本节我们总假设G是有限群 ,

若H是G的子群 , 则根据拉格朗日定理可知H的阶是G的阶的因数 ,

现在的问题是拉格朗日定理的逆定理是否成立呢?

也就是说 , 若正整数m是群G的阶的因数 , 那么G是否有m阶子群?

本章定理5.4告诉我们 , 拉格朗日定理的逆定理对于有限循环群是成立的 ,

但是 , 对于交错群A₅来说 , A₅有2 , 3 , 4 , 5阶子群 , 没有30阶子群

(否则 , 30阶子群的指数为2 , 是正规子群 , 这与A₅是单群矛盾) ,

本节的西罗定理将会指出: 当m为某个特殊值时 , G有m阶子群 ,

定义8.1令p是素数 , r是正整数 ,

若|G|=p^rl , 且p , l互素 , 则称群G的p^r阶子群为G的西罗p‒子群 ,

例8.1求S₃的西罗p‒子群 ,

解: |S₃|=6=2×3 , 则S₃的西罗2‒子群为{(1) , (12)} , {(1) , (13)} , {(1) , (23)} ,

西罗3‒子群为{(1) , (123) , (132)} ,

我们首先研究西罗p‒子群的存在性 ,

引理8.1设G是有限交换群 , 若素数p是|G|的因数 , 则G含有p阶子群 ,

证: 设|G|=n , 对n用数学归纳法 , 当n=2时 , 结论成立 ,

假设结论对阶小于n的有限交换群成立 , 然后考察阶数为n的情形 ,

为此 , 我们任取属于G的a , a≠e , 若a的阶为k , 则k>1且k|n ,

(1)若p|k , 则由本章推论5.2(1)可知 , b=$a^{\frac{k}{p}}$的阶为p , 则G含有p阶子群⟨b⟩ ,

结论成立 ,

(2)若p∤k , 由于G是交换群 , 故⟨a⟩是G的正规子群 ,

若设商群G/⟨a⟩的阶为m , 则n=mk , 进而 , m<n且p|m ,

从而由归纳假设 , 在群G/⟨a⟩中存在p阶元素$\overline{c}$ , 即c^p属于⟨a⟩ ,

另外 , (c^k)^p=(c^p)^k=e且c^k≠e(否则$\overline{c}$^k=$\overline{e}$ , p|k , 矛盾) , 即c^k是p阶元素 ,

所以⟨c^k⟩是G的p阶子群 ,

结论成立 ,

定理8.1(西罗)设G是有限群 , p是素数 , r是正整数 ,

若$p^{r}\left| |G| \right.\$且P∤|G| , 则G有西罗p‒子群(即p^r阶子群) ,

证: 我们对群G的阶用数学归纳法 , 如果|G|=2 , 则定理结论平凡成立 ,

下面假设当群的阶数小于|G|时结论成立 , 然后考察阶数为|G|时的情形 ,

(1)如果G有真子群N , 满足p ∤ |G: N| ,

则由|G|=|N||G: N|可知 , $p^{r}\left| |N| \right.\$ , p^r+1∤|N| ,

再由N是G的真子群有|N|小于|G| ,

于是 , 由归纳假设 , N有p^r阶子群H , 当然H也是G的p^r阶子群 ,

(2)如果对群G的每个真子群N , 都有p$\left| |G\ :\ N| \right.\$

$$则从群的类方程|G| = |C(G)| + \sum_{a \in I - C(G)}^{}\left| G\ :\ G_{a} \right|\ 可知p\left| \left| C(G) \right| \right.\$$

从而由引理8.1可知 , C(G)中存在p阶子群 , 设其为H ,

若G=H , |G|则|G|=p , 定理结论平凡成立 ,

若G≠H , 则考虑商群G/H , 由|G/H|=$\frac{|G|}{|H|}$ , 可知$p^{r - 1}\left| |G/H| \right.\ \ ,\ p^{r} \nmid |G/H|$

若r=1 , 则H为所求 ,

若r>1 , 则由归纳假设可知 , 在G/H中存在p^r‒1阶子群K/H ,

于是 , 子群K就是G的p^r阶子群(|K|=|H| ⦁ |K/H|=p^r) ,

下面我们探讨西罗p‒子群的个数及两个西罗p‒子群之间的关系 ,

定理8.2(西罗定理)设G是有限群 , p是素数 , r是正整数 ,

若$p^{r}\left| |G| \right.\$且p^r+1∤|G| , 则

(1)若G的子群H是p‒群 , 则H含于G的某个西罗p‒子群(即p^r阶子群)中;

(2)群G的任意两个西罗p‒子群是共轭的;

(3)群G的西罗p‒子群的个数k≡1(mod p) ,

证: 令S={N|N是群G的p^r阶子群} ,

定义群G在集合S上的作用φ: G×S→S , (g , N)→gNg^‒1 ,

对属于S的任意N , 易知N的稳定子群为G_N={g∈G|gNg^‒1=N} ,

轨道为$\overline{N}$={gNg^‒1|g∈G} , 显然 , N包含于G_N ,

由本章的推论3.2和定理7.1可知|G : N|=|G : G_N||G_N : N|=|$\overline{N}$||G_N : N| ,

因为N是G的西罗p‒子群 , 所以p∤|G : N| , 从而p∤|$\overline{N}$| ,

(1)令H是群G的阶为p^m的子群 ,

对属于S的任意N , 考虑群H在轨道$\overline{N}$上的作用:

