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例4.6设有n元非齐次方程组Ax=b , 则下列哪个选项正确。

(a)若Ax=0只有零解 , 则Ax=b有惟一解

(b) R(A)=n是Ax=b有惟一解的充要条件

(c)Ax=b有两个不同的解 , 则Ax=0有无限多解

(d) Ax=b有两个不同的解 , 则Ax=0的基础解系中含有两个以上向量

解:

选项(a)：若 A x = 0 Ax = 0 只有零解，则 A x = b Ax = b 有惟一解

A x = 0 Ax = 0 有唯一解的充要条件是 R ( A ) = n R(A) = n （未知数个数）

A x = b Ax = b 有唯一解的充要条件是 R ( A ) = R ( A , b ) = n R(A) = R(A,b) = n

反例：若 R ( A ) = n R(A) = n 但 R ( A , b ) = n + 1 R(A,b) = n + 1

（增广矩阵比系数矩阵多一个线性无关的行），则 A x = b Ax = b 无解。

结论：错误。

选项(b)： R ( A ) = n R(A) = n 是 A x = b Ax = b 有惟一解的充要条件

分析：

A x = b Ax = b 有唯一解的充要条件是 R ( A ) = R ( A , b ) = n R(A) = R(A,b) = n

反例：同选项(a)， R ( A ) = n R(A) = n 但 R ( A , b ) = n + 1 R(A,b) = n + 1 时， A x = b Ax = b 无解。

结论：错误。

选项(c)： A x = b Ax = b 有两个不同的解，则 A x = 0 Ax = 0 有无限多解

分析：设 α 1 , α 2 \alpha_{1},\alpha_{2} 是 A x = b Ax = b 的两个不同解，

则： A ( α 1 − α 2 ) = A α 1 − A α 2 = b − b = 0 A(\alpha_{1} - \alpha_{2}) = A\alpha_{1} - A\alpha_{2} = b - b = 0

即 α 1 − α 2 \alpha_{1} - \alpha_{2} 是 A x = 0 Ax = 0 的非零解。

进一步，对任意常数 k k ， k ( α 1 − α 2 ) k(\alpha_{1} - \alpha_{2}) 都是 A x = 0 Ax = 0 的解（无穷多个）。

结论：正确。

选项(d)： A x = b Ax = b 有两个不同的解，则 A x = 0 Ax = 0 的基础解系中含有两个以上向量

分析： A x = b Ax = b 有两个不同解时，说明 R ( A ) = R ( A , b ) < n R(A) = R(A,b) < n ，

故 A x = 0 Ax = 0 的基础解系含 n − R ( A ) n - R(A) 个向量。

反例：若 n = 3 n = 3 ， R ( A ) = 2 R(A) = 2 ，则基础解系含 3 − 2 = 1 3 - 2 = 1 个向量

（仅一个向量即可生成所有解），但此时 A x = b Ax = b 有无穷多解（存在两个不同解）。结论：错误。

答案：(c)

例4.7设3阶矩阵A= [ 1 2 − 2 4 t 3 3 − 1 1 ] \begin{bmatrix} 1 & 2 & - 2 \\ 4 & t & 3 \\ 3 & - 1 & 1 \end{bmatrix} , B为3阶非零矩阵 , 且AB=O , 求t的值

解: 解题步骤

步骤1：分析条件 A B = O AB = O 的含义

已知 A A 是3阶矩阵， B B 是3阶非零矩阵，且 A B = O AB = O （零矩阵）。

根据矩阵乘法性质，若 A B = O AB = O ，则 B B 的列向量都是齐次线性方程组 A x = 0 Ax = 0 的解。

由于 B B 是非零矩阵，故 A x = 0 Ax = 0 有非零解。

步骤2：利用齐次方程组有非零解的条件

对于 n n 阶矩阵 A A ，齐次方程组 A x = 0 Ax = 0 有非零解的充要条件是：

系数矩阵 A A 的行列式 d e t ( A ) = 0 det(A) = 0

本题中 A A 是3阶矩阵，因此需计算 d e t ( A ) det(A) 并令其为0，求解 t t 的值。

步骤3：计算行列式 d e t ( A ) det(A)

