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设有n个未知数m个方程的线性方程组(3) { a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b 2 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ⋯ + a m n x n = b m \left\{ \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots + a_{1n}x_{n} = b_{1} \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2n}x_{n} = b_{2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \cdots\cdots\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdots\cdots \\ a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \cdots + a_{mn}x_{n} = b_{m} \end{matrix} \end{array} \right.\

线性方程组(3)可以写成以向量x为未知元的向量方程 Ax=b

第二章中已经说明 , 线性方程组(3)与向量方程Ax=b将混同使用而不加区分

解与解向量的名称亦不加区别

线性方程组(3)如果有解 , 就称它是相容的 ; 如果无解 , 就称它不相容

利用系数矩阵A和增广矩阵B=(A , b)的秩

可以方便地讨论线性方程组是否有解(即是否相容)

以及有解时解是否惟一等问题

定理3

(i)R(A)<R(A , b)，是n元线性方程组Ax=b无解的充分必要条件。

(ii)R(A)=R(A , b)=n，是n元线性方程组Ax=b有惟一解的充分必要条件

(iii)R(A)=R(A , b)<n，是n元线性方程组Ax=b有无限多解的充分必要条件

证: 只需证明条件的充分性 ,

因为(i),(ii),(iii)中条件的必要性依次是

(ii)(iii) , (i)(iii) , (i)(ii)中条件的充分性的逆否命题

设R(A)=r . 为叙述方便 , 设B=(A , b)的行最简形矩阵为

B ̃ = [ 1 0 ⋮ 0 0 0 ⋮ 0 0 1 ⋮ 0 0 0 ⋮ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 ⋮ 1 0 0 ⋮ 0 b 11 b 21 ⋮ b r 1 0 0 ⋮ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ b 1 , n − r b 2 , n − r ⋮ b r , n − r 0 0 ⋮ 0 d 1 d 2 ⋮ d r d r + 1 0 ⋮ 0 ] \widetilde{B} = \left\lbrack \begin{array}{r} \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \\ \begin{matrix} \vdots \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \\ \begin{matrix} \vdots \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{array}{r} \begin{matrix} \cdots \\ \cdots \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \cdots \\ \cdots \\ \cdots \end{matrix} \end{array} \\ \begin{matrix} \\ \cdots \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \\ \begin{matrix} \vdots \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{array}{r} \begin{matrix} b_{11} \\ b_{21} \\ \vdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} b_{r1} \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \\ \begin{matrix} \vdots \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{array}{r} \begin{matrix} \cdots \\ \cdots \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \cdots \\ \cdots \\ \cdots \end{matrix} \end{array} \\ \begin{matrix} \\ \cdots \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{array}{r} \begin{matrix} b_{1\ ,\ n - r} \\ b_{2\ ,\ n - r} \\ \vdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} b_{r\ ,\ n - r} \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \\ \begin{matrix} \vdots \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{array}{r} \begin{matrix} d_{1} \\ d_{2} \\ \vdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} d_{r} \\ d_{r + 1} \\ 0 \end{matrix} \end{array} \\ \begin{matrix} \vdots \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \right\rbrack

(i)若R(A)<R(B) , 则 B ̃ \widetilde{B} 中的dr+1=1 , 于是 B ̃ \widetilde{B} 的第r+1行对应矛盾方程0=1

故方程(4)无解

(ii)若R(A)=R(B) , 则进一步把B化成行最简形矩阵

而对于齐次线性方程组 , 则把系数矩阵A化成行最简形矩阵

(iii)设R(A)=R(B)=r

把行最简形中r个非零行的首非零元所对应的未知数取作非自由未知数

其余n-r个未知数取作自由未知数

并令自由未知数分别等于c , c2 , ⋯ , cn-r , 由B(或A)是行最简形矩阵

即可写出含n-r个参数的通解

例10求解齐次线性方程组 { x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 + x 4 = 0 2 x 1 + x 2 − 2 x 3 − 2 x 4 = 0 x 1 − x 2 − 4 x 3 − 3 x 4 = 0 \left\{ \begin{matrix} x_{1} + 2x_{2} + 2x_{3} + x_{4} = 0 \\ 2x_{1} + x_{2} - 2x_{3} - 2x_{4} = 0 \\ x_{1} - x_{2} - 4x_{3} - 3x_{4} = 0 \end{matrix} \right.\

