定义2 n阶行列式的定义与展开

一、n阶行列式的定义

设有$n^{2}$个数，将其排列成一个$n$行$n$列的数表，形式如下：$\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ & & & \end{matrix}$

基于此数表，n阶行列式的定义可通过以下步骤逐步推导：

（一）构建乘积项

从上述数表中任取$n$个数，

且这$n$个数需满足“位于不同的行、不同的列”这一条件，

由此构成的乘积项形式为：$a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}\cdots a_{nj_{n}}$

其中，$j_{1}j_{2}\cdots j_{n}$是自然数$1,2,\cdots,n$的一个排列，

该排列代表了所取$n$个数的列标顺序。

（二）确定乘积项的符号

对每一个上述构建的乘积项，需冠以符号$( - 1)^{\tau}$，其中$\tau$是排列$j_{1}j_{2}\cdots j_{n}$的逆序数。

此时，乘积项变为：$( - 1)^{\tau}a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}\cdots a_{nj_{n}}$

符号的正负由排列的逆序数奇偶性决定：

若逆序数$\tau$为偶数（即偶排列），符号为正；

若逆序数$\tau$为奇数（即奇排列），符号为负。

（三）计算所有项的代数和

由于从$n$行$n$列数表中选取“不同行、不同列”的$n$个数，

共有$n!$种不同的选取方式，因此上述带有符号的乘积项也共有$n!$个。

将这$n!$个带有符号的乘积项进行代数求和，得到的结果即为$n$阶行列式，

其表达式为：$D = \sum_{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}^{}( - 1)^{\tau(j_{1}j_{2}\cdots j_{n})}a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}\cdots a_{nj_{n}}$

其中，符号$\sum_{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}^{}$表示对所有$n$级排列（共$n!$个）进行求和，

$\tau(j_{1}j_{2}\cdots j_{n})$明确表示排列$j_{1}j_{2}\cdots j_{n}$的逆序数。

（四）n阶行列式的记法

n阶行列式除上述求和表达式外，还可记作形式：$D = \left| \begin{array}{r} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{n1} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{n2} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \cdots \\ \cdots \\ \ddots \\ \cdots \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{nn} \end{array} \right|$

也可简记为$det(a_{ij})$，其中数$a_{ij}$称为行列式$D$的$(i,j)$元

（即位于第$i$行、第$j$列的元素）。

二、n阶行列式展开式的直观形式

结合上述定义，n阶行列式的展开式可直观展开为：

$$D = ( - 1)^{\tau(123\cdots n)}a_{11}a_{22}\cdots a_{nn} + ( - 1)^{\tau(213\cdots n)}a_{12}a_{21}a_{33}\cdots a_{nn}$$

$$+ ( - 1)^{\tau(132\cdots n)}a_{11}a_{23}a_{32}a_{44}\cdots a_{nn} + \cdots + ( - 1)^{\tau(n\cdots 321)}a_{1n}a_{2,n - 1}\cdots a_{n1}$$

可见，展开式的核心是通过“排列逆序数”对所有可能的元素乘积项进行代数求和，

涵盖了所有$n!$个带有对应符号的乘积项。

三、以$n = 3$（3阶行列式）为例的具体展开

为更清晰理解n阶行列式的定义与展开，以下以3阶行列式为例进行详细说明。

（一）3阶行列式的数表形式

3阶行列式对应的3行3列数表及行列式记法为：$D = \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right|$

（二）列标排列与对应项的关系

根据定义，3阶行列式需考虑所有3级排列（共$3! = 6$个），

每个排列对应一个带有符号的乘积项，具体关系如下表所示：

列标排列 $\mathbf{j}_{\mathbf{1}}\mathbf{j}_{\mathbf{2}}\mathbf{j}_{\mathbf{3}}$	逆序数 $\mathbf{\tau}$	符号 $\mathbf{( - 1}\mathbf{)}^{\mathbf{\tau}}$	对应的项
123	0	+	$$+ a_{11}a_{22}a_{33}$$
132	1	-	$$- a_{11}a_{23}a_{32}$$
213	1	-	$$- a_{12}a_{21}a_{33}$$
231	2	+	$$+ a_{12}a_{23}a_{31}$$
312	2	+	$$+ a_{13}a_{21}a_{32}$$
321	3	-	$$- a_{13}a_{22}a_{31}$$

