定义1 n个有次序的数a₁ , a₂ , ⋯ , a_n所组成的数组称为n维向量

这n个数称为该向量的n个分量 , 第i个数a_i称为第i个分量

分量全为实数的向量称为实向量 , 分量为复数的向量称为复向量

n维向量可写成一行 , 也可写成一列，分别称为行向量和列向量 。

如果行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算，

那么n维列向量a=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ a_{n} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$与n维行向量a^T=(a₁ , a₂ , ⋯ , a₂)是两个不同的向量

(如果按定义1 , 那么a与a^T是同一个向量)

列向量约定用黑体小写字母a , b , α , β等表示

行向量约定用a^T , b^T , α^T , β^T等表示

在解析几何中 , 我们把“既有大小又有方向的量”叫做向量

并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象

在引进坐标系以后 , 这种向量就有了坐标表示式(三个有次序的实数)

也就是本书中的3维向量

因此 , 当n⩽3时 , n维向量可以把有向线段作为几何形象

但当n>3时 , n维向量就不再有这种几何形象 , 只是沿用一些几何术语罢了

几何中 , “空间”通常是作为点的集合 , 即构成“空间”的元素是点,

这样的空间叫做点空间

我们把3维向量的全体所组成的集合R³={r=$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$ | x , y , z∈R}

叫做3维向量空间,

在点空间取定坐标系以后,

空间中的点P(x , y , z)与3维向量r=$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$之间有一一对应的关系

因此 , 向量空间可以类比为取定了坐标系的点空间

在讨论向量的运算时 , 我们把向量看作有向线段;

在讨论向量集时则把向量r看作以r为向径的点P

从而把点P的轨迹作为向量集的图形

例如点集Π={P(x , y , z) | ax+by+cz=d}是一个平面(a , b , c不全为0)

于是向量集{r=(x , y , z)^T | ax+by+cz=d}也叫做向量空间R³中的平面

并把Π作为它的图形

类似地,

n维向量的全体所组成的集合

Rⁿ={x=(x₁ , x₂ , ⋯ , x_n)^T | x₁ , x₂ , ⋯ , x_n ∈R}叫做n维向量空间

n维向量的集合{x=(x₁ , x₂ , ⋯ , x_n)^T | a₁x₁ +a₂ x₂ + ⋯ a_nx_n =b}

叫做n维向量空间Rⁿ中的n-1维超平面

若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组.

例如一个m×n矩阵的全体列向量是一个含n个m维列向量的向量组,

它的全体行向量是一个含m个n维行向量的向量组.

又如当R(A)<n时

线性方程A_m×nx=0的全体解是一个含无限多个n维列向量的向量组

下面我们先讨论只含有限个向量的向量组

以后再把讨论的结果推广到含无限多个向量的向量组

矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个向量的向量组

反之 , 一个含有限个向量的向量组总可以构成一个矩阵

例如m个n维列向量所组成的向量组A: a₁ , a₂ , ⋯ , a_m

构成一个n×m矩阵A=(a₁ , a₂ , ⋯ , a_m)

m个n维行向量所组成的向量组B: $\beta_{1}^{T}$ , $\beta_{2}^{T}$ , ⋯ , $\beta_{m}^{T}$

构成一个m×n矩阵B=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} \beta_{1}^{T} \\ \beta_{2}^{T} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ \beta_{m}^{T} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$

总之 , 含有限个向量的有序向量组可以与矩阵一一对应

定义2 给定向量组A: a₁ , a₂ , ⋯ , a_m , 对于任何一组实数 k₁ , k₂ , ⋯ , k_m

表达式k₁a₁ + k₂a₂ + ⋯ + k_ma_m称为向量组A的一个线性组合

k₁ , k₂ , ⋯ , k_m称为这个线性组合的系数

给定向量组A: a₁ , a₂ , ⋯ , a_m和向量b

如果存在一组数λ₁ , λ₂ , ⋯ , λ_m使b=λ₁a₁ + λ₂a₂ + ⋯ +λ_ma_m

则向量b是向量组A的线性组合

这时称向量b能由向量组A线性表示

向量b能由向量组A线性表示 , 也就是方程组x₁a₁ + x₂a₂ + ⋯ +x_ma_m=b有解

定理1 向量b能由向量组A: a₁ , a₂ , ⋯ , a_m线性表示的充分必要条件是

矩阵A=( a₁ , a₂ , ⋯ , a_m)的秩与矩阵B=( a₁ , a₂ , ⋯ , a_m , b)的秩相等

定义3设有两个向量组A: a₁ , a₂ , ⋯ , a_m及B: b₁ , b₂ , ⋯ , b_l

若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示

则称向量组B能由向量组A线性表示

若向量组A与向量组B能相互线性表示 , 则称这两个向量组等价

把向量组A和B所构成的矩阵依次记作A=(a₁ , a₂ , ⋯ , a_m)和B=(b₁ , b₂ , ⋯ , b_l)

