一、矩阵的加法

定义2设有两个m×n矩阵A=(a_ij)和B=(b_ij)

那么矩阵A与B的和记作A+B

并且A+B=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{11} + b_{11} \\ a_{21} + b_{21} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ a_{m1} + b_{m1} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{12} + b_{12} \\ a_{22} + b_{22} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ a_{m2} + b_{m2} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \cdots \\ \cdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \cdots \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{1n} + b_{1n} \\ a_{2n} + b_{2n} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ a_{mn} + b_{mn} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$

应该注意 , 只有当两个矩阵是同型矩阵时 , 这两个矩阵才能进行加法运算

矩阵加法运算规律(设A , B , C都是m×n矩阵)

(i) A+B=B+A

(ii) (A+B)+C=A+(B+C)

设矩阵A=(a_ij) , 则-A=(-a_ij)称为矩阵A的负矩阵 , 且有A+(-A)=0

由此规定矩阵的减法为A-B=A+(-B)

二、数与矩阵相乘

定义3 数 λ 与矩阵A的乘积记作λA或Aλ

且λA=Aλ=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} \lambda a_{11} \\ \lambda a_{21} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ \lambda a_{m1} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \lambda a_{12} \\ \lambda a_{22} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ \lambda a_{m2} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \cdots \\ \cdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \cdots \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \lambda a_{1n} \\ \lambda a_{2n} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ \lambda a_{mn} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$

数乘矩阵运算规律(设A、B为m×n矩阵 , λ、μ为数)

(i)(λμ)A =λ(μA)

(ii) (λ+μ)A=λA+μA

(iii) λ(A+B)=λA+λB

矩阵加法与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算，

三、矩阵与矩阵相乘

设有两个线性变换

$\left\{ \begin{array}{r} y_{1} = a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + a_{13}x_{3} \\ y_{2} = a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + a_{23}x_{3} \end{array} \right.\$ (4)

$\left\{ \begin{array}{r} x_{1} = b_{11}t_{1} + b_{12}t_{2} \\ x_{2} = b_{21}t_{1} + b_{22}t_{2} \\ x_{3} = b_{31}t_{1} + b_{32}t_{2} \end{array} \right.\$ (5)

若想求出从t₁ , t₂到y₁ , y₂的线性变换 , 可将(5)代入(4) , 便得

$\left\{ \begin{array}{r} y_{1} = \left( a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + a_{13}b_{31} \right)t_{1} + \left( a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} + a_{13}b_{32} \right)t_{2} \\ y_{2} = \left( a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} + a_{23}b_{31} \right)t_{1} + \left( a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} + a_{23}b_{32} \right)t_{2} \end{array} \right.\$ (6)

线性变换(6)可看成是先作线性变换(5)再作线性变换(4)的结果.

我们把线性变换(6)叫做线性变换(4)与(5)的乘积,

相应地把(6)所对应的矩阵定义为(4)与(5)所对应的矩阵的乘积,

即$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \\ b_{31} & b_{32} \end{bmatrix}$

=$\begin{bmatrix} a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + a_{13}b_{31} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} + a_{13}b_{32} \\ a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} + a_{23}b_{31} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} + a_{23}b_{32} \end{bmatrix}$

定义4设A=(a_ij)是一个m×s矩阵 , B=(b_ij)是一个s×n矩阵

那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个m×n矩阵C=(c_ij)

$$其中c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{is}b_{sj} = \sum_{k = 1}^{s}{a_{ik}b_{kj}}$$

(i=1 , 2 , ⋯ , m ; j=1 , 2 , ⋯ , n)

并把此乘积记作C=AB

按此定义,一个1×s行矩阵与一个s×1列矩阵的乘积是一个1阶方阵

也就是一个数

$$\left\lbrack a_{i1}\ ,\ a_{i2}\ ,\ \cdots\ ,a_{is} \right\rbrack\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} b_{1j} \\ b_{2j} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ b_{sj} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{is}b_{sj} = \sum_{k = 1}^{s}{a_{ik}b_{kj}} = c_{ij}$$

由此表明乘积矩阵AB=C的(i , j)元c_ij就是A的第i行与B的第j列的乘积

注意: 只有当(右矩阵)的行数等于(左矩阵)的列数时 , 两个矩阵才能相乘

例5求矩阵A=$\left\lbrack \begin{matrix} 4 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{matrix} \right\rbrack$与B=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 3 \\ - 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$的乘积AB.

