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27 , 求下列非齐次线性方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系:

(1){x1+x2=52x1+x2+x3+2x4=15x1+3x2+2x3+2x4=3\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 5 \\ 2x_{1} + x_{2} + x_{3} + 2x_{4} = 1 \\ 5x_{1} + 3x_{2} + 2x_{3} + 2x_{4} = 3 \end{matrix} \right.\ (2){x1−5x2+2x3−3x4=115x1+3x2+6x3−x4=−12x1+4x2+2x3+x4=−6\left\{ \begin{matrix} x_{1} - 5x_{2} + 2x_{3} - 3x_{4} = 11 \\ 5x_{1} + 3x_{2} + 6x_{3} - x_{4} = - 1 \\ 2x_{1} + 4x_{2} + 2x_{3} + x_{4} = - 6 \end{matrix} \right.\

解: (1)增广矩阵B=[125113012022513]⇒r2−2r1r3−5r1[1001−1−20120225−9−22]\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 5 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} \right\rbrack\overset{\begin{matrix} r_{2} - 2r_{1} \\ r_{3} - 5r_{1} \end{matrix}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ - 2 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 5 \\ - 9 \\ - 22 \end{matrix} \right\rbrack

⇒r2×(−1)r1−r2r3+2r2[1000101−102−2−2−49−4]⇒r3÷(−2)r1−2r3r2+2r3[1000101−10001−8132]\overset{\begin{matrix} r_{2} \times ( - 1) \\ r_{1} - r_{2} \\ r_{3} + 2r_{2} \end{matrix}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ - 2 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} - 4 \\ 9 \\ - 4 \end{matrix} \right\rbrack\overset{\begin{matrix} r_{3} \div ( - 2) \\ r_{1} - 2r_{3} \\ r_{2} + 2r_{3} \end{matrix}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} - 8 \\ 13 \\ 2 \end{matrix} \right\rbrack

据此 , 得原方程组的同解方程{x1=−x3−8x2=x3+13x4=2\left\{ \begin{matrix} x_{1} = - x_{3} - 8 \\ x_{2} = x_{3} + 13 \\ x_{4} = 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix} \right.\

取x3=0得特解η=[−81302]\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} - 8 \\ 13 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack ,

由[1000101−10001]\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\ \ \ \right\rbrack，得同解方程组{x1+x3=0x2−x3=0x4=0\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{3} = 0 \\ x_{2} - x_{3} = 0 \\ x_{4} = 0 \end{matrix} \right.\

得参数形式：{x1=−x3x2=x3x4=0\left\{ \begin{matrix} x_{1} = - x_{3} \\ x_{2} = x_{3}\ \ \\ x_{4} = 0\ \ \end{matrix} \right.\ (x3 可任意取值)，

得参数形式：{x1=−cx2=cx3=cx4=0\left\{ \begin{array}{r} \begin{matrix} x_{1} = - c \\ x_{2} = c \end{matrix} \\ \begin{matrix} x_{3} = c\ \ \\ x_{4} = 0\ \end{matrix} \end{array} \right.\ (其中x3=c )

得通解：[x1x2x3x4]\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} x_{3} \\ x_{4} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack=c[−1110]\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} - 1 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack (c为任意实数)，得基础解系 ξ=[−1110]\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} - 1 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack ,

(2)增广矩阵

B=[152−534262−3−1111−1−6]⇒r2−5r1r3−2r1[100−528142−4−2−314711−56−28]\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} - 5 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 2 \\ 6 \\ 2 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} - 3 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 11 \\ - 1 \\ - 6 \end{matrix} \right\rbrack\overset{\begin{matrix} r_{2} - 5r_{1} \\ r_{3} - 2r_{1} \end{matrix}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} - 5 \\ 28 \\ 14 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 2 \\ - 4 \\ - 2 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} - 3 \\ 14 \\ 7 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 11 \\ - 56 \\ - 28 \end{matrix} \right\rbrack

⇒r2÷(−4)r1−2r2r3+2r2[1009−700104−720−17140]\overset{\begin{matrix} r_{2} \div ( - 4) \\ r_{1} - 2r_{2} \\ r_{3} + 2r_{2} \end{matrix}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 9 \\ - 7 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 4 \\ \frac{- 7}{2} \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} - 17 \\ 14 \\ 0 \end{matrix} \right\rbrack

