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9 , 求下列矩阵的逆矩阵:

(1)[1225]\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} (2)[cosθ−sinθsinθcosθ]\begin{bmatrix} cos\ \theta & - sin\ \theta \\ sin\ \theta & cos\ \theta \end{bmatrix}

(3)[12−134−25−41]\begin{bmatrix} 1 & 2 & - 1 \\ 3 & 4 & - 2 \\ 5 & - 4 & 1 \end{bmatrix} (4)[a1a2⋱an](a1a2⋯an≠0)\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{1} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ a_{2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \ddots \\ \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ a_{n} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack\ \ \ \left( a_{1}a_{2}\cdots a_{n} \neq 0 \right)

解:(1)[1225]−1=1|1225|[5−2−21]=[5−2−21]\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}^{- 1} = \frac{1}{\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right|}\begin{bmatrix} 5 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{bmatrix}

(2)[cosθ−sinθsinθcosθ]−1=1cos⁡2θ+sin⁡2θ[cosθsinθ−sinθcosθ]=[cosθsinθ−sinθcosθ]\begin{bmatrix} cos\ \theta & - sin\ \theta \\ sin\ \theta & cos\ \theta \end{bmatrix}^{- 1} = \frac{1}{\cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta}\begin{bmatrix} cos\ \theta & sin\ \theta \\ - sin\ \theta & cos\ \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos\ \theta & sin\ \theta \\ - sin\ \theta & cos\ \theta \end{bmatrix}

(3) 因|A|=|12−134−25−41|\left| \begin{matrix} 1 & 2 & - 1 \\ 3 & 4 & - 2 \\ 5 & - 4 & 1 \end{matrix} \right|=2≠0 , 故A可逆 , 并且

M11=|4−2−41|\left| \begin{matrix} 4 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{matrix} \right|=-4 , M21=|2−1−41|\left| \begin{matrix} 2 & - 1 \\ - 4 & 1 \end{matrix} \right|=-2 , M31=|2−1−41|\left| \begin{matrix} 2 & - 1 \\ - 4 & 1 \end{matrix} \right|=0

M12=|3−251|\left| \begin{matrix} 3 & - 2 \\ 5 & 1 \end{matrix} \right|=13 , M22=|1−151|\left| \begin{matrix} 1 & - 1 \\ 5 & 1 \end{matrix} \right|=6 , M32=|1−13−2|\left| \begin{matrix} 1 & - 1 \\ 3 & - 2 \end{matrix} \right|=1

M13=|345−4|\left| \begin{matrix} 3 & 4 \\ 5 & - 4 \end{matrix} \right|=-32 , M23=|125−4|\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 5 & - 4 \end{matrix} \right|=-14 , M33=|1234|\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} \right|=-2

于是A−1=1|A|A*=12[M11−M21M31−M12M22−M32M13−M23M33]A^{- 1} = \frac{1}{|A|}A^{\ast} = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} M_{11} & - M_{21} & M_{31} \\ - M_{12} & M_{22} & - M_{32} \\ M_{13} & - M_{23} & M_{33} \end{bmatrix}

=12[−420−136−1−3214−2]\frac{1}{2}\begin{bmatrix} - 4 & 2 & 0 \\ - 13 & 6 & - 1 \\ - 32 & 14 & - 2 \end{bmatrix}=[−210−1323−12−167−1]\begin{bmatrix} - 2 & 1 & 0 \\ - \frac{13}{2} & 3 & - \frac{1}{2} \\ - 16 & 7 & - 1 \end{bmatrix}

(4) 因 a1a2⋯an≠0 , 故ai≠0 , i=1 , 2 , ⋯ , n

于是矩阵B=diag(1a1,1a2,⋯,1an)\left( \frac{1}{a_{1}}\ ,\ \frac{1}{a_{2}}\ ,\ \cdots\ ,\frac{1}{a_{n}} \right)是有意义的

并且因AB = diag(a1a2⋯an)diag(1a1,1a2,⋯,1an)\left( \frac{1}{a_{1}}\ ,\ \frac{1}{a_{2}}\ ,\ \cdots\ ,\frac{1}{a_{n}} \right)=diag(1 , 1 , ⋯ , 1)=En