解: 因为A是3×4矩阵 , B是4×2矩阵 , B的行数等于A的列数

所以矩阵A与B可以相乘 , 其乘积AB=C是一个3×2矩阵

按公式$c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{is}b_{sj}$

有C=AB=$\left\lbrack \begin{matrix} 4 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{matrix} \right\rbrack\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 3 \\ - 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$

=$\left\lbrack \begin{matrix} 4 \times 1 + ( - 1) \times 0 + 2 \times 3 + 1 \times ( - 1) \\ 1 \times 1 + 1 \times 0 + 0 \times 3 + 3 \times ( - 1) \\ 0 \times 1 + 3 \times 0 + 1 \times 3 + 4 \times ( - 1) \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \ \ \begin{matrix} 4 \times 2 + ( - 1) \times 1 + 2 \times 0 + 1 \times 2 \\ 1 \times 2 + 1 \times 1 + 0 \times 0 + 3 \times 2 \\ 0 \times 2 + 3 \times 1 + 1 \times 0 + 4 \times 2 \end{matrix} \right\rbrack$

=$\left\lbrack \begin{matrix} 9 \\ - 2 \\ - 1 \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{matrix} 9 \\ 9 \\ 11 \end{matrix} \right\rbrack$

例6 求矩阵A=$\begin{bmatrix} - 2 & 4 \\ 1 & - 2 \end{bmatrix}$与B=$\begin{bmatrix} 2 & 4 \\ - 3 & - 6 \end{bmatrix}$的乘积AB及BA.

解: 按公式$c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{is}b_{sj}$ , 有

AB=$\begin{bmatrix} - 2 & 4 \\ 1 & - 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 4 \\ - 3 & - 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} - 16 & - 32 \\ 8 & 16 \end{bmatrix}$

BA=$\begin{bmatrix} 2 & 4 \\ - 3 & - 6 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} - 2 & 4 \\ 1 & - 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

在例5中 , A是3×4矩阵 , B是4×2矩阵 ,

乘积AB符合定义而BA 却不符合定义

由此可知 , 在矩阵的乘法中必须注意矩阵相乘的顺序

AB是A左乘B(B被A左乘)的乘积 , BA是A右乘B的乘积

AB符合定义时 , BA可能不符合定义

又若A是m×n矩阵 , B是n×m矩阵 , 则AB 与 BA都符合定义

但AB是m阶方阵 , BA是n阶方阵 , 当m≠n时AB≠BA

即使m=n , 即 A、B是同阶方阵 , 如例6 , A与B都是2阶方阵

从而AB 与 BA也都是2阶方阵 , 但AB与BA 仍然可以不相等

总之 , 矩阵的乘法不满足交换律 , 即在一般情形下AB≠BA

对于两个n阶方阵A、B , 若AB=BA , 则称方阵A与B是可交换的

例6还表明 , 矩阵A≠O , B≠O , 但却有BA=O

即: 若有两个矩阵A、B满足AB=O , 是不能得出A=O或B=O的结论的

若A≠O而A(X-Y)=O , 也是不能得出X=Y的结论的

矩阵的乘法虽不满足交换律

但仍满足下列结合律和分配律(假设运算都是可行的):

(i) (AB)C=A(BC)

(ii) λ(AB)=(λA)B=A(λB)(其中λ为数)

(iii) A(B+C)=AB+AC , (B+C)A=BA+CA.

对于单位矩阵E , 可验证E_mA_m×n=A_m×n , A_m×nE_n=A_m×n , 或简写成EA =AE=A

可见单位矩阵E在矩阵乘法中的作用类似于数1.

