1.用初等行变换把下列矩阵化为行最简形矩阵:

(1) $\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} \right\rbrack$ (2) $\left\lbrack \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} - 3 \\ - 4 \\ - 7 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 3 \\ - 1 \end{matrix} \right\rbrack$

(3) $\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} - 1 \\ - 3 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 2 \\ - 3 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 3 \\ 5 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} - 4 \\ - 4 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 2 \\ - 2 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$ (4) $\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 2 \\ - 3 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 8 \\ 7 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} - 3 \\ - 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} - 7 \\ - 4 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 3 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$

解: (1) $\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} \right\rbrack\overset{\begin{matrix} r_{2} - 2r_{1} \\ r_{3} - 3r_{1} \end{matrix}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} - 1 \\ 3 \\ 6 \end{matrix} \right\rbrack\overset{\begin{matrix} r_{2} \times ( - 1) \\ r_{1} - 2r_{2} \\ r_{3} + 2r_{2} \end{matrix}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 5 \\ - 3 \\ 0 \end{matrix} \right\rbrack$

(2) $\left\lbrack \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} - 3 \\ - 4 \\ - 7 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 3 \\ - 1 \end{matrix} \right\rbrack\overset{\begin{matrix} r_{2} - r_{1} \\ r_{3} - 2r_{1} \end{matrix}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} - 3 \\ - 1 \\ - 1 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{matrix} \right\rbrack\overset{r_{1} \leftrightarrow r_{2}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} - 1 \\ - 3 \\ - 1 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{matrix} \right\rbrack$

$\overset{r_{2} - 2r_{1}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ - 1 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 2 \\ - 3 \\ - 3 \end{matrix} \right\rbrack\overset{\begin{matrix} r_{2} \times ( - 1) \\ r_{1} + r_{2} \\ r_{3} + r_{2} \end{matrix}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 5 \\ 3 \\ 0 \end{matrix} \right\rbrack$

(3) $\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} - 1 \\ - 3 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 2 \\ - 3 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 3 \\ 5 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} - 4 \\ - 4 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 2 \\ - 2 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack\overset{\begin{matrix} r_{2} - r_{4} \\ r_{3} - 2r_{1} \\ r_{4} - 3r_{1} \end{matrix}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} - 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 3 \\ - 5 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} - 4 \\ - 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 6 \\ 10 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 6 \\ - 10 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack\overset{\begin{matrix} r_{1} - 3r_{2} \\ r_{3} + 3r_{2} \\ r_{4} + 5r_{2} \end{matrix}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} - 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 2 \\ - 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} - 3 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$

(4)$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 2 \\ - 3 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 8 \\ 7 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} - 3 \\ - 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} - 7 \\ - 4 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 3 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack\overset{r_{1} \leftrightarrow r_{2}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 2 \\ - 3 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 8 \\ 7 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} - 2 \\ - 3 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} - 4 \\ - 7 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 3 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack\overset{\begin{matrix} r_{2} - 2r_{1} \\ r_{3} - 3r_{1} \\ r_{4} - 2r_{1} \end{matrix}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 2 \\ - 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 8 \\ - 7 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 8 \\ 7 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} - 2 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 9 \\ 8 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} - 4 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 12 \\ 11 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$

$\overset{\begin{array}{r} \begin{matrix} r_{2} \times ( - 1) \\ r_{1} - 2r_{2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} r_{3} + 8r_{2} \\ r_{4} + 7r_{2} \end{matrix} \end{array}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 2 \\ - 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ - 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} - 2 \\ - 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 4 \\ 4 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack\overset{\begin{matrix} r_{2} + r_{3} \\ r_{4} - r_{3} \end{matrix}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 2 \\ - 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} - 2 \\ 3 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 4 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$

2. 设A=$\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 3 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 4 \\ 5 \\ 2 \end{matrix} \right\rbrack$ , 求一个可逆矩阵P , 使PA为行最简形

解: (A , E)=$\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 3 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 4 \\ 5 \\ 2 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right\rbrack\overset{\begin{matrix} r_{2} - 2r_{1} \\ r_{3} - 5r_{1} \end{matrix}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ - 6 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 3 \\ - 2 \\ - 12 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 4 \\ - 3 \\ - 18 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ - 5 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right\rbrack$

$\overset{\begin{matrix} r_{2} \times ( - 1) \\ r_{1} - 2r_{2} \\ r_{3} + 6r_{2} \end{matrix}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} - 2 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} - 3 \\ 2 \\ 7 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ - 6 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right\rbrack$

故P=$\left\lbrack \ \begin{matrix} - 3 \\ 2 \\ 7 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ - 6 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right\rbrack$ , 并且A的行最简形为PA =$\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} - 2 \\ 3 \\ 0 \end{matrix} \right\rbrack$

3. 设A=$\left\lbrack \begin{matrix} - 5 \\ 2 \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} 3 \\ - 1 \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \right\rbrack$

(1)求一个可逆矩阵P , 使PA为行最简形

(2)求一个可逆矩阵Q , 使QA^T为行最简形

解: (1) (A , E)=$\left\lbrack \begin{matrix} - 5 \\ 2 \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} 3 \\ - 1 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \right\rbrack\overset{r_{1} + 3r_{2}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} 0 \\ - 1 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix} \right\rbrack$

$\overset{\begin{matrix} r_{2} - 2r_{1} \\ r_{2} \times ( - 1) \end{matrix}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 4 \\ 7 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 3 \\ 5 \end{matrix} \right\rbrack$

于是P=$\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}$ , 且PA =$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 7 \end{bmatrix}$为A的行最简形

