定义3.1设A是一个非空集合 , ∼是A中两个元素之间的一个条件规则 ,

如果对A中任意两个元素a和b , 总能确定a和b是否满足条件规则~ ,

那么称~是A的二元关系 , 简称关系 ,

特别地 , 如果a和b满足条件规则~ , 则称a和b有关系 , 记为a~b ,

否则 , 称a和b没有关系 , 记为a≁b ,

例3.1在整数集合Z中 , 可以定义关系: a~b ⟺ a≡b(mod 3) ,

在实数集合R中 , 可以定义关系 : a~b ⟺ ab ≠ 0 ,

在M_n(R)(实数域R上的n阶方阵集合)中 , 可以利用矩阵的秩定义关系:

A~B ⟺ A与B 秩相等(rank(A)= rank(B)) ,

在M_n(R)中 , 也可以利用行列式定义关系 : A~B ⟺ det(A) ⩾ det(B)

定义3.2 设~是A的一个关系 , 若它还满足以下条件:

(1)反身性: 对属于A的任意a , a~a ,

(2)对称性: 对属于A的任意a , b , 如果a~b , 那么b~a ,

(3)传递性: 对属于A的任意a , b , c , 如果a~b且b~c , 那么a~c ,

则称关系~是A的一个等价关系 , 若a~b , 则称a与b等价 ,

若~是集合A的一个等价关系 , 则对属于A的任意a , 有集合$\overline{a}$={b∈A|b~a} ,

显然 , a属于$\overline{a}$ , 因此 , 这是一个非空集合 , 称$\overline{a}$是A的一个等价类 ,

a称为这个等价类的代表元素

例3.2 判断例3.1中的几个关系是否是等价关系 ,

解: 在整数集合Z中 , 关系a~b ⟺ a≡b(mod 3)是等价关系 ,

等价类为$\overline{0}$ , $\overline{1}$ , $\overline{2}$ , 注意 , 这里的$\overline{0}$ , $\overline{1}$ , $\overline{2}$与 Z₃中的三个元素分别相等 ,

在实数集合R中 , 关系a~b ⟺ ab ≠ 0不是等价关系 , 因为它不满足反身性 ,

在M_n(R)中 , 关系A~B ⟺ A与B秩相等是等价关系 ,

令N_i={A∈M_n(R) | rank(A)=i} , 则N_i(i=0 , 1 , ⋯ , n)是M_n(R)的所有等价类 ,

在M_n(R)中 , 关系A~B ⟺ det(A)⩾det(B)不是等价关系 , 因为它不满足对称性

若~是集合A的一个等价关系 , 则我们可以用A的所有等价类为元素 ,

构造出一个新的与A有关系的集合 Σ={$\overline{a}$|a∈A} ,

容易验证A的等价类具有如下性质 :

(1) 对属于A的任意a , a∈$\overline{a}$ ≠ ⌀

(2) 对属于A的任意a , b , a~b ⟺ $\overline{b}$=$\overline{a}$ ,

即等价类中的每个元素都可以作为该等价类的代表元素 ,

(3) 对属于A的任意a , b , 有$\overline{b}$⋂$\overline{a}$= ⌀或$\overline{b}$=$\overline{a}$

$$(4)\ \ A = \bigcup_{a \in A}^{}\overline{a}$$

(5)在A和Σ之间存在满射π: A→Σ , π(a)=$\overline{a}$ , a∈A ,

一般地 , 我们称π为A到Σ的自然映射 ,

定义3.3 设A是一个非空集合 ,

如果A的子集族(子集构成的集合){A_i|A_i⊆A , i∈I}满足下列条件

(1) A_i≠⌀ , i∈I

(2) A_i⋂A_j=⌀ , i≠j

$$(3)\ \ A = \bigcup_{i\ \in \ I}^{}A_{i}$$

则称集合{A_i|i∈ I}是A的一个分类 , 其中的每个子集A_i称为一个类 ,

实际上 , 集合的分类就是指将一个集合表示成非空的、互不相交的子集合的并 ,

定理3.1集合A的一个等价关系决定集合A的一个分类 ,

集合A的一个分类也决定A的一个等价关系 ,

证: 若令~是A的等价关系 ,

$$则由等价类的性质a \in \overline{a}\ \neq \ \varnothing\ ,\overline{b}\ \bigcap\overline{a} = \ \varnothing,或\overline{b}\ = \ \overline{a},以及A = \bigcup_{i\ \in \ I}^{}\overline{a}$$