解: 对系数矩阵A施行初等行变换变为行最简形矩阵

A= [ 1 2 1 2 1 − 1 2 − 2 − 4 1 − 2 − 3 ] ⇒ r 2 − 2 r 1 r 3 − r 1 [ 1 0 0 2 − 3 − 3 2 − 6 − 6 1 − 4 − 4 ] \left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ - 4 \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ - 3 \end{matrix} \right\rbrack\overset{\begin{matrix} r_{2} - 2r_{1} \\ r_{3} - r_{1} \end{matrix}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} 2 \\ - 3 \\ - 3 \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} 2 \\ - 6 \\ - 6 \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} 1 \\ - 4 \\ - 4 \end{matrix} \right\rbrack

⇒ r 3 − r 2 r 2 ÷ ( − 3 ) [ 1 0 0 2 1 0 2 2 0 1 4 3 0 ] ⇒ r 1 − 2 r 2 [ 1 0 0 0 1 0 − 2 − 2 0 − 5 3 − 5 3 0 ] \overset{\begin{matrix} r_{3} - r_{2} \\ r_{2} \div ( - 3) \end{matrix}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} 1 \\ \frac{4}{3} \\ 0 \end{matrix} \right\rbrack\overset{r_{1} - 2r_{2}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} - 2 \\ - 2 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} \frac{- 5}{3} \\ \frac{- 5}{3} \\ 0 \end{matrix} \right\rbrack

得同解的方程组 { x 1 − 2 x 3 − 5 3 x 4 = 0 x 2 + 2 x 3 + 4 3 x 4 = 0 \left\{ \begin{matrix} x_{1} - 2x_{3} - \frac{5}{3}x_{4} = 0 \\ x_{2} + 2x_{3} + \frac{4}{3}x_{4} = 0 \end{matrix} \right.\

得参数形式 { x 1 = 2 x 3 + 5 3 x 4 x 2 = − 2 x 3 − 4 3 x 4 \left\{ \begin{matrix} x_{1} = 2x_{3} + \frac{5}{3}x_{4} \\ x_{2} = - 2x_{3} - \frac{4}{3}x_{4} \end{matrix} \right.\ (x3 , x4可任意取值)

得参数形式 { x 1 = 2 c 1 + 5 3 c 2 x 2 = − 2 c 1 − 4 3 c 2 x 3 = c 1 x 4 = c 2 \left\{ \begin{array}{r} \begin{matrix} x_{1} = 2c_{1} + \frac{5}{3}c_{2} \\ x_{2} = - 2c_{1} - \frac{4}{3}c_{2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} x_{3} = c_{1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ x_{4} = c_{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix} \end{array} \right.\ 令x3=c1 , x4=c2 , 其中c1 , c2为任意实数

得齐次通解 [ x 1 x 2 x 3 x 4 ] \left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} x_{3} \\ x_{4} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack = [ 2 c 1 + 5 3 c 2 − 2 c 1 − 4 3 c 2 c 1 c 2 ] \left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 2c_{1} + \frac{5}{3}c_{2} \\ - 2c_{1} - \frac{4}{3}c_{2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} c_{1} \\ \ c_{2} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack = c 1 [ 2 − 2 1 0 ] c_{1}\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 2 \\ - 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack + c 2 [ 5 3 − 4 3 0 1 ] c_{2}\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} \frac{5}{3} \\ \frac{- 4}{3} \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack

例11求解非齐次线性方程组 { x 1 − 2 x 2 + 3 x 3 − x 4 = 1 3 x 1 − x 2 + 5 x 3 − 3 x 4 = 2 2 x 1 + x 2 + x 3 − 2 x 4 = 3 \left\{ \begin{matrix} x_{1} - 2x_{2} + 3x_{3} - x_{4} = 1 \\ 3x_{1} - x_{2} + 5x_{3} - 3x_{4} = 2 \\ 2x_{1} + x_{2} + x_{3} - 2x_{4} = 3 \end{matrix} \right.\

解: 对增广矩阵B施行初等行变换

B= [ 1 3 2 − 2 − 1 1 3 5 2 − 1 − 3 − 2 1 2 3 ] ⇒ r 2 − 3 r 1 r 3 − 2 r 1 [ 1 0 0 − 2 5 5 3 − 4 − 4 − 1 0 0 1 − 1 1 ] ⇒ r 3 − r 2 [ 1 0 0 − 2 5 0 3 − 4 0 − 1 0 0 1 − 1 2 ] \left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} - 2 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 3 \\ 5 \\ 2 \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} - 1 \\ - 3 \\ - 2 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right\rbrack\overset{\begin{matrix} r_{2} - 3r_{1} \\ r_{3} - 2r_{1} \end{matrix}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} - 2 \\ 5 \\ 5 \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} 3 \\ - 4 \\ - 4 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix} \right\rbrack\overset{r_{3} - r_{2}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} - 2 \\ 5 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} 3 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix} \right\rbrack