所以A可逆 , 且A-1=B=diag(1a1,1a2,⋯,1an)\left( \frac{1}{a_{1}}\ ,\ \frac{1}{a_{2}}\ ,\ \cdots\ ,\frac{1}{a_{n}} \right)

10 , 已知线性变换{x1=2y1+2y2+y3x2=3y1+y2+5y3x3=3y1+2y2+3y3\left\{ \begin{matrix} x_{1} = 2y_{1} + 2y_{2} + y_{3} \\ x_{2} = 3y_{1} + y_{2} + 5y_{3} \\ x_{3} = 3y_{1} + 2y_{2} + 3y_{3} \end{matrix} \right.\

求从变量x1 , x2 , x3到变量y1 , y2 , y3 的线性变换

解: 记x=(x1 , x2 , x3)T , y=(y1 , y2 , y3)T

则线性变换的矩阵形式为x=Ay , 其中A为它的系数矩阵

因det A =|221315323|\left| \begin{matrix} 2 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 5 \\ 3 & 2 & 3 \end{matrix} \right|=1≠0 , 故A是可逆矩阵

于是从变量x1 , x2 , x3到变量y1 , y2 , y3的线性变换的矩阵形式为y=A-1x

又因A−1=1|A|A*A^{- 1} = \frac{1}{|A|}A^{\ast}=A*A^{\ast}=[−7−4963−732−4]\begin{bmatrix} - 7 & - 4 & 9 \\ 6 & 3 & - 7 \\ 3 & 2 & - 4 \end{bmatrix}

于是[y1y2y3]\begin{bmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{bmatrix}=[−7−4963−732−4][x1x2x3]\begin{bmatrix} - 7 & - 4 & 9 \\ 6 & 3 & - 7 \\ 3 & 2 & - 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix} , 即{y1=−7x1−4x2+9x3y2=6x1+3x2−7x3y3=3x1+2x2−4x3\left\{ \begin{matrix} y_{1} = - 7x_{1} - 4x_{2} + 9x_{3} \\ y_{2} = 6x_{1} + 3x_{2} - 7x_{3} \\ y_{3} = 3x_{1} + 2x_{2} - 4x_{3} \end{matrix} \right.\

11 , 设J是元素全为1的n(⩾2)阶方阵

试证明E-J是可逆矩阵 , 且(E-J)-1=E-1n−1\ \frac{1}{n - 1}\ J , 这里E是与J同阶的单位矩阵

证: 因J2=[1⋯1⋮⋮1⋯1][1⋯1⋮⋮1⋯1]\begin{bmatrix} 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & & \vdots \\ 1 & \cdots & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & & \vdots \\ 1 & \cdots & 1 \end{bmatrix}

=[1⋅1+1⋅1+⋯+1⋅1⋯1⋅1+1⋅1+⋯+1⋅1⋮⋮1⋅1+1⋅1+⋯+1⋅1⋯1⋅1+1⋅1+⋯+1⋅1]\begin{bmatrix} 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + \cdots + 1 \cdot 1 & \cdots & 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + \cdots + 1 \cdot 1 \\ \vdots & & \vdots \\ 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + \cdots + 1 \cdot 1 & \cdots & 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + \cdots + 1 \cdot 1 \end{bmatrix}

=[1⋅n⋯1⋅n⋮⋮1⋅n⋯1⋅n]=[n⋯n⋮⋮n⋯n]= \begin{bmatrix} 1 \cdot n & \cdots & 1 \cdot n \\ \vdots & & \vdots \\ 1 \cdot n & \cdots & 1 \cdot n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} n & \cdots & n \\ \vdots & & \vdots \\ n & \cdots & n \end{bmatrix}=n[1⋯1⋮⋮1⋯1]\begin{bmatrix} 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & & \vdots \\ 1 & \cdots & 1 \end{bmatrix}=nJ

