝜺 1 + k 2 𝜺 2 + … + k n 𝜺 n = 𝟎 k_{1}\mathbf{\varepsilon}_{1} + k_{2}\mathbf{\varepsilon}_{2} + \ldots + k_{n}\mathbf{\varepsilon}_{n} = \mathbf{0}

步骤2：

将单位坐标向量代入并计算左边： k 1 ( 1 0 ⋮ 0 ) + k 2 ( 0 1 ⋮ 0 ) + … + k n ( 0 0 ⋮ 1 ) = ( k 1 k 2 ⋮ k n ) k_{1}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + k_{2}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + \ldots + k_{n}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k_{1} \\ k_{2} \\ \vdots \\ k_{n} \end{pmatrix}

步骤3：

等式 k 1 𝜺 1 + k 2 𝜺 2 + … + k n 𝜺 n = 𝟎 k_{1}\mathbf{\varepsilon}_{1} + k_{2}\mathbf{\varepsilon}_{2} + \ldots + k_{n}\mathbf{\varepsilon}_{n} = \mathbf{0} 右边是n维零向量 𝟎 = ( 0 0 ⋮ 0 ) \mathbf{0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} ，

因此向量相等意味着对应分量均相等： { k 1 = 0 k 2 = 0 ⋮ k n = 0 \left\{ \begin{matrix} k_{1} = 0 \\ k_{2} = 0 \\ \vdots \\ k_{n} = 0 \end{matrix} \right.\

步骤4：

上述推导表明：仅当所有系数 k 1 = k 2 = … = k n = 0 k_{1} = k_{2} = \ldots = k_{n} = 0 时，

线性组合才等于零向量，故知此向量组是线性无关的

。

例5已知a1= [ 1 1 1 ] \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} , a2= [ 0 2 5 ] \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 5 \end{bmatrix} , a3= [ 2 4 7 ] \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 7 \end{bmatrix}

试讨论向量组a1 , a2 , a3及向量组a1 , a2的线性相关性

解: 对矩阵(a1 , a2 , a3)施行初等行变换变成行阶梯形矩阵

即可同时看出矩阵(a1 , a2 , a3)及(a1 , a2)的秩 ,

(a1 , a2 , a3)= [ 1 1 1 0 2 5 2 4 7 ] ⇒ r 2 − r 1 r 3 − r 1 [ 1 0 0 0 2 5 2 2 5 ] ⇒ r 3 − 5 2 r 2 [ 1 0 0 0 2 0 2 2 0 ] \left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 5 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 7 \end{matrix} \right\rbrack\overset{\begin{matrix} r_{2} - r_{1} \\ r_{3} - r_{1} \end{matrix}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 5 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{matrix} \right\rbrack\overset{r_{3} - \frac{5}{2}r_{2}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix} \right\rbrack

R(a1 , a2 , a3)=2 , 小于向量个数3，故向量组a1 , a2 , a3线性相关

R(a1 , a2)=2 , 等于向量个数2，故向量组a1 , a2线性无关

例6已知向量组a1 , a2 , a3线性无关 , b1=a1+ a2 , b2 = a2 + a3 , b3 = a3 + a1

试证向量组b1 , b2 , b3线性无关

方法一：利用定义（直接法）

设存在标量 k 1 , k 2 , k 3 k_{1},k_{2},k_{3} 使得： k 1 𝒃 1 + k 2 𝒃 2 + k 3 𝒃 3 = 𝟎 k_{1}\mathbf{b}_{1} + k_{2}\mathbf{b}_{2} + k_{3}\mathbf{b}_{3} = \mathbf{0}

把 𝒃 1 , 𝒃 2 , 𝒃 3 \mathbf{b}_{1},\mathbf{b}_{2},\mathbf{b}_{3} 代入得： k 1 ( 𝒂 1 + 𝒂 2 ) + k 2 ( 𝒂 2 + 𝒂 3 ) + k 3 ( 𝒂 3 + 𝒂 1 ) = 𝟎 k_{1}(\mathbf{a}_{1} + \mathbf{a}_{2}) + k_{2}(\mathbf{a}_{2} + \mathbf{a}_{3}) + k_{3}(\mathbf{a}_{3} + \mathbf{a}_{1}) = \mathbf{0}