可见R(A)=2 , R(B)=3 , 故方程组无解

例12求解非齐次线性方程组 { x 1 + x 2 − 3 x 3 − x 4 = 1 3 x 1 − x 2 − 3 x 3 + 4 x 4 = 4 x 1 + 5 x 2 − 9 x 3 − 8 x 4 = 0 \left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} - 3x_{3} - x_{4} = 1 \\ 3x_{1} - x_{2} - 3x_{3} + 4x_{4} = 4 \\ x_{1} + 5x_{2} - 9x_{3} - 8x_{4} = 0 \end{matrix} \right.\

解: 对增广矩阵B施行初等行变换

B= [ 1 3 1 1 − 1 5 − 3 − 3 − 9 − 1 4 − 8 1 4 0 ] ⇒ r 2 − 3 r 1 r 3 − r 1 [ 1 0 0 1 − 4 4 − 3 6 − 6 − 1 7 − 7 1 1 − 1 ] \left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 5 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} - 3 \\ - 3 \\ - 9 \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} - 1 \\ 4 \\ - 8 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 0 \end{matrix} \right\rbrack\overset{\begin{matrix} r_{2} - 3r_{1} \\ r_{3} - r_{1} \end{matrix}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} 1 \\ - 4 \\ 4 \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} - 3 \\ 6 \\ - 6 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} - 1 \\ 7 \\ - 7 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix} \right\rbrack

⇒ r 3 + r 2 r 2 ÷ ( − 4 ) [ 1 0 0 1 1 0 − 3 − 3 2 0 − 1 − 7 4 0 1 − 1 4 0 ] ⇒ r 1 − r 2 [ 1 0 0 0 1 0 − 3 2 − 3 2 0 3 4 − 7 4 0 5 4 − 1 4 0 ] \overset{\begin{matrix} r_{3} + r_{2} \\ r_{2} \div ( - 4) \end{matrix}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} - 3 \\ \frac{- 3}{2} \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} - 1 \\ \frac{- 7}{4} \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ \frac{- 1}{4} \\ 0 \end{matrix} \right\rbrack\overset{r_{1} - r_{2}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} \frac{- 3}{2} \\ \frac{- 3}{2} \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \frac{3}{4} \\ \frac{- 7}{4} \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \frac{5}{4} \\ \frac{- 1}{4} \\ 0 \end{matrix} \right\rbrack

得同解方程组 { x 1 + 0 − 3 2 x 3 + 3 4 x 4 = 5 4 0 + x 2 − 3 2 x 3 − 7 4 x 4 = − 1 4 \left\{ \begin{matrix} x_{1} + 0 - \frac{3}{2}x_{3} + \frac{3}{4}x_{4} = \frac{5}{4} \\ 0 + x_{2} - \frac{3}{2}x_{3} - \frac{7}{4}x_{4} = - \frac{1}{4} \end{matrix} \right.\

得参数形式 { x 1 = 3 2 x 3 − 3 4 x 4 + 5 4 x 2 = 3 2 x 3 + 7 4 x 4 − 1 4 \left\{ \begin{matrix} x_{1} = \frac{3}{2}x_{3} - \frac{3}{4}x_{4} + \frac{5}{4} \\ x_{2} = \frac{3}{2}x_{3} + \frac{7}{4}x_{4} - \frac{1}{4} \end{matrix} \right.\ (x3 , x4可任意取值)

得参数形式 { x 1 = 3 2 c 1 − 3 4 c 2 + 5 4 x 2 = 3 2 c 1 + 7 4 c 2 − 1 4 x 3 = c 1 x 4 = c 2 \left\{ \begin{array}{r} \begin{matrix} x_{1} = \frac{3}{2}c_{1} - \frac{3}{4}c_{2} + \frac{5}{4} \\ x_{2} = \frac{3}{2}c_{1} + \frac{7}{4}c_{2} - \frac{1}{4} \end{matrix} \\ \begin{matrix} x_{3} = c_{1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ x_{4} = c_{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix} \end{array} \right.\

