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15 , 写出一个以 x= c 1 [ 2 − 3 1 0 ] + c 2 [ − 2 4 0 1 ] c_{1}\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 2 \\ - 3 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack + c_{2}\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} - 2 \\ 4 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack 为通解的齐次线性方程组

解: 把通解改写为 [ x 1 x 2 x 3 x 4 ] \left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} x_{3} \\ x_{4} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack = [ 2 c 1 − 2 c 2 − 3 c 1 + 4 c 2 c 1 c 2 ] ⇒ 用 c 1 = x 3 , c 2 = x 4 代 入 [ 2 x 3 − 2 x 4 − 3 x 3 + 4 x 4 x 3 x 4 ] \left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 2c_{1} - 2c_{2} \\ - 3c_{1} + 4c_{2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack\overset{用c_{1} = x_{3}\ ,\ c_{2} = x_{4}代入}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 2x_{3} - 2x_{4} \\ - 3x_{3} + 4x_{4} \end{matrix} \\ \begin{matrix} x_{3} \\ x_{4} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack

由此知所求方程组有2个自由未知数x3 , x4

且对应的方程组为 { x 1 = 2 x 3 − 2 x 4 x 2 = − 3 x 3 + 4 x 4 \left\{ \begin{array}{r} x_{1} = 2x_{3} - 2x_{4}\ \ \\ x_{2} = - 3x_{3} + 4x_{4} \end{array} \right.\ 即 { x 1 − 2 x 3 + 2 x 4 = 0 x 2 + 3 x 3 − 4 x 4 = 0 \left\{ \begin{array}{r} x_{1} - 2x_{3} + 2x_{4} = 0 \\ x_{2} + 3x_{3} - 4x_{4} = 0 \end{array} \right.\

16 , 设有线性方程组 [ 1 λ − 1 − 2 0 λ − 2 λ + 1 0 0 2 λ + 1 ] [ x 1 x 2 x 3 ] \begin{bmatrix} 1 & \lambda - 1 & - 2 \\ 0 & \lambda - 2 & \lambda + 1 \\ 0 & 0 & 2\lambda + 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix} = [ 1 3 5 ] \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{bmatrix}

λ为何值时(1)无解 (2)有惟一解 ; (3)有无限多解，有无限多解时求其通解 ;

解:首先写出两个矩阵

A = [ 1 λ − 1 − 2 0 λ − 2 λ + 1 0 0 2 λ + 1 ] ， B = [ 1 λ − 1 − 2 0 λ − 2 λ + 1 0 0 2 λ + 1 1 3 5 ] A = \left\lbrack \begin{matrix} 1 & \lambda - 1 & - 2 \\ 0 & \lambda - 2 & \lambda + 1 \\ 0 & 0 & 2\lambda + 1 \end{matrix}\ \ \right\rbrack\ \ \ ，\ B = \left\lbrack \begin{matrix} 1 & \lambda - 1 & - 2 \\ 0 & \lambda - 2 & \lambda + 1 \\ 0 & 0 & 2\lambda + 1 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{matrix} \right\rbrack

(i)只要当R(A)<R(B) ，方程组就无解，则必须要R(A)=2 , 而R(B,b)=3 ,

即当2λ+1=0时 , 也即当λ= − 1 2 \frac{- 1}{2} 时，方程组无解

(ii)当R(A)=R(B)=3 , 方程组有惟一解

即当λ-2≠0 , 2λ+1≠0时 , 也即当λ≠2 , λ≠ − 1 2 \frac{- 1}{2} 时 , 方程组有惟一解

(iii)当R(A)=R(B)<3 , 方程组有无限多解

为了使R(A)=R(B)<3，就至少要B的第三行全为0

为了使B的第三行全为0，

那么就必须在B的第二行乘一个适当数加到第三行

这样B的第二行λ-2必须为0，即λ必须为2，

当λ为2时， B = [ 1 1 − 2 0 0 3 0 0 5 1 3 5 ] = [ 1 1 0 0 0 1 0 0 0 3 1 0 ] B = \left\lbrack \begin{matrix} 1 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 5 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{matrix} \right\rbrack = \left\lbrack \begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right\rbrack

从而得同解方程组： { x 1 + x 2 = 3 x 3 = 1 \left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 3 \\ x_{3} = 1 \end{matrix} \right.\