矩阵λE=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} \lambda \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ \lambda \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \ddots \\ \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \lambda \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$称为纯量阵

由(λE)A=λA , A(λE)=λA , 可知纯量阵λE与矩阵A的乘积等于数λ与A的乘积

当A为n阶方阵时 , 有(λE_n)A_n=λA_n=A_n(λE_n)

表明纯量阵λE与任何同阶方阵都是可交换的

有了矩阵的乘法,就可以定义矩阵的幂

设A是n阶方阵,定义A¹=A , A²=A¹A¹ , ⋯ , A^k+1 =A^kA¹ , 其中k为正整数

这就是说 , A^k就是k个A连乘 , 显然只有方阵的幂才有意义

由于矩阵乘法满足结合律 , 所以矩阵的幂满足以下运算规律:

A^kA^l=A^k+l , (A^k)^l=A^kl , 其中k、l为正整数

又因矩阵乘法一般不满足交换律 , 所以对于两个n阶矩阵A与B

一般说来(AB)^k≠A^kB^k , 只有当A与B可交换时 , 才有(AB)^k=A^kB^k

例如(A+B)²=A²+2AB+B²、(A-B)(A+B)=A²-B²等公式

只有当A与B可交换时才成立.

例2某厂向三个商店(编号1 , 2 , 3)发送四种产品(编号I , Ⅱ , Ⅲ , IV)的数量

可列成矩阵

$$A = \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}\ \ \ \left\lbrack \begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31} \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} \\ a_{32} \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} a_{13} \\ a_{23} \\ a_{33} \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} a_{14} \\ a_{24} \\ a_{34} \end{matrix}\ \right\rbrack$$

其中a_ij为工厂向第i家商店发送第j种产品的数量

这四种产品的单价及单件质量也可列成矩阵

产品 单价 单件质量

$$B = \begin{array}{r} \begin{matrix} I \\ Ⅱ \end{matrix} \\ \begin{matrix} Ⅲ \\ IV \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} b_{11} \\ b_{21} \end{matrix} \\ \begin{matrix} b_{31} \\ b_{41} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} b_{12} \\ b_{22} \end{matrix} \\ \begin{matrix} b_{32} \\ b_{42} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$$

其中b_i1为第i种产品的单价 , b_i2为第i种产品的单件质量

记C=AB , 那么

c_i1=a_i1b₁₁+a_i2b₂₁+a_i3b₃₁+a_i4b₄₁是该厂向第i家商店所发产品的总金额(i=1 , 2 , 3)

c_i2=a_i1b₁₂+a_i2b₂₂+a_i3b₃₂+a_i4b₄₂是该厂向第i家商店所发产品的总质量(i=1 , 2 , 3)

因此可形象地写为

$C = AB = {\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}\ \ \ \left\lbrack \begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31} \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} \\ a_{32} \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} a_{13} \\ a_{23} \\ a_{33} \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} a_{14} \\ a_{24} \\ a_{34} \end{matrix}\ \right\rbrack}_{3 \times 4}$ ${\begin{array}{r} \begin{matrix} I \\ Ⅱ \end{matrix} \\ \begin{matrix} Ⅲ \\ IV \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} b_{11} \\ b_{21} \end{matrix} \\ \begin{matrix} b_{31} \\ b_{41} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} b_{12} \\ b_{22} \end{matrix} \\ \begin{matrix} b_{32} \\ b_{42} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack}_{4 \times 2}$

总金额 总质量

=$\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}\left\lbrack \begin{matrix} c_{11} \\ c_{21} \\ c_{31} \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{matrix} c_{12} \\ c_{22} \\ c_{32} \end{matrix} \right\rbrack_{3 \times 2}$

进一步 , 如果D=$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 \end{bmatrix}$

且H=D(AB)=DC=$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 \end{bmatrix}\left\lbrack \begin{matrix} c_{11} \\ c_{21} \\ c_{31} \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \ \begin{matrix} c_{12} \\ c_{22} \\ c_{32} \end{matrix} \right\rbrack = \begin{bmatrix} h_{11} & h_{12} \\ h_{21} & h_{22} \end{bmatrix}$

那么h₁₁和h₁₂分别是该厂向三个商店发出产品的总金额和总质量

h₂₁和h₂₂分别是第3家商店超出第2家商店的金额和质量.

例7 上节例1中n元线性方程组

$\left\{ \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots + a_{1n}x_{n} = b_{1} \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2n}x_{n} = b_{2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \cdots\cdots\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdots\cdots \\ a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \cdots + a_{mn}x_{n} = b_{m} \end{matrix} \end{array} \right.\$

利用矩阵乘法可写成矩阵形式A_m×nx_n×1=b_m×1

其中A=(a_ij)为系数矩阵 , x=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ x_{n} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$为未知数矩阵 , b=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ b_{m} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$为常数项矩阵.

