习题1设A , B , C都是集合 , 试证明C‒(A⋂B)=(C‒A)⋃(C‒B) ,

注: 此题是证明两个集合相等 ,

而证明两个集合相等的基本手法是证明两个集合互相包含 ,

即对属于集合C‒(A⋂B)的任意x , 去证x属于集合(C‒A)⋃(C‒B) ;

反之 , 对属于集合(C‒A)⋃(C‒B)的任意x , 去证x属于C‒(A⋂B) ,

证明: 若x属于集合C‒(A⋂B) , 则x属于集合C且x不属于集合(A⋂B) ,

即x属于集合C且x不属于集合A或x不属于集合B ,

从而x属于集合C‒A或x属于集合C‒B ,

所以x属于集合(C‒A)⋃(C‒B) ,

若x属于集合(C‒A)⋃(C‒B) , 则x属于集合C‒A或x属于集合C‒B ,

从而x属于集合C且x不属于集合A ,

或x属于集合C且x不属于集合B , 则x属于集合C且x不属于集合(A⋂B) ,

所以x属于集合C‒(A⋂B) ,

故C‒(A⋂B)=(C‒A)⋃(C‒B)

习题2判断下列规则是否是映射

(1)φ : Q→Q , $\frac{m}{n}\$→mn , m , n属于N , n≠0 ;

(2)φ : N→N , m→m‒1 ;

(3)φ : Q→R , x→$\frac{1}{x}$

解: 规则φ : A→B成为映射需要三个条件 :

1)A中每个元素有像 ;

2)A中每个元素的像在B中 ;

3)A中每个元素的像唯一

(1)不是映射 , 因为$\frac{1}{1}\$=$\ \frac{2}{2}$的像不唯一 ,

(2)不是映射 , 因为φ(0)=‒1不属于N ,

(3)不是映射 , 因为0没有像 ,

习题3判新下列R到R⁺映射是否为单射、满射、双射

(1)x→2^x+1

(2)x→2^x

(3)当x≠0时 , x→x² , 当x=0时 , x→1

(4)x→1 ,

解: (1)因为1没有原像 , 所以x→2^x+1是单射 , 不是满射 ,

(2)x→2^x既是单射又是满射 , 因而是双射 ,

(3)0和1的像相等 , 不是单射 , 但为满射 ,

(4)2没有原像 , 1和2的像又相等 , 所以x→1不是单射也不是满射 ,

习题4设σ , τ , 是集合A上的变换 , 证明:

(1)若σ , τ都是单变换 , 则στ是单变换 ;

(2)若σ , τ都是满变换 , 则στ是满变换 ;

(3)若σ , τ都是双变换 , 则στ是双变换 ,

证明: (1)设στ(a)=στ(b) , 因为σ是单变换 , 所以τ(a)=τ(b) ,

又因为τ也是单变换 , 所以a=b , 即στ是单变换 ,

(2)对属于集合A的任意a , 由σ是满变换知存在属于集合A的b , 使得σ(b)=a

对属于集合A的b , 因为τ是满变换 , 所以存在属于集合A的c , 使得τ(c)=b

从而στ(c)=a , 因为a有原像 , 故στ是满变换

(3)由(1)和(2)得证 ,

习题5设A是n元有限集合 , σ是A的一个变换 ,

则σ是可逆变换⟺σ是单变换⟺σ是满变换 ,

证明: 若σ是单变换 , 则不同元素的像不同 , 共有n个像 ,

这n个像刚好构成集合A ,

因此σ是满变换 ,

若σ是满变换 , 则有n个不同的像 , 而不同原像的个数也是n个 ,

所以σ是单变换 ,

习题6设φ是A={1 , 2 , 3}到A的满射 , 且φ(1)=2 , 求φ的个数 ,

解: 因为有限集合上的满变换也是单变换 , 所以φ只有两种 :

φ : 1→2 , 2→3 , 3→1

φ : 1→2 , 2→1 , 3→3

习题7设σ , σ'是A到B的映射 , τ : B→C是单射 , 证明若στ=τσ' , 则σ=σ'

