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1 , 利用对角线法则计算下列三阶行列式:

(1)|2011−4−1−183|(2)|abcbcacab|(1)\left| \begin{matrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & - 4 & - 1 \\ - 1 & 8 & 3 \end{matrix} \right|\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\left| \begin{matrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{matrix} \right|

(3)|111abca2b2c2|(4)|xyx+yyx+yxx+yxy|(3)\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^{2} & b^{2} & c^{2} \end{matrix} \right|\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)\left| \begin{matrix} x & y & x + y \\ y & x + y & x \\ x + y & x & y \end{matrix} \right|

解: (1)

原式=2×(-4)×3+0×(-1)×(-1)+1×1×8-1×(-4)×(-1)-2×(-1)×8-0×1×3=-4

(2)原式=abc+bac+cba-c3-a3-b3=3abc-a3-b3-c3

(3)原式=1·b·c2+1·c·a2+1·a·b2-1·b·a2-1·c·b2-1·a·c2

=bc2+ca2+ab2-ba2-cb2-ac2=c2(b-a)+ab(b-a)-c(b2-a2)

=c2(b-a)+ab(b-a)-c(b+a)(b-a)=(b-a)(c2+ab-c(b+a))

=(b-a)(c2+ab-cb-ca)=(b-a)((c2-ca)+(ab-cb))

=(b-a)(c(c-a)+b(a-c))=(b-a)(c(c-a)-b(c-a))

=(a-b)(b-c)(c-a)

(4)原式=x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yx-(x+y)3-x3-y3

=(x2+xy)y+x2y+xy2+x2y+xy2-(x3+3x2y+3xy2+y3)-x3-y3

=x2y+xy2+x2y+xy2+x2y+xy2-x3-3x2y-3xy2-y3-x3-y3

=3x2y-3x2y+3xy2-3xy2-2x3-2y3=-2(x3+y3)

2.按自然数从小到大为标准次序 , 求下列各排列的逆序数

(1)1 2 3 4 (2) 4 1 3 2

(3) 3 4 2 1 (4) 2 4 1 3

(5) 1 3 5 ⋯ (2n-1) 2 4 6 ⋯ (2n)

(6) 1 3 5 ⋯ (2n-1) (2n) (2n-2) ⋯6 4 2

解:(1) 此排列为标准排列 , 其逆序数为0

(2)此排列的首位元素4的逆序数为3 , 第2位元素1的逆序数为0

第3位元素3的逆序数为1 , 末位元素2的逆序数为0

故它的逆序数为3+0+1+0=4

(3)此排列的首位元素3的逆序数为2 , 第2位元素4的逆序数为2

第3位元素2的逆序数为1 , 末位元素1的逆序数为0 ,

故它的逆序数为2+2+1+0=5

(4)类似于上面 , 此排列的从首位元素到末位元素的逆序数依次为1 , 2 , 0 , 0

故它的逆序数为1+2+0+0=3

(5)

当n=1时，排列是1 2 ，

逆序数为0+0=0，

当n=2时，排列是1 3 2 4，

逆序数为0+1+0+0=1

当n=3时，排列是1 3 5 2 4 6,

逆序数为0+1+2+0+0+0=3

当n=4时，排列是1 3 5 7 2 4 6 8，

逆序数为0+1+2+3+0+0+0+0=6

当n=5时，排列是1 3 5 7 9 2 4 6 8 10

逆序数为0+1+2+3+4+0+0+0+0+0=10

数列0，1，3，6，10，⋯，的通项公式为an=n(n−1)2a_{n} = \frac{n(n - 1)}{2}

所以排列的逆序数为n(n−1)2\frac{n(n - 1)}{2}

(6)

当n=1时，排列是1 2 ，

逆序数为0+0=0，

当n=2时，排列是1 3 4 2，

逆序数为0+1+1+0=2

当n=3时，排列是1 3 5 6 4 2,

逆序数为0+1+2+2+1+0=6

当n=4时，排列是1 3 5 7 8 6 4 2，

逆序数为0+1+2+3+3+2+1+0=12

数列0，2，6，12，⋯，的通项公式为an=n(n−1)a_{n} = n(n - 1)

