1 , 设H={$\overline{0}$ , $\overline{1}$ , $\overline{2}$}是Z₆的子集合 , 试证明Z₆的乘法运算不是H的乘法运算

解: 因为$\overline{2}\ \overline{2}$=$\overline{4}$ 不属于H , 所以Z₆上的乘法运算不是H上的乘法运算 ,

2 , 设H=$\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \right\}$ , K=$\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \right\}$ ,

试说明S₃的乘法运算是否是H , K的乘法运算 ,

解: 由于$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$=(1) , $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$=(12) , $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$=(13) ,

显然(1)(1)=(1) , (12)(12)=(1) , (1)(12)=(12) ,

因此S₃上的乘法运算是H上的运算 ,

因为(13)(13)=(1)不属于K , 因此S₃上的乘法运算不是K上的运算 ,

3 , 试给出一个含7个元素 , 且具有两个运算的代数系统 ,

并且在这两个运算中的一个对另一个满足分配律

解: 代数系统{Z₇ ; + , ⦁}的乘法运算对加法运算满足分配律 ,

4 , 证明命题4.1和4.2 ,

证明: 命题4.2的证明, 对属于A'的任意a' , b' , c' ,

由f为满射知存在属于A的 a , b , c使得f(a)=a' , f(b)=b' , f(c)=c'

(1)若ϕ满足结合律 ,

则(a'ϕ'b')ϕ'c'=[f(a)ϕ'f(b)]ϕ'f(c)=f((aϕb)ϕc)=f(aϕ(bϕc))

=f(a)ϕ'[f(b)ϕ'f(c)]=a'ϕ'(b'ϕ'c') , 即ϕ'满足结合律 ,

(2)若ϕ中满足交换律 ,

则a'ϕ'b'=f(a)ϕ'f(b)=f(aϕb)=f(bϕa)=f(b)ϕ'f(a)= b'ϕ'a' , 即ϕ'满足交换律

(3)若ψ对ϕ满足分配律 , 由(bϕc)ψa=(bψa)ϕ(cψa) ,

得[f(b)ϕ'f(c)]ψ'f(a)=[f(b)ψ'f(a)]ϕ'[f(c)ψ'f(a)] ,

即(b'ϕ'c')ψ'a'=(b'ψ'a')ϕ'(c'ψ'a') ,

故ψ'对ϕ'满足右分配律 , 左分配律同理可证 ,

命题4.1根据命题4.2可直接得 ,

5 , 设f是代数系统{A ; φ}到{B ; τ}的满同态 ,

若存在属于A的e , 使得对属于A的任意a有eφa=a ,

则对属于B的任意b有f(e)τb=b ,

证明: 由于f 为满射 , 因此对属于B的任意b , 存在属于A的a , 使得f(a)=b ,

又因f是{A ; φ}到{B ; τ}的同态 , 且eφa=a ,

从而有b=f(a)=f(eφa)=f(e)τf(a)=f(e)τb ,

6 , 试说明代数系统{Z₂ ; ⦁}和{S₂ ; ⦁}是否同构 ,

解: 若φ : Z₂ → S₂是双射 , 则φ($\overline{1}$)=(1) , 从而φ($\overline{0}$)=(12) ,

而φ($\overline{0}\ \overline{0}$)=(12)(12)=(1) , 矛盾 , 所以{Z₂ ; ⦁}和{S₂ ; ⦁}不同构 ,

7 , 证明代数系统{Q ; +}和{Q^* ; ⦁}不同构(Q^*表示非零有理数的集合) ,

证明: 反证 , 若{Q ; +}和{Q^* ; ⦁}同构且φ是{Q ; +}到{Q^* ; ⦁}的同构映射 ,

则对属于Q的任意a , 有φ(a)=φ($\frac{a}{2}$)φ($\frac{a}{2}$)=φ$\left( \frac{a}{2} \right)^{2}$>0 , 这说明φ不是双射 ,