ψ: H×$\overline{N}$→$\overline{N}$ , (h , gNg^‒1)→h(gNg^‒1)h^‒1 ,

根据定理7.1可知 ,

集合$\overline{N}$中元素x=gNg^‒1的轨道Hx所含元素的个数是|H|=p^m的因数 ,

$$而由轨道分解方程|\overline{N}| = \sum_{x\ \in \ I}^{}|Hx|及p \nmid \overline{N}|可知$$

至少存在一个仅含一个元素的轨道 , 设其为Hx , 即Hx={x} ,

由轨道的定义可知 ,

对属于H的任意h , 有xh=hx , 从而Hx是G的子群 , x=gNg^‒1是Hx的正规子群

再由群的第一同构定理 , 我们有Hx/x ≅ H/(H⋂x) ,

由于H/(H⋂x)的阶数是p的幂 , 于是Hx/x的阶数自然也是p的幂 ,

因为等于gNg^‒1的x属于S , 所以x是p^r阶子群 , 从而Hx是p^‒1阶子群 ,

即x=Hx ,

进而 , H=(H⋂x) , H包含于等于gNg^‒1的x之中 ,

即H包含于p^r阶子群x之中 , (1)的结论得证 ,

注意 , 因为x属于$\overline{N}$ , 所以根据(1)的证明过程可知:

对属于S的任意N , 存在有属于G的a , 使得H包含于aNa^‒1 ,

(2)令H , N是群G的任意两个p^r阶子群 , 则H当然也是一个p‒群 ,

所以由结论(1) , 存在有属于G的a , 使得H包含于aNa^‒1 ,

而H本身就是p^r阶子群 , 所以H=aNa^‒1 , 即H , N是共轭的 ,

(3)设N是G的一个p^r阶子群 , 则由(2)可知 ,

S={gNg^‒1|g∈G}是G的所有p^r阶子群的集合 ,

映射ψ: N×S→S , (n , gNg^‒1)→n(gNg^‒1)n^‒1是群N在集合S上的作用 ,

$$轨道分解方程为|S| = \sum_{x\ \in \ I}^{}\left| \overline{s} \right|$$

若将(1)中的H换为N , 则可知仅含一个元素的轨道只有{N} ,

而由定理7.1得 , |$\overline{s}$|是|N|=p^r的因数 , 所以|S| ≡ 1(mod p) ,

推论8.1设有限群G的阶为|G|=p^rl , 其中p为素数 , r为正整数且p , l互素 , 则

(1)G的西罗p‒子群的个数是l的因数;

(2)若G是交换群 , 则G有唯一一个西罗p‒子群 ,

证: (1)由定理8.2(1)的证明过程可知 ,

G的西罗p‒子群的个数是|$\overline{N}$| , 而|$\overline{N}$|是|G|的因数 ,

再由定理8.2的(3)知(|$\overline{N}$| , p)=1 , 因此 , |$\overline{N}$|是l的因数 ,

(2)若G是交换群 , 则G的所有的西罗p‒子群为S={gNg^‒1=N|g∈G}={N} ,

结合推论8.1、定理8.1及本章例6.5的结果 , 我们有如下推论:

推论8.2有限交换群可以唯一地表示为它的西罗p‒子群的直和 ,

利用西罗定理 , 我们可以判断某些群是否是循环群及是否是单群 ,

例8.2令p , q是互异的素数 , G是pq阶交换群 , 证明G≅Z_pq

证: 由定理8.1可知 , 群G中含有p阶和q阶子群

因为素数阶群是循环群 , 所以G中存在p阶元素和q阶元素 , 分别记为a和b ,

由a和b的阶互素及ab=ba可知 , ab的阶为pq , 所以G=⟨ab⟩是循环群 ,

从而由本章的推论5.1可知G≅Z_pq

例8.3证明35阶群G是循环群 ,

证: 因为35=5×7 , 所以G有5阶子群和7阶子群 ,

5阶子群的个数整除7 , 且模5同余1 ,

因此5阶子群只有一个 , 从而是正规子群 ,

同理7阶子群也只有一个 , 且为正规子群 ,

因为素数阶群是循环群 , 所以可以设5阶子群为⟨a⟩ , 7阶子群为⟨b⟩ ,

易知 , H⋂K={e} , 从而aba^‒1b^‒1属于(H⋂K) , 即ab=ba ,

由本章的推论5 , 2可知 , ab的阶为35 , 所以G=⟨ab⟩是循环群 ,

例8.4证明56阶群G不是单群 ,

证: 因为56=2³⦁7 , 所以G有8阶子群和7阶子群 ,

7阶子群的个数整除8 , 且模7同余1 , 因此7阶子群有1个或8个 ,

若7阶子群只有1个 , 则为正规子群 , 因此G不是单群 ,

若7阶子群有8个 , 则8阶子群只能有一个 ,

因而这个8阶子群是G的正规子群 , 从而G不是单群 ,

习题