矩阵 A = [ 1 2 − 2 4 t 3 3 − 1 1 ] A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & - 2 \\ 4 & t & 3 \\ 3 & - 1 & 1 \end{bmatrix} ，按第一行展开行列式：

d e t ( A ) = 1 ⋅ d e t [ t 3 − 1 1 ] − 2 ⋅ d e t [ 4 3 3 1 ] + ( − 2 ) ⋅ d e t [ 4 t 3 − 1 ] det(A) = 1 \cdot det\begin{bmatrix} t & 3 \\ - 1 & 1 \end{bmatrix} - 2 \cdot det\begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} + ( - 2) \cdot det\begin{bmatrix} 4 & t \\ 3 & - 1 \end{bmatrix}

分别计算3个2阶行列式：

1. det ⁡ [ t 3 − 1 1 ] = t ⋅ 1 − 3 ⋅ ( − 1 ) = t + 3 \det\begin{bmatrix} t & 3 \\ - 1 & 1 \end{bmatrix} = t \cdot 1 - 3 \cdot ( - 1) = t + 3

2. det ⁡ [ 4 3 3 1 ] = 4 ⋅ 1 − 3 ⋅ 3 = 4 − 9 = − 5 \det\begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} = 4 \cdot 1 - 3 \cdot 3 = 4 - 9 = - 5

3. det ⁡ [ 4 t 3 − 1 ] = 4 ⋅ ( − 1 ) − t ⋅ 3 = − 4 − 3 t \det\begin{bmatrix} 4 & t \\ 3 & - 1 \end{bmatrix} = 4 \cdot ( - 1) - t \cdot 3 = - 4 - 3t

步骤4：代入行列式展开式并求解 t t

将上述结果代入 d e t ( A ) det(A) 的表达式：

d e t ( A ) = 1 ⋅ ( t + 3 ) − 2 ⋅ ( − 5 ) + ( − 2 ) ⋅ ( − 4 − 3 t ) det(A) = 1 \cdot (t + 3) - 2 \cdot ( - 5) + ( - 2) \cdot ( - 4 - 3t)

化简得 d e t ( A ) = ( t + 3 ) + 10 + ( 8 + 6 t ) = 7 t + 21 det(A) = (t + 3) + 10 + (8 + 6t) = 7t + 21

令 d e t ( A ) = 0 det(A) = 0 ：

7 t + 21 = 0 7t + 21 = 0

得 t = − 3 t = - 3

例4.8设3阶矩阵Q= [ 1 2 3 2 4 t 3 6 9 ] \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & t \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix} , P为3阶非零矩阵 , 且PQ=O ,

则下列选项哪个正确

(a)当t=6时 , R(P)=1 (b)当t=6时 , R(P)=2

(c) 当t≠6时 , R(P)=1 (d)当 t≠6时 , R(P)=2

解:

1.当 t = 6 t = 6 时， Q = [ 1 2 3 2 4 6 3 6 9 ] Q = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix} ， R ( Q ) = 1 R(Q) = 1 。

2.由 P Q = O PQ = O 得：

Q Q 的每一列都是 P x = 0 Px = 0 的解，即 Q Q 的列空间包含于 P P 的零空间。

根据秩不等式： R ( P ) + R ( Q ) ≤ 3 R(P) + R(Q) \leq 3

代入 R ( Q ) = 1 R(Q) = 1 ： R ( P ) + 1 ≤ 3 ⇒ R ( P ) ≤ 2 R(P) + 1 \leq 3 \Longrightarrow R(P) \leq 2