特别当b=0时得到m个方程的n元齐次线性方程组的矩阵形式A_m×nx_n×1=0_m×1

又如 , 上节例4中的线性变换$\left\{ \begin{array}{r} \begin{matrix} y_{1} = a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots + a_{1n}x_{n} \\ y_{2} = a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2n}x_{n} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \cdots\cdots\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdots\cdots \\ y_{m} = a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \cdots + a_{mn}x_{n} \end{matrix} \end{array} \right.\$

利用矩阵的乘法,可记作y=Ax , 其中A=(a_ij) , x=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ x_{n} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$ , y=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ y_{n} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$

这里 , 列向量(列矩阵)x表示n个变量x₁ , x₂ , ⋯ , x_n

列向量y表示m个变量y₁ , y₂ , ⋯ , y_m

线性变换y=Ax 把x变成y , 相当于用矩阵A去左乘x得到y

例如 , 由2.1节可知 , 用矩阵A=$\begin{bmatrix} cos\ \varphi & - sin\ \varphi \\ sin\ \varphi & cos\ \varphi \end{bmatrix}$左乘向量$\overset{⃑}{OP} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$

相当于把向量$\overset{⃑}{OP}$按逆时针方向旋转φ角(参看图2.3)

进一步还可推知 , 用Aⁿ=$\begin{bmatrix} cos\ \varphi & - sin\ \varphi \\ sin\ \varphi & cos\ \varphi \end{bmatrix}^{n}$左乘向量$\overset{⃑}{OP}$

相当于把向量$\overset{⃑}{OP}$按逆时针方向旋转n个φ角 , 即旋转nφ角

而旋转nφ角的变换所对应的矩阵为$\begin{bmatrix} cos\ n\varphi & - sin\ n\varphi \\ sin\ n\varphi & cos\ n\varphi \end{bmatrix}$

亦即成立$\begin{bmatrix} cos\ \varphi & - sin\ \varphi \\ sin\ \varphi & cos\ \varphi \end{bmatrix}^{n}$=$\begin{bmatrix} cos\ n\varphi & - sin\ n\varphi \\ sin\ n\varphi & cos\ n\varphi \end{bmatrix}$

上式也可以按矩阵幂的定义来证明

把线性方程组写成矩阵形式Ax=b(齐次方程为Ax=0)

是以后讨论线性方程组的基础和出发点

它与一元一次方程ax=b(a , b为数)在形式上相一致

四、矩阵的转置

定义5把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵

叫做A的转置矩阵 , 记作A^T

例如矩阵A=$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & - 1 & 1 \end{bmatrix}$的转置矩阵为A^T=$\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

矩阵的转置也是一种运算 , 满足下述运算规律(假设运算都是可行的):

(i) (A^T)^T=A

(ii) (A+B)^T=A^T+B^T

(ii) (λA)^T=λA^T

(iv) (AB)^T=B^TA^T

这里仅证明(iv)

$$设A = \lbrack a_{ij}\rbrack_{m \times n},\quad B = \lbrack b_{jk}\rbrack_{n \times p}\ ,那么AB = C = \lbrack c_{ik}\rbrack_{m \times p},\quad c_{ik} = \sum_{j = 1}^{n}a_{ij}b_{jk}\ 。$$

$$于是：(AB)^{T} = C^{T}\ ，其中\ C^{T}\ 的第\ k,i\ 元素是\ c_{ik}，即：\ \lbrack C^{T}\rbrack_{ki} = c_{ik} = \sum_{j = 1}^{n}a_{ij}b_{jk}\ 。$$

再看 $B^{T}A^{T}$：$B^{T} = \lbrack b_{kj}\rbrack_{p \times n}\ \ \ ，b_{kj} = b_{jk}$，$A^{T} = \lbrack a_{ji}\rbrack_{n \times m},\quad a_{ji} = a_{ij}$

$$那么\ B^{T}A^{T}\ 的第\ k,i\ 元素为：\lbrack B^{T}A^{T}\rbrack_{ki} = \sum_{j = 1}^{n}b_{kj}(A^{T})_{ji} = \sum_{j = 1}^{n}b_{jk}a_{ij}\ 。$$

$$因为\ a_{ij}b_{jk} = b_{jk}a_{ij}，所以：\lbrack C^{T}\rbrack_{ki} = \sum_{j = 1}^{n}a_{ij}b_{jk} = \sum_{j = 1}^{n}b_{jk}a_{ij} = \lbrack B^{T}A^{T}\rbrack_{ki}\ 。$$