向量组B能由向量组A线性表示,

即对每个向量b_j(j=1 , 2 , ⋯ , l)存在数k_1j , k_2j , ⋯ ,k_mj

使b_j=k_1j a₁+ k_2ja₂ +k_mja_m=(a₁ , a₂ , ⋯ , a_m)$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} k_{1j} \\ k_{2j} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ k_{mj} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$

从而(b₁ , b₂ , ⋯ , b_l)=(a₁ , a₂ , ⋯ , a_m)$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} k_{11} \\ k_{21} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ k_{m1} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} k_{12} \\ k_{22} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ k_{m2} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \cdots \\ \cdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ \cdots \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} k_{1l} \\ k_{2l} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ k_{ml} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$

这里 , 矩阵K_m×l=(k_ij)称为这一线性表示的系数矩阵

由此可知 , 若C_m×n=A_m×lB_l×n

则矩阵C的列向量组能由矩阵A的列向量组线性表示

B为这一表示的系数矩阵:(c₁ , c₂ , ⋯ , c_n)=(a₁ , a₂ , ⋯ , a_l)$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} b_{11} \\ b_{21} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ b_{l1} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} b_{12} \\ b_{22} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ b_{l2} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \cdots \\ \cdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ \cdots \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} b_{1n} \\ b_{2n} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ b_{\ln} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$

同时 , C的行向量组能由B的行向量组线性表示 , A为这一表示的系数矩阵

$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} \gamma_{1}^{T} \\ \gamma_{2}^{T} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ \gamma_{m}^{T} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ a_{m1} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ a_{m2} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \cdots \\ \cdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ \cdots \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{1l} \\ a_{2l} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ a_{ml} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} \beta_{1}^{T} \\ \beta_{2}^{T} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ \beta_{l}^{T} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$

设矩阵A与B行等价 , 即矩阵A经初等行变换变成矩阵B

则B的每个行向量都是A的行向量组的线性组合

即B的行向量组能由A的行向量组线性表示

由于初等变换可逆 , 知矩阵B亦可经初等行变换变为A

从而A的行向量组也能由B的行向量组线性表示

于是A的行向量组与B的行向量组等价

类似可知 , 若矩阵A与B列等价 , 则A的列向量组与B的列向量组等价

向量组的线性组合、线性表示及等价等概念 , 也可移用于线性方程组

对方程组A的各个方程作线性运算所得到的一个方程

就称为方程组A的一个线性组合

若方程组B的每个方程都是方程组A的线性组合

就称方程组B能由方程组A线性表示

这时方程组A的解一定是方程组B的解

若方程组A与方程组B能相互线性表示 , 就称这两个方程组可互推

可互推的线性方程组一定同解

按定义3 , 向量组B: b₁ , b₂ , ⋯ , b_l能由向量组A: a₁ , a₂ , ⋯ , a_m线性表示

其含义是存在矩阵K_m×l , 使(b₁ , ⋯ , b_l)=(a₁ , ⋯ , a_m)K

也就是矩阵方程(a₁ , a₂ , ⋯ , a_m)X=(b₁ , b₂ , ⋯ , b_l)有解

定理2

向量组B: b₁ , b₂ , ⋯ , b_l能由向量组A: a₁ , a₂ , ⋯ , a_m线性表示的充分必要条件是

矩阵A=(a₁ , a₂ , ⋯ , a_m)的秩与矩阵(A , B)=(a₁ , a₂ , ⋯ , a_m , b₁ , b₂ , ⋯ , b_l)的秩相等即R(A)=R(A , B)

推论

向量组A: a₁ , a₂ , ⋯ , a_m与向量组B: b₁ , b₂ , ⋯ , b_l等价的充分必要条件是，

R(A)=R(B)=R(A , B) ,

其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵

证: 因向量组A与向量组B能相互线性表示,

依据定理2 , 知它们等价的充分必要条件是R(A)=R(A , B)且R(B)=R(B , A)

而R(A , B)=R(B , A)合起来即得充分必要条件为R(A)= R(B)=R(A , B)

例1设a₁=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$ , a₂=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$ , a₃=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 4 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$ , b=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$

试证明向量b能由向量组a₁ , a₂ , a₃线性表示 , 并求出表示式

解: 要证明向量$\mathbf{b}$能由向量组$\mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2},\mathbf{a}_{3}$线性表示，

需验证存在一组数$k_{1},k_{2},k_{3}$，使得$\mathbf{b} = k_{1}\mathbf{a}_{1} + k_{2}\mathbf{a}_{2} + k_{3}\mathbf{a}_{3}$。