又因为 P P 是非零矩阵，所以 R ( P ) ≥ 1 R(P) \geq 1 。因此， R ( P ) R(P) 可能为1或2。

3.判断命题(a)和(b)：

(a)声称 R ( P ) = 1 R(P) = 1 ：这不一定成立（因为 R ( P ) R(P) 也可能为2），故(a)不正确。

(b)声称 R ( P ) = 2 R(P) = 2 ：这也不一定成立（因为 R ( P ) R(P) 也可能为1），故(b)不正确。

4.求 t ≠ 6 t \neq 6 时 R ( Q ) R(Q) 的值：

对 Q Q 进行行化简： Q = [ 1 2 3 2 4 t 3 6 9 ] → [ 1 2 3 0 0 t − 6 3 6 9 ] → [ 1 2 3 0 0 t − 6 0 0 0 ] Q = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & t \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & t - 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & t - 6 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

所以：

当 t ≠ 6 t \neq 6 时，第二行非零，因此 R ( Q ) = 2 R(Q) = 2 。

5.分析 R ( P ) R(P) 的可能值：

由 R ( P ) + R ( Q ) ≤ 3 R(P) + R(Q) \leq 3 ，代入 R ( Q ) = 2 R(Q) = 2 ，得 R ( P ) ≤ 1 R(P) \leq 1 。

又因 P P 是非零矩阵，故 R ( P ) ≥ 1 R(P) \geq 1 。

因此， R ( P ) R(P) 的取值唯一确定为1。

结论

(c)当 t ≠ 6 t \neq 6 时， R ( P ) = 1 R(P) = 1 ：正确（唯一可能值）。

(d)当 t ≠ 6 t \neq 6 时， R ( P ) = 2 R(P) = 2 ：不正确（与推导结果矛盾）。

例4.9已知方程组Ⅰ: { a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 , 2 n x 2 n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 , 2 n x 2 n = 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + ⋯ + a n , 2 n x 2 n = 0 \left\{ \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots + a_{1\ ,\ 2n}x_{2n} = 0 \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2\ ,\ 2n}x_{2n} = 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} \cdots\cdots\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdots\cdots \\ a_{n1}x_{1} + a_{n2}x_{2} + \cdots + a_{n\ ,\ 2n}x_{2n} = 0 \end{matrix} \end{array} \right.\ 的一个基础解系为

[ b 11 b 12 ⋮ b 1 , 2 n ] \left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} b_{11} \\ b_{12} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ b_{1\ ,\ 2n} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack , [ b 21 b 22 ⋮ b 2 , 2 n ] \left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} b_{21} \\ b_{22} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ b_{2\ ,\ 2n} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack , ⋯ , [ b n 1 b n 2 ⋮ b n , 2 n ] \left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} b_{n1} \\ b_{n2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ b_{n\ ,\ 2n} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack

试写出方程组Ⅱ: { b 11 y 1 + b 12 y 2 + ⋯ + b 1 , 2 n y 2 n = 0 b 21 y 1 + b 22 y 2 + ⋯ + b 2 , 2 n y 2 n = 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ b n 1 y 1 + b n 2 y 2 + ⋯ + b n , 2 n y 2 n = 0 \left\{ \begin{array}{r} \begin{matrix} b_{11}y_{1} + b_{12}y_{2} + \cdots + b_{1\ ,\ 2n}y_{2n} = 0 \\ b_{21}y_{1} + b_{22}y_{2} + \cdots + b_{2\ ,\ 2n}y_{2n} = 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} \cdots\cdots\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdots\cdots \\ b_{n1}y_{1} + b_{n2}y_{2} + \cdots + b_{n\ ,\ 2n}y_{2n} = 0 \end{matrix} \end{array} \right.\ 的通解,并说明理由

解:

已知方程组Ⅰ： { a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 , 2 n x 2 n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 , 2 n x 2 n = 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + ⋯ + a n , 2 n x 2 n = 0 \left\{ \begin{matrix} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots + a_{1,2n}x_{2n} = 0 \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2,2n}x_{2n} = 0 \\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \\ a_{n1}x_{1} + a_{n2}x_{2} + \cdots + a_{n,2n}x_{2n} = 0 \end{matrix} \right.\