对所有 $k,i$ 成立，因此：$(AB)^{T} = B^{T}A^{T}$。

举例验证

取$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix},\quad B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}.$

计算 $(AB)^{T}$：

$AB = \begin{bmatrix} 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 & 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 \\ 3 \cdot 0 + 4 \cdot 1 & 3 \cdot 1 + 4 \cdot 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}.$ $(AB)^{T} = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}.$

计算 $B^{T}A^{T}$：

$$B^{T} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}^{T} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix},\ \ \ \ \ \ \ A^{T} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}.$$

$$B^{T}A^{T} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \cdot 1 + 1 \cdot 2 & 0 \cdot 3 + 1 \cdot 4 \\ 1 \cdot 1 + 0 \cdot 2 & 1 \cdot 3 + 0 \cdot 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}.$$

两者相等，验证了 $(AB)^{T} = B^{T}A^{T}$。

例8已知A=$\begin{bmatrix} 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{bmatrix}$ , B=$\begin{bmatrix} 1 & 7 & - 1 \\ 4 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ , 求(AB)^T

解法1因为AB=$\begin{bmatrix} 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 7 & - 1 \\ 4 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix}$=$\begin{bmatrix} 0 & 14 & - 3 \\ 17 & 13 & 10 \end{bmatrix}$

所以(AB)^T=$\begin{bmatrix} 0 & 17 \\ 14 & 13 \\ - 3 & 10 \end{bmatrix}$

解法2 (AB)^T=B^TA^T=$\begin{bmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 7 & 2 & 0 \\ - 1 & 3 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \\ - 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 17 \\ 14 & 13 \\ - 3 & 10 \end{bmatrix}$

设A为n阶方阵 , 如果满足A^T=A , 即a_ij=a_ji (i , j=1 , 2 , ⋯ , n)

那么A称为对称矩阵 , 简称对称阵

对称矩阵的特点是: 它的元素以对角线为对称轴对应相等。

例如，一个3x3的对称矩阵$B = \begin{bmatrix} 5 & - 1 & 4 \\ - 1 & 2 & 0 \\ 4 & 0 & - 3 \end{bmatrix}$，关于主对角线对称

例9 , 设列矩阵X=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ x_{n} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$使等式X^TX=1成立，

E为n阶单位矩阵 , H=E-2XX^T , 试证明H是对称矩阵 , 且 HH^T=E

注意: X^TX=$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \cdots + x_{n}^{2}$是一个数 , 而XX^T是n阶方阵

证: 1. 证明 $H$ 是对称矩阵

$$H^{T} = (E - 2XX^{T})^{T} = E^{T} - 2(XX^{T})^{T} = E - 2(X^{T})^{T}X^{T} = E - 2XX^{T} = H$$

所以 $H$ 对称。

2. 证明 $HH^{T} = E$

因为 $H$ 对称，所以 $H^{T} = H$，于是$HH^{T} = H^{2}$

$$H^{2} = (E - 2XX^{T})(E - 2XX^{T})$$

$$= E - 2XX^{T} - 2XX^{T} + 4XX^{T}XX^{T}$$

$$= E - 4XX^{T} + 4XX^{T}XX^{T}$$

$$= E - 4XX^{T} + 4X(X^{T}X{)X}^{T}$$

$$= E - 4XX^{T} + 4X{\cdot 1 \cdot X}^{T}$$

=E

所以 $HH^{T} = E$。

3. 举例验证

取 $n = 2$，令$X = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix},\quad$

则$X^{T}X = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = 1$，$XX^{T} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

$H = E - 2XX^{T} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} - 2\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ 对称。

计算 $HH^{T}$：

$$HH^{T} = H^{2} = \begin{bmatrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}^{2} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = E$$

成立。

五、方阵的行列式

定义6 由n阶方阵A的元素所构成的行列式(各元素的位置不变)