这等价于求解以$k_{1},k_{2},k_{3}$为未知数的线性方程组，若方程组有解，则表示式存在。

步骤1：构造线性方程组

根据线性表示的定义，将向量代入$\mathbf{b} = k_{1}\mathbf{a}_{1} + k_{2}\mathbf{a}_{2} + k_{3}\mathbf{a}_{3}$，

展开得：$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix} = k_{1}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix} + k_{2}\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix} + k_{3}\begin{bmatrix} 1 \\ - 1 \\ 4 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k_{1} \\ k_{1} \\ 2k_{1} \\ 2k_{1} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} k_{2} \\ 2k_{2} \\ k_{2} \\ 3k_{2} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} k_{3} \\ - k_{3} \\ 4k_{3} \\ 0 \bullet k_{3} \end{bmatrix}$

按分量相等列出方程组：$\left\{ \begin{matrix} k_{1} + k_{2} + k_{3} = 1\quad （第1分量） \\ k_{1} + 2k_{2} - k_{3} = 0\quad （第2分量） \\ 2k_{1} + k_{2} + 4k_{3} = 3\quad （第3分量） \\ 2k_{1} + 3k_{2} + 0 \cdot k_{3} = 1\quad （第4分量） \end{matrix} \right.\$

步骤2：求解方程组（通过增广矩阵行变换）

构造增广矩阵$\widetilde{A} = (\mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2},\mathbf{a}_{3},\mathbf{b})$，

并进行初等行变换化为行最简形：$\widetilde{A} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 & 3 \\ 2 & 3 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

得到行最简形：$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

步骤3：分析解的存在性与表示式

行最简形对应的方程组为：$\left\{ \begin{matrix} k_{1} + 3k_{3} = 2 \\ k_{2} - 2k_{3} = - 1 \end{matrix} \right.\$

得同解方程组$\left\{ \begin{matrix} k_{1} = 2 - 3k_{3} \\ k_{2} = 2k_{3} - 1 \end{matrix} \right.\$

其中$k_{3}$为自由未知数，令$k_{3} = c$（$c$为任意常数），则：$\left\{ \begin{matrix} k_{1} = 2 - 3c \\ k_{2} = - 1 + 2c \\ k_{3} = c \end{matrix} \right.\$

方程组有无限多解，因此$\mathbf{b}$能由$\mathbf{a}_{1},\mathbf{a}_{2},\mathbf{a}_{3}$线性表示，

表示式为：$\mathbf{b} = (2 - 3c)\mathbf{a}_{1} + ( - 1 + 2c)\mathbf{a}_{2} + c\mathbf{a}_{3}\quad(c \in \mathbb{R})$

例2设a₁=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$ , a₂=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$ , b₁=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$ , b₂=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$ , b₃=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 3 \\ - 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$

试证明向量组a₁ , a₂与向量组b₁ , b₂ , b₃等价

证: 记A=(a₁ , a₂) , B=(b₁ , b₂ , b₃) ， 只要证R(A)=R(B)=R(A , B)

为此把矩阵(A , B)化成行阶梯形矩阵

(A , B)=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 3 \\ - 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack\overset{r}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 2 \\ 6 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 1 \\ 3 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 1 \\ 3 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 1 \\ 3 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack\overset{r}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$

因此 , R(A)=R(B)=R(A , B)=2 , 故向量组a₁ , a₂与向量组b₁ , b₂ , b₃等价

定理3设向量组B: b₁ , b₂ , ⋯ , b_l能由向量组A: a₁ , a₂ , ⋯ , a_m线性表示

则R(b₁ , b₂ , ⋯ , b_l)⩽R(a₁ , a₂ , ⋯ , a_m)

证明：

1. 矩阵化 设每个向量均为 $n$ 维列向量。

记$A = \lbrack a_{1}\ a_{2}\ \cdots\ a_{m}\rbrack_{n \times m},\quad B = \lbrack b_{1}\ b_{2}\ \cdots\ b_{l}\rbrack_{n \times l}。$

“$B$ 能由 $A$ 线性表示”等价于：存在矩阵 $K_{m \times l}$，使得$B = AK。$

其中 $K$ 的第 $j$ 列是 $b_{j}$ 关于 $A$ 的线性表示系数。

2. 利用矩阵秩的性质

由矩阵乘积的秩不等式：$R(B) = R(AK) \leq min\{ R(A),R(K)\} \leq R(A)。$

因此$R(B) \leq R(A)。$即$R(b_{1},\ldots,b_{l}) \leq R(a_{1},\ldots,a_{m})。$

因此不等式得证。

举例验证

例 1：秩相等的情形 取$a_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\quad a_{2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}，$

