记D=$\left| \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ a_{n1} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ a_{n2} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \cdots \\ \cdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \cdots \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{1n} \\ a_{2n} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ a_{nn} \end{matrix} \end{array} \right|$ , D^T=$\left| \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{11} \\ a_{12} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ a_{1n} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{21} \\ a_{22} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ a_{2n} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \cdots \\ \cdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \cdots \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{n1} \\ a_{n2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ a_{nn} \end{matrix} \end{array} \right|$

行列式D^T称为行列式D的转置行列式

性质1行列式与它的转置行列式相等

示例验证（以2阶行列式为例）

为直观理解，以2阶矩阵$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$为例：

$A$的行列式：$det(A) = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$；

$A$的转置：$A^{T} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \end{pmatrix}$；

$A^{T}$的行列式：$det(A^{T}) = a_{11}a_{22} - a_{21}a_{12}$。

显然，$det(A) = det(A^{T})$。

性质2 对换行列式的两行(列) , 行列式变号

以r_i表示行列式的第i行 , 以c_i表示第i列

对换i , j两行记作r_i⟷r_j , 对换i , j两列记作c_i⟷c_j

举例验证：

一、先计算原三阶行列式的值

原行列式为：$D = \begin{vmatrix} 2 & 5 & 2 \\ 1 & 8 & 3 \\ 6 & 7 & 3 \end{vmatrix}$

按三阶行列式定义计算：

$$D = 2 \times 8 \times 3 + 1 \times 7 \times 2 + 6 \times 5 \times 3 - 6 \times 8 \times 2 - 1 \times 5 \times 3 - 2 \times 7 \times 3$$

$$= 48 + 14 + 90 - 96 - 15 - 42$$

$$= 152 - 153$$

=1

二、对换行列式的任意两行（以对换第1、2行为例），

对换第1、2行后，新行列式$D_{1}$为：$D_{1} = \begin{vmatrix} 1 & 8 & 3 \\ 2 & 5 & 2 \\ 6 & 7 & 3 \end{vmatrix}$

同样按三阶行列式定义展开计算：

$$D_{1} = 1 \times 5 \times 3 + 2 \times 7 \times 3 + 6 \times 8 \times 2 - 6 \times 5 \times 3 - 2 \times 8 \times 3 - 1 \times 7 \times 2$$

$$= 15 + 42 + 96 - 90 - 48 - 14$$

$$= 153 - 152$$

=1

三、验证“对换两行，行列式变号”

原行列式$D = - 1$，对换行后的行列式$D_{1} = 1$，满足：$D_{1} = - D$

推论 如果行列式有两行(列)完全相同 , 则此行列式等于零

证: 把这两行对换 , 有D=-D , 故D=0

性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘同一数k ,

等于用数k乘此行列式 , 表达式r_i×k(或c_i×k)表示第i行(或列)乘k ,

举例：取：$D = \left| \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} \right|$

1）原行列式展开

$$D = 1(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - 0(2 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + 1(2 \cdot 1 - 1 \cdot 0) = 1 + 2 = 3$$

2）D的第 2 行乘 $k = 3$

得$D_{1} = \left| \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 3 \cdot 2 & 3 \cdot 1 & 3 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 6 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} \right|$

按定义展开：

$$D_{1} = 1(3 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - 0(6 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + 1(6 \cdot 1 - 3 \cdot 0) = 3 + 6 = 9$$

3）对比

$kD = 3 \cdot 3 = 9 = D_{1}$成立。

推论 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面

表达式r_i÷k(或c_i÷k)表示第i行(或列)提出公因子k

有$\left| \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{11} \\ \vdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} {ka}_{i1} \\ \vdots \\ a_{n1} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{12} \\ \vdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} {ka}_{i2} \\ \vdots \\ a_{n2} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \cdots \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \cdots \\ \\ \cdots \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{1n} \\ \vdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} {ka}_{in} \\ \vdots \\ a_{nn} \end{matrix} \end{array} \right|\overset{r_{i} \div k}{\Rightarrow}\ \ k\left| \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{11} \\ \vdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} a_{i1} \\ \vdots \\ a_{n1} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{12} \\ \vdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} a_{i2} \\ \vdots \\ a_{n2} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \cdots \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \cdots \\ \\ \cdots \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{1n} \\ \vdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} a_{in} \\ \vdots \\ a_{nn} \end{matrix} \end{array} \right|$