（三）3阶行列式的最终展开式

将上述6个带有符号的乘积项进行代数求和，得到3阶行列式的展开式：

因此，展开式为：

$$D = ( - 1)^{\tau(123)}a_{11}a_{22}a_{33} + ( - 1)^{\tau(132)}a_{11}a_{23}a_{32} + ( - 1)^{\tau(213)}a_{12}a_{21}a_{33}$$

$$+ ( - 1)^{\tau(231)}a_{12}a_{23}a_{31} + ( - 1)^{\tau(312)}a_{13}a_{21}a_{32} + ( - 1)^{\tau(321)}a_{13}a_{22}a_{31}$$

$$= a_{11}a_{22}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31}.$$

当n=1时 , 一阶行列式|a|=a , 注意不要与绝对值记号相混淆

主对角线以下的元素都为0的行列式叫做上三角形行列式

主对角线以上的元素都为0的行列式叫做下三角形行列式

主对角线以下和以上的元素都为0的行列式叫做对角行列式

例5证明下三角形行列式D=$\left| \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ a_{n1} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ a_{22} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ a_{n2} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \ddots \\ \cdots \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ a_{nn} \end{matrix} \end{array} \right|$=a₁₁a₂₂⋯a_nn

证：n阶行列式$D = \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{matrix} \right|$的展开式为：

$$D = ( - 1)^{\tau(123\cdots n)}a_{11}a_{22}\cdots a_{nn} + ( - 1)^{\tau(213\cdots n)}a_{12}a_{21}a_{33}\cdots a_{nn}$$

$$+ ( - 1)^{\tau(132\cdots n)}a_{11}a_{23}a_{32}a_{44}\cdots a_{nn} + \cdots\cdots + ( - 1)^{\tau(n\cdots 321)}a_{1n}a_{2,n - 1}\cdots a_{n1}$$

在下三角形行列式中，当$j > i$时，$a_{ij} = 0$。因此，展开式中许多项为零：

$$a_{12}a_{21}a_{33}\cdots a_{nn} = 0$$

$$a_{11}a_{23}a_{32}a_{44}\cdots a_{nn} = 0$$

$$\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots$$

$$a_{1n}a_{2,n - 1}\cdots a_{n1} = 0$$

只有当$j_{1} = 1,\ j_{2} = 2,\ \ldots,\ j_{n} = n$时，$a_{1j_{1}}\ ,\ a_{2j_{2}}\ ,\ \cdots\ ,\ a_{nj_{n}}$才可能不全为零

乘积$a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}\cdots a_{nj_{n}}$才可能不为零。

对于排列$(1,2,\ldots,n)$，其逆序数为$\tau(123\ldots n) = 0$，符号为$( - 1)^{0} = 1$。

因此，$D = \left| \begin{matrix} a_{11} & & & \\ a_{21} & a_{22} & & \\ \vdots & \vdots & \ddots & \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{matrix} \right| = ( - 1)^{0} \cdot a_{11}a_{22}\cdots a_{nn} = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$

例6证明下三角形行列式D=$\left| \begin{matrix} a_{11} & & \\ a_{21} & a_{22} & \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right|$=a₁₁a₂₂a₃₃

证：因为三阶行列式$D = \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ & & \end{matrix} \right|$展开式为：

$$D = ( - 1)^{\tau(123)}a_{11}a_{22}a_{33} + ( - 1)^{\tau(132)}a_{11}a_{23}a_{32} + ( - 1)^{\tau(213)}a_{12}a_{21}a_{33}$$

$$+ ( - 1)^{\tau(231)}a_{12}a_{23}a_{31} + ( - 1)^{\tau(312)}a_{13}a_{21}a_{32} + ( - 1)^{\tau(321)}a_{13}a_{22}a_{31}$$

$$= a_{11}a_{22}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31}$$

又因三角形行列式中a₁₂ , a₁₃ , a₂₃分别为0

所以$a_{11}a_{23}a_{32}$为0，$a_{12}a_{21}a_{33}$为0，$a_{12}a_{23}a_{31}$为0，$a_{13}a_{21}a_{32}$为0，$a_{13}a_{22}a_{31}$为0

所以D=$\left| \begin{matrix} a_{11} & & \\ a_{21} & a_{22} & \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right|$=a₁₁a₂₂a₃₃