得同解方程组{x1+9x2+4x4=−17−7x2+x3−72x4=14\left\{ \begin{matrix} x_{1} + 9x_{2} + 4x_{4} = - 17 \\ - 7x_{2} + x_{3} - \frac{7}{2}x_{4} = 14 \end{matrix} \right.\ ⇒ {x1=−9x2−4x4−17x3=7x2+72x4+14\left\{ \begin{matrix} x_{1} = - 9x_{2} - 4x_{4} - 17 \\ x_{3} = 7x_{2} + \frac{7}{2}x_{4} + 14 \end{matrix} \right.\

取x2=x4=0得特解η=[−170140]\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} - 17 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 14 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack ,

由[1009−700104−720]⇒r2÷(−7)[1009100−1704120]⇒r1−9r2[10001097−170−12120]\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 9 \\ - 7 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 4 \\ \frac{- 7}{2} \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \right\rbrack\overset{r_{2} \div ( - 7)}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 9 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ \frac{- 1}{7} \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 4 \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \right\rbrack\overset{r_{1} - 9r_{2}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} \frac{9}{7} \\ \frac{- 1}{7} \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} \frac{- 1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \right\rbrack

得同解方程组：{x1+97x3−12x4=0x2−17x3+12x4=0\left\{ \begin{array}{r} x_{1} + \frac{9}{7}x_{3} - \frac{1}{2}x_{4} = 0 \\ x_{2} - \frac{1}{7}x_{3} + \frac{1}{2}x_{4} = 0 \end{array} \right.\

得参数形式：{x1=−97x3+12x4x2=17x3−12x4\left\{ \begin{array}{r} x_{1} = \frac{- 9}{7}x_{3} + \frac{1}{2}x_{4} \\ x_{2} = \frac{1}{7}x_{3} - \frac{1}{2}x_{4} \end{array} \right.\ (x3 , x4可任意取值)

得参数形式：{x1=−97c1+12c2x2=17c1−12c2x3=c1x4=c2\left\{ \begin{array}{r} \begin{matrix} x_{1} = \frac{- 9}{7}c_{1} + \frac{1}{2}c_{2} \\ x_{2} = \frac{1}{7}c_{1} - \frac{1}{2}c_{2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} x_{3} = c_{1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ x_{4} = c_{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix} \end{array} \right.\ (其中x3=c1 , x4=c2 )

得通解：[x1x2x3x4]\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} x_{3} \\ x_{4} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack=[−97c1+12c217c1−12c2c1c2]\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} \frac{- 9}{7}c_{1} + \frac{1}{2}c_{2} \\ \frac{1}{7}c_{1} - \frac{1}{2}c_{2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} c_{1} \\ \ c_{2} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack=c1[−971710]c_{1}\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} \frac{- 9}{7} \\ \frac{1}{7} \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack+c2[12−1201]c_{2}\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} \frac{1}{2} \\ \frac{- 1}{2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack (c1 , c2为任意实数)

得基础解系 ξ1=[−971710]\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} \frac{- 9}{7} \\ \frac{1}{7} \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack , ξ2=[12−1201]\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} \frac{1}{2} \\ \frac{- 1}{2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack

28 , 设4元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3

已知η1 , η2 , η3是它的三个解向量 , 且η1=[2345]\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 4 \\ 5 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack , η2 + η3=[1234]\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack

求该方程组的通解

解: 步骤一：分析非齐次线性方程组解的结构

对于4元非齐次线性方程组Ax=b

(A为系数矩阵，x为未知数向量，b为常数向量)，

其通解的结构为x=ξ+k1α1+k2α2+⋯+kn-rαn-r，

其中ξ是Ax=b的一个特解，n是未知数的个数，r是系数矩阵A的秩，

α1 , α2 , ⋯ , αn-r是对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系

步骤二：求对应的齐次线性方程组的基础解系

已知系数矩阵A的秩r=3 , 未知数个数n=4 ，

则对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系所含向量的个数为n-r=4-3=1

根据非齐次线性方程组解的性质：

若η1 , η2是Ax=b的解，则η1 - η2是Ax=0的解

已知η2+η3的值，为了能使用上述性质，得到齐次线性方程组的Ax=0解。

可以使用非齐次线性方程组的解向量来导出

因为η1，η2，η3是Ax=b的解，

又因为 A(η2+η3)=Aη2+Aη3=b+b=2b，A(2η1 )=2Aη1=2b

所以Ax=2b-2b=A(η2+η3)-A(2η1 )=A[(η2+η3)-2η1]=0

那么(η2+η3)-2η1就是Ax=0的解

计算(η2+η3)-2η1：

已知η1=[2345]\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 4 \\ 5 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack , η2+η3=[1234]\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack，则(η2+η3)-2η1=[1234]−2[2345]=[1−42−63−84−10]=[−3−4−5−6]\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack - 2\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 4 \\ 5 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack = \left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 - 4 \\ 2 - 6 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 3 - 8 \\ 4 - 10 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack = \left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} - 3 \\ - 4 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 5 \\ - 6 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack

所以ξ=[−3−4−5−6]\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} - 3 \\ - 4 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 5 \\ - 6 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack是Ax=0的一个非零解，可以作为Ax=0的基础解系

步骤三：求非齐次线性方程组的一个特解

已知η1=[2345]\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 4 \\ 5 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack是Ax=b的一个解，所以可令η1为Ax=b的一个特解

步骤四：写出非齐次线性方程组的通解

根据非齐次线性方程组解的结构，

可得Ax=b的通解为x=η1+k((η2+η3)-2η1) (k为任意常数)

即x=[2345]+k[−3−4−5−6]\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 4 \\ 5 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack + k\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} - 3 \\ - 4 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 5 \\ - 6 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack (k属于R)

29 , 设有向量组A: a1=[α210]\begin{bmatrix} \alpha \\ 2 \\ 10 \end{bmatrix} , a2=[−215]\begin{bmatrix} - 2 \\ 1 \\ 5 \end{bmatrix} , a3=[−114]\begin{bmatrix} - 1 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix}及向量b=[1β−1]\begin{bmatrix} 1 \\ \beta \\ - 1 \end{bmatrix}

问α , β为何值时

(1)向量b不能由向量组A线性表示

(2)向量b能由向量组A线性表示 , 且表示式惟一

(3)向量b能由向量组A线性表示 , 且表示式不惟一 , 并求一般表示式

解: 设方程Ax=b的增广矩阵为B=[α210−215−1141β−1]\left\lbrack \begin{matrix} \alpha \\ 2 \\ 10 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 5 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 4 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ \beta \\ - 1 \end{matrix} \right\rbrack，

对B进行初等行变换得[10012−α2−2025−2α5−115−110−α10+115+β]\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \frac{1}{2} \\ \frac{- \alpha}{2} - 2 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \frac{2}{5} \\ \frac{- 2\alpha}{5} - 1 \\ \frac{1}{5} \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \frac{- 1}{10} \\ \frac{- \alpha}{10} + 1 \\ \frac{1}{5} + \beta \end{matrix} \right\rbrack

(1)向量b不能由向量组A线性表示

向量b不能由向量组A线性表示的充要条件是R(A)≠R(B)

当α=-4时，增广矩阵为 [1001200253515−1103515+β]→[100120025115−110115+β]→[10012002510−1101β]\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \frac{1}{2} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \frac{2}{5} \\ \frac{3}{5} \\ \frac{1}{5} \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \frac{- 1}{10} \\ \frac{3}{5} \\ \frac{1}{5} + \beta \end{matrix} \right\rbrack \rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \frac{1}{2} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \frac{2}{5} \\ 1 \\ \frac{1}{5} \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \frac{- 1}{10} \\ 1 \\ \frac{1}{5} + \beta \end{matrix} \right\rbrack \rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \frac{1}{2} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \frac{2}{5} \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \frac{- 1}{10} \\ 1 \\ \beta \end{matrix} \right\rbrack

若β≠0 , 则R(A)=2, R(B)=3 , R(A)≠R(B) , 此时向量b不能由向量组线性表示。

(2)向量b能由向量组A线性表示 , 且表示式惟一

系数矩阵A的秩R(A)等于增广矩阵B的秩R(B)是表示式惟一的充要条件

由矩阵[10012−α2−2025−2α5−115−110−α10+115+β]\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \frac{1}{2} \\ \frac{- \alpha}{2} - 2 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \frac{2}{5} \\ \frac{- 2\alpha}{5} - 1 \\ \frac{1}{5} \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \frac{- 1}{10} \\ \frac{- \alpha}{10} + 1 \\ \frac{1}{5} + \beta \end{matrix} \right\rbrack可知