的一个基础解系为下列 n n 个线性无关的向量：

𝒗 1 = [ b 11 b 12 ⋮ b 1 , 2 n ] , 𝒗 2 = [ b 21 b 22 ⋮ b 2 , 2 n ] , ⋯ , 𝒗 n = [ b n 1 b n 2 ⋮ b n , 2 n ] . \mathbf{v}_{1} = \begin{bmatrix} b_{11} \\ b_{12} \\ \vdots \\ b_{1,2n} \end{bmatrix},\quad\mathbf{v}_{2} = \begin{bmatrix} b_{21} \\ b_{22} \\ \vdots \\ b_{2,2n} \end{bmatrix},\quad\cdots,\quad\mathbf{v}_{n} = \begin{bmatrix} b_{n1} \\ b_{n2} \\ \vdots \\ b_{n,2n} \end{bmatrix}.

现考虑方程组Ⅱ： { b 11 y 1 + b 12 y 2 + ⋯ + b 1 , 2 n y 2 n = 0 b 21 y 1 + b 22 y 2 + ⋯ + b 2 , 2 n y 2 n = 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ b n 1 y 1 + b n 2 y 2 + ⋯ + b n , 2 n y 2 n = 0 \left\{ \begin{matrix} b_{11}y_{1} + b_{12}y_{2} + \cdots + b_{1,2n}y_{2n} = 0 \\ b_{21}y_{1} + b_{22}y_{2} + \cdots + b_{2,2n}y_{2n} = 0 \\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \\ b_{n1}y_{1} + b_{n2}y_{2} + \cdots + b_{n,2n}y_{2n} = 0 \end{matrix} \right.\

其系数矩阵为： B = [ 𝒗 1 ⊤ 𝒗 2 ⊤ ⋮ 𝒗 n ⊤ ] . B = \begin{bmatrix} \mathbf{v}_{1}^{\top} \\ \mathbf{v}_{2}^{\top} \\ \vdots \\ \mathbf{v}_{n}^{\top} \end{bmatrix}.

由于 𝒗 1 , 𝒗 2 , … , 𝒗 n \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\ldots,\mathbf{v}_{n} 线性无关，矩阵 B B 的秩为 n n ，

因此其解空间的维数为 2 n − n = n 2n - n = n 。

另一方面，方程组Ⅰ的系数矩阵记为 A A ，其行向量为：

𝒂 1 = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 , 2 n ] , \mathbf{a}_{1} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1,2n} \end{bmatrix},

𝒂 2 = [ a 21 a 22 ⋯ a 2 , 2 n ] , \mathbf{a}_{2} = \begin{bmatrix} a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2,2n} \end{bmatrix},

⋯ , \cdots,

𝒂 n = [ a n 1 a n 2 ⋯ a n , 2 n ] \mathbf{a}_{n} = \begin{bmatrix} a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{n,2n} \end{bmatrix}

由基础解系的定义，每个 𝒗 i \mathbf{v}_{i} 满足 A 𝒗 i = 𝟎 A\mathbf{v}_{i} = \mathbf{0} ，即 A A 的每一行与每一个 𝒗 i \mathbf{v}_{i} 正交。

因此， A A 的所有行向量都属于 B B 的零空间。

又因为 A A 的秩为 n n ，其行向量线性无关，且 B B 的零空间维数也为 n n ，

故 A A 的行向量组正好构成 B B 的零空间的一组基。

因此，方程组Ⅱ的通解可由 A A 的行向量线性表示，

即： 𝒚 = c 1 [ a 11 a 12 ⋮ a 1 , 2 n ] + c 2 [ a 21 a 22 ⋮ a 2 , 2 n ] + ⋯ + c n [ a n 1 a n 2 ⋮ a n , 2 n ] , c 1 , c 2 , … , c n ∈ ℝ . \mathbf{y} = c_{1}\begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{12} \\ \vdots \\ a_{1,2n} \end{bmatrix} + c_{2}\begin{bmatrix} a_{21} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{2,2n} \end{bmatrix} + \cdots + c_{n}\begin{bmatrix} a_{n1} \\ a_{n2} \\ \vdots \\ a_{n,2n} \end{bmatrix},\quad c_{1},c_{2},\ldots,c_{n} \in \mathbb{R}.