性质4行列式中如果有两行(列)元素成比例 , 则此行列式等于零

性质5 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和, 则D等于两个行列式之和

举例验证（3阶行列式）

设$D = \left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 + 4 & 1 + 5 & 2 + 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} \right|$，这里第 2 行元素是两个数之和。

直接计算 D

$D = \left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 6 & 8 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} \right| = 0$。

拆成两个行列式

$D_{1} = \left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} \right|$ ，$D_{2} = \left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} \right|$

$D_{1} = 0$。 $D_{2} = 0$。

验证 $D = D_{1} + D_{2}$

$$D_{1} + D_{2} = 0 + 0 = 0$$

$$D = 0$$

成立。

性质6把行列式的某一行(列)的各元素乘同一数

然后加到另一行(列)对应的元素上去 , 行列式不变

例如以数k乘第i行加到第j行上(记作r_j+kr_i) , 有

$$\left| \begin{array}{r} \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{11} \\ \vdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} a_{i1} \\ \vdots \end{matrix} \end{array} \\ \begin{matrix} a_{j1} \\ \vdots \\ a_{n1} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{12} \\ \vdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} a_{i2} \\ \vdots \end{matrix} \end{array} \\ \begin{matrix} a_{j2} \\ \vdots \\ a_{n2} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{array}{r} \begin{matrix} \cdots \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \cdots \\ \end{matrix} \end{array} \\ \begin{matrix} \cdots \\ \\ \cdots \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{1n} \\ \vdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} a_{in} \\ \vdots \end{matrix} \end{array} \\ \begin{matrix} a_{jn} \\ \vdots \\ a_{nn} \end{matrix} \end{array} \right|\begin{matrix} \ \ r_{j} + {kr}_{i} \\ = \\ \end{matrix}\left| \begin{array}{r} \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{11} \\ \vdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} a_{i1} \\ \vdots \end{matrix} \end{array} \\ \begin{matrix} a_{j1} + {ka}_{i1} \\ \vdots \\ a_{n1} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{12} \\ \vdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} a_{i2} \\ \vdots \end{matrix} \end{array} \\ \begin{matrix} a_{j2} + {ka}_{i2} \\ \vdots \\ a_{n2} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{array}{r} \begin{matrix} \cdots \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \cdots \\ \end{matrix} \end{array} \\ \begin{matrix} \cdots \\ \\ \cdots \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{1n} \\ \vdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} a_{in} \\ \vdots \end{matrix} \end{array} \\ \begin{matrix} a_{jn} + {ka}_{in} \\ \vdots \\ a_{nn} \end{matrix} \end{array} \right|(i \neq j)$$

(如果以数k乘第i列加到第j列上 , 则记作c_j+kc_i)

举例验证

取一个 $3 \times 3$ 行列式：$D = \left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{matrix} \right| = 1$。

第二步：对 $D$ 做行变换

把第一行乘以 $2$ 加到第二行（即 $R_{2} \leftarrow R_{2} + 2R_{1}$）。

新行列式：$D' = \left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 10 \\ 5 & 6 & 0 \end{matrix} \right|$

第三步：计算 $D'$

$$D' = 1$$

结果仍然是 $1$，与 $D$ 相等，验证了该性质。

上述性质5表明:当某一行(或列)的元素为两数之和时

行列式关于该行(或列)可分解为两个行列式.

