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对于行数和列数较高的矩阵A , 运算时常采用分块法

使大矩阵的运算化成小矩阵的运算。

将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵 , 每一个小矩阵称为A的子块

以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵

例如将3×4矩阵A=[a11a21a31a12a22a32a13a23a33a14a24a34]\left\lbrack \begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31} \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} \\ a_{32} \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} a_{13} \\ a_{23} \\ a_{33} \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} a_{14} \\ a_{24} \\ a_{34} \end{matrix} \right\rbrack分成子块的分法很多

下面举出三种分块形式:

(i)[a11a21a31a12a22a32a13a23a33a14a24a34]\left\lbrack \begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31} \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} \\ a_{32} \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} a_{13} \\ a_{23} \\ a_{33} \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} a_{14} \\ a_{24} \\ a_{34} \end{matrix} \right\rbrack , (ii)[a11a21a31a12a22a32a13a23a33a14a24a34]\left\lbrack \begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31} \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} \\ a_{32} \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} a_{13} \\ a_{23} \\ a_{33} \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} a_{14} \\ a_{24} \\ a_{34} \end{matrix} \right\rbrack , (iii)[a11a21a31a12a22a32a13a23a33a14a24a34]\left\lbrack \begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31} \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} \\ a_{32} \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} a_{13} \\ a_{23} \\ a_{33} \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} a_{14} \\ a_{24} \\ a_{34} \end{matrix} \right\rbrack

分法(i)可记为A=[A11A12A21A22]\begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix}

其中A11=[a11a12a21a22]\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} , A12=[a13a14a23a24]\begin{bmatrix} a_{13} & a_{14} \\ a_{23} & a_{24} \end{bmatrix} , A21=(a31 , a32) , A22=(a33 , a34)

即A11 , A12 , A21 , A22为A的子块 , 而A形式上成为以这些子块为元的分块矩阵

分法(ii)及(iii)的分块矩阵也可类似写出

本章第2节证明公式|AB|=|A||B|时出现的矩阵[AO−EB]\begin{bmatrix} A & O \\ - E & B \end{bmatrix}及[AAB−EO]\begin{bmatrix} A & AB \\ - E & O \end{bmatrix}

正是分块矩阵

在那里是把四个矩阵拼成一个大矩阵

这与把大矩阵分成多个小矩阵是同一个概念的两个方面

分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似 , 分别说明如下:

规则(i) 设矩阵A与B的行数相同、列数相同 , 采用相同的分块法

有A=[A11⋯A1r⋮⋮As1⋯Asr]\begin{bmatrix} A_{11} & \cdots & A_{1r} \\ \vdots & & \vdots \\ A_{s1} & \cdots & A_{sr} \end{bmatrix} , B=[B11⋯B1r⋮⋮Bs1⋯Bsr]\begin{bmatrix} B_{11} & \cdots & B_{1r} \\ \vdots & & \vdots \\ B_{s1} & \cdots & B_{sr} \end{bmatrix}

其中A与B的行数相同、列数相同

那么A+B=[A11+B11⋯A1r+B1r⋮⋮As1+Bs1⋯Asr+Bsr]\begin{bmatrix} A_{11} + B_{11} & \cdots & A_{1r} + B_{1r} \\ \vdots & & \vdots \\ A_{s1} + B_{s1} & \cdots & A_{sr} + B_{sr} \end{bmatrix}

规则(ii) 设A=[A11⋯A1r⋮⋮As1⋯Asr]\begin{bmatrix} A_{11} & \cdots & A_{1r} \\ \vdots & & \vdots \\ A_{s1} & \cdots & A_{sr} \end{bmatrix} , λ为数 , 那么λA=[λA11⋯λA1r⋮⋮λAs1⋯λAsr]\begin{bmatrix} \lambda A_{11} & \cdots & \lambda A_{1r} \\ \vdots & & \vdots \\ \lambda A_{s1} & \cdots & \lambda A_{sr} \end{bmatrix}

规则(iii) 设A为m×l矩阵 , B为l×n矩阵

分块成A=[A11⋯A1t⋮⋮As1⋯Ast]\begin{bmatrix} A_{11} & \cdots & A_{1t} \\ \vdots & & \vdots \\ A_{s1} & \cdots & A_{st} \end{bmatrix} , B=[B11⋯B1r⋮⋮Bt1⋯Btr]\begin{bmatrix} B_{11} & \cdots & B_{1r} \\ \vdots & & \vdots \\ B_{t1} & \cdots & B_{tr} \end{bmatrix}