得参数形式： { x 1 = − x 2 + 3 x 3 = 1 \left\{ \begin{array}{r} x_{1} = - x_{2} + 3 \\ x_{3} = 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{array} \right.\ (x2 可任意取值)

得参数形式： { x 1 = − c + 3 x 2 = c x 3 = 1 \left\{ \begin{matrix} x_{1} = - c + 3 \\ x_{2} = c \\ x_{3} = 1 \end{matrix} \right.\ 其中x2=c , c为任意实数

得非齐次通解： [ x 1 x 2 x 3 ] \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix} = [ − c + 3 c 1 ] \begin{bmatrix} - c + 3 \\ c \\ 1 \end{bmatrix} =c [ − 1 1 0 ] \begin{bmatrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + [ 3 0 1 ] \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}

17 , 设有非齐次线性方程组 { λ x 1 + x 2 + x 3 = 1 x 1 + λ x 2 + x 3 = λ x 1 + x 2 + λ x 3 = λ 2 \left\{ \begin{array}{r} \lambda x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1 \\ x_{1} + \lambda x_{2} + x_{3} = \lambda \\ x_{1} + x_{2} + \lambda x_{3} = \lambda^{2} \end{array} \right.\

λ取何值时 ,(1)无解 (2)有惟一解; (3)有无限多解;有无限多解时求其通解?

解:

化简矩阵B

B = [ λ 1 1 1 λ 1 1 1 λ 1 λ λ 2 ] = [ 1 λ 1 λ 1 1 1 1 λ λ 1 λ 2 ] = [ 1 0 0 λ 1 − λ 2 1 − λ 1 1 − λ λ − 1 λ 1 − λ 2 λ 2 − λ ] B = \left\lbrack \begin{matrix} \lambda \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ \lambda \\ 1 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ \lambda \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} 1 \\ \lambda \\ \lambda^{2} \end{matrix} \right\rbrack = \left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ \lambda \\ 1 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \lambda \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ \lambda \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} \lambda \\ 1 \\ \lambda^{2} \end{matrix} \right\rbrack = \left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \lambda \\ 1 - \lambda^{2} \\ 1 - \lambda \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 1 - \lambda \\ \lambda - 1 \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} \lambda \\ 1 - \lambda^{2} \\ \lambda^{2} - \lambda \end{matrix} \right\rbrack

= [ 1 0 0 λ ( 1 − λ ) ( 1 + λ ) 1 − λ 1 1 − λ − ( 1 − λ ) λ ( 1 − λ ) ( 1 + λ ) − λ ( 1 − λ ) ] λ ≠ 1 = [ 1 0 0 λ 1 + λ 1 1 1 − 1 λ 1 + λ − λ ] = \left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \lambda \\ (1 - \lambda)(1 + \lambda) \\ 1 - \lambda \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 1 - \lambda \\ - (1 - \lambda) \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} \lambda \\ (1 - \lambda)(1 + \lambda) \\ - \lambda(1 - \lambda) \end{matrix} \right\rbrack\ \begin{matrix} \lambda \neq 1 \\ = \end{matrix}\ \left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \lambda \\ 1 + \lambda \\ 1 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} \lambda \\ 1 + \lambda \\ - \lambda \end{matrix} \right\rbrack

= [ 1 0 0 λ 1 1 + λ 1 − 1 1 λ − λ 1 + λ ] = [ 1 0 0 λ 1 0 1 − 1 2 + λ λ − λ ( λ + 1 ) 2 ] = \left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \lambda \\ 1 \\ 1 + \lambda \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} \lambda \\ - \lambda \\ 1 + \lambda \end{matrix} \right\rbrack = \left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \lambda \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 2 + \lambda \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} \lambda \\ - \lambda \\ (\lambda + 1)^{2} \end{matrix} \right\rbrack

(1)当R(A)<R(B) ，方程组就无解，

即当λ≠1，2+λ=0， ( λ + 1 ) 2 ≠ 0 (\lambda + 1)^{2} \neq 0 时 ,

也即当λ≠1，λ= − 2 - 2 时，方程组无解

(2)当R(A)=R(B)=3 ，方程组有惟一解，

即当λ≠1，2+λ≠0 时 ,

也即当λ≠1，λ≠-2 时 ,

方程组有惟一解

(3)当R(A)=R(B)<3 , 方程组有无穷解;