若n阶行列式每个元素都表示成两数之和 , 则它可分解成2ⁿ个行列式

例如二阶行列式

$\left| \begin{matrix} a + x & b + y \\ c + z & d + w \end{matrix} \right|$=$\left| \begin{matrix} a & b + y \\ c & d + w \end{matrix} \right|$+$\left| \begin{matrix} x & b + y \\ z & d + w \end{matrix} \right|$=$\left| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right|$+$\left| \begin{matrix} a & y \\ c & w \end{matrix} \right|$+$\left| \begin{matrix} x & b \\ z & d \end{matrix} \right|$+$\left| \begin{matrix} x & y \\ z & w \end{matrix} \right|$

性质2 , 3 , 6介绍了行列式关于行和关于列的三种运算,

即r_i⟷r_j , r_i×k , r_i+kr_j和c_i⟷c_j , c_i×k , c_i+kc_j

利用这些运算可简化行列式的计算,

特别是利用运算r_i+kr_j(或c_i+kc_j)可以把行列式中许多元素化为0

计算行列式常用的一种方法就是利用运算r_i+kr_j

把行列式化为上三角形行列式 , 从而算得行列式的值.

例6计算n阶行列式

(1) $D_{n} = \left| \begin{matrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & a_{1n} \\ 0 & 0 & \cdots & a_{2,n - 1} & a_{2n} \\ 0 & \cdots & a_{3,n - 2} & a_{3,n - 1} & a_{3n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{n,n - 2} & a_{n,n - 1} & a_{nn} \end{matrix} \right|.$ $\ \ \ (2)\left| \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \lambda_{n} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} ⋰ \\ \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ \lambda_{2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \lambda_{1} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right|$

解:

(1) 1. 观察行列式结构

原行列式为：$D_{n} = \left| \begin{matrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & a_{1n} \\ 0 & 0 & \cdots & a_{2,n - 1} & a_{2n} \\ 0 & \cdots & a_{3,n - 2} & a_{3,n - 1} & a_{3n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{n,n - 2} & a_{n,n - 1} & a_{nn} \end{matrix} \right|$

它不是上三角或下三角行列式。

但非零元素分布呈“反对角线方向”聚集，可以通过行交换化为上三角形式。

2. 逐步行交换化为上三角

我们目标是：将最后一行（第 $n$ 行）换到第 1 行，将第 $n - 1$ 行换到第 2 行，依此类推，最终使矩阵变为上三角。

第一步

将第 $n$ 行依次与第 $n - 1$ 行、第 $n - 2$ 行、……、第 1 行交换，

共 $n - 1$ 次交换，得到新行列式 $D_{1}$。

交换后，第 1 行变为原来的第 $n$ 行：$(a_{n1},a_{n2},\ldots,a_{nn})$

其余行依次上移，最后一行变为原来的第 1 行：$(0,0,\ldots,0,a_{1n})$

由行列式性质，每交换一次行，符号改变一次，

因此：$D_{1} = ( - 1)^{n - 1}D_{n}\quad \Rightarrow \quad D_{n} = ( - 1)^{n - 1}D_{1}$

第二步

在 $D_{1}$ 中，第 1 行已经到位（即最终上三角的第 1 行）。

现在将第 $n$ 行（此时是原来的第 1 行）依次与

第 $n - 1$ 行、……、第 2 行交换，共 $n - 2$ 次交换，得到 $D_{2}$。

此时：$D_{2} = ( - 1)^{n - 2}D_{1}\quad \Rightarrow \quad D_{n} = ( - 1)^{(n - 1) + (n - 2)}D_{2}$

继续此过程

每一步都是将当前最后一行交换到它最终应在的位置，

交换次数依次为：$n - 1,\ n - 2,\ \ldots,\ 1$

总交换次数：$S = (n - 1) + (n - 2) + \ldots + 1 = \frac{n(n - 1)}{2}$

3. 最终上三角行列式

经过所有交换后，行列式变为上三角形式：$\left| \begin{matrix} a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ 0 & a_{n - 1,2} & \cdots & a_{n - 1,n} \\ 0 & 0 & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{1n} \end{matrix} \right|$