证明: 对属于集合A的任意a , 有τσ(a)=τσ'(a) ,

因为τ是单射 , 所以σ(a)=σ'(a) , 从而σ=σ' ,

习题8设φ是A到B的映射 , A₀包含于A ,

试证明A₀包含于φ^‒1(φ(A₀)) , 并举例说明等号不一定成立 ,

解: 对属于集合A₀的任意a , φ(a)属于φ(A₀) , 从而a属于φ^‒1(φ(A₀)) ,

定义φ : Z→Z , n→|n| , 则Z⁺包含于φ^‒1(φ(Z⁺)) , 但是Z⁺≠φ^‒1(φ(Z⁺)) ,

习题9设φ是A到B的满射 , B₀包含于B , 证明φ(φ^‒1(B₀))=B₀

证明: 若b属于φ(φ^‒1(B₀)) ,

则存在属于集合φ^‒1(B₀)的a , 使得b=φ(a)属于B_{0 ,} 即b属于B₀

若b属于B₀ , 则存在属于集合A的a , 使得b=φ(a)属于B₀

从而a属于φ^‒1(B₀) , b属于φ(φ^‒1(B₀))

综上 , φ(φ^‒1(B₀))=B₀

习题10在S₃中 , σ=(123) , φ=(12) , 试计算σ²φ ,

解: 置换的乘法运算可用数表完成 , 例如我们可以用下表计算σφ ,

$$\sigma\varphi = \left( \begin{array}{r} \begin{matrix} & 1 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 2 & 3 \end{matrix} \\ \begin{matrix} \varphi & \downarrow \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \downarrow & \downarrow \end{matrix} \\ \begin{matrix} & 2 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 & 3 \end{matrix} \\ \begin{matrix} \sigma & \downarrow \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \downarrow & \downarrow \end{matrix} \\ \begin{matrix} & 3 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 2 & 1 \end{matrix} \end{array} \right) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ \downarrow & \downarrow & \downarrow \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} = (13)$$

当然 , 为了简洁我们也可以将箭头、映射符号省略不写 ,

$$\sigma^{2}\varphi = \left( \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2 & 1 & 3 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 3 & 2 & 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 & 3 & 2 \end{matrix} \end{array} \right) = 23$$

习题11在S₅中 , 计算στ , τ² , σ^‒1τσ , 其中

$\sigma = \left( \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 & 2 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 3 & 4 & 5 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 3 & 1 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 4 & 2 & 5 \end{matrix} \end{array} \right)$ , $\tau = \left( \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 & 2 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 3 & 4 & 5 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2 & 4 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 3 & 5 & 1 \end{matrix} \end{array} \right)$

解: $\sigma\tau = \left( \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 & 2 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 3 & 4 & 5 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2 & 4 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 3 & 5 & 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 & 2 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 4 & 5 & 3 \end{matrix} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 & 2 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 3 & 4 & 5 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 & 2 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 4 & 5 & 3 \end{matrix} \end{array} \right) = (345)$

$$\tau^{2} = \left( \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 & 2 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 3 & 4 & 5 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2 & 4 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 3 & 5 & 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 4 & 5 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 3 & 1 & 2 \end{matrix} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 & 2 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 3 & 4 & 5 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 4 & 5 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 3 & 1 & 2 \end{matrix} \end{array} \right) = (14)(25)$$

$$\sigma^{- 1}\tau\sigma = \left( \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 & 2 \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} 3 & 4 & 5 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 3 & 1 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 4 & 2 & 5 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 3 & 2 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 5 & 4 & 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 & 4 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 5 & 3 & 2 \end{matrix} \end{array} \right) = (2435)$$

习题12判断下列置换是否是偶置换 : (1536) , (78249) , (1536)(78249)

关于奇偶置换的判别 , 我们可以遵从定义将置换表示成对换合成的形式 ,

再根据对换的个数确定置换的奇偶性 ,

另外 , 根据长度为t的轮换可以表示成t‒1个对换的合成这个结论 ,

我们仅需将置换表示为轮换的合成就可以判断置换的奇偶性 ,

解: (1536)是长度为4的轮换 , 因此是奇置换 ;

(78249)是长度为5的轮换 , 因此是偶置换 ;

(1536)(78249)是偶置换与奇置换的合成 , 因此是奇置换 ,

习题13 试证明在剩余类集合Z₃中 , 规则$\overline{a}$~$\overline{b}$⟺|a|>|b|不是Z₃的一个关系 ,

证明: 因为|2|>|1| , |2|<|4| , 所以$\overline{2}$~$\overline{1}$ , $\overline{2}$≁$\overline{4}$ ,