所以排列的逆序数为n(n−1)n(n - 1)

3 , 写出四阶行列式中含有因子a11a23的项

解:

1. 行列式项的一般形式 n 阶行列式中，

每一项的形式为：(−1)t(j1j2j3j4)a1j1a2j2a3j3a4j4( - 1)^{t(j_{1}j_{2}j_{3}j_{4})}\, a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}a_{3j_{3}}a_{4j_{4}}

其中： j1j2j3j4j_{1}j_{2}j_{3}j_{4} 是 1,2,3,41,2,3,4 的一个排列（列标全不重复）

t(j1j2j3j4)t(j_{1}j_{2}j_{3}j_{4}) 是这个排列的逆序数

把列标排列 j1j2j3j4j_{1}j_{2}j_{3}j_{4}全列出

方法：逐位固定法 按照排列的首位数字分类：

①. 首位为 1 后面三位是 {2,3,4}\{ 2,3,4\} 的全排列（6 种）：

固定 1 2 后两位：1 2 3 4，1 2 4 3

固定 1 3 后两位：1 3 2 4，1 3 4 2

固定 1 4 后两位：1 4 2 3，1 4 3 2

②. 首位为 2 后面三位是 {1,3,4}\{ 1,3,4\} 的全排列（6 种）：

固定 2 1：2 1 3 4，2 1 4 3

固定 2 3：2 3 1 4，2 3 4 1

固定 2 4：2 4 1 3，2 4 3 1

③. 首位为 3 后面三位是 {1,2,4}\{ 1,2,4\} 的全排列（6 种）：

固定 3 1：3 1 2 4，3 1 4 2

固定 3 2：3 2 1 4，3 2 4 1

固定 3 4：3 4 1 2，3 4 2 1

④. 首位为 4 后面三位是 {1,2,3}\{ 1,2,3\} 的全排列（6 种）：

固定 4 1：4 1 2 3，4 1 3 2

固定 4 2：4 2 1 3，4 2 3 1

固定 4 3：4 3 1 2，4 3 2 1

验证 每个排列的第一个数字有 4 种可能。

第一个数字确定后，后面 3 个数字的排列有 3!=63! = 6 种。

共有4×6=244 \times 6 = 24种，无重复无遗漏。

2. 固定已知列标 题目要求含 a11a23a_{11}a_{23}，即：j1=1,j2=3j_{1} = 1,\quad j_{2} = 3

剩下列标 j3,j4j_{3},j_{4} 必须是从 {2,4}\{ 2,4\} 中取，且不重复。

所以只有两种排列：

1. j1j2j3j4=1324j_{1}j_{2}j_{3}j_{4} = 1\ 3\ 2\ 4

2. j1j2j3j4=1342j_{1}j_{2}j_{3}j_{4} = 1\ 3\ 4\ 2

3. 计算逆序数与符号

① 排列：1 3 2 4

逆序数 t=0+1+0+0=1t = 0 + 1 + 0 + 0 = 1，

对应项：(−1)ta11a23a32a44( - 1)^{t}a_{11}a_{23}a_{32}a_{44}=(−1)1a11a23a32a44( - 1)^{1}a_{11}a_{23}a_{32}a_{44}= −a11a23a32a44- a_{11}a_{23}a_{32}a_{44}

② 排列：1 3 4 2

逆序数 t=0+1+1+0=2，t = 0 + 1 + 1 + 0 = 2，

对应项：(−1)ta11a23a34a42=(−1)2a11a23a34a42=+a11a23a34a42( - 1)^{t}a_{11}a_{23}a_{34}a_{42} = ( - 1)^{2}a_{11}a_{23}a_{34}a_{42} = + a_{11}a_{23}a_{34}a_{42}

