代数系统由集合和其上的运算组成 ,

本节首先介绍运算的概念和规律 ,

然后介绍讨论代数系统之间关系的工具 : 同构和同态 ,

定义4.1设A是一个非空集合 ,

我们称笛卡儿积A×A到A的映射φ为A上的一个二元运算 , 简称为运算 ,

一般地 , 若φ是A上的运算 , 且(a , b)在φ下的像为c , 则记aφb=c ,

在不引起混淆的情况下 , 也可将aφb简记为a⦁b或ab ,

显然 , 集合的运算φ满足封闭性 , 即若a和b属于A , 则aφb属于A ,

另外 , 运算的像具有唯一性 , 即aφb是唯一确定的 ,

例4.1对属于Z_n的任意$\overline{a}$ , $\overline{b}$ , 令$\overline{a}\varphi_{1}\overline{b}$=$\overline{ab}$ , $\overline{a}\varphi_{2}\overline{b}$=$\overline{a + b}$ ,

试证明$\varphi_{1}$和$\varphi_{2}$均是Z_n上的运算 ,

证: 要说明$\varphi_{1}$是Z_n上的运算 ,

只需指出$\varphi_{1}$: Z_n×Z_n→Z_n , ($\overline{a}$ , $\overline{b}$)→$\overline{ab}$是一个映射即可

而这由例1.5可知 , 再由例1.6我们知道 , $\varphi_{2}$也是Z_n上的运算 ,

$\varphi_{1}$和$\varphi_{2}$分别称为Z_n(剩余类)上的乘法运算和加法运算 ,

并记$\overline{a}\varphi_{1}\overline{b}$为$\overline{a}$⦁$\overline{b}$或$\overline{ab}$ , 而$\overline{a}\varphi_{2}\overline{b}$记为$\overline{a + b}$ ,

例4.2我们在集合M_n(R)上定义运算 φ : M_n(R)×M_n(R)→M_n(R) , (A , B)→AB ,

其中AφB=AB是M_n(R)中通常的矩阵乘法 ,

则易知通常的矩阵乘法是M_n(R)上的运算 ,

类似地 , 通常的矩阵加法也是M_n(R)上的运算 ,

例4.3设非空集合A上所有变换构成的集合为T(A)={f|f : A→A} ,

若令φ : T(A)×T(A)→T(A) , (τ₁ , τ₂)→τ₁τ₂ ,

这里的τ₁φτ₂=τ₁τ₂就是T(A)中通常的变换合成 , 则易知它是T(A)上的运算 ,

一般地 , 我们称其为变换的乘法运算

设φ是集合A上的运算 , A₀是A的子集合 ,

若对属于A₀的任意a , b , 有aφb属于A₀(φ在A₀上封闭) ,

则A₀上有运算A₀×A₀→A₀ , (a , b)→aφb , 这个运算仍用φ记 ,

即若集合的运算在子集合上封闭 , 则该运算也是子集合上的运算 ,

例4.4设H={$\overline{0}$ , $\overline{3}$}是Z₆的子集合 ,

则Z₆上的加法运算和乘法运算分别是H上的加法运算和乘法运算

因为$\overline{0}$+$\overline{0}$=$\overline{0}$属于H , $\overline{0}$+$\overline{3}$=$\overline{3}$属于H , $\overline{3}$+$\overline{3}$=$\overline{0}$属于H ,

所以 , Z₆上的加法运算是H上的加法运算 ,

而$\overline{0}$⦁$\overline{0}$=$\overline{0}$属于H , $\overline{0}$⦁$\overline{3}$=$\overline{0}$属于H , $\overline{3}$⦁$\overline{3}$=$\overline{3}$属于H ,

因此 , Z₆上的乘法运算也是H上的乘法运算 ,

例4.5证明Z_p上的乘法运算也是$Z_{p}^{\ast}$上的乘法运算 , 这里p是素数 , $Z_{p}^{\ast}$=Z_p‒{$\overline{0}$}