得非齐次通解 [ x 1 x 2 x 3 x 4 ] = [ 3 2 c 1 − 3 4 c 2 + 5 4 3 2 c 1 + 7 4 c 2 − 1 4 c 1 c 2 ] \left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} x_{3} \\ x_{4} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack = \left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} \frac{3}{2}c_{1} - \frac{3}{4}c_{2} + \frac{5}{4} \\ \frac{3}{2}c_{1} + \frac{7}{4}c_{2} - \frac{1}{4} \end{matrix} \\ \begin{matrix} c_{1} \\ \ c_{2} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack = c 1 [ 3 2 3 2 1 0 ] c_{1}\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} \frac{3}{2} \\ \frac{3}{2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack + c 2 [ − 3 4 7 4 0 1 ] c_{2}\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} \frac{- 3}{4} \\ \frac{7}{4} \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack + [ 5 4 − 1 4 0 0 ] \left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} \frac{5}{4} \\ \frac{- 1}{4} \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack , (c1 , c2 ∈ R)

例13设有线性方程组 { ( 1 + λ ) x 1 + x 2 + x 3 = 0 x 1 + ( 1 + λ ) x 2 + x 3 = 3 x 1 + x 2 + ( 1 + λ ) x 3 = λ \left\{ \begin{matrix} (1 + \lambda)x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0 \\ x_{1} + (1 + \lambda)x_{2} + x_{3} = 3 \\ x_{1} + x_{2} + (1 + \lambda)x_{3} = \lambda \end{matrix} \right.\

问λ取何值时 , 此方程组(1)无解 ; (2)有惟一解 ; (3)有无限多解?

并在有无限多解时求其通解

解法1对增广矩阵B=(A , b)作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵

有B= [ 1 + λ 1 1 1 1 + λ 1 1 1 1 + λ 0 3 λ ] ⇒ r 1 ↔ r 3 [ 1 1 1 + λ 1 1 + λ 1 1 + λ 1 1 λ 3 0 ] \left\lbrack \begin{matrix} 1 + \lambda \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 1 + \lambda \\ 1 \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 + \lambda \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 3 \\ \lambda \end{matrix}\ \right\rbrack\overset{r_{1} \leftrightarrow r_{3}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 + \lambda \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 1 + \lambda \\ 1 \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \begin{matrix} 1 + \lambda \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} \lambda \\ 3 \\ 0 \end{matrix}\ \right\rbrack

⇒ r 2 − r 1 r 3 − ( 1 + λ ) r 1 [ 1 0 0 1 λ − λ 1 + λ − λ − λ ( 2 + λ ) λ 3 − λ − λ ( 1 + λ ) ] \overset{\begin{matrix} r_{2} - r_{1} \\ r_{3} - (1 + \lambda)r_{1} \end{matrix}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ \lambda \\ - \lambda \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \begin{matrix} 1 + \lambda \\ - \lambda \\ - \lambda(2 + \lambda) \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} \lambda \\ 3 - \lambda \\ - \lambda(1 + \lambda) \end{matrix}\ \right\rbrack

⇒ r 3 + r 2 [ 1 0 0 1 λ 0 1 + λ − λ − λ ( 3 + λ ) λ 3 − λ ( 1 − λ ) ( 3 + λ ) ] \overset{r_{3} + r_{2}}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ \lambda \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \begin{matrix} 1 + \lambda \\ - \lambda \\ - \lambda(3 + \lambda) \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} \lambda \\ 3 - \lambda \\ (1 - \lambda)(3 + \lambda) \end{matrix}\ \right\rbrack

(1)当λ=0时 ,

[ 1 0 0 1 λ 0 1 + λ − λ − λ ( 3 + λ ) λ 3 − λ ( 1 − λ ) ( 3 + λ ) ] = [ 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 3 3 ] = [ 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 ] \left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ \lambda \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \begin{matrix} 1 + \lambda \\ - \lambda \\ - \lambda(3 + \lambda) \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} \lambda \\ 3 - \lambda \\ (1 - \lambda)(3 + \lambda) \end{matrix}\ \right\rbrack = \left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 3 \end{matrix} \right\rbrack = \left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right\rbrack

R(A)=1 , R(B)=2 , 方程组无解

(2)当λ≠0且λ≠-3时 , [ 1 0 0 1 λ 0 1 + λ − λ − λ ( 3 + λ ) λ 3 − λ ( 1 − λ ) ( 3 + λ ) ] \left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ \lambda \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \begin{matrix} 1 + \lambda \\ - \lambda \\ - \lambda(3 + \lambda) \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} \lambda \\ 3 - \lambda \\ (1 - \lambda)(3 + \lambda) \end{matrix}\ \right\rbrack