而在Z₃中 , $\overline{1}$=$\overline{4}$ , 所以$\overline{2}$~$\overline{1}$ , $\overline{2}$≁$\overline{1}$ ,

即规则$\overline{a}$~$\overline{b}$⟺|a|>|b|不是Z₃的一个关系 ,

习题14设A={a , b , c} ,

试在A中给出一个关系 , 满足对称性和传递性 , 但不满足反身性 ,

解: 集合A的一个二元关系~决定A×A的一个子集S={(a , b)|a , b∈A , a~b} ,

反之 , A×A的一个子集S决定A的一个二元关系~ : a~b⟺(a , b)属于S ,

通过A×A的一个子集S={(a , b) , (b , a) , (a , a) , (b , b)}可以给出满足条件的关系

习题15判断下列关系是否是等价关系 :

(1)在R中 , x~y⟺|x|⩾|y| ;

(2)在R中 , x~y⟺xy≠0 ;

(3)在M_n(R)中 , A~B⟺del(A‒B)=0 ;

(4)在R中 , x~y⟺x＞y ;

(5)在M_n(R)中 , A~B⟺A^T=B ;

(6)在R中 , x~y⟺|x|+|y|＞|x‒y| ;

(7)在R中 , x~y⟺|x|+|y|⩾|x‒yl ;

(8)在Z中 , m~n⟺m‒n是偶数 ,

解: 注意 , (1) , (2) , (3)都仅满足等价关系的三个条件中的两条 ,

这说明等价关系的三个条件中的两个成立推不出第三个条件成立

(1)不是等价关系 , 满足反身性、传递性 , 但不满足对称性 ,

因为2和1有关系 , 但是1和2没关系

(2)不是等价关系 , 满足对称性、传递性 , 但不满足反身性 , 因为0和0没关系

(3)不是等价关系 , 满足反身性、对称性 , 但不满足传递性 ,

令A=$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ , B=$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , c=$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , 则A~B , B~C , A≁C ,

(4)不是等价关系 , 不满足反身性、对称性 , 因为1≁1 , 2~1 , 1≁2 ,

(5)不是等价关系 , 不满足反身性 , 因为A=$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$≠A^T

(6)不是等价关系 , 不满足反身性 , 因为|0|+|0|=0 , 0≁0 ,

(7)是等价关系 ,

(8)是等价关系 ,

习题16 A , B属于M_n(R) , 判断下列关系是否是等价关系 :

(1)A~B⟺存在可逆矩阵P , Q使得A=PBQ ;

(2)A~B⟺存在可逆矩阵P使得A=P^‒1BP ;

(3)A~B⟺存在可逆矩阵P使得A=P^TBP ,

解: 以上三种关系分别是矩阵的相抵关系、相似关系和相合关系 ,

它们都是等价关系

习题17 给出集合A={ax²+bx+c=0|a , b , c∈R , a≠0}的一个分类 ,

解: 令b²‒4ac=Δ ,

A₁={ax²+bx+c=0|Δ＞0} ,

A₂={ax²+bx+c=0|Δ=0} ,

A₃={ax²+bx+c=0|Δ＜0} ,

则{A_{1 ,} A_{2 ,} A₃ }是A的一个分类 ,

习题18 设H={(13) , (14) , (23)} , K={(1) , (12)(34) , (13)(24) , (14)(23)} ,

请说明S₄上的乘法运算是否是H , K上的乘法运算 ,

解: 因为(13)(14)=(143)不属于H , 即S₄的乘法运算在H上不封闭 ,

所以S₄上的乘法运算不是H上的乘法运算 ,

因为(1)a=a=a(1) , a²=(1) , a属于K ,

(12)(34)(13)(24)=(14)(23) , (12)(34)(14)(23)=(13)(24) ,

(13)(24)(12)(34)=(14)(23) , (13)(24)(14)(23)=(12)(34) ,

(14)(23)(12)(34)=(13)(24) , (14)(23)(13)(24)=(12)(34) ,

即S₄的乘法运算在K上封闭 ,

所以S₄上的乘法运算不是H上的乘法运算 ,

习题19 设属于集合S₇的σ是长度为4的轮换 ,

问k为何值时 , σ^k是轮换 , 并求轮换的长度

解: 不妨设σ=(1234) , 则σ²=(13)(24) , σ³=(1432) , σ⁴=(1) ,

因此 , k=4n时 , σ^k是长度为1的轮换 , k=4n±1时 , σ^k是长度为4的轮换 ,

本题也说明轮换的合成不一定是轮换 ,

习题20判断下列运算∘是否满足交换律、结合律 :