整理得： ( k 1 + k 3 ) 𝒂 1 + ( k 1 + k 2 ) 𝒂 2 + ( k 2 + k 3 ) 𝒂 3 = 𝟎 (k_{1} + k_{3})\mathbf{a}_{1} + (k_{1} + k_{2})\mathbf{a}_{2} + (k_{2} + k_{3})\mathbf{a}_{3} = \mathbf{0}

因为 𝒂 1 , 𝒂 2 , 𝒂 3 \mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2},\mathbf{a}_{3} 线性无关，所以系数必须全为零： { k 1 + k 3 = 0 k 1 + k 2 = 0 k 2 + k 3 = 0 \left\{ \begin{matrix} k_{1} + k_{3} = 0 \\ k_{1} + k_{2} = 0 \\ k_{2} + k_{3} = 0 \end{matrix} \right.\

解这个齐次线性方程组：

由第一式： k 3 = − k 1 k_{3} = - k_{1}

由第二式： k 2 = − k 1 k_{2} = - k_{1} 代入第三式： ( − k 1 ) + ( − k 1 ) = − 2 k 1 = 0 ⇒ k 1 = 0 ( - k_{1}) + ( - k_{1}) = - 2k_{1} = 0 \Rightarrow k_{1} = 0 从而 k 2 = 0 , k 3 = 0 k_{2} = 0,k_{3} = 0 。

所以只有零解，故 𝒃 1 , 𝒃 2 , 𝒃 3 \mathbf{b}_{1},\mathbf{b}_{2},\mathbf{b}_{3} 线性无关。

方法二：矩阵表示（系数矩阵法）

将 𝒃 1 , 𝒃 2 , 𝒃 3 \mathbf{b}_{1},\mathbf{b}_{2},\mathbf{b}_{3} 用 𝒂 1 , 𝒂 2 , 𝒂 3 \mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2},\mathbf{a}_{3} 线性表示： [ 𝒃 1 𝒃 2 𝒃 3 ] = [ 1 1 0 0 1 1 1 0 1 ] [ 𝒂 1 𝒂 2 𝒂 3 ] \begin{bmatrix} \mathbf{b}_{1} \\ \mathbf{b}_{2} \\ \mathbf{b}_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \mathbf{a}_{1} \\ \mathbf{a}_{2} \\ \mathbf{a}_{3} \end{bmatrix}

记变换矩阵 A = [ 1 1 0 0 1 1 1 0 1 ] A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} 。

要证 𝒃 1 , 𝒃 2 , 𝒃 3 \mathbf{b}_{1},\mathbf{b}_{2},\mathbf{b}_{3} 线性无关，等价于证明矩阵 A A 可逆（因为 𝒂 1 , 𝒂 2 , 𝒂 3 \mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2},\mathbf{a}_{3} 线性无关）。

计算 A A 的行列式： d e t ( A ) = | 1 1 0 0 1 1 1 0 1 | = 2 ≠ 0 det(A) = \left| \begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix} \right| = 2 \neq 0

所以 A A 可逆，故 𝒃 1 , 𝒃 2 , 𝒃 3 \mathbf{b}_{1},\mathbf{b}_{2},\mathbf{b}_{3} 线性无关。

方法三：秩的判定

由于 𝒃 1 , 𝒃 2 , 𝒃 3 \mathbf{b}_{1},\mathbf{b}_{2},\mathbf{b}_{3} 可由 𝒂 1 , 𝒂 2 , 𝒂 3 \mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2},\mathbf{a}_{3} 线性表示，

且表示矩阵 A = [ 1 1 0 0 1 1 1 0 1 ] A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} 满秩（因为行列式不为零），