R(A)=R(B)=3 , 方程组有惟一解

(3)当λ=-3时 ,

[ 1 0 0 1 λ 0 1 + λ − λ − λ ( 3 + λ ) λ 3 − λ ( 1 − λ ) ( 3 + λ ) ] ⇒ r [ 1 0 0 1 − 3 0 − 2 3 0 − 3 6 0 ] ⇒ r [ 1 0 0 0 1 0 − 1 − 1 0 − 1 − 2 0 ] \left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ \lambda \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 1 + \lambda \\ - \lambda \\ - \lambda(3 + \lambda) \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \lambda \\ 3 - \lambda \\ (1 - \lambda)(3 + \lambda) \end{matrix}\ \right\rbrack\overset{r}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ - 3 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} - 2 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} - 3 \\ 6 \\ 0 \end{matrix}\ \right\rbrack\overset{r}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} - 1 \\ - 2 \\ 0 \end{matrix}\ \right\rbrack

R(A)=R(B)=2 , 方程组有无限多个解

得同解方程组 { x 1 − x 3 = − 1 x 2 − x 3 = − 2 \left\{ \begin{matrix} x_{1} - x_{3} = - 1 \\ x_{2} - x_{3} = - 2 \end{matrix} \right.\

得参数形式 { x 1 = x 3 − 1 x 2 = x 3 − 2 \left\{ \begin{matrix} x_{1} = x_{3} - 1 \\ x_{2} = x_{3} - 2 \end{matrix} \right.\ (x3可任意取值)

得参数形式 { x 1 = c − 1 x 2 = c − 2 x 3 = c \left\{ \begin{matrix} x_{1} = c - 1 \\ x_{2} = c - 2 \\ x_{3} = c\ \ \ \ \ \ \ \end{matrix} \right.\ 令x3=c , 其中c为任意实数

得非齐次通解 [ x 1 x 2 x 3 ] \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix} =c [ 1 1 1 ] \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + [ − 1 − 2 0 ] \begin{bmatrix} - 1 \\ - 2 \\ 0 \end{bmatrix} (c属于R)

解法2因系数矩阵A为3阶方阵 , 故有R(A)⩽R(A , b)3×4⩽3

于是由定理3 , 知

A的秩R(A)=3 , 即|A|≠0是方程有惟一解的充分必要条件。

而|A|= | 1 + λ 1 1 1 1 + λ 1 1 1 1 + λ | = ( 3 + λ ) | 1 1 1 1 1 + λ 1 1 1 1 + λ | \left| \begin{matrix} 1 + \lambda & 1 & 1 \\ 1 & 1 + \lambda & 1 \\ 1 & 1 & 1 + \lambda \end{matrix} \right| = (3 + \lambda)\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 + \lambda & 1 \\ 1 & 1 & 1 + \lambda \end{matrix} \right|

= ( 3 + λ ) | 1 1 1 0 λ 0 1 0 λ | = (3 + \lambda)\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 1 & 0 & \lambda \end{matrix} \right| =(3+ λ \lambda ) λ \lambda 2

当λ=0时 , B= [ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 3 0 ] ⇒ r [ 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 ] \left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{matrix} \right\rbrack\overset{r}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\ \right\rbrack

知R(A)=1 , R(B)=2 , 故方程组无解

当λ≠0且λ≠-3时 , 方程组有惟一解

当λ=-3时 , B= [ − 2 1 1 1 − 2 1 1 1 − 2 0 3 − 3 ] ⇒ r [ 1 0 0 0 1 0 − 1 − 1 0 − 1 − 2 0 ] \left\lbrack \begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 3 \\ - 3 \end{matrix} \right\rbrack\overset{r}{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} - 1 \\ - 2 \\ 0 \end{matrix}\ \right\rbrack

知 R(A)=R(B)=2 , 故方程组有无限多个解

且通解为 [ x 1 x 2 x 3 ] \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix} =c [ 1 1 1 ] \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + [ − 1 − 2 0 ] \begin{bmatrix} - 1 \\ - 2 \\ 0 \end{bmatrix} (c属于R)