称为方阵A的行列式 , 记作det A或|A|

由方阵A确定行列式|A|的这个运算满足下述运算规律

(设A、B为n阶方阵 , λ为数):

(i)|A^T|=|A|(行列式性质1)

(ii)|λA|=λⁿ|A|

(iii) |AB|=|A||B|

(iv)|-E|=(-1)ⁿ|E|=(-1)ⁿ×1=(-1)ⁿ

证明(iii) , 且仅就n=2的情形写出证明 , n⩾3的情形类似可证

设A=(a_ij) , B=(b_ij) ,

因为D=$\left| \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 1 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ - 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} b_{11} \\ b_{21} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} b_{12} \\ b_{22} \end{matrix} \end{array} \right|$=|A||B|

又因为D=$\left| \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 1 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ - 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} b_{11} \\ b_{21} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} b_{12} \\ b_{22} \end{matrix} \end{array} \right|\overset{c_{3} + b_{11}c_{1} + b_{21}c_{2}}{\Rightarrow}\left| \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 1 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ - 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} \\ a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} b_{12} \\ b_{22} \end{matrix} \end{array} \right|$

$\overset{c_{4} + b_{12}c_{1} + b_{22}c_{2}}{\Rightarrow}\left| \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 1 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ - 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} \\ a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} \\ a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right|$

两次行对换: r₁⟷r₃ , r₂⟷r₄ , 得

=(-1)²$\left| \begin{array}{r} \begin{matrix} - 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ - 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} \\ a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} \\ a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} \end{matrix} \end{array} \right|$

$$= {( - 1)}^{2}\left| \begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix} \right|\left| \begin{matrix} a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} \\ a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} \end{matrix} \right|$$

$$= {( - 1)}^{2}{( - 1)}^{2}\left| \begin{matrix} a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} \\ a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} \end{matrix} \right|$$

$$= \left| \begin{matrix} a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} \\ a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} \end{matrix} \right| = |AB|$$

于是|AB|=|A||B|

由(iii)可知 , 对于n阶矩阵A、B , 一般来说AB≠BA , 但总有|AB|=|BA|

例10 由行列式|A|的各个元素的代数余子式A_ij所构成的矩阵

A*=$\left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} A_{11} \\ A_{21} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ A_{n1} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} A_{12} \\ A_{22} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ A_{n2} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \cdots \\ \cdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \cdots \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} A_{1n} \\ A_{2n} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ A_{nn} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack^{T} = \left\lbrack \begin{array}{r} \begin{matrix} A_{11} \\ A_{12} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ A_{1n} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} A_{21} \\ A_{22} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ A_{2n} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \cdots \\ \cdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \cdots \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} A_{n1} \\ A_{n2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ A_{nn} \end{matrix} \end{array} \right\rbrack$

称为矩阵A的伴随矩阵 , 简称伴随阵

试证: AA*=A*A=|A|E

例 取一个具体的 2×2 矩阵$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

1. 计算 $|A|E$： $|A| = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = - 2$

$$|A|E = - 2\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

2. 计算代数余子式（ $A_{ij} = ( - 1)^{i + j}M_{ij}$，$M_{ij}$ 是余子式）

$$A_{11} = ( - 1)^{1 + 1}M_{11} = ( + 1) \cdot 4 = 4$$

$$A_{12} = ( - 1)^{1 + 2}M_{12} = ( - 1) \cdot 3 = - 3$$

$$A_{21} = ( - 1)^{2 + 1}M_{21} = ( - 1) \cdot 2 = - 2$$

$$A_{22} = ( - 1)^{2 + 2}M_{22} = ( + 1) \cdot 1 = 1$$

3. 写出伴随矩阵 $A^{\ast}$（代数余子式矩阵的转置）

代数余子式矩阵：$\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & - 3 \\ - 2 & 1 \end{pmatrix}$

转置后得到伴随矩阵：$A^{\ast} = \begin{pmatrix} 4 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{pmatrix}$

4. 计算 $AA^{\ast}$ ：$AA^{\ast} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \end{pmatrix} = - 2\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

5. 计算 $A^{\ast}A$ ：$A^{\ast}A = \begin{pmatrix} 4 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \end{pmatrix} = - 2\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

结论：$AA^{\ast} = A^{\ast}A = |A|E$成立。