21 , 设A为列满秩矩阵 , AB= C , 证明方程Bx=0与Cx=0同解

证:

步骤1：证明“$Bx = 0$的解是$Cx = 0$的解”

若$x$是$Bx = 0$的解，则$Bx = 0$。

由$C = AB$，代入得：$Cx = (AB)x = A(Bx) = A0 = 0$

因此，$x$也是$Cx = 0$的解。

步骤2：证明“$Cx = 0$的解是$Bx = 0$的解”

若$x$是$Cx = 0$的解，则$Cx = 0$，即$ABx = 0$。

由于$A$是列满秩矩阵（设$A$为$m \times n$矩阵，列满秩即$R(A) = n$），

根据列满秩矩阵的性质：若$A$列满秩，则“$Ay = 0$”仅有零解（$y = 0$）。

令$y = Bx$，则$Ay = 0$。结合列满秩性质，得$y = Bx = 0$，即$x$是$Bx = 0$的解。

步骤3：结论

综上，$Bx = 0$与$Cx = 0$的解完全相同，即同解。

举例验证

构造列满秩矩阵$A$、矩阵$B$，计算$C = AB$，验证$Bx = 0$与$Cx = 0$同解。

示例1：简单列满秩矩阵

设：$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\quad(2 \times 2列满秩，R(A) = 2)$，$B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$，则$C = AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

（因$A$是单位矩阵，$AB = B$，此时$C = B$，显然$Bx = 0$与$Cx = 0$同解，可更一般化构造）

示例2：非方阵列满秩

设：$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\quad(3 \times 2列满秩，R(A) = 2)$，$B = \begin{pmatrix} 1 & - 1 \\ 2 & - 2 \end{pmatrix}$

计算$C = AB$：$C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & - 1 \\ 2 & - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & - 1 \\ 2 & - 2 \\ 3 & - 3 \end{pmatrix}$

分析同解性

$Bx = 0$的解：

$B = \begin{pmatrix} 1 & - 1 \\ 2 & - 2 \end{pmatrix}$，其行变换后为$\begin{pmatrix} 1 & - 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，解为$x = k(1,1)^{T}$（$k$为任意常数）。

$Cx = 0$的解：

$C = \begin{pmatrix} 1 & - 1 \\ 2 & - 2 \\ 3 & - 3 \end{pmatrix}$，行变换后为$\begin{pmatrix} 1 & - 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，解同样为$x = k(1,1)^{T}$（$k$为任意常数）。

可见，$Bx = 0$与$Cx = 0$同解，验证结论成立。

22 , 设A为m×n矩阵

试证明方程AX=E_m有解的充分必要条件是R(A)=m

证:

证明（矩阵分块与秩的不等式方法）

1. 必要性：若方程有解，则 $R(A) = m$

设存在 $n \times m$ 矩阵 $X_{0}$ 使得 $AX_{0} = E_{m}$。

由矩阵乘积的秩不等式：$R(AB) \leq min\{ R(A),R(B)\},$有$R(E_{m}) \leq R(A).$

因为 $R(E_{m}) = m$，所以$m \leq R(A).$

又 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，其秩不超过行数 $m$，即$R(A) \leq m.$

综上可得$R(A) = m.$

2. 充分性：若 $R(A) = m$，则方程有解

设 $R(A) = m$。 将 $E_{m}$ 按列分块为$E_{m} = \lbrack e_{1}\mspace{6mu} e_{2}\mspace{6mu}\ldots\mspace{6mu} e_{m}\rbrack,$

其中 $e_{j} \in \mathbb{R}^{m}$ 是第 $j$ 个标准单位向量。

方程 $AX = E_{m}$ 等价于求解 $m$ 个线性方程组$Ax_{j} = e_{j},\quad j = 1,2,\ldots,m,$

其中 $x_{j}$ 是 $X$ 的第 $j$ 列。

对任意固定的 $j$，考虑增广矩阵$\lbrack A \mid e_{j}\rbrack.$

已知 $R(A) = m$，且 $R(\lbrack A \mid e_{j}\rbrack) \geq R(A) = m$。

另一方面，$\lbrack A \mid e_{j}\rbrack$ 只有 $m$ 行，因此其秩不超过 $m$，即$R(\lbrack A \mid e_{j}\rbrack) \leq m.$