比较解法1与解法2 , 显见解法2较简单

但解法2的方法只适用于系数矩阵为方阵的情形

对含参数的矩阵作初等变换时,

例如在本例中对矩阵B作初等变换时,

由于λ+1 , λ+3等因式可以等于0,

故不宜作诸如r2 - 1 λ + 1 \frac{1}{\lambda + 1} r1 , r2×(λ+1) , r3÷(λ+3)这样的变换。

如果作了这种变换,则需对λ+1=0(或λ+3=0)的情形另作讨论。

因此 , 对含参数的矩阵作初等变换较不方便

定理4 R(A)<n，是n元齐次线性方程组Ax=0有无限多解的充分必要条件

此定理是当，

R(A)=R(A , b)<n，是n元线性方程组Ax=b有无限多解的充分必要条件，

b=0时的特殊情况

定理5 R(A)=R(A , b)，是非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件

定理6 R(A)=R(A , B)，是矩阵方程AX=B有解的充分必要条件

证：

核心概念回顾

1.矩阵方程 A X = B AX = B 的结构：

设 A A 是 m × n m \times n 矩阵， B B 是 m × l m \times l 矩阵， X X 是 n × l n \times l 未知矩阵。

若将 B B 按列分块为 B = ( β 1 , β 2 , … , β l ) B = (\beta_{1},\beta_{2},\ldots,\beta_{l}) ， X X 按列分块为 X = ( x 1 , x 2 , … , x l ) X = (x_{1},x_{2},\ldots,x_{l}) ，

则矩阵方程 A X = B AX = B 等价于 l l 个线性方程组： A x 1 = β 1 , A x 2 = β 2 , … , A x l = β l Ax_{1} = \beta_{1},\ Ax_{2} = \beta_{2},\ \ldots,\ Ax_{l} = \beta_{l}

2.线性方程组有解的充要条件：

R ( A ) = R ( A , β ) R(A) = R(A,\beta) 是单个线性方程组 A x = β Ax = \beta 有解的充要条件

（系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩）。

证明过程

1.充分性（若 R ( A ) = R ( A , B ) R(A) = R(A,B) ，则 A X = B AX = B 有解）

若 R ( A ) = R ( A , B ) R(A) = R(A,B) ，则对每个列向量 β j \beta_{j} （ j = 1 , 2 , … , l j = 1,2,\ldots,l ），

考虑增广矩阵 ( A , β j ) (A,\beta_{j}) 的秩：

由于 ( A , β j ) (A,\beta_{j}) 是 ( A , B ) (A,B) 的子矩阵（仅保留第 j j 列），根据矩阵秩的性质： R ( A ) ≤ R ( A , β j ) ≤ R ( A , B ) R(A) \leq R(A,\beta_{j}) \leq R(A,B)

结合已知 R ( A ) = R ( A , B ) R(A) = R(A,B) ，得： R ( A ) = R ( A , β j ) R(A) = R(A,\beta_{j})

根据线性方程组有解的充要条件，每个 A x j = β j Ax_{j} = \beta_{j} 都有解。

因此，存在 x 1 , x 2 , … , x l x_{1},x_{2},\ldots,x_{l} 使得 A X = B AX = B ，即矩阵方程 A X = B AX = B 有解。

2.必要性（若 A X = B AX = B 有解，则 R ( A ) = R ( A , B ) R(A) = R(A,B) ）

若矩阵方程 A X = B AX = B 有解，

则对每个列向量 β j \beta_{j} （ j = 1 , 2 , … , l j = 1,2,\ldots,l ），线性方程组 A x j = β j Ax_{j} = \beta_{j} 都有解。

根据线性方程组有解的充要条件：

对每个 j j ，有 R ( A ) = R ( A , β j ) R(A) = R(A,\beta_{j}) 。

由于 R ( A , B ) R(A,B) 是增广矩阵 ( A , β 1 , β 2 , … , β l ) (A,\beta_{1},\beta_{2},\ldots,\beta_{l}) 的秩，而每个 R ( A , β j ) = R ( A ) R(A,\beta_{j}) = R(A) ，

因此： R ( A ) ≤ R ( A , B ) ≤ R ( A ) + 常 数 R(A) \leq R(A,B) \leq R(A) + 常数

但更严格地， R ( A , B ) R(A,B) 的秩由 A A 和 B B 的列向量组共同决定。

由于每个 β j \beta_{j} 可由 A A 的列向量组线性表示（因 A x j = β j Ax_{j} = \beta_{j} 有解），

故 B B 的列向量组可由 A A 的列向量组线性表示。

因此，增广矩阵 ( A , B ) (A,B) 的列向量组的秩与 A A 的列向量组的秩相等，

即： R ( A , B ) = R ( A ) R(A,B) = R(A)

