1 , 设A={a , b , c} , 试在A中给出一个关系 , 使其

(1)满足反身性和对称性 , 但不满足传递性 ,

(2)满足对称性和传递性 , 但不满足反身性

解: (1)设映射φ : A →Z满足φ(a)=1 , φ(b)=2 , φ(c)=3 ,

定义关系: x~y ⟺ |φ(x)–φ(y)|⩽1 , 易知此关系满足要求 ,

(2)令S={(x , y)|x , y∈{a , b}} ,

定义关系: x~y ⟺ (x , y)∈S , 易知此关系满足要求 ,

2 , 若在有理数集合Q中 , 规定关系: a~b ⟺ (a–b) ∈Z ,

试证明~是Q的一个等价关系 ,

证明(1) (a–a=0)∈Z , 即 a~a ,

(2)若(a–b)∈ Z , 则(b⎼a)∈Z , 即若a~b , 则b~a ,

(3)若(a⎼b)∈Z且(b⎼c)∈Z , 则(a⎼c=a⎼b+b⎼c)∈Z , 即若a~b , 且b~c , 则a~c ,

3 , 试给出n阶实对称矩阵的一个分类和一个等价关系 ,

解: 对n阶实对称矩阵按照行列式分类为{K₁ , K₂ , K₃} ,

其中K₁={A | det(A)>0} , K₂={A | det(A)< 0} , K₃={A| det(A)=0} ,

由上述分类决定的关系: A~B ⟺ A与B行列式同号或同时为零是等价关系

4 , 设n是一个正整数 , 若在Z中定义一个关系a~b ⟺ a≡ b(mod n) ,

试证明~是一个等价关系 , 并写出与此关系相应的等价类集合 ,

证明: (1) a≡ a(mod n) , 即a~a ,

(2)若a≡ b(mod n) , 则b=a(mod n) , 即若a~b , 则b~a ,

(3)若a≡ b(mod n)且b≡ c(mod n) , 则a≡ c(mod n) , 即若a~b且b~c , 则a~c ,

故~是一个等价关系 ,

等价类集合为{$\overline{0}$ , $\overline{1}$ , $\overline{2}$ , ⋯ , $\overline{n - 1}$} ,

5 , 设A={a , b , c} , 试写出A的所有不同的等价关系

解: 因为集合A的一个等价关系决定A的一个分类 ,

且A的一个分类决定A的一个等价关系 ,

我们写出A的所有分类 , 再根据关系: a~b ⟺ a与b在同一个类 ,

是等价关系即可以得出所有不同等价关系 ,

A的所有不同分类方式为

{A} , {{a} , {b , c}} , {{b} , {a , c}} , {{c} , {a , b}} , {{a} , {b} , {c}} ,

6 , 设φ是A到B的一个映射 , 映射φ决定的A的分类为 Σ ={$\overline{a}$|a∈ A} ,

其中$\overline{a}$={b∈ A |φ(a)=φ(b)} ,

若π是A到 Σ 的自然映射 , 试证明

(1)存在一个单射τ : Σ →B , 使得τπ=φ , 如下图 ,

(2)若φ是A到B的满射 , 则τ是Σ到B的一个双射

证明: (1)令τ : Σ →B , $\overline{a}$→φ(a) , 下面证明τ是满足条件的一个映射 ,

若$\overline{a}$=$\overline{b}$ , 则b属于$\overline{a}$ , φ(a)=φ(b) , 从而τ是一个映射 ,

又若φ(a)=φ(b) , 则b属于$\overline{a}$ , 从而$\overline{a}$=$\overline{b}$ , 因此τ是一个单射 ,

对属于A的任意a有φ(a)=τ($\overline{a}$)=τπ(a) , 即τπ=φ ,

(2)若φ为满射 , 则对属于 B的任意b , 存在属于 A的a , 使得φ(a)=b ,

而τπ(a)=τ($\overline{a}$)=φ(a) , 从而π(a)为b在Σ中的原像 , 故τ为满射 ,

7 , 试给出映射ϕ : Z₃× Z₃ →Z₃ , ($\overline{a}$ , $\overline{b}$) →$\overline{a + b}$决定的Z₃× Z₃的一个分类 ,

解: 按照规则: ($\overline{a}$ , $\overline{b}$)与($\overline{c}$ , $\overline{d}$)在一类 ⟺ ϕ($\overline{a}$ , $\overline{b}$)=ϕ($\overline{c}$ , $\overline{d}$)

给出Z₃× Z₃的一个分类{A₁ , A₂ , A₃}

其中A₁={($\overline{0}$ , $\overline{0}$) , ($\overline{1}$ , $\overline{2}$) , ($\overline{2}$ , $\overline{1}$)} ,

A₂={($\overline{0}$ , $\overline{1}$) , ($\overline{1}$ , $\overline{0}$) , ($\overline{2}$ , $\overline{2}$)} ,

A₃={($\overline{0}$ , 2) , ($\overline{1}$ , $\overline{1}$) , ($\overline{2}$ , $\overline{0}$)} ,