所以 𝒃 1 , 𝒃 2 , 𝒃 3 \mathbf{b}_{1},\mathbf{b}_{2},\mathbf{b}_{3} 的秩为3，故线性无关。

定理5

(1.1)若向量组A: a1 , ⋯ , am线性相关 , 则向量组B: a1 , ⋯ , am , am+1也线性相关

证明： 因为向量组 A A 线性相关，所以存在一组不全为零的标量 k 1 , k 2 , ⋯ , k m k_{1},k_{2},\cdots,k_{m} ，

使得等式 k 1 𝒂 1 + k 2 𝒂 2 + ⋯ + k m 𝒂 m = 𝟎 k_{1}\mathbf{a}_{1} + k_{2}\mathbf{a}_{2} + \cdots + k_{m}\mathbf{a}_{m} = \mathbf{0} 成立

现在考虑向量组 B B ，构造一组标量 k 1 , k 2 , ⋯ , k m , k m + 1 k_{1},k_{2},\cdots,k_{m},k_{m + 1} ，其中令 k m + 1 = 0 k_{m + 1} = 0 。

则： k 1 𝒂 1 + k 2 𝒂 2 + ⋯ + k m 𝒂 m + k m + 1 𝒂 m + 1 = 𝟎 k_{1}\mathbf{a}_{1} + k_{2}\mathbf{a}_{2} + \cdots + k_{m}\mathbf{a}_{m} + k_{m + 1}\mathbf{a}_{m + 1} = \mathbf{0}

由于 k 1 , k 2 , ⋯ , k m k_{1},k_{2},\cdots,k_{m} 不全为零（因为 A A 线性相关），且 k m + 1 = 0 k_{m + 1} = 0 ，

因此 k 1 , k 2 , ⋯ , k m , k m + 1 k_{1},k_{2},\cdots,k_{m},k_{m + 1} 也不全为零（至少前 m m 个中有一个不为零）。

这就说明存在一组不全为零的标量使得 B B 的线性组合为零向量，

故向量组 B B 线性相关。

即在一个线性相关的向量组中添加任意多个向量，新向量组仍然线性相关。

直观理解：原向量组 A A 已经存在“冗余”

（即至少有一个向量可由其他向量线性表示），

添加新向量 𝒂 m + 1 \mathbf{a}_{m + 1} 后，这种冗余性并未消失，

因此新向量组 B B 仍然是线性相关的。

(1.2)若向量组A: a1 , ⋯ , am , am+1线性无关 , 则向量组B: a1 , ⋯ , am也线性无关

证明：

假设向量组 B B 是线性相关的。

那么存在一组不全为零的标量 c 1 , c 2 , … , c m c_{1},c_{2},\ldots,c_{m} ，使得 c 1 𝒂 1 + c 2 𝒂 2 + … + c m 𝒂 m = 𝟎 . c_{1}\mathbf{a}_{1} + c_{2}\mathbf{a}_{2} + \ldots + c_{m}\mathbf{a}_{m} = \mathbf{0}.

现在考虑向量组 A A ，我们可以写出： c 1 𝒂 1 + c 2 𝒂 2 + … + c m 𝒂 m + 0 ⋅ 𝒂 m + 1 = 𝟎 . c_{1}\mathbf{a}_{1} + c_{2}\mathbf{a}_{2} + \ldots + c_{m}\mathbf{a}_{m} + 0 \cdot \mathbf{a}_{m + 1} = \mathbf{0}.