证: 对属于$Z_{p}^{\ast}$的任意$\overline{a}$ , $\overline{b}$ , 有$\overline{ab} \neq \overline{0}$ , 即$\overline{a}\overline{b}$属于$Z_{p}^{\ast}$

所以Z_p上的乘法运算也是$Z_{p}^{\ast}$上的乘法运算 ,

注意 , Z_p上的加法运算不是$Z_{p}^{\ast}$上的加法运算(因为$\overline{1}$+$\overline{p‒1}$=$\overline{0}$不属于$Z_{p}^{\ast}$) ,

例4.6设GL_n(R)表示M_n(R)中所有可逆矩阵构成的集合 ,

SL_n(R)表示M_n(R)中所有行列式为1的矩阵构成的集合 ,

因为可逆矩库的乘积还是可逆矩阵 , 因此通常的矩阵乘法是CL_n(R)上的运算

因为两个可逆矩阵的和不一定是可逆矩阵 ,

所以通常的矩阵加法不是CL_n(R)上的运算 ,

类似地 , 我们知道矩阵的乘法运算是SL_n(R)上的运算 ,

矩阵的加法运算不是SL_n(R)上的运算

例4.7设A是一个非空集合 ,

则在A上的所有双变换构成的集合S_A上有乘法运算(变换的合成) ,

若A={1 , 2 , ⋯ , n} , 则S_A就是n元置换集合S_{n ,}

因为两个n元置换的合成(乘积)还是n元置换 , 所以S_n上有乘法运算 ,

偶置换的集合A_n是S_n的子集合 , 且两个偶置换的合成(乘积)还是偶置换 ,

所以S_n上的乘法运算也是A_n上的乘法运算 ,

若在两个集合上都有运算 , 则可以在这两个集合的笛卡儿积上构造一个运算

例4.8若设$\varphi_{1}$是集合A₁上的运算 , $\varphi_{2}$是集合A₂上的运算 , 则容易验证

(a₁ , a₂)(b₁ , b₂)=(a₁$\varphi_{1}$b₁ , a₂$\varphi_{2}$b₂)是A₁×A₂上的一个运算 ,

其中a_{i ,} b_i属于A_i , i=1 , 2 ,

定义4.2设A是一个非空集合 , φ是A上的运算 , 若将A和φ作为一个整体 ,

则称A是(具有一个运算的)代数系统 , 记为{A ; φ} ,

若A有两个运算$\varphi_{1}$和$\varphi_{2}$ , 且我们把A , $\varphi_{1}$和$\varphi_{2}$作为整体 ,

则称A是(具有两个运算的)代数系统 , 记为{A ; $\varphi_{1}$ , $\varphi_{2}$} ,

我们还可以把代数系统的概念向有多个运算的情形进行推广 ,

例4.9{Z ; +} , {R ; ⦁} , {Z_n ; +} , {M_n(R) ; +} , {GL_n(R) ; ⦁} , {SL_n(R) ; ⦁} , {S_n ; ⦁}

和{A_n ; ⦁}都是代数系统 ,

同样地 , {Z ; + , ⦁} , {R ; + , ⦁} , {Z_n ; + , ⦁}和{M_n(R) ; + , ⦁}也都是代数系统 ,

实际上 , 我们研究的代数系统 , 都被赋予了一定的条件 ,

一般来说 , 代数系统{A ; φ}满足的条件可以分为两个方面 :