3.综上， R ( A ) = R ( A , B ) R(A) = R(A,B) 是矩阵方程 A X = B AX = B 有解的充分必要条件

定理7 设AB=C , 则R(C)⩽min{R(A) , R(B)}

即矩阵乘积 C C 的秩不超过 A A 与 B B 的秩的最小值，

证:

一、证明 R ( C ) ≤ R ( A ) R(C) \leq R(A)

矩阵的秩可以定义为其行向量组的秩（或列向量组的秩）。

设矩阵 A = ( a i j ) m × n A = (a_{ij})_{m \times n} ， B = ( b i j ) n × p B = (b_{ij})_{n \times p} ，则 C = A B = ( c i j ) m × p C = AB = (c_{ij})_{m \times p} ，其中 c i j = ∑ k = 1 n a i k b k j c_{ij} = \sum_{k = 1}^{n}a_{ik}b_{kj} 。

从列向量角度分析：

C C 的第 j j 列 c j = ( c 1 j c 2 j ⋮ c m j ) = ∑ k = 1 n b k j ( a 1 k a 2 k ⋮ a m k ) = ∑ k = 1 n b k j a k c_{j} = \begin{pmatrix} c_{1j} \\ c_{2j} \\ \vdots \\ c_{mj} \end{pmatrix} = \sum_{k = 1}^{n}b_{kj}\begin{pmatrix} a_{1k} \\ a_{2k} \\ \vdots \\ a_{mk} \end{pmatrix} = \sum_{k = 1}^{n}b_{kj}a_{k} ，其中 a k a_{k} 是 A A 的第 k k 列。

这表明： C C 的每一列都是 A A 的列向量组的线性组合。

根据秩的性质：若向量组 β 1 , β 2 , … , β p \beta_{1},\beta_{2},\ldots,\beta_{p} 可由向量组 α 1 , α 2 , … , α n \alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{n} 线性表示，

则 r a n k ( β 1 , … , β p ) ≤ r a n k ( α 1 , … , α n ) rank(\beta_{1},\ldots,\beta_{p}) \leq rank(\alpha_{1},\ldots,\alpha_{n}) 。

因此， C C 的列向量组的秩（即 R ( C ) R(C) ）小于等于 A A 的列向量组的秩（即 R ( A ) R(A) ），

即： R ( C ) ≤ R ( A ) R(C) \leq R(A) 。

二、证明 R ( C ) ≤ R ( B ) R(C) \leq R(B)

从行向量角度分析：

C C 的第 i i 行 c i = ( c i 1 , c i 2 , … , c i p ) = ∑ k = 1 n a i k ( b k 1 , b k 2 , … , b k p ) = ∑ k = 1 n a i k b k c_{i} = \begin{pmatrix} c_{i1},c_{i2},\ldots,c_{ip} \end{pmatrix} = \sum_{k = 1}^{n}a_{ik}\begin{pmatrix} b_{k1},b_{k2},\ldots,b_{kp} \end{pmatrix} = \sum_{k = 1}^{n}a_{ik}b_{k} ，

其中 b k b_{k} 是 B B 的第 k k 行。

这表明： C C 的每一行都是 B B 的行向量组的线性组合。

同理，根据秩的性质：若向量组 γ 1 , γ 2 , … , γ m \gamma_{1},\gamma_{2},\ldots,\gamma_{m} 可由向量组 δ 1 , δ 2 , … , δ n \delta_{1},\delta_{2},\ldots,\delta_{n} 线性表示，

则 r a n k ( γ 1 , … , γ m ) ≤ r a n k ( δ 1 , … , δ n ) rank(\gamma_{1},\ldots,\gamma_{m}) \leq rank(\delta_{1},\ldots,\delta_{n}) 。

因此， C C 的行向量组的秩（即 R ( C ) R(C) ）小于等于 B B 的行向量组的秩（即 R ( B ) R(B) ），

即： R ( C ) ≤ R ( B ) R(C) \leq R(B) 。

三、结论由上述两部分证明可知： R ( C ) ≤ R ( A ) R(C) \leq R(A) 且 R ( C ) ≤ R ( B ) R(C) \leq R(B) ，

因此， R ( C ) ≤ m i n { R ( A ) , R ( B ) } R(C) \leq min\{ R(A),R(B)\} 。

下面通过具体例子验证“若 A B = C AB = C ，则 R ( C ) ≤ m i n { R ( A ) , R ( B ) } R(C) \leq min\{ R(A),R(B)\} ”这一结论。