也即当λ=1时 , 方程组有无穷解 , 这时 B = [ 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 ] B = \left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right\rbrack

得同解方程组：x1+x2+x3=1

得参数形式：x1=-x2-x3+1 (x2 , x3可任意取值)

得参数形式： { x 1 = − c 1 − c 2 + 1 x 2 = c 1 x 3 = c 2 \left\{ \begin{matrix} x_{1} = - c_{1} - c_{2} + 1 \\ x_{2} = c_{1} \\ x_{3} = c_{2} \end{matrix} \right.\ 其中x2=c1 , x3=c2 ,

得非齐次通解： [ x 1 x 2 x 3 ] \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix} = [ − c 1 − c 2 + 1 c 1 c 2 ] \begin{bmatrix} - c_{1} - c_{2} + 1 \\ c_{1} \\ c_{2} \end{bmatrix} =c1 [ − 1 1 0 ] \begin{bmatrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} +c2 [ − 1 0 1 ] \begin{bmatrix} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + [ 1 0 0 ] \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} ，c1 , c2为任意实数

18 , 设有非齐次线性方程组 { − 2 x 1 + x 2 + x 3 = − 2 x 1 − 2 x 2 + x 3 = λ x 1 + x 2 − 2 x 3 = λ 2 \left\{ \begin{array}{r} - 2x_{1} + x_{2} + x_{3} = - 2 \\ x_{1} - 2x_{2} + x_{3} = \lambda \\ x_{1} + x_{2} - 2x_{3} = \lambda^{2} \end{array} \right.\

当λ取何值时有解 ? 并求出它的通解

解: 这里系数矩阵A是方阵 , 但A中不含参数,

故以对增广矩阵作初等行变换为宜 , 求解如下:

B= [ − 2 1 1 1 − 2 1 1 1 − 2 − 2 λ λ 2 ] ⇒ r 1 ↔ r 2 [ 1 − 2 1 − 2 1 1 1 1 − 2 λ − 2 λ 2 ] \left\lbrack \begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} - 2 \\ \lambda \\ \lambda^{2} \end{matrix} \right\rbrack\overset{r_{1} \leftrightarrow r_{2}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} \lambda \\ - 2 \\ \lambda^{2} \end{matrix} \right\rbrack

⇒ r 2 + 2 r 1 r 3 − r 1 [ 1 0 0 − 2 − 3 3 1 3 − 3 λ − 2 + 2 λ λ 2 − λ ] ⇒ r 2 ÷ ( − 3 ) r 3 − 3 r 2 [ 1 0 0 − 2 1 0 1 − 1 0 λ 2 3 ( 1 − λ ) ( λ − 1 ) ( λ + 2 ) ] \overset{\begin{matrix} r_{2} + 2r_{1} \\ r_{3} - r_{1} \end{matrix}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} - 2 \\ - 3 \\ 3 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 3 \\ - 3 \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} \lambda \\ - 2 + 2\lambda \\ \lambda^{2} - \lambda \end{matrix} \right\rbrack\overset{\begin{matrix} r_{2} \div ( - 3) \\ r_{3} - 3r_{2} \end{matrix}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} \lambda \\ {\frac{2}{3}(1 - \lambda)} \\ (\lambda - 1)(\lambda + 2) \end{matrix} \right\rbrack

因 R(A)=2 ,故仅当 R(B)=2，R(A)=R(B)时

即当(λ-1)(λ+2)=0时,

也即当λ=1或λ=-2时 ,方程组有解

当λ=1时 , B= [ 1 0 0 − 2 1 0 1 − 1 0 1 0 0 ] ⇒ r 1 + 2 r 2 [ 1 0 0 0 1 0 − 1 − 1 0 1 0 0 ] \left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right\rbrack\overset{r_{1} + 2r_{2}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right\rbrack

得同解方程组： { x 1 − x 3 = 1 x 2 − x 3 = 0 \left\{ \begin{matrix} x_{1} - x_{3} = 1 \\ x_{2} - x_{3} = 0 \end{matrix} \right.\