这里，系数 c 1 , c 2 , … , c m , 0 c_{1},c_{2},\ldots,c_{m},0 不全为零（因为至少有一个 c i ≠ 0 c_{i} \neq 0 ）。

但这意味着向量组 A A 是线性相关的，

因为存在一组不全为零的系数使得它们的线性组合为零向量。

这与已知条件（ A A 线性无关）矛盾。

因此，我们的假设（ B B 线性相关）是错误的。故向量组 B B 必须线性无关。

结论： 若向量组 A A 线性无关，则其任意部分组（特别是 B B ）也线性无关。

(2)m个n维向量组成的向量组

当维数n小于向量个数m时一定线性相关

特别地n+1个n维向量一定线性相关

证明：

设这些向量为 𝒗 1 , 𝒗 2 , … , 𝒗 m ∈ ℝ n \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\ldots,\mathbf{v}_{m} \in \mathbb{R}^{n} （或任意域上的向量空间），且 n < m n < m 。

考虑这些向量作为列向量构成的 n × m n \times m 矩阵： A = [ 𝒗 1 𝒗 2 ⋯ 𝒗 m ] A = \begin{bmatrix} \mathbf{v}_{1} & \mathbf{v}_{2} & \cdots & \mathbf{v}_{m} \end{bmatrix}

矩阵 A A 有 m m 列（向量个数）和 n n 行（维数），且 n < m n < m 。

矩阵 A A 的秩（rank）满足： r a n k ( A ) ≤ m i n ( n , m ) = n rank(A) \leq min(n,m) = n

因为秩最多为行数 n n ，而 n < m n < m ，所以秩最多为 n n ，但列数 m m 大于 n n 。

线性相关的定义是：

存在不全为零的标量 c 1 , c 2 , … , c m c_{1},c_{2},\ldots,c_{m} ，使得 c 1 𝒗 1 + c 2 𝒗 2 + ⋯ + c m 𝒗 m = 𝟎 c_{1}\mathbf{v}_{1} + c_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + c_{m}\mathbf{v}_{m} = \mathbf{0}

这等价于齐次线性方程组 A 𝒄 = 𝟎 A\mathbf{c} = \mathbf{0} 有非零解，其中 𝒄 = ( c 1 , c 2 , … , c m ) T \mathbf{c} = (c_{1},c_{2},\ldots,c_{m})^{T} 。

方程组 A 𝒄 = 𝟎 A\mathbf{c} = \mathbf{0} 是一个有 n n 个方程、 m m 个未知数的齐次线性方程组。

因为未知数的个数 m m 大于方程的个数 n n （即 m > n m > n ），

所以方程组有自由变量（自由度的个数至少为 m − n > 0 m - n > 0 ），因此存在非零解 𝒄 ≠ 𝟎 \mathbf{c} \neq \mathbf{0} 。

这就意味着向量组 { 𝒗 1 , … , 𝒗 m } \{\mathbf{v}_{1},\ldots,\mathbf{v}_{m}\} 线性相关。

特别地，当 m = n + 1 m = n + 1 时：

此时 n < n + 1 n < n + 1 ，所以由上述证明， n + 1 n + 1 个 n n 维向量一定线性相关。

(3)设向量组A:a1 , a2 , ⋯ , am线性无关 , 而向量组B: a1 , ⋯ , am , b线性相关

则向量b必能由向量组A线性表示 , 且表示式是惟一的

证明：

1.线性相关性的定义：

由于向量组 B B 线性相关，存在不全为零的标量 c 1 , c 2 , ⋯ , c m , c m + 1 c_{1},c_{2},\cdots,c_{m},c_{m + 1} ，

使得： c 1 𝒂 1 + c 2 𝒂 2 + ⋯ + c m 𝒂 m + c m + 1 𝒃 = 𝟎 . c_{1}\mathbf{a}_{1} + c_{2}\mathbf{a}_{2} + \cdots + c_{m}\mathbf{a}_{m} + c_{m + 1}\mathbf{b} = \mathbf{0}.

这里， c 1 , c 2 , ⋯ , c m , c m + 1 c_{1},c_{2},\cdots,c_{m},c_{m + 1} 不全为零。

2.分析系数 c m + 1 c_{m + 1} ：

如果 c m + 1 = 0 c_{m + 1} = 0 ，则上式变为： c 1 𝒂 1 + c 2 𝒂 2 + ⋯ + c m 𝒂 m = 𝟎 . c_{1}\mathbf{a}_{1} + c_{2}\mathbf{a}_{2} + \cdots + c_{m}\mathbf{a}_{m} = \mathbf{0}.