上三角行列式的值等于对角线元素乘积：$对角元 = a_{n1},\ a_{n - 1,2},\ a_{n - 2,3},\ \ldots,\ a_{1n}$

即：$det(上三角) = a_{n1} \cdot a_{n - 1,2} \cdot a_{n - 2,3}\cdots a_{1n}$

4. 符号与最终公式

原行列式 $D_{n}$ 经过 $S = \frac{n(n - 1)}{2}$ 次行交换得到上三角行列式，

因此：$D_{n} = ( - 1)^{\frac{n(n - 1)}{2}} \cdot \left( a_{n1}a_{n - 1,2}\cdots a_{1n} \right)$

也可以按原题中元素的顺序写作：$D_{n} = ( - 1)^{\frac{n(n - 1)}{2}} \cdot a_{1n}a_{2,n - 1}a_{3,n - 2}\cdots a_{n1}$

(2)由(1)得$\left| \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \lambda_{n} \end{matrix} \end{array}\ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} ⋰ \\ \end{matrix} \end{array}\ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ \lambda_{2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array}\ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \lambda_{1} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right| = ( - 1)^{\frac{n(n - 1)}{2}}\lambda_{1}\lambda_{2}\cdots\lambda_{n}$

例7计算D=$\left| \begin{array}{r} \begin{matrix} 3 \\ - 5 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ - 5 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} - 1 \\ 3 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 2 \\ - 4 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 1 \\ - 3 \end{matrix} \end{array} \right|$

解: D$\overset{r_{1} \leftrightarrow r_{4}}{\Rightarrow} - \left| \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ - 5 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} - 5 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} - 3 \\ - 4 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 1 \\ 2 \end{matrix} \end{array} \right|\overset{\begin{matrix} r_{2} + 5r_{1} \\ r_{3} - 2r_{1} \\ r_{4} - 3r_{1} \end{matrix}}{\Rightarrow} - \left| \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} - 5 \\ - 24 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 10 \\ 16 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 3 \\ 18 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 5 \\ - 10 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} - 3 \\ - 19 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 5 \\ 11 \end{matrix} \end{array} \right|$

$$\overset{r_{3} \div 2}{\Rightarrow} - 5\left| \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} - 5 \\ - 24 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2 \\ 16 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 3 \\ 18 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 1 \\ - 10 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} - 3 \\ - 19 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 11 \end{matrix} \end{array} \right|\overset{r_{2} \leftrightarrow r_{3}}{\Rightarrow}5\left| \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} - 5 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 24 \\ 16 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 3 \\ - 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 18 \\ - 10 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} - 3 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 19 \\ 11 \end{matrix} \end{array} \right|$$

$$\overset{\begin{matrix} r_{3} + 12r_{2} \\ r_{4} - 8r_{2} \end{matrix}}{\Rightarrow}5\left| \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} - 5 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 3 \\ - 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 6 \\ - 2 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} - 3 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 7 \\ 3 \end{matrix} \end{array} \right|\overset{r_{3} \leftrightarrow r_{4}}{\Rightarrow} - 5\left| \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} - 5 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 3 \\ - 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 2 \\ 6 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} - 3 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 3 \\ - 7 \end{matrix} \end{array} \right|\overset{r_{4} + 3r_{3}}{\Rightarrow} - 5\left| \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} - 5 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 3 \\ - 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 2 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} - 3 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix} \end{array} \right|$$

=-5×2×(-2)×2=40

例8计算D=$\left| \begin{array}{r} \begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \end{array} \right|$

解: 这个行列式的特点是各列4个数之和都是6

把第2 , 3 ,4行同时加到第1行 , 提出公因子6 , 然后各行减去第一行

D$\overset{r_{1} + r_{2} + r_{3} + r_{4}}{\Rightarrow}\left| \begin{array}{r} \begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 6 \\ 3 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \end{array} \right|\overset{r_{1} \div 6}{\Rightarrow}6\left| \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \end{array} \right|\overset{\begin{matrix} r_{2} - r_{1} \\ r_{3} - r_{1} \\ r_{4} - r_{1} \end{matrix}}{\Rightarrow}6\left| \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix} \end{array} \right| = 48$