于是(E-J)(E-1n−1\frac{1}{n - 1}J)=E-J-1n−1\frac{1}{n - 1}J+1n−1\frac{1}{n - 1}J2=E−1n−1J−J+1n−1(nJ)= E - \frac{1}{n - 1}J - J + \frac{1}{n - 1}(nJ)

=E−1n−1J−J+nn−1J=E+(−1n−1−1+nn−1)J= E - \frac{1}{n - 1}J - J + \frac{n}{n - 1}J = E + \left( - \frac{1}{n - 1} - 1 + \frac{n}{n - 1} \right)J

=E+(−1n−1−n−1n−1+nn−1)J=E+(−1−(n−1)+nn−1)J= E + \left( - \frac{1}{n - 1} - \frac{n - 1}{n - 1} + \frac{n}{n - 1} \right)J = E + \left( \frac{- 1 - (n - 1) + n}{n - 1} \right)J

=E+(0n−1)J= E + \left( \frac{0}{n - 1} \right)J

=E

所以 , E-J是可逆矩阵 , 且(E-J)-1=E-1n−1\frac{1}{n - 1}J

注:判断矩阵B是否为A的逆矩阵

最直接、最简单的方法就是验证AB(或者BA)是否等于单位矩阵

就像判断3是否为13\frac{1}{3}的逆,只需验证13×\frac{1}{3} \times3是否等于1一样

12 , 设Ak=O(k为正整数) , 试证明E-A可逆 ,

并且其逆矩阵(E-A)-1=E+A+A2+⋯+Ak-1

证:

1.思路

要证明E−AE - A可逆，只需找到一个矩阵BB使得(E−A)B=E.(E - A)B = E.

题中给出了B=E+A+A2+…+Ak−1B = E + A + A^{2} + \ldots + A^{k - 1}，我们验证这个BB确实是逆矩阵。

2.验证乘积

计算(E−A)(E+A+A2+…+Ak−1).(E - A)(E + A + A^{2} + \ldots + A^{k - 1}).

用分配律展开：

(E−A)(E+A+A2+…+Ak−1)=E(E+A+…+Ak−1)−A(E+A+…+Ak−1).(E - A)(E + A + A^{2} + \ldots + A^{k - 1}) = E(E + A + \ldots + A^{k - 1}) - A(E + A + \ldots + A^{k - 1}).

第一项：E(E+A+…+Ak−1)=E+A+A2+…+Ak−1.E(E + A + \ldots + A^{k - 1}) = E + A + A^{2} + \ldots + A^{k - 1}.

第二项：A(E+A+…+Ak−1)=A+A2+…+Ak−1+Ak.A(E + A + \ldots + A^{k - 1}) = A + A^{2} + \ldots + A^{k - 1} + A^{k}.

3.相减[E+A+A2+…+Ak−1]−[A+A2+…+Ak−1+Ak].\lbrack E + A + A^{2} + \ldots + A^{k - 1}\rbrack - \lbrack A + A^{2} + \ldots + A^{k - 1} + A^{k}\rbrack.

逐项相消：

EE保留；A−A=0A - A = 0；A2−A2=0A^{2} - A^{2} = 0；……Ak−1−Ak−1=0A^{k - 1} - A^{k - 1} = 0；

最后多出一项−Ak- A^{k}。

所以结果是E−Ak.E - A^{k}.

4.利用已知条件

已知Ak=OA^{k} = O，所以E−Ak=E−O=E.E - A^{k} = E - O = E.

因此(E−A)(E+A+A2+…+Ak−1)=E.(E - A)(E + A + A^{2} + \ldots + A^{k - 1}) = E.

同理，可以验证右乘也成立（因为AA与EE的乘法在展开时对称，结果相同）。

所以(E+A+…+Ak−1)(E−A)=E.(E + A + \ldots + A^{k - 1})(E - A) = E.

5.结论

(1).E−AE - A可逆；

(2).其逆矩阵为(E−A)−1=E+A+A2+…+Ak−1.(E - A)^{- 1} = E + A + A^{2} + \ldots + A^{k - 1}.