(1)在Z中 , x∘y=x+y‒xy ;

(2)在M_n(R)中 , A∘B=AB‒BA ;

(3)在Z_n中 , $\overline{a}$∘$\overline{b}$=$\overline{a - b}$ ;

(4)在Z_n中 , $\overline{a}$∘$\overline{b}$=$\overline{2(a + b)}$ ,

解: (1)两个运算规律都满足 ,

(2)两个运算规律都不满足 ,

(3)当n=2时 , 两个运算规律都满足 ; 当n≠2时 , 两个运算规律都不满足 ,

(4)当n=2时 , 两个运算规律都满足 ; 当n≠2时 , 满足交换律 , 不满足结合律

习题21设代数系统{A ; ∘}有单位元e且运算满足结合律 ,

若对属于集合A的a , b , 是可逆元 , 证明(a∘b)^‒1=b^‒1∘a^‒1 , (a^‒1)^‒1=a ,

证明: 因为(a∘b)∘(b^‒1∘a^‒1)=e=(b^‒1∘a^‒1)∘(a∘b) , 所以b^‒1∘a^‒1是a∘b的逆元 ,

因为a∘a^‒1=a^‒1∘a=e , 所以(a^‒1)^‒1=a ,

习题22求代数系统{Z₆ ; +}的每个元素的逆元 ,

解: $\overline{0}$是{Z₆ ; +}的单位元 ,

所以易知$\overline{0}$ , $\overline{1}$ , $\overline{2}$ , $\overline{3}$ , $\overline{4}$ , $\overline{5}$的逆元依次为$\overline{0}$ , $\overline{5}$ , $\overline{4}$ , $\overline{3}$ , $\overline{2}$ , $\overline{1}$ ,

习题23证明集合Z₅‒{$\overline{0}$}关于Z₅的乘法运算是代数系统 ,

并求其单位元及每个元素的逆元 ,

证明: 由于Z₅的乘法运算在子集合Z₅‒{$\overline{0}$}上封闭可知第一个结论成立 ,

单位元为$\overline{1}$ , 元素$\overline{1}$ , $\overline{2}$ , $\overline{3}$ , $\overline{4}$的逆元依次为$\overline{1}$ , $\overline{3}$ , $\overline{2}$ , $\overline{4}$ ,

习题24设φ是代数系统{A ; ⦁}到{B ; ∘}的满同态映射 , e是A的右单位元 ,

试证明φ(e)是B的右单位元 ,

证明: 对属于集合B的任意b , 存在属于集合A的a使得φ(a)=b ,

因为b∘φ(e)=φ(a)∘φ(e)=φ(a⦁e)=φ(a)=b , 所以φ(e)是B的右单位元 ,

习题25设{M_n(R) ; ⦁}是实数域上n阶方阵关于矩阵乘法构成的代数系统 ,

{R ; ⦁}是实数关于数的乘法构成的代数系统 , ,

试证明φ : M_n(R)→R , φ(A)=det(A)是{M_n(R) ; ⦁}到{R ; ⦁}的满同态

证明: 因为det(AB)=det(A)det(B) , 所以φ(AB)=φ(A)φ(B) ,

对属于集合R的任意a ,

令A=$\left( \begin{array}{r} \begin{matrix} a & 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \cdots & 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \cdots & 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots & \vdots \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} & \vdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 & 0 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \cdots & 1 \end{matrix} \end{array} \right)$ , 则det(A)=a ,

即φ是{M_n(R) ; ⦁}到{R ; ⦁}的满同态 ,

习题26试证明代数系统{Z ; ⦁}和{M_n(R) ; ⦁}不同构 ,

证明: 两个代数系统同构 , 仅需要给出它们之间的一个同构映射 ,

而要证明不同构 , 必须指明它们之间没有同构映射 ,

这就需要证明任意映射都不是同构映射 , 要逐一验证是不可能的 ,

因此 , 论证不同构可以从下面两个方面考虑 :