得参数形式： { x 1 = x 3 + 1 x 2 = x 3 \left\{ \begin{array}{r} x_{1} = x_{3} + 1 \\ x_{2} = x_{3}\ \ \ \ \ \ \ \end{array} \right.\ (x3 可任意取值)

得参数形式： { x 1 = c + 1 x 2 = c x 3 = c \left\{ \begin{matrix} x_{1} = c + 1 \\ x_{2} = c \\ x_{3} = c \end{matrix} \right.\ 其中x3=c

得非齐次通解： [ x 1 x 2 x 3 ] \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix} = [ c + 1 c c ] \begin{bmatrix} c + 1 \\ c \\ c \end{bmatrix} =c [ 1 1 1 ] \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + [ 1 0 0 ] \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} 其中c属于R

当λ=-2时 , B= [ 1 0 0 − 2 1 0 1 − 1 0 − 2 2 0 ] ⇒ r 1 + 2 r 2 [ 1 0 0 0 1 0 − 1 − 1 0 2 2 0 ] \left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} - 2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix} \right\rbrack\overset{r_{1} + 2r_{2}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix} \right\rbrack

得同解方程组： { x 1 − x 3 = 2 x 2 − x 3 = 2 \left\{ \begin{matrix} x_{1} - x_{3} = 2 \\ x_{2} - x_{3} = 2 \end{matrix} \right.\

得参数形式： { x 1 = x 3 + 2 x 2 = x 3 + 2 \left\{ \begin{array}{r} x_{1} = x_{3} + 2 \\ x_{2} = x_{3} + 2 \end{array} \right.\ (x3 可任意取值)

得参数形式： { x 1 = c + 2 x 2 = c + 2 x 3 = c \left\{ \begin{matrix} x_{1} = c + 2 \\ x_{2} = c + 2 \\ x_{3} = c \end{matrix} \right.\ 其中x3=c

得非齐次通解： [ x 1 x 2 x 3 ] \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix} = [ c + 2 c + 2 c ] \begin{bmatrix} c + 2 \\ c + 2 \\ c \end{bmatrix} =c [ 1 1 1 ] \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + [ 2 2 0 ] \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} 其中c属于R

19 , 设 { ( 2 − λ ) x 1 + 2 x 2 − 2 x 3 = 1 2 x 1 + ( 5 − λ ) x 2 − 4 x 3 = 2 − 2 x 1 − 4 x 2 + ( 5 − λ ) x 3 = − ( λ + 1 ) \left\{ \begin{array}{r} (2 - \lambda)x_{1} + 2x_{2} - 2x_{3} = 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 2x_{1} + (5 - \lambda)x_{2} - 4x_{3} = 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ - 2x_{1} - 4x_{2} + (5 - \lambda)x_{3} = - (\lambda + 1) \end{array} \right.\

λ为何值时(1)无解，(2)有惟一解 ; (3)有无限多解，有无限多解时求其通解 ;

解:首先写出两个矩阵

A = [ 2 − λ 2 − 2 2 5 − λ − 4 − 2 − 4 5 − λ ] ， B = [ 2 − λ 2 − 2 2 5 − λ − 4 − 2 − 4 5 − λ 1 2 − ( λ + 1 ) ] A = \left\lbrack \begin{matrix} 2 - \lambda & 2 & - 2 \\ 2 & 5 - \lambda & - 4 \\ - 2 & - 4 & 5 - \lambda \end{matrix}\ \ \right\rbrack\ \ \ ，\ B = \left\lbrack \begin{matrix} 2 - \lambda & 2 & - 2 \\ 2 & 5 - \lambda & - 4 \\ - 2 & - 4 & 5 - \lambda \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ - (\lambda + 1) \end{matrix} \right\rbrack

B = [ 2 − λ 2 − 2 2 5 − λ − 4 − 2 − 4 5 − λ 1 2 − ( λ + 1 ) ] ≅ [ − 2 − 4 5 − λ 2 5 − λ − 4 2 − λ 2 − 2 − ( λ + 1 ) 2 1 ] B = \left\lbrack \begin{matrix} 2 - \lambda & 2 & - 2 \\ 2 & 5 - \lambda & - 4 \\ - 2 & - 4 & 5 - \lambda \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ - (\lambda + 1) \end{matrix} \right\rbrack \cong \left\lbrack \begin{matrix} - 2 & - 4 & 5 - \lambda \\ 2 & 5 - \lambda & - 4 \\ 2 - \lambda & 2 & - 2 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} - (\lambda + 1) \\ 2 \\ 1 \end{matrix} \right\rbrack