由于 𝒂 1 , 𝒂 2 , ⋯ , 𝒂 m \mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2},\cdots,\mathbf{a}_{m} 线性无关，所有系数必须为零，即 c 1 = c 2 = ⋯ = c m = 0 c_{1} = c_{2} = \cdots = c_{m} = 0 。

但这样所有系数 c 1 , ⋯ , c m , c m + 1 c_{1},\cdots,c_{m},c_{m + 1} 全为零，与线性相关矛盾。

因此， c m + 1 ≠ 0 c_{m + 1} \neq 0 。

3.解出 𝒃 \mathbf{b} ：

由： c 1 𝒂 1 + c 2 𝒂 2 + ⋯ + c m 𝒂 m + c m + 1 𝒃 = 𝟎 , c_{1}\mathbf{a}_{1} + c_{2}\mathbf{a}_{2} + \cdots + c_{m}\mathbf{a}_{m} + c_{m + 1}\mathbf{b} = \mathbf{0},

因为 c m + 1 ≠ 0 c_{m + 1} \neq 0 ，可解出： 𝒃 = − c 1 c m + 1 𝒂 1 − c 2 c m + 1 𝒂 2 − ⋯ − c m c m + 1 𝒂 m . \mathbf{b} = - \frac{c_{1}}{c_{m + 1}}\mathbf{a}_{1} - \frac{c_{2}}{c_{m + 1}}\mathbf{a}_{2} - \cdots - \frac{c_{m}}{c_{m + 1}}\mathbf{a}_{m}.

令 k i = − c i c m + 1 k_{i} = - \frac{c_{i}}{c_{m + 1}} （ i = 1 , 2 , ⋯ , m i = 1,2,\cdots,m )，则： 𝒃 = k 1 𝒂 1 + k 2 𝒂 2 + ⋯ + k m 𝒂 m . \mathbf{b} = k_{1}\mathbf{a}_{1} + k_{2}\mathbf{a}_{2} + \cdots + k_{m}\mathbf{a}_{m}.

这表明 𝒃 \mathbf{b} 可由向量组 A A 线性表示。

4.证明表示式唯一：假设存在两种表示：

𝒃 = k 1 𝒂 1 + k 2 𝒂 2 + ⋯ + k m 𝒂 m , \mathbf{b} = k_{1}\mathbf{a}_{1} + k_{2}\mathbf{a}_{2} + \cdots + k_{m}\mathbf{a}_{m},

𝒃 = l 1 𝒂 1 + l 2 𝒂 2 + ⋯ + l m 𝒂 m . \mathbf{b} = l_{1}\mathbf{a}_{1} + l_{2}\mathbf{a}_{2} + \cdots + l_{m}\mathbf{a}_{m}.

两式相减得： ( k 1 − l 1 ) 𝒂 1 + ( k 2 − l 2 ) 𝒂 2 + ⋯ + ( k m − l m ) 𝒂 m = 𝟎 . (k_{1} - l_{1})\mathbf{a}_{1} + (k_{2} - l_{2})\mathbf{a}_{2} + \cdots + (k_{m} - l_{m})\mathbf{a}_{m} = \mathbf{0}.

由于 𝒂 1 , 𝒂 2 , ⋯ , 𝒂 m \mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2},\cdots,\mathbf{a}_{m} 线性无关，所有系数必须为零：

k 1 − l 1 = 0 , k 2 − l 2 = 0 , ⋯ , k m − l m = 0 . k_{1} - l_{1} = 0,\quad k_{2} - l_{2} = 0,\quad\cdots,\quad k_{m} - l_{m} = 0.