我们得到了集合A的与关系~相关的一个分类{$\overline{a}$|a∈A} ,

若{A_i|i∈I}是集合A的一个分类 ,

则可以在A上定义一个关系: a~b⟺ a和b属于同一个类 ,

从而 , ~是A的一个等价关系 ,

事实上 , (1)a与a在一个类中 , 即a~a ,

(2)若a~b , 则a与b在一个类中 , 于是b与a在一个类中 , 即b~a ,

(3)若a~b , b~c , 则a , b , c在一个类中 , 即a~c ,

因此 , 集合A的一个分类决定了A的一个等价关系 ,

而且由等价关系给出的等价类集合恰好就是分类{A_i|i∈I} ,

例3.3设集合A={a , b , c , d , e} , 试给出A的一个等价关系 ,

解: 由定理3 , 1的证明易知 , 只需给出4的一个分类即可 ,

为此 , 我们可以把A分类为{A₁ , A₂} , 其中A₁={a , b} , A₂={c , d , e} ,

然后规定关系: x~y ⟺ x和y属于同一个类 ,

那么这个关系就是一个等价关系 ,

定理3.2集合A到B的一个映射可以决定A的一个分类 ,

集合A的一个分类{A_i|i∈I}决定A到{A_i|i∈I}的一个映射 ,

证: 设φ是A到B的一个映射 ,

则可以定义A的一个关系: a₁~a₂⟺ φ(a₁)=φ(a₂) ,

这是一个等价关系 ,

因此它决定了A的一个分类{$\overline{a}$|a∈ A} , 其中$\overline{a}$={b∈A |φ(a)=φ(b)} ,

若{A_i|i∈I}是A的一个分类 , 则由定理3.1的证明知 ,

A上的关系: (a~b⟺ a和b属于同一个类)是一个等价关系 ,

而且由该等价关系给出的等价类集合恰好就是分类 , 即{A_i|i∈I}={$\overline{a}$|a∈A} ,

由此 , 映射τ: A→{$\overline{a}$|a∈A} , τ(a)=$\overline{a}$即为所求 ,

例3.4设集合M={0 , 1 , ⋯ , n} , 映射为φ: M_n(R) →M , A→rank(A) ,

求由映射φ决定的等价关系及分类 ,

解: 在M_n(R)中 , 令φ决定的等价关系为A~B⟺ φ(A)=φ(B) ,

并令N_i={A∈M_n(R)|φ(A)=i} , 则φ决定的分类为{N₀ , N₁ , ⋯ , N_n} ,

例3.5试给出映射φ: Z₃×Z₃→Z₃ , ($\overline{a}$ , $\overline{b}$) →$\overline{ab}$决定的Z₃×Z₃的分类

及此分类决定的Z₃×Z₃的等价关系 ,

解: 因为Z₃×Z₃的

元素($\overline{0}$ , $\overline{0}$) , ($\overline{0}$ , $\overline{1}$) , ($\overline{0}$ , $\overline{2}$) , ($\overline{1}$ , $\overline{0}$) , ($\overline{2}$ , $\overline{0}$)在映射φ下的像都等于$\overline{0}$ ,

元素($\overline{1}$ , $\overline{1}$) , ($\overline{2}$ , $\overline{2}$)在映射φ下的像都等于$\overline{1}$ ,

元素($\overline{1}$ , $\overline{2}$) , ($\overline{2}$ , $\overline{1}$)在映射φ下的像都等于$\overline{2}$ ,

因此 , 若令

A₁=($\overline{0}$ , $\overline{0}$) , ($\overline{0}$ , $\overline{1}$) , ($\overline{0}$ , $\overline{2}$) , ($\overline{1}$ , $\overline{0}$) , ($\overline{2}$ , $\overline{0}$) ,

A₂={($\overline{1}$ , $\overline{1}$) , ($\overline{2}$ , $\overline{2}$)}

及A₃={($\overline{1}$ , $\overline{2}$) , ($\overline{2}$ , $\overline{1}$)}

则映射φ决定的Z₃×Z₃的分类为{A₁ , A₂ , A₃ , } ,

此分类决定的Z₃×Z₃的等价关系为

($\overline{a}$ , $\overline{b}$)~($\overline{c}$ , $\overline{d}$)⟺ ($\overline{a}$ , $\overline{b}$)与($\overline{c}$ , $\overline{d}$)属于同一个类 ,

习题