13 , 设方阵A满足A2-A-2E=O ,

试证明A及A +2E都可逆 , 并求A-1及(A+2E)-1

解: 1.证明AA可逆，并求A−1A^{- 1}

由A2−A−2E=A^{2} - A - 2E =O

得A2−A=2EA^{2} - A = 2E

从而得A(A−E)=2E.A(A - E) = 2E.

两边同时除以2：A⋅A−E2=E.A \cdot \frac{A - E}{2} = E.

所以AA可逆，且A−1=12(A−E)A^{- 1} = \frac{1}{2}(A - E)

2.证明A+2EA + 2E可逆，并求(A+2E)−1(A + 2E)^{- 1}

由A2−A−2E=A^{2} - A - 2E =O

得A2−A−2E=(A+2E)(A−3E)+4E=A^{2} - A - 2E = (A + 2E)(A - 3E) + 4E =O

从而得(A+2E)(A−3E)=−4E.(A + 2E)(A - 3E) = - 4E.

两边除以−4- 4：(A+2E)⋅[−A−3E4]=E.(A + 2E) \cdot \left\lbrack - \frac{A - 3E}{4} \right\rbrack = E.

所以A+2E可逆，且(A+2E)−1=−A−3E4=3E−A4.A + 2E可逆，且(A + 2E)^{- 1} = - \frac{A - 3E}{4} = \frac{3E - A}{4}.

14 , 解下列矩阵方程

(1) [2513]\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}X=[4−621]\begin{bmatrix} 4 & - 6 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} (2) X[21−12101−11]\begin{bmatrix} 2 & 1 & - 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 1 \end{bmatrix}=[1−13432]\begin{bmatrix} 1 & - 1 & 3 \\ 4 & 3 & 2 \end{bmatrix}

(3)[14−12]\begin{bmatrix} 1 & 4 \\ - 1 & 2 \end{bmatrix}X[20−11]\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ - 1 & 1 \end{bmatrix}=[310−1]\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & - 1 \end{bmatrix}

(4) AXB=C , 其中A=[2154]\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 4 \end{bmatrix} , B=[133143134]\begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{bmatrix} , C=[10−11−20]\begin{bmatrix} 1 & 0 & - 1 \\ 1 & - 2 & 0 \end{bmatrix}

解: (1)因矩阵[2513]\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}的行列式等于1 , 不为零 , 故它可逆

从而用它的逆矩阵左乘方程两边

得X=[2513]−1[4−621]\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}^{- 1}\begin{bmatrix} 4 & - 6 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}=11[3−5−12][4−621]\frac{1}{1}\begin{bmatrix} 3 & - 5 \\ - 1 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4 & - 6 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}=[2−2308]\begin{bmatrix} 2 & - 23 \\ 0 & 8 \end{bmatrix}

(2)记矩阵方程为XA3×3=B2×3

因det A =|21−12101−11|⇒r1+r3|3002101−11|=3≠\left| \begin{matrix} 2 & 1 & - 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 1 \end{matrix} \right|\overset{r_{1} + r_{3}}{\Rightarrow}\left| \begin{matrix} 3 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 1 \end{matrix} \right| = 3 \neq0

故A可逆 , 用A-1右乘方程的两边得X= BA-1

又因A-1=1|A|A*\frac{1}{|A|}\ A^{\ast}=1|A|[M11−M21M31−M12M22−M32M13−M23M33]=13[101−23−2−330]\frac{1}{|A|}\begin{bmatrix} M_{11} & - M_{21} & M_{31} \\ - M_{12} & M_{22} & - M_{32} \\ M_{13} & - M_{23} & M_{33} \end{bmatrix} = \frac{1}{3}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ - 2 & 3 & - 2 \\ - 3 & 3 & 0 \end{bmatrix}

于是X=BA-1=13[1−13432][101−23−2−330]=13[−663−815−2]=[−221−185−23]= \frac{1}{3}\begin{bmatrix} 1 & - 1 & 3 \\ 4 & 3 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ - 2 & 3 & - 2 \\ - 3 & 3 & 0 \end{bmatrix} = \frac{1}{3}\begin{bmatrix} - 6 & 6 & 3 \\ - 8 & 15 & - 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} - 2 & 2 & 1 \\ - \frac{1}{8} & 5 & - \frac{2}{3} \end{bmatrix}