即 k i = l i k_{i} = l_{i} （ i = 1 , 2 , ⋯ , m i = 1,2,\cdots,m )，所以表示式唯一。

结论：向量 𝒃 \mathbf{b} 必能由向量组 A A 线性表示，且表示式是唯一的。

例7设向量组a1 , a2 , a3线性相关 , 向量组a2 , a3 , a4线性无关 , 试证明:

(1)a1能由a2 , a3线性表示，(2)a4不能由a1 , a2 , a3线性表示

(1)证明：

1. 由于 𝒂 2 , 𝒂 3 , 𝒂 4 \mathbf{a}_{2},\mathbf{a}_{3},\mathbf{a}_{4} 线性无关，根据线性无关的定义，其中任意部分向量组也线性无关。特别地， 𝒂 2 , 𝒂 3 \mathbf{a}_{2},\mathbf{a}_{3} 线性无关

2. 又因为 𝒂 1 , 𝒂 2 , 𝒂 3 \mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2},\mathbf{a}_{3} 线性相关，所以存在不全为零的标量 c 1 , c 2 , c 3 c_{1},c_{2},c_{3}

使得： c 1 𝒂 1 + c 2 𝒂 2 + c 3 𝒂 3 = 𝟎 . c_{1}\mathbf{a}_{1} + c_{2}\mathbf{a}_{2} + c_{3}\mathbf{a}_{3} = \mathbf{0}.

因为 𝒂 2 , 𝒂 3 \mathbf{a}_{2},\mathbf{a}_{3} 线性无关,所以 c 2 , c 3 c_{2},c_{3} 全为零 c 1 ≠ 0 c_{1} \neq 0 。

3. 于是由 c 1 𝒂 1 + c 2 𝒂 2 + c 3 𝒂 3 = 𝟎 c_{1}\mathbf{a}_{1} + c_{2}\mathbf{a}_{2} + c_{3}\mathbf{a}_{3} = \mathbf{0} 可得： 𝒂 1 = − c 2 c 1 𝒂 2 − c 3 c 1 𝒂 3 . \mathbf{a}_{1} = - \frac{c_{2}}{c_{1}}\mathbf{a}_{2} - \frac{c_{3}}{c_{1}}\mathbf{a}_{3}.

即 𝒂 1 \mathbf{a}_{1} 可由 𝒂 2 , 𝒂 3 \mathbf{a}_{2},\mathbf{a}_{3} 线性表示。

(2)

解题思路

要证明 𝒂 4 \mathbf{a}_{4} 不能由 𝒂 1 , 𝒂 2 , 𝒂 3 \mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2},\mathbf{a}_{3} 线性表示，可以采用反证法。

即假设 𝒂 4 \mathbf{a}_{4} 可以由 𝒂 1 , 𝒂 2 , 𝒂 3 \mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2},\mathbf{a}_{3} 线性表示，然后推导出与已知条件矛盾的结论，

从而证明假设不成立。

详细证明

1.已知条件：

𝒂 1 , 𝒂 2 , 𝒂 3 \mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2},\mathbf{a}_{3} 线性相关。 𝒂 2 , 𝒂 3 , 𝒂 4 \mathbf{a}_{2},\mathbf{a}_{3},\mathbf{a}_{4} 线性无关。

2.假设：

假设 𝒂 4 \mathbf{a}_{4} 可以由 𝒂 1 , 𝒂 2 , 𝒂 3 \mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2},\mathbf{a}_{3} 线性表示，

即存在标量 k 1 , k 2 , k 3 k_{1},k_{2},k_{3} ，使得： 𝒂 4 = k 1 𝒂 1 + k 2 𝒂 2 + k 3 𝒂 3 \mathbf{a}_{4} = k_{1}\mathbf{a}_{1} + k_{2}\mathbf{a}_{2} + k_{3}\mathbf{a}_{3}

3.利用 𝒂 1 , 𝒂 2 , 𝒂 3 \mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2},\mathbf{a}_{3} 线性相关：

因为 𝒂 1 , 𝒂 2 , 𝒂 3 \mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2},\mathbf{a}_{3} 线性相关，