则$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\quad R(A) = 2。$

令$b_{1} = 2a_{1} + 3a_{2} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix},\quad b_{2} = - a_{1} + 4a_{2} = \begin{pmatrix} - 1 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix},\quad b_{3} = a_{1} + a_{2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}。$

于是$B = \begin{pmatrix} 2 & - 1 & 1 \\ 3 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\quad K = \begin{pmatrix} 2 & - 1 & 1 \\ 3 & 4 & 1 \end{pmatrix}，$

且 $B = AK$ 成立。

计算 $B$ 的秩：通过行变换$\begin{pmatrix} 2 & - 1 & 1 \\ 3 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\overset{R_{2} \leftarrow R_{2} - \frac{3}{2}R_{1}}{\rightarrow}\begin{pmatrix} 2 & - 1 & 1 \\ 0 & \frac{11}{2} & - \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}，$

有两行非零，故 $R(B) = 2$。 因此 $R(B) = R(A)$，不等式取等号。

例 2：秩严格小于的情形 取 $a_{1},a_{2}$ 同上，

令$b_{1} = a_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\quad b_{2} = 2a_{1} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}。$

则$B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\quad R(B) = 1 < 2 = R(A)。$

显然 $B$ 可由 $A$ 线性表示，且秩严格小于 $A$ 的秩。

前面我们把定理1与上章定理5对应

把定理2与上章定理6对应

而定理3可与上章定理7对应

事实上 , 按定理3的条件 , 知有矩阵K , 使B=AK

从而根据上章定理7 , 即有R(B)⩽R(A).

上述各定理之间的对应 , 其基础是向量组与矩阵的对应 , 从而有下述对应:

向量组B: b₁ , b₂ , ⋯ , b_l能由向量组A: a₁ , a₂ , ⋯ , a_m线性表示

⟺有矩阵K , 使B=AK

⟺方程AX=B有解

上述对应的三种叙述都可对应到充分必要条件:R(A)=R(A , B)

并都有必要条件: R(A)⩾R(B)

这里 , 第一种可称为几何语言,

后两种以及充分必要条件和必要条件则都是矩阵语言

我们要掌握用矩阵语言表述几何问题,

还要掌握用几何语言来解释矩阵表述的结论

上一章中把线性方程组写成矩阵形式,

通过矩阵的运算求得它的解,

还用矩阵的语言给出了线性方程组有解、有性一解的充分必要条件

本章中将向量组的问题表述成矩阵形式 , 通过矩阵的运算得出结果

然后把矩阵形式的结果“翻译”成几何问题的结论

这种用矩阵来表述问题 , 并通过矩阵的运算解决问题的方法

通常叫做矩阵方法

这正是线性代数的基本方法

例3设n维向量组A: a₁ , a₂ , ⋯ , a_m构成n×m矩阵A=(a₁ , a₂ , ⋯ , a_m)

n价单位矩阵E=(e₁ , e₂ , ⋯ , e_n)的列向量叫做n维单位坐标向量

试证明

n维单位坐标向量组e₁ , e₂ , ⋯ , e_n

能由向量组A线性表示的充分必要条件是R(A)=n

证:

1. 必要性（“能由 A 线性表示 ⇒ $R(A) = n$”）

假设 $e_{1},\ldots,e_{n}$ 能由 $\alpha_{1},\ldots,\alpha_{m}$ 线性表示。

记 $B = E$，则由定理2得：$R(A) = R(A,E).$

矩阵 $(A,E)$ 有 $n$ 行，并且 $E$ 是单位矩阵，它的 $n$ 个列向量 $e_{1},\ldots,e_{n}$ 线性无关，因此：$R(A,E) \geq R(E) = n。$

又因为行数 $= n$，秩不超过 $n$，所以$R(A,E) = n。$

于是$R(A) = R(A,E) = n。$

必要性得证。

2. 充分性（“$R(A) = n$ ⇒ 能由 A 线性表示”）

假设 $R(A) = n$。 考虑矩阵 $(A,E)$，它的行数 $= n$，所以$R(A,E) \leq n。$

又因为 $R(A) = n$，而 $A$ 是 $(A,E)$ 的一部分，所以$R(A,E) \geq R(A) = n。$

从而$R(A,E) = n = R(A)。$

根据定理2，$R(A) = R(A,E)$ 是向量组 $E$ 能由向量组 $A$ 线性表示的充要条件。

因此 $e_{1},\ldots,e_{n}$ 能由 $\alpha_{1},\ldots,\alpha_{m}$ 线性表示。

本例所证结论用矩阵语言可叙述为

对矩阵A_n×m , 存在矩阵K_n×m , 使AK=E_n的充分必要条件是R(A)=n

也可叙述为矩阵方程A_n×mX=E_n有解的充分必要条件是R(A)=n