于是$R(\lbrack A \mid e_{j}\rbrack) = m = R(A).$

由线性方程组解的存在性定理可知，方程组 $Ax_{j} = e_{j}$ 有解。

依次取 $j = 1,2,\ldots,m$，得到解向量 $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$。

令$X = \lbrack x_{1}\mspace{6mu} x_{2}\mspace{6mu}\ldots\mspace{6mu} x_{m}\rbrack,$则$AX = \lbrack Ax_{1}\mspace{6mu} Ax_{2}\mspace{6mu}\ldots\mspace{6mu} Ax_{m}\rbrack = \lbrack e_{1}\mspace{6mu} e_{2}\mspace{6mu}\ldots\mspace{6mu} e_{m}\rbrack = E_{m}.$

故方程 $AX = E_{m}$ 有解。

举例验证

一、必要性证明（若方程有解，则 $R(A) = m$）

思路： 已知存在 $X_{0}$ 使得 $AX_{0} = E_{m}$，则：$R(E_{m}) \leq R(A)$

因为 $R(E_{m}) = m$，所以 $m \leq R(A)$。

又因为 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，秩不超过行数 $m$：$R(A) \leq m$

联立得 $R(A) = m$。

举例验证： 取：$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix},\quad X_{0} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

则：$AX_{0} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \neq E_{3}$

实际上这里 $R(A) = 2 < 3$，无法得到 $E_{3}$。

若取满行秩的矩阵如：$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},\quad X_{0} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

则 $AX_{0} = E_{2}$，此时 $R(A) = 2 = m$。

二、充分性证明（若 $R(A) = m$，则方程有解）

思路： 将 $E_{m}$ 按列分块为 $\lbrack e_{1}\ e_{2}\ \ldots\ e_{m}\rbrack$，

原方程等价于求解：$Ax_{j} = e_{j},\quad j = 1,\ldots,m$

因为 $R(A) = m$，所以对每个 $j$，增广矩阵 $\lbrack A \mid e_{j}\rbrack$ 的秩也为 $m$，

故每个方程组都有解。

将所有解向量组合成 $X = \lbrack x_{1}\ x_{2}\ \ldots\ x_{m}\rbrack$，即得 $AX = E_{m}$。

举例验证： 取：$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$，$R(A) = 2 = m$。

解：$Ax_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},\quad Ax_{2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$，解得：$x_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\quad x_{2} = \begin{pmatrix} - 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

则：$X = \begin{pmatrix} 1 & - 2 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\quad AX = E_{2}$

二、例题增补

例3.1下列四个3×4矩阵中 , 哪些是行最简形

(1) A₁=$\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right\rbrack$ (1) A₂=$\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right\rbrack$

(1) A₃=$\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right\rbrack$ (1) A₄=$\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right\rbrack$

解:

A₁不是行最简形 , 因为它们首先不是行阶梯形

A₂不是行最简形

因为它的第2行的首非零元所在列不是单位坐标向量列 , 即该列有其他非零元

A₃不是行最简形 , 因为它们首先不是行阶梯形

A₄是行最简形

例3.2设矩阵A=$\left\lbrack \begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} - 4 \\ - 6 \\ - 8 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 5 \\ 4 \\ 17 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 11 \end{matrix} \right\rbrack$