所以存在不全为零的标量 h 1 , h 2 , h 3 h_{1},h_{2},h_{3} ，使得： h 1 𝒂 1 + h 2 𝒂 2 + h 3 𝒂 3 = 𝟎 h_{1}\mathbf{a}_{1} + h_{2}\mathbf{a}_{2} + h_{3}\mathbf{a}_{3} = \mathbf{0}

不妨设 h 1 ≠ 0 h_{1} \neq 0 。

4.表达 𝒂 1 \mathbf{a}_{1} ：

从 h 1 𝒂 1 + h 2 𝒂 2 + h 3 𝒂 3 = 𝟎 h_{1}\mathbf{a}_{1} + h_{2}\mathbf{a}_{2} + h_{3}\mathbf{a}_{3} = \mathbf{0} ，可以解出： 𝒂 1 = − h 2 h 1 𝒂 2 − h 3 h 1 𝒂 3 \mathbf{a}_{1} = - \frac{h_{2}}{h_{1}}\mathbf{a}_{2} - \frac{h_{3}}{h_{1}}\mathbf{a}_{3}

5.将 𝒂 1 \mathbf{a}_{1} 代入 𝒂 4 \mathbf{a}_{4} 的表达式：

将 𝒂 1 \mathbf{a}_{1} 的表达式代入 𝒂 4 = k 1 𝒂 1 + k 2 𝒂 2 + k 3 𝒂 3 \mathbf{a}_{4} = k_{1}\mathbf{a}_{1} + k_{2}\mathbf{a}_{2} + k_{3}\mathbf{a}_{3} ：

𝒂 4 = k 1 ( − h 2 h 1 𝒂 2 − h 3 h 1 𝒂 3 ) + k 2 𝒂 2 + k 3 𝒂 3 \mathbf{a}_{4} = k_{1}\left( - \frac{h_{2}}{h_{1}}\mathbf{a}_{2} - \frac{h_{3}}{h_{1}}\mathbf{a}_{3} \right) + k_{2}\mathbf{a}_{2} + k_{3}\mathbf{a}_{3}

𝒂 4 = ( k 2 − k 1 h 2 h 1 ) 𝒂 2 + ( k 3 − k 1 h 3 h 1 ) 𝒂 3 \mathbf{a}_{4} = \left( k_{2} - \frac{k_{1}h_{2}}{h_{1}} \right)\mathbf{a}_{2} + \left( k_{3} - \frac{k_{1}h_{3}}{h_{1}} \right)\mathbf{a}_{3}

这表明 𝒂 4 \mathbf{a}_{4} 可以由 𝒂 2 \mathbf{a}_{2} 和 𝒂 3 \mathbf{a}_{3} 线性表示。

6.与 𝒂 2 , 𝒂 3 , 𝒂 4 \mathbf{a}_{2},\mathbf{a}_{3},\mathbf{a}_{4} 线性无关矛盾：

如果 𝒂 4 \mathbf{a}_{4} 可以由 𝒂 2 \mathbf{a}_{2} 和 𝒂 3 \mathbf{a}_{3} 线性表示，那么 𝒂 2 , 𝒂 3 , 𝒂 4 \mathbf{a}_{2},\mathbf{a}_{3},\mathbf{a}_{4} 是线性相关的（因为 𝒂 4 \mathbf{a}_{4} 是 𝒂 2 \mathbf{a}_{2} 和 𝒂 3 \mathbf{a}_{3} 的线性组合）。

但已知 𝒂 2 , 𝒂 3 , 𝒂 4 \mathbf{a}_{2},\mathbf{a}_{3},\mathbf{a}_{4} 线性无关，矛盾。

7.结论：

因此，假设 𝒂 4 \mathbf{a}_{4} 可以由 𝒂 1 , 𝒂 2 , 𝒂 3 \mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2},\mathbf{a}_{3} 线性表示不成立。

故 𝒂 4 \mathbf{a}_{4} 不能由 𝒂 1 , 𝒂 2 , 𝒂 3 \mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2},\mathbf{a}_{3} 线性表示。