其中Ai1 , Ai2 , ⋯ , Ait的列数分别等于B1j , B2j , ⋯ , Btj的行数

那么AB=[C11⋯C1r⋮⋮Cs1⋯Csr]\begin{bmatrix} C_{11} & \cdots & C_{1r} \\ \vdots & & \vdots \\ C_{s1} & \cdots & C_{sr} \end{bmatrix}

其中Cij=∑k=1tAikBkj(i=1,2,⋯,s;j=1,2,⋯,r)其中C_{ij} = \sum_{k = 1}^{t}{A_{ik}B_{kj}}\ (i = 1\ ,\ 2\ ,\ \cdots\ ,\ s\ ;\ j = 1\ ,\ 2\ ,\ \cdots\ ,\ r)

例17设A=[10−11012100100001]\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 1 \\ 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack , B=[1−11−1020−110420110]\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ - 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack , 求AB

解: 把A , B分块成

A=[10−11012100100001]\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 1 \\ 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack=[EOA1E]\begin{bmatrix} E & O \\ A_{1} & E \end{bmatrix} , B=[1−11−1020−110420110]=[B11EB21B22]\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ - 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack = \begin{bmatrix} B_{11} & E \\ B_{21} & B_{22} \end{bmatrix}

则AB=[EOA1E][B11EB21B22]\begin{bmatrix} E & O \\ A_{1} & E \end{bmatrix}\begin{bmatrix} B_{11} & E \\ B_{21} & B_{22} \end{bmatrix}=[B11EA1B21+B21A1+B22]\begin{bmatrix} B_{11} & E \\ A_{1}B_{21} + B_{21} & A_{1} + B_{22} \end{bmatrix}

而A1B11+B21=[−1211][10−12]\begin{bmatrix} - 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ - 1 & 2 \end{bmatrix}+[10−1−1]\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ - 1 & - 1 \end{bmatrix}=[−3402]\begin{bmatrix} - 3 & 4 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}+[10−1−1]\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ - 1 & - 1 \end{bmatrix}=[−24−11]\begin{bmatrix} - 2 & 4 \\ - 1 & 1 \end{bmatrix}

A1+B22=[−1211]\begin{bmatrix} - 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}+[4120]\begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}=[3331]\begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}

于是AB=[B11EA1B21+B21A1+B22]\begin{bmatrix} B_{11} & E \\ A_{1}B_{21} + B_{21} & A_{1} + B_{22} \end{bmatrix}=[1−1−2−1024100330031]\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 2 \\ - 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack

规则(iv) 设A=[A11⋯A1r⋮⋮As1⋯Asr]\begin{bmatrix} A_{11} & \cdots & A_{1r} \\ \vdots & & \vdots \\ A_{s1} & \cdots & A_{sr} \end{bmatrix} , 则AT=[A11T⋯As1T⋮⋮A1rT⋯AsrT]\begin{bmatrix} A_{11}^{T} & \cdots & A_{s1}^{T} \\ \vdots & & \vdots \\ A_{1r}^{T} & \cdots & A_{sr}^{T} \end{bmatrix}

分块矩阵转置 = 分块行列互换 + 每个子块自身转置

例子 设：A=(1234015678910)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 & 10 \end{pmatrix}

我们按虚线分块，上方为 2 行 4 列，分为左右两个子块；

下方为 1 行 4 列，也分为左右两个子块。

更规范地写成

分块矩阵（按列分两块，每块 2 列）：A=(A11A12A21A22)A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}

其中A11=(1201),A12=(3456)A_{11} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\quad A_{12} = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}，A21=(78),A22=(910)A_{21} = \begin{pmatrix} 7 & 8 \end{pmatrix},\quad A_{22} = \begin{pmatrix} 9 & 10 \end{pmatrix}