例7证明对角行列式$\left| \begin{array}{r} \begin{matrix} \lambda_{1} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ \lambda_{2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \ddots \\ \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \\ \lambda_{n} \end{matrix} \end{array} \right|$=λ₁λ₂⋯λ_n

证:由例5得证。

用定义计算行列$\left| \begin{matrix} 1 & 2 & - 4 \\ - 2 & 2 & 1 \\ - 3 & 4 & - 2 \end{matrix} \right|$

对于三阶行列式$\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix}\ \ \right|$ ，其值为$\sum_{}^{}( - 1)^{\tau\left( j_{1}j_{2}j_{3} \right)}a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}a_{3j_{3}}$

其中$j_{1}j_{2}j_{3}$是1，2，3的一个排列，$\tau\left( j_{1}j_{2}j_{3} \right)$是排列$j_{1}j_{2}j_{3}$的逆序数。

1,2,3的全排列有3!=6种

$j_{1}j_{2}j_{3}$=123，τ(123)=0，该项为(-1)^τ(123)a₁₁a₂₂a₃₃=(-1)⁰×1×2×(-2)=-4

$j_{1}j_{2}j_{3}$=132，τ(132)=1，该项为(-1)^τ(132)a₁₁a₂₃a₃₂=(-1)¹×1×1×4=-4

$j_{1}j_{2}j_{3}$=213，τ(213)=1，该项为(-1)^τ(213)a₁₂a₂₁a₃₃=(-1)¹×2×(-2)×(-2)=-8

$j_{1}j_{2}j_{3}$=231，τ(231)=2，该项为(-1)^τ(231)a₁₂a₂₃a₃₁=(-1)²×2×1×(-3)=-6

$j_{1}j_{2}j_{3}$=312，τ(312)=2，该项为(-1)^τ(312)a₁₃a₂₁a₃₂=(-1)²×(-4)×(-2)×4=32

$j_{1}j_{2}j_{3}$=321，τ(321)=3，该项为(-1)^τ(321)a₁₃a₂₂a₃₁=(-1)³×(-4)×2×(-3)=-24

把每项相加

-4-4-8-6+32-24

得结果-14

用定义计算行列式$\left| \begin{array}{r} \begin{matrix} 3 \\ - 5 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ - 5 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} - 1 \\ 3 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} 2 \\ - 4 \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 1 \\ - 3 \end{matrix} \end{array}\ \ \right|$

对于四阶行列式$\left| \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \end{matrix} \\ \begin{matrix} a_{31} \\ a_{41} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} \end{matrix} \\ \begin{matrix} a_{32} \\ a_{42} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{13} \\ a_{23} \end{matrix} \\ \begin{matrix} a_{33} \\ a_{43} \end{matrix} \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r} \begin{matrix} a_{14} \\ a_{24} \end{matrix} \\ \begin{matrix} a_{34} \\ a_{44} \end{matrix} \end{array}\ \ \right|$ ，其值为$\sum_{}^{}( - 1)^{\tau\left( j_{1}j_{2}j_{3}j_{4} \right)}a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}a_{3j_{3}}a_{4j_{4}}$

其中$j_{1}j_{2}j_{3}j_{4}$是1，2，3，4的一个排列，$\tau\left( j_{1}j_{2}j_{3}j_{4} \right)$是排列$j_{1}j_{2}j_{3}j_{4}$的逆序数。

$j_{1}j_{2}j_{3}j_{4}$=1234，τ(1234)=0，该项为(-1)⁰a₁₁a₂₂a₃₃a₄₄=(-1)⁰×3×1×1×(-3)=-9

$j_{1}j_{2}j_{3}j_{4}$=1243，τ(1243)=1，该项为(-1)¹a₁₁a₂₂a₃₄a₄₃=(-1)¹×3×1×(-1)×3=9

$j_{1}j_{2}j_{3}j_{4}$=1324，τ(1324)=1，该项为(-1)¹a₁₁a₂₃a₃₂a₄₄=(-1)¹×3×3×0×(-3)=0

$j_{1}j_{2}j_{3}j_{4}$=1342，τ(1342)=2，该项为(-1)²a₁₁a₂₃a₃₄a₄₂=(-1)²×3×3×(-1)×(-5)=45

