1 , 在S₅中 , 令σ=$\left( \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 & 2 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 3 & 4 & 5 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 2 & 3 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 4 & 1 & 5 \end{matrix} \end{array} \right)$ , τ=$\left( \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 & 2 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 3 & 4 & 5 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 3 & 4 \end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} 1 & 2 & 5 \end{matrix} \end{array} \right)$ , 试计算σ²τ ,

解: σ²τ=$\ \left( \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} 4 & 5 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 3 & 4 & 1 \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} 2 & 5 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 4 & 1 & 2 \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} 3 & 5 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix} 4 & 5 \end{matrix} \end{array} \right)$ =id=(1)

2 , 设置换σ=$\begin{pmatrix} 1 & 2 & \begin{matrix} 3 & 4 & \begin{matrix} 5 & 6 & \begin{matrix} 7 & 8 \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix} \\ 4 & 8 & \begin{matrix} 1 & 3 & \begin{matrix} 2 & 7 & \begin{matrix} 5 & 6 \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix} \end{pmatrix}$

(1)试将σ表示成不相交的轮换的合成 ,

(2)试将σ表示成对换的合成 ,

(3)试将σ表示成长度为3的轮换的合成

解: (1) (143)(28675) ,

(2) (14)(43)(28)(86) (67)(75) ,

(3) (143)(286) (675)

3 , 在S_n中计算(123)(12)和(12)(123) , 其中(n⩾3)

解: (123)(12)=(13) , (12)(123)=(23) ,

4 , 试求S_n中恒等变换的符号函数 , 其中(n > 1)

解: S_n中恒等置换为偶置换 , 所以符号函数为1 , 其中(n > 1)

5 , 试将S₄中置换表示成对换合成的形式 , 并给出S₄中偶置换构成的集合A₄

解: 在S₄中有(1) , (12) , (13) , (14) , (23) , (24) , (34)

(12)(13) , (12) (14) , (12) (23) , (12)(24) , (13) (34) , (14) (43) , (23)(34) , (24)(43)

(12)(34) , (13)(24) , (14)(23)

(12) (23) (34) , (12)(24)(43) , (13)(32)(24)

(13)(34) (42) , (14)(42) (23) , (14)(43)(32)

集合A₄的元素为

(1) , (123) , (132) , (124) , (142) , (134) , (143) , (234) , (243)

(12)(34) , (13)(24) , (14)(23)

6 , 判断下列置换是否是偶置换 :

(1) (2367) , (2) (15328) , (3) (1327)(236) ,

解：(1)奇置换 , (2)偶置换 , (3)奇置换 ,

7 , 令σ属于S_{n ,} 试证明σ ^‒1与σ的奇偶性一致 ,

证明: 由于σ ^‒1σ=(1)为偶置换 , 从而必有σ ^‒1与σ的奇偶性一致

8 , 令σ=(i₁i₂⋯ i_s)属于S_n , 即σ是长度为s的轮换 , 试计算σ^s ,

解: σ ^s=(1) ,

9 , 在S_n中 , 令σ=(12)(34) , τ=(345) , δ=σ ^‒1τστ ^‒1 , 试证明δ=τ ,

证明 : δ=σ ^‒1τστ ^‒1=(12)(34)(345)(12)(34)(354)=(345)=τ ,