4. 最终结果

四阶行列式中含有因子 a11a23a_{11}a_{23} 的项为：

−a11a23a32a44,+a11a23a34a42- a_{11}a_{23}a_{32}a_{44},\quad + a_{11}a_{23}a_{34}a_{42}

4.计算下列各行列式

(1)|41100125120214207|(2)|23151−12042361122|(1)\left| \begin{array}{r} \begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 10 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 7 \end{matrix} \end{array} \right|\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\left| \begin{array}{r} \begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 5 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 3 \\ 6 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix} \end{array} \right|

(3)|−abacaebd−cddebfcf−ef|(4)|111abcb+cc+aa+b|(3)\left| \begin{matrix} - ab & ac & ae \\ bd & - cd & de \\ bf & cf & - ef \end{matrix} \right|\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ b + c & c + a & a + b \end{matrix} \right|

(5)|a−1001b−1001c−1001d|(6)|1111234134124123|(5)\left| \begin{array}{r} \begin{matrix} a \\ - 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ b \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 1 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} c \\ - 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ d \end{matrix} \end{array} \right|\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6)\left| \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix} \end{array} \right|

解: (1)|41100125120214207|⇒r1↔r2−|14100215102212407|⇒r2−4r1r3−10r1−|10002−7−15102212−4−207|(1)\ \left| \begin{array}{r} \begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 10 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 7 \end{matrix} \end{array} \right|\ \ \ \overset{r_{1} \leftrightarrow r_{2}}{\Rightarrow} - \left| \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 4 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 10 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 2 \\ 4 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 7 \end{matrix} \end{array} \right|\overset{\begin{matrix} r_{2} - {4r}_{1} \\ r_{3} - {10r}_{1} \end{matrix}}{\Rightarrow} - \left| \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 2 \\ - 7 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 15 \\ 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 2 \\ - 4 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 20 \\ 7 \end{matrix} \end{array} \right|

⇒r4↔r2|100021−15−7012227−20−4|⇒r3+15r2r4+7r2|1000210001179278545|⇒r3÷17|10002100011927545|\overset{r_{4} \leftrightarrow r_{2}}{\Rightarrow}\left| \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 15 \\ - 7 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 2 \\ 7 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 20 \\ - 4 \end{matrix} \end{array} \right|\overset{\begin{matrix} r_{3} + {15r}_{2} \\ r_{4} + {7r}_{2} \end{matrix}}{\Rightarrow}\left| \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 17 \\ 9 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 2 \\ 7 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 85 \\ 45 \end{matrix} \end{array} \right|\overset{r_{3} \div 17}{\Rightarrow}\left| \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 9 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 2 \\ 7 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 5 \\ 45 \end{matrix} \end{array} \right|

⇒r4−9r3|1000210001102750|=1×1×1×\overset{r_{4} - 9r_{3}}{\Rightarrow}\left| \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 2 \\ 7 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 5 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right| = 1 \times 1 \times 1 \times0=0

(2)|23151−12042361122|⇒r2+r1|2515102046361222|⇒r4+(−1)r2|2510102046301220|(2)\ \left| \begin{array}{r} \begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 5 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 3 \\ 6 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix} \end{array} \right|\overset{r_{2} + r_{1}}{\Rightarrow}\left| \begin{array}{r} \begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 5 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 4 \\ 6 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 3 \\ 6 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix} \end{array} \right|\overset{r_{4} + {( - 1)r}_{2}}{\Rightarrow}\left| \begin{array}{r} \begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 4 \\ 6 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right|=0