(2) (A^T , E)=$\left\lbrack \begin{matrix} - 5 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right\rbrack\overset{r_{1} + 2r_{2}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right\rbrack$

$\overset{\begin{matrix} r_{2} - 3r_{1} \\ r_{3} - r_{1} \end{matrix}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ - 3 \\ - 1 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 2 \\ - 5 \\ - 2 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right\rbrack\overset{\begin{matrix} r_{2} \times ( - 1) \\ r_{3} - r_{2} \end{matrix}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 3 \\ - 4 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 2 \\ 5 \\ - 7 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right\rbrack$

于是Q=$\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 3 \\ - 4 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 2 \\ 5 \\ - 7 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right\rbrack$ , 并且 QA^T=$\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right\rbrack$为A^T的行最简形

4.试利用矩阵的初等变换 , 求下列方阵的逆矩阵

(1)$\left\lbrack \begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 5 \\ 3 \end{matrix} \right\rbrack$ (2)$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} - 2 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 2 \\ 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 3 \\ 2 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} - 1 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 2 \\ 1 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$

解: 记所给的矩阵为A

(1) (A , E)=$\left\lbrack \begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 5 \\ 3 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right\rbrack\overset{\begin{matrix} r_{2} - r_{1} \\ r_{3} - r_{1} \end{matrix}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ - 1 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right\rbrack$

$\overset{\begin{matrix} r_{2} \times ( - 1) \\ r_{1} - 2r_{2} \end{matrix}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 9 \\ - 4 \\ 2 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right\rbrack\overset{\begin{matrix} r_{3} \div 2 \\ r_{1} - 9r_{3} \\ r_{2} + 4r_{3} \end{matrix}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \frac{7}{2} \\ - 1 \\ \frac{- 1}{2} \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \frac{- 9}{2} \\ 2 \\ \frac{1}{2} \end{matrix} \right\rbrack$

$\overset{r_{1} \div 3}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \frac{7}{6} \\ - 1 \\ \frac{- 1}{2} \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \frac{2}{3} \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \frac{- 3}{2} \\ 2 \\ \frac{1}{2} \end{matrix} \right\rbrack$

因A~E , 由定理1的推论 , 知A可逆 , 且A^-1=$\left\lbrack \begin{matrix} \frac{7}{6} \\ - 1 \\ \frac{- 1}{2} \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \frac{2}{3} \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \frac{- 3}{2} \\ 2 \\ \frac{1}{2} \end{matrix} \right\rbrack$

(2) (A , E)=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} - 2 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 2 \\ 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 3 \\ 2 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} - 1 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 2 \\ 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \end{array}\ \right\rbrack$

$\overset{\begin{matrix} r_{1} \leftrightarrow r_{3} \\ r_{2} \leftrightarrow r_{4} \end{matrix}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} - 2 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 2 \\ 2 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} - 3 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} - 2 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 1 \\ 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \right\rbrack$

$$\overset{\begin{matrix} r_{3} - 3r_{1} \\ r_{4} - 2r_{2} \end{matrix}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} - 2 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 4 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} - 3 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 9 \\ - 2 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} - 2 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 5 \\ - 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 3 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ - 2 \end{matrix} \end{array}\ \right\rbrack$$

$\overset{\begin{matrix} r_{1} + 2r_{2} \\ r_{3} - 4r_{2} \end{matrix}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ - 2 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 3 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 4 \\ - 2 \end{matrix} \end{array}\ \right\rbrack$

$$\overset{\begin{matrix} r_{1} - r_{3} \\ r_{2} - 2r_{3} \\ r_{4} + 2r_{3} \end{matrix}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} - 1 \\ - 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} - 1 \\ - 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 4 \\ 6 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 3 \\ - 6 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 6 \\ 9 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 4 \\ - 10 \end{matrix} \end{array}\ \right\rbrack$$

$$\overset{\begin{matrix} r_{1} + r_{4} \\ r_{2} + r_{4} \\ r_{3} - r_{4} \end{matrix}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 1 \\ 2 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 1 \\ 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} - 2 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 3 \\ - 6 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} - 4 \\ - 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 6 \\ - 10 \end{matrix} \end{array}\ \right\rbrack$$

因A~E , 由定理1之推论 , 知A可逆 , 并且A^-1=$\left\lbrack \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 1 \\ 2 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 1 \\ 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} - 2 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 3 \\ - 6 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} - 4 \\ - 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 6 \\ - 10 \end{matrix} \end{array}\ \right\rbrack$

5.试利用矩阵的初等行变换 , 求解线性方程组$\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} + x_{3} = 2 \\ x_{1} + 2x_{2} + 4x_{3} = 3 \\ x_{1} + 3x_{2} + 9x_{3} = 5 \end{matrix} \right.\$.

解: 对此方程组的增广矩阵作初等行变换得

B=$\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 9 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 5 \end{matrix} \right\rbrack\overset{\begin{matrix} r_{3} - r_{2} \\ r_{2} - r_{1} \end{matrix}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right\rbrack\overset{\begin{matrix} r_{1} - r_{2} \\ r_{3} - r_{2} \\ r_{3} \times \frac{1}{2} \end{matrix}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} - 2 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ \frac{1}{2} \end{matrix} \right\rbrack\overset{\begin{matrix} r_{1} + 2r_{3} \\ r_{2} - 3r_{3} \end{matrix}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 2 \\ \frac{- 1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{matrix} \right\rbrack$

由此得到解为x₁=2 , x₂=$\frac{- 1}{2}$ , x₃=$\frac{1}{2}$