≅ [ − 2 − 4 5 − λ 0 1 − λ 1 − λ 0 2 ( λ − 1 ) ( λ − 1 ) ( λ − 6 ) 2 − ( λ + 1 ) 1 − λ λ ( λ − 1 ) 2 ] λ ≠ 1 ≅ [ − 2 − 4 5 − λ 0 1 1 0 2 λ − 6 2 − ( λ + 1 ) 1 λ − 1 2 ] \cong \left\lbrack \begin{matrix} - 2 & - 4 & 5 - \lambda \\ 0 & 1 - \lambda & 1 - \lambda \\ 0 & 2(\lambda - 1) & \frac{(\lambda - 1)(\lambda - 6)}{2} \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} - (\lambda + 1) \\ 1 - \lambda \\ \frac{\lambda(\lambda - 1)}{2} \end{matrix} \right\rbrack\begin{matrix} \lambda \neq 1 \\ \cong \end{matrix}\left\lbrack \begin{matrix} - 2 & - 4 & 5 - \lambda \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & \frac{\lambda - 6}{2} \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} - (\lambda + 1) \\ 1 \\ \frac{\lambda - 1}{2} \end{matrix} \right\rbrack

≅ [ − 2 − 4 5 − λ 0 1 1 0 0 λ − 6 2 − 2 − ( λ + 1 ) 1 λ − 1 2 − 2 ] ≅ [ − 2 − 4 5 − λ 0 1 1 0 0 λ − 10 2 − ( λ + 1 ) 1 λ − 5 2 ] \cong \left\lbrack \begin{matrix} - 2 & - 4 & 5 - \lambda \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & \frac{\lambda - 6}{2} - 2 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} - (\lambda + 1) \\ 1 \\ \frac{\lambda - 1}{2} - 2 \end{matrix} \right\rbrack \cong \left\lbrack \begin{matrix} - 2 & - 4 & 5 - \lambda \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & \frac{\lambda - 10}{2} \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} - (\lambda + 1) \\ 1 \\ \frac{\lambda - 5}{2} \end{matrix} \right\rbrack

≅ [ − 2 − 4 5 − λ 0 1 1 0 0 λ − 10 − ( λ + 1 ) 1 λ − 5 ] \cong \left\lbrack \begin{matrix} - 2 & - 4 & 5 - \lambda \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & {\lambda - 10} \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} - (\lambda + 1) \\ 1 \\ \lambda - 5 \end{matrix} \right\rbrack ，

(i)当R(A)<R(B) ，

即当λ≠1，λ-10=0时 ,

也即当λ≠1，λ= 10 10 时，方程组无解

(ii)当R(A)=R(B)=3 ,

即当λ≠1 ,且 λ − 10 \lambda - 10 ≠0时 ,

也即当λ≠1 , 且λ≠ 10 10 时 , 方程组有惟一解

(iii)当R(A)=R(B)<3 , 方程组有无限多解

为了使R(A)=R(B)<3，就至少要B的第三行全为0

当λ=1时， B = [ 1 2 − 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 ] B = \left\lbrack \begin{matrix} 1 & 2 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right\rbrack

得同解方程组：x1+2x2-2x3=1

得参数形式：x1=-2x2+2x3+1 (x2 , x3可任意取值)

得参数形式： { x 1 = − 2 c 1 + 2 c 2 + 1 x 2 = c 1 x 3 = c 2 \left\{ \begin{matrix} x_{1} = - 2c_{1} + 2c_{2} + 1 \\ x_{2} = c_{1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ x_{3} = c_{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix} \right.\ 其中x2=c1 , x3=c2 ,

得非齐次通解： [ x 1 x 2 x 3 ] \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix} = [ − 2 c 1 + 2 c 2 + 1 c 1 c 2 ] \begin{bmatrix} - 2c_{1} + 2c_{2} + 1 \\ c_{1} \\ c_{2} \end{bmatrix} =c1 [ − 2 1 0 ] \begin{bmatrix} - 2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} +c2 [ 2 0 1 ] \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + [ 1 0 0 ] \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} ，c1 , c2为任意实数