一是集合A满足的条件 , 一是运算φ满足的条件 ,

例如 , 我们可以要求集合A满足有序性、度量性、拓扑性等等 ,

而要求运算φ满足结合律、交换律、分配律等等 ,

定义4.3设{A ; φ}是代数系统 ,

如果对属于A的任意a , b , c , 有(ab)c=a(bc) , 则称运算φ满足结合律 ,

如果对属于A的任意a , b , 有ab=ba , 则称运算φ满足交换律

定义4.4设{A ; φ , τ}是代数系统 ,

如果对属于A的任意a , b , c ,

有aφ(bτc)=(aφb)τ(aφc)(左分配律)和(bτc)φa=(bφa)τ(cφa)(右分配律) ,

则称运算φ对τ满足分配律

注意 , 并不是所有的运算都能满足结合律 ,

即若{A ; φ}是代数系统 , 则对于A中任意三个元素a , b , c来说 ,

(ab)c和a(bc)的运算结果可能不同 ,

例如 , 通常的整数减法运算“–”就不满足结合律

(3–2)–1=1–1=0 , 3–(2–1)=3–1=2 ,

但是 , 如果运算φ满足结合律 , 即(ab)c=a(bc) ,

那么我们就可以将(ab)c和a(bc)简写为abc ,

当然 , 对于A中任意n个元素a₁ , a₂ , ⋯ , a_n ,

我们可以将a₁(a₂(a₃⋯))记为a₁a₂⋯a_n ,

特别地 , 当a₁=a₂=⋯=a_n=a时 , 我们记aa⋯a=aⁿ ,

而且 , aⁿa^m=a^n+m , (aⁿ)^m=a^nm ,

例4.10易知 , 代数系统{Z ; + , ⦁}的加法运算和乘法运算都满足交换律和结合律

并且乘法运算对加法运算满足分配律 ,

代数系统{Z_n ; + , ⦁}的加法运算和乘法运算都满足交换律和结合律 ,

并且乘法运算对加法运算满足分配律 ,

代数系统{M_n(R) ; + , ⦁}的加法运算和乘法运算都满足结合律 ,

且乘法运算对加法运算满足分配律 ,

而加法运算满足交换律 , 但是乘法运算不满足交换律 ,

S_n和A_n的乘法运算满足结合律 ,

实际上 , 由代数系统的定义 , 我们很容易在一个集合上附加一个运算 ,

所以代数系统有无穷多个 ,

因此如何识别一个代数系统 ,

如何区分两个代数系统的异同就成了我们必须面对的问题

定义4.5设{A ; ϕ}和{A' ; ϕ'}是两个代数系统 ,

如果f是A到A'的双射 ,

且对属于A的任意a , b , 有f(aϕb)=f(a)ϕ'f(b)(保持运算) ,

那么称f是{A ; ϕ}到{A' ; ϕ'}的同构映射 ,

简称f是A到A'的同构映射 , 或称A与A'同构 , 记为A≅A' ,

类似地 , 若令{A ; ϕ , ψ}和{A' ; ϕ' , ψ'}是两个代数系统 ,

并且存在A到A'的双射f , 满足对属于A的任意a , b ,

有f(aϕb)=f(a)ϕ'f(b) , f(aψb)=f(a)ψ'f(b) ,

则称f是{A ; ϕ , ψ}到{A' ; ϕ'ψ' , }的同构映射 ,

简称f是A到A'的同构映射 , 或称A与A'同构 , 并记为A≅A' ,

更一般地 , 设$\left\{ A;\phi_{i} \right\}_{i \in I}$和$\left\{ A';\phi_{i}' \right\}_{i \in I}$是两个代数系统族 ,

如果f是A到A'的双射且对属于A的任意a , b , 对属于I的任意i ,

有f(aϕ_ib)=f(a)$\phi_{i}'$f(b)(保持运算) ,

那么称f是$\left\{ A;\phi_{i} \right\}_{i \in I}$到$\left\{ A';\phi_{i}' \right\}_{i \in I}$的同构映射 ,

注意 , 代数系统同构需要两个条件 : 双射和保持运算 ,

例4.11设2Z是偶数集合 , 则φ : a→2a是Z到2Z的双射

且φ(a+b)=2(a+b)=2a+2b=φ(a)+φ(b) , 其中a , b属于Z ,

所以 , φ是{Z ; +}到{2Z ; +}的同构映射 , Z≅2Z ,

例4.12集合H={0 , 1 , ‒1}关于整数的乘法运算构成一个代数系统 ,

但该代数系统与{Z₃ ; +}不同构 ,

因为若这两个代数系统之间存在同构映射φ : Z₃→H ,

则φ($\overline{0}$)=φ($\overline{1}$+$\overline{2}$)=φ($\overline{1}$)φ($\overline{2}$) ,