例9 计算D=$\left| \begin{array}{r} \begin{matrix} a \\ a \end{matrix} \\ \begin{matrix} a \\ a \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} b \\ a + b \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2a + b \\ 3a + b \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} c \\ a + b + c \end{matrix} \\ \begin{matrix} 3a + 2b + c \\ 6a + 3b + c \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} d \\ a + b + c + d \end{matrix} \\ \begin{matrix} 4a + 3b + 2c + d \\ 10a + 6b + 3c + d \end{matrix} \end{array} \right|$

解：把第一行乘-1，加到第二行，加到第三行，加到第四行

得$\left| \begin{array}{r} \begin{matrix} a \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} b \\ a \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2a \\ 3a \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} c \\ a + b \end{matrix} \\ \begin{matrix} 3a + 2b \\ 6a + 3b \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} d \\ a + b + c \end{matrix} \\ \begin{matrix} 4a + 3b + 2c \\ 10a + 6b + 3c \end{matrix} \end{array} \right|$

把第二行乘-2，加到第三行，把第二行乘-3，加到第四行

得$\left| \begin{array}{r} \begin{matrix} a \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} b \\ a \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} c \\ a + b \end{matrix} \\ \begin{matrix} a \\ 3a \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} d \\ a + b + c \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2a + b \\ 7a + 3b \end{matrix} \end{array} \right|$

把第三行乘-3，加到第四行

得$\left| \begin{array}{r} \begin{matrix} a \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} b \\ a \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} c \\ a + b \end{matrix} \\ \begin{matrix} a \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} d \\ a + b + c \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2a + b \\ a \end{matrix} \end{array} \right| = a^{4}$

上述诸例都是利用运算r_i+hr_j把行列式化为上三角形行列式,

用归纳法不难证明任何n阶行列式总能利用运算r_i+kr_j化为上三角形行列式

或化为下三角形行列式(这时要先把a_1n , ⋯ , a_{n-1, n}化为0)

类似地

利用列运算c_i+kc_j , 也可把行列式化为上三角形行列式或下三角形行列式.

例10设D=$\left| \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{11} \\ \vdots \\ a_{k1} \end{matrix} \\ \begin{matrix} c_{11} \\ \vdots \\ c_{n1} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \cdots \\ \\ \cdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} \cdots \\ \\ \cdots \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{1k} \\ \vdots \\ a_{kk} \end{matrix} \\ \begin{matrix} c_{1k} \\ \vdots \\ c_{nk} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} b_{11} \\ \vdots \\ b_{n1} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \cdots \\ \\ \cdots \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} b_{1n} \\ \vdots \\ b_{nn} \end{matrix} \end{array} \right|$

D₁=det(a_ij)=$\left| \begin{matrix} a_{11} & \cdots & a_{1k} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{k1} & \cdots & a_{kk} \end{matrix} \right|$ , D₂=det(b_ij)=$\left| \begin{matrix} b_{11} & \cdots & b_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ b_{n1} & \cdots & b_{nn} \end{matrix} \right|$

试证明D=D₁D₂

证: 对D₁作运算r_i+λr_j , 把D₁化为下三角形行列式,

设为D₁=$\left| \begin{matrix} p_{11} & & \\ \vdots & \ddots & \\ p_{k1} & \cdots & p_{kk} \end{matrix} \right|$=p₁₁⋯p_kk

对D₂作运算c_i+λc_j , 把D₂化为下三角形行列式

设为D₂=$\left| \begin{matrix} q_{11} & & \\ \vdots & \ddots & \\ q_{n1} & \cdots & q_{nn} \end{matrix} \right|$=q₁₁⋯q_nn

于是 , 对D的前k行作运算r_i+λr_j , 再对后n列作运算c_i+λc_j

把D化为下三角形行列式D=$\left| \begin{array}{r} \begin{matrix} p_{11} \\ \vdots \\ p_{k1} \end{matrix} \\ \begin{matrix} c_{11} \\ \vdots \\ c_{n1} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ \ddots \\ \cdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} \cdots \\ \\ \cdots \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ \\ p_{kk} \end{matrix} \\ \begin{matrix} c_{1k} \\ \vdots \\ c_{nk} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} q_{11} \\ \vdots \\ q_{n1} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \ddots \\ \cdots \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \\ q_{nn} \end{matrix} \end{array} \right|$