例1：满秩矩阵相乘

设 A = ( 1 0 0 1 ) A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} （2阶单位矩阵， R ( A ) = 2 R(A) = 2 ）， B = ( 1 2 3 4 ) B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} （2阶可逆矩阵， R ( B ) = 2 R(B) = 2 ）。

计算乘积： C = A B = ( 1 × 1 + 0 × 3 1 × 2 + 0 × 4 0 × 1 + 1 × 3 0 × 2 + 1 × 4 ) = ( 1 2 3 4 ) C = AB = \begin{pmatrix} 1 \times 1 + 0 \times 3 & 1 \times 2 + 0 \times 4 \\ 0 \times 1 + 1 \times 3 & 0 \times 2 + 1 \times 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} 。

此时 R ( C ) = 2 R(C) = 2 ，而 m i n { R ( A ) , R ( B ) } = 2 min\{ R(A),R(B)\} = 2 ， R ( C ) = m i n { R ( A ) , R ( B ) } R(C) = min\{ R(A),R(B)\} 。

例2：降秩矩阵与满秩矩阵相乘

设 A = ( 1 1 2 2 ) A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} （ R ( A ) = 1 R(A) = 1 ）， B = ( 1 0 0 1 ) B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} （ R ( B ) = 2 R(B) = 2 ）。

计算乘积： C = A B = ( 1 × 1 + 1 × 0 1 × 0 + 1 × 1 2 × 1 + 2 × 0 2 × 0 + 2 × 1 ) = ( 1 1 2 2 ) C = AB = \begin{pmatrix} 1 \times 1 + 1 \times 0 & 1 \times 0 + 1 \times 1 \\ 2 \times 1 + 2 \times 0 & 2 \times 0 + 2 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} 。

此时 R ( C ) = 1 R(C) = 1 ，而 m i n { R ( A ) , R ( B ) } = 1 min\{ R(A),R(B)\} = 1 ， R ( C ) = m i n { R ( A ) , R ( B ) } R(C) = min\{ R(A),R(B)\} 。

例3：两个降秩矩阵相乘

设 A = ( 1 2 2 4 ) A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} （ R ( A ) = 1 R(A) = 1 ）， B = ( 1 − 1 − 1 1 ) B = \begin{pmatrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{pmatrix} （ R ( B ) = 1 R(B) = 1 ）。

计算乘积： C = A B = ( 1 × 1 + 2 × ( − 1 ) 1 × ( − 1 ) + 2 × 1 2 × 1 + 4 × ( − 1 ) 2 × ( − 1 ) + 4 × 1 ) = ( − 1 1 − 2 2 ) C = AB = \begin{pmatrix} 1 \times 1 + 2 \times ( - 1) & 1 \times ( - 1) + 2 \times 1 \\ 2 \times 1 + 4 \times ( - 1) & 2 \times ( - 1) + 4 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - 1 & 1 \\ - 2 & 2 \end{pmatrix} 。

此时 R ( C ) = 1 R(C) = 1 ，而 m i n { R ( A ) , R ( B ) } = 1 min\{ R(A),R(B)\} = 1 ， R ( C ) = m i n { R ( A ) , R ( B ) } R(C) = min\{ R(A),R(B)\} 。

例4：乘积矩阵秩更小的情况

设 A = ( 1 0 0 0 ) A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} （ R ( A ) = 1 R(A) = 1 ）， B = ( 0 0 0 1 ) B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} （ R ( B ) = 1 R(B) = 1 ）。

计算乘积： C = A B = ( 1 × 0 + 0 × 0 1 × 0 + 0 × 1 0 × 0 + 0 × 0 0 × 0 + 0 × 1 ) = ( 0 0 0 0 ) C = AB = \begin{pmatrix} 1 \times 0 + 0 \times 0 & 1 \times 0 + 0 \times 1 \\ 0 \times 0 + 0 \times 0 & 0 \times 0 + 0 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} 。

此时 R ( C ) = 0 R(C) = 0 ，而 m i n { R ( A ) , R ( B ) } = 1 min\{ R(A),R(B)\} = 1 ， R ( C ) < m i n { R ( A ) , R ( B ) } R(C) < min\{ R(A),R(B)\} 。

结论上述例子中，矩阵乘积 C = A B C = AB 的秩均不超过 A A 与 B B 的秩的最小值，

验证了结论的正确性。