20 , 证明R(A)=1的充分必要条件

是存在非零列向量a和非零行向量bT 使A =abT，

证:

必要性： R ( A ) = 1 ⇒ A = a b ⊤ R(A) = 1 \Rightarrow A = ab^{\top}

设 R ( A ) = 1 R(A) = 1 且 A ≠ 0 A \neq 0 ，则至少有一个非零元素。

不妨设 a 11 ≠ 0 a_{11} \neq 0 （否则可通过行列重排调整，不影响一般性）。

因为 R ( A ) = 1 R(A) = 1 ，所有 2 × 2 2 \times 2 子式为零。

考虑任意 i ∈ { 1 , … , m } i \in \{ 1,\ldots,m\} 和 j ∈ { 1 , … , n } j \in \{ 1,\ldots,n\} ，

取二阶子式 ∣ a i 1 a i j a 11 a 1 j ∣ = a i 1 a 1 j − a i j a 11 = 0 . \begin{vmatrix} a_{i1} & a_{ij} \\ a_{11} & a_{1j} \end{vmatrix} = a_{i1}a_{1j} - a_{ij}a_{11} = 0.

由于 a 11 ≠ 0 a_{11} \neq 0 ，可得 a i j = a i 1 a 11 ⋅ a 1 j . a_{ij} = \frac{a_{i1}}{a_{11}} \cdot a_{1j}.

定义列向量 a ∈ ℝ m a \in \mathbb{R}^{m} 和行向量 b ⊤ ∈ ℝ 1 × n b^{\top} \in \mathbb{R}^{1 \times n} 如下：

a = ( a 11 a 21 ⋮ a m 1 ) , b ⊤ = ( 1 , a 12 a 11 , a 13 a 11 , … , a 1 n a 11 ) . a = \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{pmatrix},\quad\quad b^{\top} = \left( 1,\ \frac{a_{12}}{a_{11}},\ \frac{a_{13}}{a_{11}},\ \ldots,\ \frac{a_{1n}}{a_{11}} \right).

则对任意 i , j i,j ，由 (1) 式可得 ( a b ⊤ ) i j = a i 1 ⋅ a 1 j a 11 = a i j (ab^{\top})_{ij} = a_{i1} \cdot \frac{a_{1j}}{a_{11}} = a_{ij} ，因此 A = a b ⊤ A = ab^{\top} 。

显然 a ≠ 0 a \neq 0 （因为 a 11 ≠ 0 a_{11} \neq 0 ），且 b ⊤ ≠ 0 b^{\top} \neq 0 （第一个分量为1）。必要性得证。

充分性： A = a b ⊤ ⇒ R ( A ) = 1 A = ab^{\top} \Rightarrow R(A) = 1

设 A = a b ⊤ A = ab^{\top} ，其中 a = ( a 1 , … , a m ) ⊤ ≠ 0 a = (a_{1},\ldots,a_{m})^{\top} \neq 0 ， b ⊤ = ( b 1 , … , b n ) ≠ 0 b^{\top} = (b_{1},\ldots,b_{n}) \neq 0 。

则 A A 的 ( i , j ) (i,j) 元素为 a i b j a_{i}b_{j} 。

考虑任意 2 × 2 2 \times 2 子矩阵 ( a i b j a i b l a k b j a k b l ) , \begin{pmatrix} a_{i}b_{j} & a_{i}b_{l} \\ a_{k}b_{j} & a_{k}b_{l} \end{pmatrix},

其行列式为 ( a i b j ) ( a k b l ) − ( a i b l ) ( a k b j ) = a i a k b j b l − a i a k b l b j = 0 . (a_{i}b_{j})(a_{k}b_{l}) - (a_{i}b_{l})(a_{k}b_{j}) = a_{i}a_{k}b_{j}b_{l} - a_{i}a_{k}b_{l}b_{j} = 0.