试求:(1) A的行最简形 ; (2) A的标准形

解:(1)对矩阵A作初等行变换

A=$\left\lbrack \begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} - 4 \\ - 6 \\ - 8 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 5 \\ 4 \\ 17 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 11 \end{matrix} \right\rbrack\overset{r_{2} - r_{1}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} - 4 \\ - 2 \\ - 8 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 5 \\ - 1 \\ 17 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 3 \\ - 1 \\ 11 \end{matrix} \right\rbrack$

$$\overset{r_{1} \leftrightarrow r_{2}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} - 2 \\ - 4 \\ - 8 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} - 1 \\ 5 \\ 17 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} - 1 \\ 3 \\ 11 \end{matrix} \right\rbrack\overset{\begin{matrix} r_{2} - 2r_{1} \\ r_{3} - 4r_{1} \end{matrix}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} - 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} - 1 \\ 7 \\ 21 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} - 1 \\ 5 \\ 15 \end{matrix} \right\rbrack\overset{\begin{matrix} r_{2} \times \frac{1}{7} \\ r_{3} - 21r_{2} \\ r_{1} + r_{2} \end{matrix}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} - 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} \frac{- 2}{7} \\ \frac{5}{7} \\ 0 \end{matrix} \right\rbrack$$

此即为A的行最简形

(2)进一步对A的行最简形作初等列变换:

A$\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} - 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} \frac{- 2}{7} \\ \frac{5}{7} \\ 0 \end{matrix} \right\rbrack\overset{c_{2} \longleftrightarrow c_{3}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} - 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} \frac{- 2}{7} \\ \frac{5}{7} \\ 0 \end{matrix} \right\rbrack\overset{\begin{matrix} c_{3} + 2c_{1} \\ c_{4} + \frac{2}{7}c_{1} - \frac{5}{7}c_{2} \end{matrix}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right\rbrack$

此即为A的标准形

例3.3设A是m×n矩阵 , m<n , 其秩R(A)=m , 则( )

(a)存在m阶不可逆矩阵Q , 使QA=(E_m , O)

(b)存在m阶可逆矩阵P , 使PA=(E_m , O)

(c)齐次线性方程组 Ax=0只有零解

(d)非齐次线性方程组Ax=b一定有无限多解

解: (a)不正确.

因由矩阵秩的性质R(AB)⩽min{R(A) , R(B)},

R(Q)⩾R(QA)=R(E_m , O)=m , 与Q为m阶不可逆矩阵矛盾

(b)不正确.

若选项(b)成立 , 则A=P^-1(E_m , O)=(P^-1 , O) , 其中O是m×(n-m)零矩阵.

这表明A的后n-m列均为零列向量.

但对于秩为m的m×n矩阵A来说 , 一般是不满足这一点的

例如A =$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

(c)不正确. 反例: 取A =$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ , 则显然x=$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{bmatrix}$是它的非零解

(d)正确. 证明如下:

此时 , 非齐次方程Ax=b的系数矩阵和增广矩阵库的秩

满足关系式m= R(A)⩽R(A , b)⩽m

于是 , R(A)= R(A , b)=m<n=未知数个数 , 从而这方程必有无限多解

例3.4设n元线性方程组$\left\{ \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots + a_{1n}x_{n} = b_{1} \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2n}x_{n} = b_{2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \cdots\cdots\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdots\cdots \\ a_{n1}x_{1} + a_{n2}x_{2} + \cdots + a_{nn}x_{n} = b_{n} \end{matrix} \end{array} \right.\$的系数矩阵A的秩

与n+1阶矩阵C=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{11} \\ \vdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} a_{n1} \\ b_{1} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{12} \\ \vdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} a_{n2} \\ b_{2} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \cdots \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \cdots \\ \cdots \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{1n} \\ \vdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} a_{nn} \\ b_{n} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} b_{1} \\ \vdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} b_{n} \\ 1 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$的秩相等

试证明此线性方程组必有解

证: 因为A=$\left\lbrack \begin{matrix} a_{11} \\ \vdots \\ a_{n1} \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} a_{12} \\ \vdots \\ a_{n2} \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \cdots \\ \\ \cdots \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} a_{1n} \\ \vdots \\ a_{nn} \end{matrix}\ \right\rbrack$ [A|b]=$\left\lbrack \begin{matrix} a_{11} \\ \vdots \\ a_{n1} \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} a_{12} \\ \vdots \\ a_{n2} \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \cdots \\ \\ \cdots \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} a_{1n} \\ \vdots \\ a_{nn} \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} b_{1} \\ \vdots \\ b_{n} \end{matrix} \right\rbrack$