结论：方程组Ⅱ的通解为原方程组Ⅰ的系数矩阵的行向量所张成的空间。

附注：上述结论可通过具体例子验证。

例如，当 n = 1 n = 1 时，设方程组Ⅰ为： x 1 + 2 x 2 = 0 , x_{1} + 2x_{2} = 0\ ,\ 其基础解系为 [ − 2 1 ] \begin{bmatrix} - 2 \\ 1 \end{bmatrix} ，

则方程组Ⅱ为： − 2 y 1 + y 2 = 0 , - 2y_{1} + y_{2} = 0\ ,\ 通解为： 𝒚 = k [ 1 2 ] , k ∈ ℝ , \mathbf{y} = k\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix},\quad k \in \mathbb{R},

恰好是原方程组Ⅰ的系数向量，与一般结论一致。

例4.10 设 ℝ 3 \mathbb{R}^{3} 的两个基为

旧 基 : α 1 = [ 1 1 0 ] , α 2 = [ 0 1 1 ] , α 3 = [ 1 0 1 ] , 新 基 : β 1 = [ 1 0 0 ] , β 2 = [ 1 1 0 ] , β 3 = [ 1 1 1 ] . 旧基:\alpha_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},\alpha_{2} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix},\alpha_{3} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix},新基:\beta_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix},\beta_{2} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},\beta_{3} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}.

(1) 求旧基到新基的由基变换系数构成的向量组

(2) 设向量 φ \varphi 在旧基下的坐标为 [ 3 1 2 ] \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} ，求 φ \varphi 在新基下的坐标

解：

(2)：对每个旧基向量 α j \alpha_{j} 有： α j = q 1 j β 1 + q 2 j β 2 + q 3 j β 3 \alpha_{j} = q_{1j}\beta_{1} + {q_{2j}\beta}_{2} + q_{3j}\beta_{3} 。

α 1 \alpha_{1} = [ 1 1 0 ] = q 11 [ 1 0 0 ] + q 21 [ 1 1 0 ] + q 31 [ 1 1 1 ] \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = q_{11}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + q_{21}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + q_{31}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} ，得： q 11 = 0 , q 21 = 1 , q 31 = 0 q_{11} = 0,\ q_{21} = 1,\ q_{31} = 0

α 2 \alpha_{2} = [ 0 1 1 ] = q 12 [ 1 0 0 ] + q 22 [ 1 1 0 ] + q 32 [ 1 1 1 ] \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = q_{12}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + q_{22}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + q_{32}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} ，得： q 12 = − 1 , q 22 = 0 , q 32 = 1 q_{12} = - 1,\ q_{22} = 0,\ q_{32} = 1

α 3 \alpha_{3} = [ 1 0 1 ] = q 13 [ 1 0 0 ] + q 23 [ 1 1 0 ] + q 33 [ 1 1 1 ] \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = q_{13}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + q_{23}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + q_{33}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} ，得： q 13 = 1 , q 23 = − 1 , q 33 = 1 q_{13} = 1,\ q_{23} = - 1,\ q_{33} = 1