又因为φ是双射 , 这就要求在H中有两个不同元素的乘积等于第三个元素 ,

但在H中任意两个不同元素的乘积都不等于第三个元素 , 因此φ不存在 ,

命题4.1设f是{A ; ϕ , ψ}到{A' ; ϕ' , ψ'}的同构映射 , 则

(1)ϕ(或ψ)满足结合律⟺ ϕ'(或ψ')满足结合律 ,

(2)ϕ(或 , ψ)满足交换律⟺ ϕ'(或ψ')满足交换律 ,

(3)ψ对ϕ满足分配律⟺ ψ'对ϕ'满足分配律

证: 这里仅给出(2)的证明 ,

设ϕ满足交换律 , 对属于A的任意a' , b' ,

因为f是满射 , 所以存在属于A的a , b , 使得f(a)=a' , f(b)=b' ,

又因f是A到A'的同构映射(保持运算) ,

所以a'ϕ'b'=f(a)ϕ'f(b)=f(aϕb)=f(bϕa)=f(b)ϕ'f(a)=b'ϕ'a' ,

即ϕ'满足交换律

反之 , 设ϕ’满足交换律 ,

对属于A的任意a , b , 有f(aϕb)=f(a)ϕ'f(b)=f(b)ϕ'f(a)=f(bϕa) ,

又因为f是单射 , 所以aϕb=bϕa , 即ϕ满足交换律

实际上 , 若两个代数系统同构 ,

尽管表面上看来集合和运算不尽相同 , 但它们体现的性质相同 ,

我们把在同构映射下保持不变的代数系统的性质统称为代数性质 ,

即两个同构的代数系统的代数性质相同 ,

一个代数系统的所有代数性质统称为这个代数系统的代数结构 ,

研究代数系统的首要目的 , 就是确定所有互不同构的代数系统的代数性质 ,

但是 , 构造代数系统间的双射往往是比较困难的 ,

因此 , 我们常常在运算条件保持不变的前提下 ,

将映射的条件放宽 , 利用同态比较两个代数系统 ,

定义4.6设{A ; ϕ}和{A' ; ϕ'}是两个代数系统 ,

如果f是A到A'的映射且对属于A的任意a , b有f(aϕb)=f(a)ϕ'f(b) ,

那么称f是{A ; ϕ}到{A' ; ϕ'}的同态映射 ,

简称f是A到A'的同态映射 , 或称A与A'同态 , 记为A~A' ,

特別地 , 若f是{A ; ϕ}到{A' ; ϕ'}的同态 , 且f是单(或满)射 ,

则称f是A到A'的单(或满)同态 ,

类似地 , 可以定义具有多个代数运算的代数系统之间的同态、单同态和满同态 ,

例4.13设ϕ : Z→Z_n , a→$\overline{a}$ , 则ϕ是Z到Z_n的满射 ,

且对属于Z的任意a , b ,

有ϕ(a+b)=$\overline{a + b}$=$\overline{a}$+$\overline{b}$=ϕ(a)+ϕ(b) , ϕ(ab)=$\overline{ab}$=$\overline{a}\ \overline{b}$=ϕ(a)ϕ(b) ,

因此 , ϕ是{Z ; + , ⦁}到{Z_n ; + , ⦁}的满同态 ,

例4.14设det : GL_n(R)→R^* A→det(A) ,

其中R^*表示去掉0后的实数的子集合 ,

则容易验证行列式映射det是代数系统{CL_n(R) ; ⦁}到{R^* ; ⦁}的满同态 ,

命题4.2设f是{A ; ϕ , ψ}到{A' ; ϕ' , ψ'}的满同态 ,

则(1)ϕ(或ψ)满足结合律⇒ϕ'(或ψ')满足结合律 ,

(2)ϕ(或ψ)满足交换律⇒ϕ'(或ψ')满足交换律 ,

(3)ψ对ϕ满足分配律⇒ψ'对ϕ’满足分配律 ,

习题