C=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{11} \\ \vdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} a_{n1} \\ b_{1} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{12} \\ \vdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} a_{n2} \\ b_{2} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \cdots \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \cdots \\ \cdots \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{1n} \\ \vdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} a_{nn} \\ b_{n} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} b_{1} \\ \vdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} b_{n} \\ 1 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$

利用秩的关系

因为$rank(\lbrack A \mid b\rbrack) \leq rank(C)$

因为$rank(\lbrack A \mid b\rbrack) \leq rank(A)$

因为$rank(A) = rank(C)$，

所以$rank(\lbrack A \mid b\rbrack) = rank(A)$

根据线性方程组解的判别定理，该方程组必有解。

例3.5设齐次线性方程组$\left\{ \begin{array}{r} \begin{matrix} ax_{1} + bx_{2} + \cdots + bx_{n} = 0 \\ bx_{1} + ax_{2} + \cdots + bx_{n} = 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} \cdots\cdots\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdots\cdots \\ bx_{1} + bx_{2} + \cdots + ax_{n} = 0 \end{matrix} \end{array} \right.\$ , 其中a≠0 , b≠0 , n⩾2

试讨论a , b为何值时 , 方程组仅有零解 , 有无限多解? 在有无限多解时,求通解

解:方程组的系数矩阵A的行列式det A=$\left| \begin{array}{r} \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ b \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} b \\ a \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ b \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \cdots \\ \cdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \cdots \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} b \\ b \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ a \end{matrix} \end{array} \right|$=[a+(n-1)b](a-b)^n-1

情形1: a≠b且a≠(1-n)b , 方程组仅有零解

情形2: a=b , 对系数矩阵A进行初等行变换 , 并注意到a≠0

A=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} a \\ a \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ a \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} a \\ a \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ a \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \cdots \\ \cdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \cdots \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} a \\ a \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ a \end{matrix} \end{array} \right\rbrack\overset{r}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \cdots \\ \cdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \cdots \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$

即得原方程组的同解方程组x₁+x₂+⋯+x_n=0

取x₂ , ⋯ , x_n为自由未知数 , 即得通解x=k₁ξ₁+k₂ξ₂+ ⋯ +k_n-1ξ_n-1 ,

其中k₁ , k₂ , ⋯ , k_n-1属于R , ξ₁=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$ , ξ₂=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$ , ⋯ ξ_n-1=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ 1 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$

情形3 : a=(1-n)b , 对系数矩阵A进行初等行变换并注意到

A=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} (1 - n)b \\ b \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ b \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} b \\ (1 - n)b \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ b \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \cdots \\ \cdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \cdots \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} b \\ b \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ (1 - n)b \end{matrix} \end{array} \right\rbrack\overset{各行除以b}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 - n \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 1 - n \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \cdots \\ \cdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \cdots \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ 1 - n \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$

$$\overset{\begin{matrix} r_{1} - r_{n} \\ r_{2} - r_{n} \\ r_{n - 1} - r_{n} \end{matrix}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} - n \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ - n \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \cdots \\ \cdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \cdots \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} n \\ n \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ 1 - n \end{matrix} \end{array} \right\rbrack\overset{前n - 1行除以n\ ,\ 并加到第n行\ }{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} - 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ - 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \cdots \\ \cdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \cdots \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$$

于是 , 得到同解方程组$\left\{ \begin{array}{r} \begin{matrix} x_{1} = x_{n} \\ x_{2} = x_{n} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ x_{n - 1} = x_{n} \end{matrix} \end{array} \right.\$

即得通解x=kξ , 其中k属于R , ξ=(1 , 1 , ⋯ ,)^T