因此，由旧基坐标算出新基坐标，

[ y 1 y 2 y 3 ] = x 1 [ q 11 q 21 q 31 ] + x 2 [ q 12 q 22 q 32 ] + x 3 [ q 13 q 23 q 33 ] = x 1 [ 0 1 0 ] + x 2 [ − 1 0 1 ] + x 3 [ 1 − 1 1 ] \begin{bmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{bmatrix} = x_{1}\begin{bmatrix} q_{11} \\ q_{21} \\ q_{31} \end{bmatrix} + x_{2}\begin{bmatrix} q_{12} \\ q_{22} \\ q_{32} \end{bmatrix} + x_{3}\begin{bmatrix} q_{13} \\ q_{23} \\ q_{33} \end{bmatrix} = x_{1}\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_{2}\begin{bmatrix} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + x_{3}\begin{bmatrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{bmatrix}

= 3 × [ 0 1 0 ] + 1 × [ − 1 0 1 ] + 2 × [ 1 − 1 1 ] = [ 1 1 3 ] = 3 \times \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + 1 \times \begin{bmatrix} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + 2 \times \begin{bmatrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}

(1)：对每个新基向量 β j \beta_{j} 有： β j = p 1 j α 1 + p 2 j α 2 + p 3 j α 3 \beta_{j} = p_{1j}\alpha_{1} + p_{2j}\alpha_{2} + p_{3j}\alpha_{3} 。

β 1 = [ 1 0 0 ] = p 11 [ 1 1 0 ] + p 21 [ 0 1 1 ] + p 31 [ 1 0 1 ] \beta_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = p_{11}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + p_{21}\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + p_{31}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} ，得： p 11 = 1 2 , p 21 = − 1 2 , p 31 = 1 2 p_{11} = \frac{1}{2},p_{21} = - \frac{1}{2},p_{31} = \frac{1}{2} ，

β 2 = [ 1 1 0 ] = p 12 [ 1 1 0 ] + p 22 [ 0 1 1 ] + p 32 [ 1 0 1 ] \beta_{2} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = p_{12}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + p_{22}\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + p_{32}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} ，得： p 12 = 1 , p 22 = 0 , p 32 = 0 p_{12} = 1,p_{22} = 0,p_{32} = 0 ，

β 3 = [ 1 1 1 ] = p 13 [ 1 1 0 ] + p 23 [ 0 1 1 ] + p 33 [ 1 0 1 ] \beta_{3} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = p_{13}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + p_{23}\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + p_{33}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} ，得： p 13 = 1 2 , p 23 = 1 2 , p 33 = 1 2 p_{13} = \frac{1}{2},p_{23} = \frac{1}{2},p_{33} = \frac{1}{2} ，

因此，由新基坐标算出旧基坐标，

[ x 1 x 2 x 3 ] = y 1 [ p 11 p 21 p 31 ] + y 2 [ p 12 p 22 p 32 ] + y 3 [ p 13 p 23 p 33 ] = y 1 [ 1 2 − 1 2 1 2 ] + y 2 [ 1 0 0 ] + y 3 [ 1 2 1 2 1 2 ] \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix} = y_{1}\begin{bmatrix} p_{11} \\ p_{21} \\ p_{31} \end{bmatrix} + y_{2}\begin{bmatrix} p_{12} \\ p_{22} \\ p_{32} \end{bmatrix} + y_{3}\begin{bmatrix} p_{13} \\ p_{23} \\ p_{33} \end{bmatrix} = y_{1}\begin{bmatrix} \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{bmatrix} + y_{2}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + y_{3}\begin{bmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{bmatrix}\

因此，基变换系数构成的向量组为：

[ p 11 p 21 p 31 ] = [ 1 2 − 1 2 1 2 ] , [ p 12 p 22 p 32 ] = [ 1 0 0 ] , [ p 13 p 23 p 33 ] = [ 1 2 1 2 1 2 ] \begin{bmatrix} p_{11} \\ p_{21} \\ p_{31} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{bmatrix},\quad\begin{bmatrix} p_{12} \\ p_{22} \\ p_{32} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix},\quad\begin{bmatrix} p_{13} \\ p_{23} \\ p_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{bmatrix}