(3)记A=[14−12]\begin{bmatrix} 1 & 4 \\ - 1 & 2 \end{bmatrix} , B=[20−11]\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ - 1 & 1 \end{bmatrix} , C=[310−1]\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & - 1 \end{bmatrix} ,则矩阵方程可写为AXB= C

因|Al=6≠0 , |B|=2≠0 , 故A , B均可逆

依次用A-1和B-1左乘和右乘方程两边得

X=A-1CB-1=[14−12]−1[310−1][20−11]−1\begin{bmatrix} 1 & 4 \\ - 1 & 2 \end{bmatrix}^{- 1}\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & - 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ - 1 & 1 \end{bmatrix}^{- 1}

=112[2−411][310−1][1012]\frac{1}{12}\begin{bmatrix} 2 & - 4 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & - 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}=112[121230]\frac{1}{12}\begin{bmatrix} 12 & 12 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}=[11140]\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ \frac{1}{4} & 0 \end{bmatrix}

(4) 因|A|=3 , |B|=1 , 故A , B均是可逆矩阵

且A-1=13[4−1−52]\frac{1}{3}\begin{bmatrix} 4 & - 1 \\ - 5 & 2 \end{bmatrix} , B-1=[7−3−3−110−101]\begin{bmatrix} 7 & - 3 & - 3 \\ - 1 & 1 & 0 \\ - 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}

分别用A-1和B-1左乘和右乘方程两边得

X =A-1CB-1=13[4−1−52][10−11−20][7−3−3−110−101]\frac{1}{3}\begin{bmatrix} 4 & - 1 \\ - 5 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 & - 1 \\ 1 & - 2 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 7 & - 3 & - 3 \\ - 1 & 1 & 0 \\ - 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}

=13[4−1−52][8−3−49−5−3]\frac{1}{3}\begin{bmatrix} 4 & - 1 \\ - 5 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 8 & - 3 & - 4 \\ 9 & - 5 & - 3 \end{bmatrix}=13[23−7−13−22514]\frac{1}{3}\begin{bmatrix} 23 & - 7 & - 13 \\ - 22 & 5 & 14 \end{bmatrix}

15 , 分别应用克拉默法则和逆矩阵解下列线性方程组:

(1) {x1+2x2+3x3=12x1+2x2+5x3=23x1+5x2+x3=3\left\{ \begin{matrix} x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} = 1 \\ 2x_{1} + 2x_{2} + 5x_{3} = 2 \\ 3x_{1} + 5x_{2} + x_{3} = 3 \end{matrix} \right.\ (2){x1+x2+x3=2x1+2x2+4x3=3x1+3x2+9x3=5\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} + x_{3} = 2 \\ x_{1} + 2x_{2} + 4x_{3} = 3 \\ x_{1} + 3x_{2} + 9x_{3} = 5 \end{matrix} \right.\

解:(1) (i)用克拉默法则 , 因系数矩阵的行列式|A|=|123225351|\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 5 \\ 3 & 5 & 1 \end{matrix} \right|=15≠0

由克拉默法则 , 方程组有惟一解

且x1=115|123225351|=1515=1\frac{1}{15}\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 5 \\ 3 & 5 & 1 \end{matrix} \right| = \frac{15}{15} = 1 , x2=115|113225331|=0\frac{1}{15}\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & 2 & 5 \\ 3 & 3 & 1 \end{matrix} \right| = 0 , x3=115|121222353|=0\frac{1}{15}\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 5 & 3 \end{matrix} \right| = 0

(ii)用逆矩阵方法

因|A|≠0 , 故A可逆 , 于是

x=A-1b=[123225351]−1[123]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 5 \\ 3 & 5 & 1 \end{bmatrix}^{- 1}\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}=115[−2313413−8141−2][123]\frac{1}{15}\begin{bmatrix} - 23 & 13 & 4 \\ 13 & - 8 & 1 \\ 4 & 1 & - 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}=115[1500]\frac{1}{15}\begin{bmatrix} 15 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}=[100]\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}