$j_{1}j_{2}j_{3}j_{4}$=1423，τ(1423)=2，该项为(-1)²a₁₁a₂₄a₃₂a₄₃=(-1)²×3×(-4)×0×3=0

$j_{1}j_{2}j_{3}j_{4}$=1432，τ(1432)=3，该项为(-1)³a₁₁a₂₄a₃₃a₄₂=(-1)³×3×(-4)×1×(-5)=-60

$j_{1}j_{2}j_{3}j_{4}$=2134，τ(2134)=1，该项为(-1)¹a₁₂a₂₁a₃₃a₄₄=(-1)¹×1×(-5)×1×(-3)=-15

$j_{1}j_{2}j_{3}j_{4}$=2143，τ(2143)=2，该项为(-1)²a₁₂a₂₁a₃₄a₄₃=(-1)²×1×(-5)×(-1)×3=15

$j_{1}j_{2}j_{3}j_{4}$=2314，τ(2314)=2，该项为(-1)²a₁₂a₂₃a₃₁a₄₄=(-1)²×1×3×2×(-3)=-18

$j_{1}j_{2}j_{3}j_{4}$=2341，τ(2341)=3，该项为(-1)³a₁₂a₂₃a₃₄a₄₁=(-1)³×1×3×(-1)×1=3

$j_{1}j_{2}j_{3}j_{4}$=2413，τ(2413)=3，该项为(-1)³a₁₂a₂₄a₃₁a₄₃=(-1)³×1×(-4)×2×3=24

$j_{1}j_{2}j_{3}j_{4}$=2431，τ(2431)=4，该项为(-1)⁴a₁₂a₂₄a₃₃a₄₁=(-1)⁴×1×(-4)×1×1=-4

$j_{1}j_{2}j_{3}j_{4}$=3124，τ(3124)=2，该项为(-1)²a₁₃a₂₁a₃₂a₄₄=(-1)²×(-1)×(-5)×0×(-3)=0

$j_{1}j_{2}j_{3}j_{4}$=3142，τ(3142)=3，该项为(-1)³a₁₃a₂₁a₃₄a₄₂=(-1)³×(-1)×(-5)×(-1)×(-5)=-25

$j_{1}j_{2}j_{3}j_{4}$=3214，τ(3214)=3，该项为(-1)³a₁₃a₂₂a₃₁a₄₄=(-1)³×(-1)×1×2×(-3)=-6

$j_{1}j_{2}j_{3}j_{4}$=3241，τ(3241)=4，该项为(-1)⁴a₁₃a₂₂a₃₄a₄₁=(-1)⁴×(-1)×1×(-1)×1=1

$j_{1}j_{2}j_{3}j_{4}$=3412，τ(3412)=4，该项为(-1)⁴a₁₃a₂₄a₃₁a₄₂=(-1)⁴×(-1)×(-4)×2×(-5)=-40

$j_{1}j_{2}j_{3}j_{4}$=3421，τ(3421)=5，该项为(-1)⁵a₁₃a₂₄a₃₂a₄₁=(-1)⁵×(-1)×(-4)×0×1=0

$j_{1}j_{2}j_{3}j_{4}$=4123，τ(4123)=3，该项为(-1)³a₁₄a₂₁a₃₂a₄₃=(-1)³×2×(-5)×0×3=0

$j_{1}j_{2}j_{3}j_{4}$=4132，τ(4132)=4，该项为(-1)⁴a₁₄a₂₁a₃₃a₄₂=(-1)⁴×2×(-5)×1×(-5)=50

$j_{1}j_{2}j_{3}j_{4}$=4213，τ(4213)=4，该项为(-1)⁴a₁₄a₂₂a₃₁a₄₃=(-1)⁴×2×1×2×3=12

$j_{1}j_{2}j_{3}j_{4}$=4231，τ(4231)=5，该项为(-1)⁵a₁₄a₂₂a₃₃a₄₁=(-1)⁵×2×1×1×1=-2

$j_{1}j_{2}j_{3}j_{4}$=4312，τ(4312)=5，该项为(-1)⁵a₁₄a₂₃a₃₁a₄₂=(-1)⁵×2×3×2×(-5)=60

$j_{1}j_{2}j_{3}j_{4}$=4321，τ(4321)=6，该项为(-1)⁶a₁₄a₂₃a₃₂a₄₁=(-1)⁶×2×3×0×0=0

把每项相加

-9+9+0+45+0-60-15+15-18+3+24-4+0-25-6+1-40+0+0+50+12-2+60+0

得结果40