(3)|−abacaebd−cddebfcf−ef|⇒r1÷ar2÷dr3÷fadf|−bceb−cebc−e|⇒c1÷bc2÷cc3÷eabcdef|−1111−1111−1|(3)\ \left| \begin{matrix} - ab & ac & ae \\ bd & - cd & de \\ bf & cf & - ef \end{matrix} \right|\overset{\begin{matrix} r_{1} \div a \\ r_{2} \div d \\ r_{3} \div f \end{matrix}}{\Rightarrow}adf\left| \begin{matrix} - b & c & e \\ b & - c & e \\ b & c & - e \end{matrix} \right|\overset{\begin{matrix} c_{1} \div b \\ c_{2} \div c \\ c_{3} \div e \end{matrix}}{\Rightarrow}abcdef\left| \begin{matrix} - 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \end{matrix} \right|

⇒r2+r1r3+r1abcdef|−111002020|⇒r2↔r3−abcdef|−111020002|=4abcdef\overset{\begin{matrix} r_{2} + r_{1} \\ r_{3} + r_{1} \end{matrix}}{\Rightarrow}abcdef\left| \begin{matrix} - 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \end{matrix} \right|\overset{r_{2} \leftrightarrow r_{3}}{\Rightarrow} - abcdef\left| \begin{matrix} - 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix} \right| = 4abcdef\

(4)|111abcb+cc+aa+b|⇒r2+r3|111a+b+ca+b+ca+b+cb+cc+aa+b|(4)\ \left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ b + c & c + a & a + b \end{matrix} \right|\overset{r_{2} + r_{3}}{\Rightarrow}\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ a + b + c & a + b + c & a + b + c \\ b + c & c + a & a + b \end{matrix} \right|

=(a+b+c)|111111b+cc+aa+b|=(a+b+c)|111000b+cc+aa+b|=0= (a + b + c)\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ b + c & c + a & a + b \end{matrix} \right| = (a + b + c)\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ b + c & c + a & a + b \end{matrix} \right| = 0

(5)|a−1001b−1001c−1001d|⇒r1+ar2|0−1001+abb−10a1c−1001d|(5)\ \left| \begin{array}{r} \begin{matrix} a \\ - 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ b \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 1 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} c \\ - 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ d \end{matrix} \end{array} \right|\overset{r_{1} + ar_{2}}{\Rightarrow}\left| \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ - 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 + ab \\ b \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 1 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} a \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} c \\ - 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ d \end{matrix} \end{array} \right|

⇒按c1展开(−1)(−1)3|1+aba0−1c10−1d|\overset{按c_{1}展开}{\Rightarrow}( - 1)( - 1)^{3}\left| \begin{matrix} 1 + ab & a & 0 \\ - 1 & c & 1 \\ 0 & - 1 & d \end{matrix} \right|

⇒c3+dc2|1+abaad−1c1+cd0−10|⇒按r3展开(−1)(−1)5|1+abad−11+cd|\overset{c_{3} + dc_{2}}{\Rightarrow}\left| \begin{matrix} 1 + ab & a & ad \\ - 1 & c & 1 + cd \\ 0 & - 1 & 0 \end{matrix} \right|\overset{按r_{3}展开}{\Rightarrow}( - 1)( - 1)^{5}\left| \begin{matrix} 1 + ab & ad \\ - 1 & 1 + cd \end{matrix} \right|

=(1+ab)(1+cd)+ad

(6)|1111234134124123|⇒r2−r1r3−r1r4−r1|1000212−131−2−14−3−2−1|⇒按c1展开r3÷(−1)−|11−32−2−2111|(6)\ \left| \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix} \end{array} \right|\overset{\begin{matrix} r_{2} - r_{1} \\ r_{3} - r_{1} \\ r_{4} - r_{1} \end{matrix}}{\Rightarrow}\left| \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2 \\ - 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 2 \\ - 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 4 \\ - 3 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 2 \\ - 1 \end{matrix} \end{array} \right|\overset{\begin{matrix} 按c_{1}展开 \\ r_{3} \div ( - 1) \end{matrix}}{\Rightarrow} - \left| \begin{matrix} 1 & 1 & - 3 \\ 2 & - 2 & - 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} \right|