要使R(A)=R(B)=3, 则−α2−2≠0\frac{- \alpha}{2} - 2 \neq 0 ，解得α≠-4

所以当 α≠-4时，向量b能由向量组A线性表示，且表示式惟一。

(3)向量b能由向量组A线性表示 , 且表示式不惟一 , 并求一般表示式

R(A)=R(B)<向量组A中向量个数3是表示式不惟一的充要条件

由矩阵[10012−α2−2025−2α5−115−110−α10+115+β]\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \frac{1}{2} \\ \frac{- \alpha}{2} - 2 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \frac{2}{5} \\ \frac{- 2\alpha}{5} - 1 \\ \frac{1}{5} \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \frac{- 1}{10} \\ \frac{- \alpha}{10} + 1 \\ \frac{1}{5} + \beta \end{matrix} \right\rbrack可知

当α=-4，β=0时，增广矩阵为

[1001200253515−1103515+β]→[100120025115−110115+β]→[10012002510−11010]\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \frac{1}{2} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \frac{2}{5} \\ \frac{3}{5} \\ \frac{1}{5} \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \frac{- 1}{10} \\ \frac{3}{5} \\ \frac{1}{5} + \beta \end{matrix} \right\rbrack \rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \frac{1}{2} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \frac{2}{5} \\ 1 \\ \frac{1}{5} \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \frac{- 1}{10} \\ 1 \\ \frac{1}{5} + \beta \end{matrix} \right\rbrack \rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \frac{1}{2} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \frac{2}{5} \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \frac{- 1}{10} \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right\rbrack

R(A)=R(B)<向量组A中向量个数3，

向量b能由向量组A线性表示 , 且表示式不惟一，

由B=[10012002510−11010]→[1001200010−1210]\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \frac{1}{2} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \frac{2}{5} \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \frac{- 1}{10} \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right\rbrack \rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \frac{1}{2} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \frac{- 1}{2} \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right\rbrack

得同解方程组{x1+12x2=−12x3=1\left\{ \begin{matrix} x_{1} + \frac{1}{2}x_{2} = \frac{- 1}{2} \\ x_{3} = 1\ \ \ \ \ \ \end{matrix} \right.\ ⇒ {x1=−12x2−12x3=1\left\{ \begin{matrix} x_{1} = \frac{- 1}{2}x_{2} - \frac{1}{2} \\ x_{3} = 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix} \right.\

取x2=0得特解η=[−1201]\begin{bmatrix} \frac{- 1}{2} \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} ,

由[1001200010]\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \frac{1}{2} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right\rbrack 得同解方程组：{x1+12x2=0x3=0\left\{ \begin{array}{r} x_{1} + \frac{1}{2}x_{2} = 0 \\ x_{3} = 0 \end{array} \right.\

得参数形式：{x1=−12x2x3=0\left\{ \begin{array}{r} x_{1} = \frac{- 1}{2}x_{2} \\ x_{3} = 0 \end{array} \right.\ (x2 可任意取值)

得参数形式：{x1=−12cx2=cx3=0\left\{ \begin{matrix} x_{1} = \frac{- 1}{2}c \\ x_{2} = c \\ x_{3} = 0 \end{matrix} \right.\ (其中x2=c )

得齐次通解： [x1x2x3]=[−12cc0]=c[−1210]\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{- 1}{2}c \\ c \\ 0 \end{bmatrix} = c\begin{bmatrix} \frac{- 1}{2} \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} (c为任意实数)

得基础解系 ξ=[−1210]\begin{bmatrix} \frac{- 1}{2} \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} ,

方程Ax=b的通解为x=η+ cξ=[−1201]+c[−1210]\begin{bmatrix} \frac{- 1}{2} \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + c\begin{bmatrix} \frac{- 1}{2} \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}=[−12−12cc1]\begin{bmatrix} \frac{- 1}{2} - \frac{1}{2}c \\ c \\ 1 \end{bmatrix} ,(c为任意实数)

一般表示式为b=Ax=(a1 , a2 , a3)[−12−12cc1]\begin{bmatrix} \frac{- 1}{2} - \frac{1}{2}c \\ c \\ 1 \end{bmatrix}=(−12−12c)\left( \frac{- 1}{2} - \frac{1}{2}c \right)a1 + ca2 + a3

(c为任意实数)