转置过程：

1. 交换分块位置：

(1,1)(1,1) 位置放 A11TA_{11}^{T}

(1,2)(1,2) 位置放 A21TA_{21}^{T}

(2,1)(2,1) 位置放 A12TA_{12}^{T}

(2,2)(2,2) 位置放 A22TA_{22}^{T}

2. 各子块分别转置：

A11T=(1021),A12T=(3546)A_{11}^{T} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix},\quad A_{12}^{T} = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 4 & 6 \end{pmatrix}，A21T=(78),A22T=(910)A_{21}^{T} = \begin{pmatrix} 7 \\ 8 \end{pmatrix},\quad A_{22}^{T} = \begin{pmatrix} 9 \\ 10 \end{pmatrix}

3. 写出转置的分块矩阵：AT=(A11TA21TA12TA22T)=(1072183594610)A^{T} = \begin{pmatrix} A_{11}^{T} & A_{21}^{T} \\ A_{12}^{T} & A_{22}^{T} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 7 \\ 2 & 1 & 8 \\ 3 & 5 & 9 \\ 4 & 6 & 10 \end{pmatrix}

验证： 直接对原始矩阵 AA 整体转置（不看作分块）：

A=(1234015678910)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 & 10 \end{pmatrix}，转置后：AT=(1072183594610)A^{T} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 7 \\ 2 & 1 & 8 \\ 3 & 5 & 9 \\ 4 & 6 & 10 \end{pmatrix}

与上面分块方法得到的结果相同。

规则(v) 设A为n阶方阵 , 若A的分块矩阵只有在对角线上有非零子块 ,

其余子块都为零矩阵 , 且在对角线上的子块都是方阵

即A=[A1A2⋱As]\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} A_{1} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ A_{2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \ddots \\ \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ A_{s} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack , 其中Ai (i=1 , 2 , ⋯ , s)都是方阵

那么称A为分块对角矩阵

分块对角矩阵的行列式的性质: |A|=|A1||A2|⋯|As|

由此性质可知 , 若|Ai|≠0(i=1 , 2 , ⋯ , s) , 则|A|≠0

并有A-1=[A1−1A2−1⋱As−1]\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} A_{1}^{- 1} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ A_{2}^{- 1} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \ddots \\ \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ A_{s}^{- 1} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack

例18设A=[500031021]\begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix} , 求A-1

解: 因为A=[500031021]\begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}=[A1A2]\begin{bmatrix} A_{1} & \\ & A_{2} \end{bmatrix}

A1=(5) , A1−1A_{1}^{- 1}=(15\frac{1}{5}) , A2=[3121]\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} , A2−1A_{2}^{- 1}=[1−1−23]\begin{bmatrix} 1 & - 1 \\ - 2 & 3 \end{bmatrix}

所以A-1=[150001−10−23]\begin{bmatrix} \frac{1}{5} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & - 2 & 3 \end{bmatrix}

对矩阵分块时 , 有两种特殊分块法 , 这就是按列分块和按行分块

m×n矩阵A有n列 , 称为矩阵A的n个列向量

若第j列记作aj=[a1ja2j⋮amj]\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{1j} \\ a_{2j} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ a_{mj} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack , 则A可按列分块为A=(a1 , a2 , ⋯ , an)

m×n矩阵A有m行 , 称为矩阵A的m个行向量

若第i行记作αiT\alpha_{i}^{T}=(ai1 , ai2 , ⋯ , ain) , 则A可按行分块为A=[α1Tα2T⋮αmT]\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} \alpha_{1}^{T} \\ \alpha_{2}^{T} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ \alpha_{m}^{T} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack

对于矩阵A=(aij)m×s与矩阵B=(bij)s×n的乘积矩阵AB=C=(cij)m×n

若把A按行分成m块 , 把B按列分成n块

便有AB=[α1Tα2T⋮αmT]\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} \alpha_{1}^{T} \\ \alpha_{2}^{T} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ \alpha_{m}^{T} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack(b1 , b2 , ⋯ , bn)=[α1Tb1α2Tb1⋮αmTb1α1Tb2α2Tb2⋮αmTb2⋯⋯⋯α1Tbnα2Tbn⋮αmTbn]\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} \alpha_{1}^{T}b_{1} \\ \alpha_{2}^{T}b_{1} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ \alpha_{m}^{T}b_{1} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \alpha_{1}^{T}b_{2} \\ \alpha_{2}^{T}b_{2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ \alpha_{m}^{T}b_{2} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \cdots \\ \cdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \cdots \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \alpha_{1}^{T}b_{n} \\ \alpha_{2}^{T}b_{n} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ \alpha_{m}^{T}b_{n} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack=(cij)m×n