(1)通过看两个代数系统的运算律、特殊元素来判别 ,

例如{Z ; ⦁}与{M_n(R) ; ⦁} ,

因为{Z ; ⦁}的运算满足交换律 , {M_n(R) ; ⦁}的运算不满足交换律 ,

所以{Z ; ⦁}与{M_n(R) ; ⦁}不同构 ,

再例如{Z ; ⦁}与{2Z ; ⦁} ,

因为{Z ; ⦁}有单位元 , {2Z ; ⦁}没有单位元 , 所以{Z ; ⦁}与{2Z ; ⦁}不同构

(2)利用反证法判别 ,

例如{R‒{0} ; ⦁}与{R ; +} ,

假设{R‒{0} ; ⦁}与{R ; +}同构 , 则存在同构映射φ , 使得φ(1)=0 ,

设φ(‒1)=a , 则φ(1)=φ(‒1)+φ(‒1)=2a , 从而a=0 , 矛盾 , 所以二者不同构

习题27证明Z的加法和乘法运算满足的运算律在Z_n中同样满足 ,

解: 我们可以直接验证Z_n的运算规律 ,

也可以通过给出{Z ; + , ⦁}到{Z_n ; + , ⦁}的满同态映射 ,

从而可知Z的运算规律在Z_n中都成立 ,

Z_n是Z的一个分类方法 , 因此Z到Z_n有一个满射 φ : Z→Z_n , a→$\overline{a}$ ,

事实上 , 这个映射也是{Z ; + , ⦁}到{Z_n ; + , ⦁}的满同态映射 ,

因为φ(a+b)=$\overline{a + b}$=$\overline{a}$+$\overline{b}$=φ(a)φ(b) , φ(ab)=$\overline{ab}$=$\overline{a}\overline{b}$=φ(a)φ(b) ,

所以Z_n的运算与Z_n的运算满足相同的运算律 ,

习题28试证明M_n(R)上的运算A∘B=AB‒BA不满足结合律 ,

称此运算为M_n(R)上的李乘 ,

证明: 令E_ij表示i , j位置为1 , 其余位置为0的n阶矩阵 ,

计算可知(E₁₁∘E₁₂)∘E₂₁=E₁₁‒E₂₂ , E₁₁∘(E₁₂∘E₂₁)=O

这说明此运算不满足结合律 ,

习题29 试证明M_n(R)上的李乘运算是反称矩阵集合上的运算 ,

但不是对称矩阵集合上的运算 ,

证明: 若A , B是反称矩阵或是对称矩阵 ,

则(AB‒BA)^T=B^TA^T‒A^TB^T=BA‒AB=‒(AB‒BA) , 即A∘B是反称矩阵 ,

从而M_n(R)上的方括号运算是反称矩阵集合上的运算 ,

不是对称矩阵集合上的运算 ,

习题30试求A_n(n⩾4)中的乘积(123)(134)和(134)(123) ,

解:

$$(123)(134) = \left( \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 4 & \cdots & n \end{matrix} \\ \begin{matrix} \downarrow & \downarrow & \downarrow \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \downarrow & & \downarrow \end{matrix} \\ \begin{matrix} 3 & 2 & 4 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 & \cdots & n \end{matrix} \\ \begin{matrix} \downarrow & \downarrow & \downarrow \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \downarrow & & \downarrow \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 & 3 & 4 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 2 & \cdots & n \end{matrix} \end{array} \right) = (234)$$

$$(134)(123) = \left( \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 4 & \cdots & n \end{matrix} \\ \begin{matrix} \downarrow & \downarrow & \downarrow \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \downarrow & & \downarrow \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2 & 3 & 1 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 4 & \cdots & n \end{matrix} \\ \begin{matrix} \downarrow & \downarrow & \downarrow \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \downarrow & & \downarrow \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2 & 4 & 3 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 & \cdots & n \end{matrix} \end{array} \right) = (124)$$

习题31令R^*表示去掉0后的实数的子集合 ,

试证明映射det: GL_n(R)→R^* , A→det(A)是代数系统{GL_n(R) ; ⦁}到{R^* ; ⦁}的满同态

证明: 因为det(AB)=det(A)det(B) , 所以det是同态 ,

对属于R^*的任意a , 令$A = \left( \begin{array}{r} \begin{matrix} a & 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} \cdots & 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} \cdots & 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots & \vdots \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} & \vdots \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 & 0 \end{matrix}\ \ \ \ \ \begin{matrix} \cdots & 1 \end{matrix} \end{array} \right)$ ,

则det(A)=a , 即det是{CL_n(R) ; ⦁}到{R^* ; ⦁}的满同态 ,