故D=p₁₁ ⋯p_kkq₁₁⋯ q_nn=D₁D₂

例11计算2n阶行列式D_2n=$\left| \begin{array}{r} \begin{matrix} a \\ \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \\ c \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ \ddots \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ ⋰ \\ \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ \\ a \end{matrix} \\ \begin{matrix} c \\ \\ \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ \\ b \end{matrix} \\ \begin{matrix} d \\ \\ \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ ⋰ \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \ddots \\ \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} b \\ \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \\ d \end{matrix} \end{array} \right|$

其中未写出的元素为0

解:把D_2n中的第2n行依次与第2n-1行⋯第2行对换(作2n-2次相邻两行的对换)

再把第2n列依次与第2n-1列⋯第2列对换, 得

D_2n=(-1)^2(2n-2)$\left| \begin{array}{r} \begin{array}{r} \begin{array}{r} \begin{matrix} a \\ c \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ \end{matrix} \end{array} \\ \begin{matrix} \vdots \\ \end{matrix} \end{array} \\ \begin{matrix} \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{array}{r} \begin{array}{r} \begin{matrix} b \\ d \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ \end{matrix} \end{array} \\ \begin{matrix} \vdots \\ \end{matrix} \end{array} \\ \begin{matrix} \\ 0 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{array}{r} \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} a \\ \end{matrix} \end{array} \\ \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \\ \begin{matrix} \\ c \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{array}{r} \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \ddots \end{matrix} \end{array} \\ \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \\ \begin{matrix} ⋰ \\ \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{array}{r} \begin{array}{r} \begin{matrix} \cdots \\ \cdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \\ \begin{matrix} a \\ c \end{matrix} \end{array} \\ \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{array}{r} \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \\ \begin{matrix} b \\ d \end{matrix} \end{array} \\ \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{array}{r} \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ ⋰ \end{matrix} \end{array} \\ \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \\ \begin{matrix} \ddots \\ \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{array}{r} \begin{array}{r} \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} b \\ \end{matrix} \end{array} \\ \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \\ \begin{matrix} \\ d \end{matrix} \end{array} \right|$

根据例10的结果 , 有D_2n=D₂D_2(n-1)=(ad-bc)D_2(n-1)

以此作递推公式 , 即得D_2n=(ad-bc)²D_2(n-2)=⋯=(ad-bc)^n-1D₂=(ad-bc)ⁿ

以n等于3为例

$\left| \begin{array}{r} \begin{matrix} a \\ \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \\ c \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ a \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ c \\ \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ \\ a \end{matrix} \\ \begin{matrix} c \\ \\ \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ \\ b \end{matrix} \\ \begin{matrix} d \\ \\ \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ b \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ d \\ \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} b \\ \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \\ d \end{matrix} \end{array}\ \right|$

解:把D₆中的第6行依次与第5行，第4行，第3行，第2行对换,

(作4次相邻两行的对换)

再把第6列依次与第5列，第4列，第3列，第2列对换 ,

$$\ \ \ \left| \begin{array}{r} \begin{matrix} a \\ c \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \\ \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} b \\ d \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \\ \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ \\ a \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \\ c \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} a \\ c \\ \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} b \\ d \\ \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ \\ b \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \\ d \end{matrix} \end{array}\ \right|$$

依此类推得

D₆=(-1)⁸ $\left| \begin{array}{r} \begin{matrix} a \\ c \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \\ \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} b \\ d \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \\ \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ \\ a \end{matrix} \\ \begin{matrix} c \\ \\ \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ \\ b \end{matrix} \\ \begin{matrix} d \\ \\ \end{matrix} \end{array}\ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ a \\ c \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ b \\ d \end{matrix} \end{array}\ \ \right|$

4

D₆=D₂D₄=(ad-bc)D₄

以此作递推公式 , 即得D₆=(ad-bc)²D₂=(ad-bc)³