其中cij=αiTbi=(ai1,ai2,⋯,ais)[b1jb2j⋮bsj]=∑k=1saikbkj其中c_{ij} = \alpha_{i}^{T}b_{i} = \left( a_{i1}\ ,\ a_{i2}\ ,\ \cdots\ ,\ a_{is} \right)\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} b_{1j} \\ b_{2j} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ b_{sj} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack = \sum_{k = 1}^{s}{a_{ik}b_{kj}}

例19试证明矩阵A=O的充分必要条件是方阵ATA=O

证:

必要性：因为A=O，得AT=O ，所以ATA=O⋅O=O

充分性：

设A=(aij)m×n , 把A按列分块为A=(a1 , a2 , ⋯ , an),

则ATA=[a1Ta2T⋮anT]\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{1}^{T} \\ a_{2}^{T} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ a_{n}^{T} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack(a1 , a2 , ⋯ , an)=[a1Ta1a2Ta1⋮anTa1a1Ta2a2Ta2⋮anTa2⋯⋯⋯a1Tana2Tan⋮anTan]\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{1}^{T}a_{1} \\ a_{2}^{T}a_{1} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ a_{n}^{T}a_{1} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{1}^{T}a_{2} \\ a_{2}^{T}a_{2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ a_{n}^{T}a_{2} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \cdots \\ \cdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \cdots \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{1}^{T}a_{n} \\ a_{2}^{T}a_{n} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ a_{n}^{T}a_{n} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack，即 ATA 的(i , j)元为aiTaja_{i}^{T}a_{j}

因ATA=O ,

有aiTaja_{i}^{T}a_{j}=0(i , j=1 , 2 , ⋯ , n)，

也有ajTaja_{j}^{T}a_{j}=(a1j,a2j,⋯,amj)[a1ja2j⋮amj]\left( a_{1j}\ ,\ a_{2j}\ ,\ \cdots\ ,\ a_{mj} \right)\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{1j} \\ a_{2j} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ a_{mj} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack=a1j2+a2j2+⋯+amj2=0a_{1j}^{2} + a_{2j}^{2} + \cdots + a_{mj}^{2} = 0，(j=1 , 2 , ⋯ , n)

因aij为实数，得a1j=a2j=⋯=amj=0 (1 , 2 , ⋯ , n)

所以A=O

本例阐明了矩阵A与方阵ATA之间的一种关系

特别地 , 当A=a为列向量时 , 由于aTa为1×1矩阵 , 即aTa是一个数

这时 , 本例的结论可叙述为: aTa=0是列向量a=0的充分必要条件

利用矩阵的按列(按行)分块 , 还可以给出线性方程组的另一矩阵表示形式

重新回到线性方程组{a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋯⋯⋯⋯am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm\left\{ \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots + a_{1n}x_{n} = b_{1} \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2n}x_{n} = b_{2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \cdots\cdots\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdots\cdots \\ a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \cdots + a_{mn}x_{n} = b_{m} \end{matrix} \end{array} \right.\ (1)

它的矩阵乘积形式为Am×nxn×1=bm×1 (1')

上式中 , 把A按列分块 , 把x按行分块

由分块矩阵的乘法有(a1,a2,⋯,an)[x1x2⋮xn]\left( a_{1}\ ,\ a_{2}\ ,\ \cdots\ ,\ a_{n} \right)\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ x_{n} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack=b

即x1a1+x2a2+⋯+xnan=b (10)

其实把方程组(1)表成[a11a21⋮am1]x1+[a12a22⋮am2]x2+⋯+[a1na2n⋮amn]xn=[b1b2⋮bm]\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ a_{m1} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack x_{1} + \left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ a_{m2} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack x_{2} + \cdots + \left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{1n} \\ a_{2n} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ a_{mn} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack x_{n} = \left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ b_{m} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack

也即是(10)式.

(1)、(1')和(10)是线性方程组(1)的各种变形.

今后 , 它们与(1)将混同使用而不加区分 , 并都称为线性方程组或线性方程

解与解向量亦不加区别