⇒c2−c1−|10−32−4−2101|=4|1−311|=16\overset{c_{2} - c_{1}}{\Rightarrow} - \left| \begin{matrix} 1 & 0 & - 3 \\ 2 & - 4 & - 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix} \right| = 4\left| \begin{matrix} 1 & - 3 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right| = 16

5 , 求解下列方程:

(1)|x+12−12x+11−11x+1|=0(1)\ \left| \begin{matrix} x + 1 & 2 & - 1 \\ 2 & x + 1 & 1 \\ - 1 & 1 & x + 1 \end{matrix} \right| = 0

(2)|1xx2x31aa2a31bb2b31cc2c3|=0(2)\ \left| \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ x \end{matrix} \\ \begin{matrix} x^{2} \\ x^{3} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ a \end{matrix} \\ \begin{matrix} a^{2} \\ a^{3} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ b \end{matrix} \\ \begin{matrix} b^{2} \\ b^{3} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ c \end{matrix} \\ \begin{matrix} c^{2} \\ c^{3} \end{matrix} \end{array} \right| = 0 , 其中a , b , c互不相等

解: (1)|x+12−12x+11−11x+1|⇒r1+r2r1÷(x+3)(x+3)|1102x+11−11x+1|\left| \begin{matrix} x + 1 & 2 & - 1 \\ 2 & x + 1 & 1 \\ - 1 & 1 & x + 1 \end{matrix} \right|\overset{\begin{matrix} r_{1} + r_{2} \\ r_{1} \div (x + 3) \end{matrix}}{\Rightarrow}(x + 3)\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & x + 1 & 1 \\ - 1 & 1 & x + 1 \end{matrix} \right|

⇒c2−c1(x+3)|1002x−11−12x+1|\overset{c_{2} - c_{1}}{\Rightarrow}(x + 3)\left| \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & x - 1 & 1 \\ - 1 & 2 & x + 1 \end{matrix} \right|=(x+3)|x−112x+1|\left| \begin{matrix} x - 1 & 1 \\ 2 & x + 1 \end{matrix} \right|=(x+3)(x2-3)=0

于是方程的解为x1=-3 , x2=3\sqrt{3} , x3=−3- \sqrt{3}

(2)解：

对于变量 y1,y2,…,yny_{1},y_{2},\ldots,y_{n}，其 Vandermonde 行列式为：

Vn(y1,y2,…,yn)=∏1≤i<j≤n(yj−yi).V_{n}(y_{1},y_{2},\ldots,y_{n}) = \prod_{1 \leq i < j \leq n}^{}(y_{j} - y_{i}).

原行列式虽然第一列为 1,x,x2,x31,x,x^{2},x^{3}，其余三列为固定常数 a,b,ca,b,c 的幂次，

但整体结构仍属于 Vandermonde 类型，变量依次为 x,a,b,cx,a,b,c。

记该行列式为 D(x)D(x)，则根据 Vandermonde 行列式的定义，有：

D(x)=V4(x,a,b,c)=∏1≤i<j≤4(tj−ti),D(x) = V_{4}(x,a,b,c) = \prod_{1 \leq i < j \leq 4}^{}(t_{j} - t_{i}),

其中 t1=x,t2=a,t3=b,t4=ct_{1} = x,\ t_{2} = a,\ t_{3} = b,\ t_{4} = c。

展开该乘积，可得：D(x)=(a−x)(b−x)(c−x)(b−a)(c−a)(c−b).D(x) = (a - x)(b - x)(c - x)(b - a)(c - a)(c - b).

已知 a,b,ca,b,c 互不相等，因此：(b−a)(c−a)(c−b)≠0.(b - a)(c - a)(c - b) \neq 0.

于是方程 D(x)=0D(x) = 0 等价于：(a−x)(b−x)(c−x)=0.(a - x)(b - x)(c - x) = 0.

解得：x=a或x=b或x=c.x = a\quad 或\quad x = b\quad 或\quad x = c.