即有x2=1 , x2=0 , x3=0

(2)(i)用克拉默法则 , 因系数矩阵的行列式|A|=|111124139|\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 9 \end{matrix} \right|=2≠0

由克拉默法则 , 方程组有惟一解

且x1=12|211324539|=42=\frac{1}{2}\left| \begin{matrix} 2 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 4 \\ 5 & 3 & 9 \end{matrix} \right| = \frac{4}{2} =2 , x2=12|121134159|=−12\frac{1}{2}\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 4 \\ 1 & 5 & 9 \end{matrix} \right| = - \frac{1}{2} , x3=12|112123135|=12\frac{1}{2}\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \end{matrix} \right| = \frac{1}{2}

(ii)用逆矩阵方法

因|A|=2≠0 , 故A可逆 , 于是

x=A-1b=12[6−62−58−31−21][235]\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 6 & - 6 & 2 \\ - 5 & 8 & - 3 \\ 1 & - 2 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 5 \end{bmatrix}=12[4−11]\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 4 \\ - 1 \\ 1 \end{bmatrix}=[2−1212]\begin{bmatrix} 2 \\ - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{bmatrix}

即有x2=2 , x2=−12- \frac{1}{2} , x3=12\frac{1}{2}

16 , 设A为三阶矩阵 , |A|=12\frac{1}{2} , 求|(2A)-1-5A*|, 其中A*为A的伴随矩阵

解:1. 化简表达式

因为根据已知情况有A*=|A|⋅A−1=12A−1A^{\ast} = |A| \cdot A^{- 1} = \frac{1}{2}A^{- 1}

又因为：(2A)−1=12A−1.(2A)^{- 1} = \frac{1}{2}A^{- 1}.

所以：(2A)−1−5A*=12A−1−5⋅12A−1=12A−1−52A−1=−2A−1.(2A)^{- 1} - 5A^{\ast} = \frac{1}{2}A^{- 1} - 5 \cdot \frac{1}{2}A^{- 1} = \frac{1}{2}A^{- 1} - \frac{5}{2}A^{- 1} = - 2A^{- 1}.

2. 求行列式

|(2A)−1−5A*|=|−2A−1|.\left| (2A)^{- 1} - 5A^{\ast} \right| = \left| - 2A^{- 1} \right|.

对于 n=3n = 3 阶矩阵：|−2A−1|=(−2)3⋅|A−1|.\left| - 2A^{- 1} \right| = ( - 2)^{3} \cdot |A^{- 1}|.

|A−1|=1|A|=112=2.|A^{- 1}| = \frac{1}{|A|} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2.

所以：|−2A−1|=(−8)⋅2=−16.\left| - 2A^{- 1} \right| = ( - 8) \cdot 2 = - 16.

17 , 设A=[033110−123]\begin{bmatrix} 0 & 3 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \\ - 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} , AB= A +2B , 求B

解: 由AB= A+2B得AB-2B= A从而得(A-2E)B=A

因A-2E=[−2331−10−121]\begin{bmatrix} - 2 & 3 & 3 \\ 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & 1 \end{bmatrix} , 它的行列式det (A -2E)=2≠0 , 故它是可逆矩阵

用(A-2E)-1左乘(A-2E)B=A两边

得B=(A-2E)-1A=[−2331−10−121]−1[−2331−10−121]\begin{bmatrix} - 2 & 3 & 3 \\ 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}^{- 1}\begin{bmatrix} - 2 & 3 & 3 \\ 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}

=12[−133−11311−1][033110−123]\frac{1}{2}\begin{bmatrix} - 1 & 3 & 3 \\ - 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & - 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & 3 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \\ - 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}=12[066−246220]\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 0 & 6 & 6 \\ - 2 & 4 & 6 \\ 2 & 2 & 0 \end{bmatrix}=[033−123110]\begin{bmatrix} 0 & 3 & 3 \\ - 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}