因此 A A 的所有二阶子式为零，故 R ( A ) ≤ 1 R(A) \leq 1 。

又因为 a , b ≠ 0 a,b \neq 0 ，存在 i , j i,j 使 a i ≠ 0 a_{i} \neq 0 且 b j ≠ 0 b_{j} \neq 0 ，从而 a i b j ≠ 0 a_{i}b_{j} \neq 0 ，所以 A ≠ 0 A \neq 0 ，

即 R ( A ) ≥ 1 R(A) \geq 1 。

综上， R ( A ) = 1 R(A) = 1 。充分性得证。

结论：

本文通过分析矩阵的所有二阶子式为零这一性质，

清晰证明了矩阵秩为1的充分必要条件是其可表示为非零列向量与非零行向量的外积。

该方法直接利用秩的定义性质，避免了使用更高级的矩阵分解工具，体现了初等方法的简洁性。

验证：

1. 验证必要性

条件： 已知一个矩阵 R ( A ) = 1 R(A) = 1 ，要构造出 A = a b T A = ab^{T} 。

例子： A = ( 2 4 6 1 2 3 3 6 9 ) A = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}

显然，各行成比例（第 1 行 × 1/2 得第 2 行；第 1 行 × 3/2 得第 3 行），

所以秩为 1。

按证明中方法，假设 a 11 ≠ 0 a_{11} \neq 0 ，此处 a 11 = 2 a_{11} = 2 不为零。

由公式 a i j = a i 1 a 11 ⋅ a 1 j a_{ij} = \frac{a_{i1}}{a_{11}} \cdot a_{1j} ，我们先取 a i 1 a_{i1} ： a = ( 2 1 3 ) a = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}

因为 a 11 = 2 , a 12 = 4 ⇒ a 12 a 11 = 2 a_{11} = 2,\quad a_{12} = 4 \Rightarrow \frac{a_{12}}{a_{11}} = 2 ， a 13 = 6 ⇒ a 13 a 11 = 3 a_{13} = 6 \Rightarrow \frac{a_{13}}{a_{11}} = 3

所以 b T = ( 1 , 4 2 , 6 2 ) = ( 1 , 2 , 3 ) b^{T} = \left( 1,\mspace{6mu}\frac{4}{2},\mspace{6mu}\frac{6}{2} \right) = (1,\ 2,\ 3)

验证： a b T = ( 2 1 3 ) ( 1 , 2 , 3 ) = ( 2 4 6 1 2 3 3 6 9 ) ab^{T} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}(1,2,3) = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}

正确。必要性成立。

2. 验证充分性

条件： A = a b T A = ab^{T} （ a a 为非零列向量， b T b^{T} 为非零行向量），证明 R ( A ) = 1 R(A) = 1 。

例子： 取 a = ( 1 − 2 ) , b T = ( 3 , 0 , 4 ) a = \begin{pmatrix} 1 \\ - 2 \end{pmatrix},\quad b^{T} = (3,\ 0,\ 4)

则 A = ( 1 − 2 ) ( 3 , 0 , 4 ) = ( 3 0 4 − 6 0 − 8 ) A = \begin{pmatrix} 1 \\ - 2 \end{pmatrix}(3,0,4) = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 4 \\ - 6 & 0 & - 8 \end{pmatrix}

明显第 2 行 = 第 1 行 × (-2)，所以行向量均线性相关，秩为 1。

更一般地，如证明：任意 2 × 2 2 \times 2 子矩阵为 ( a i b j a i b l a k b j a k b l ) \begin{pmatrix} a_{i}b_{j} & a_{i}b_{l} \\ a_{k}b_{j} & a_{k}b_{l} \end{pmatrix}

行列式为 a i a k b j b l − a i a k b l b j = 0 a_{i}a_{k}b_{j}b_{l} - a_{i}a_{k}b_{l}b_{j} = 0

因此所有二阶子式为 0，则 R ( A ) ≤ 1 R(A) \leq 1 。

又 a , b a,b 非零 ⇒ 存在 a i b j ≠ 0 a_{i}b_{j} \neq 0 ⇒ A A 非零矩阵 ⇒ 秩至少为 1。 所以 R ( A ) = 1 R(A) = 1 。

3. 综合结论

通过上面的具体例子可见：

必要性： R ( A ) = 1 R(A) = 1 ⇒ 我们能按公式找到 a , b T a,b^{T} ，使 A = a b T A = ab^{T} 。

充分性： A = a b T A = ab^{T} ⇒ A A 的列全为 a a 的倍数，行全为 b T b^{T} 的倍数，因此秩为 1。

两者相互印证，说明了定理的正确性和构造方法的有效性。