研究群 , 除了研究其内部结构 , 还可以研究群在集合上的作用 ,

通过这种作用的效果 , 达到理解群的目的 ,

定义7.1令G是一个群 , s是一个非空集合 ,

若存在映射φ: G×S→S , (g , s)→g(s) , 并且该映射满足下列条件:

对属于群G的任意g₁ , g₂和对属于S的任意s ,

总有(g₁g₂)(s)=g₁(g₂(s)) , e(s)=s , 其中e是G的单位元 ,

则称φ是群G在集合S上的作用 , 也称S是G‒集 ,

在不引起混淆的情况下 , 将g(s)简记为gs ,

例7.1令G是群 , 映射φ: G×G→G , (g , a)→L , (a)=ga是群G在其本身上的作用 ,

即左乘变换决定了群G在其本身上的一个作用 ,

命题7.1令G是群 , 集合S是G‒集 , s属于S ,

则G的子集G_s={g∈G|gs=s}是G的子群 , 称其为s的稳定子群 ,

证: 因e属于G_s ,

另外 , 对属于群G_s的任意g₁ , g₂ , 有(g₁$g_{2}^{- 1}$)(s)=(g₁$g_{2}^{- 1}$)(g₂s)=g₁s=s ,

即g₁$g_{2}^{- 1}$属于G_s , 所以G_s是G的子群 ,

在群的作用下 , 我们可以按照轨道将集合的元素进行分类 ,

定义7.2 令G是群 , 集合S是G‒集 ,

若s属于S , 则称Gs={gs|g∈G}(包含于S)是s(在群G作用下)的轨道 ,

并简记其为$\overline{s}$ ,

令集合S是G‒集 , 则轨道集合{$\overline{s}$|s∈S}具有如下性质:

$$(1)s属于\overline{s}\ ,\ S = \bigcup_{s\ \in \ S}^{}\overline{s}\$$

(2)s'属于$\overline{s}$⟺$\overline{s'}$=s(若称s是轨道$\overline{s}$的代表元 , 则轨道的代表元不唯一) ;

(3)对于属于S的s' , s , 有$\overline{s'}$=s或者$\overline{s'}$⋂$\overline{s}$ =⌀ ,

由性质(1) , (3)我们可知: 轨道构成的集合族{$\overline{s}$|s∈S}是集合S的一个分类 ,

下面我们利用稳定子群求轨道所含元素的个数 ,

定理7.1设G是有限群 , 有限集合S是G‒集 ,

若s属于S , 则轨道$\overline{s}$中元素的个数等于稳定子群G_s在G中的指数 ,

即|$\overline{s}$|=|G: G_s| , 进而 , |$\overline{s}$|是|G|的因数 ,

证: 对属于群G的任意g₁ , g₂ , 有g₁s=g₂s⟺$g_{1}^{- 1}$g₂s=s⟺$g_{1}^{- 1}$g₂∈G⟺g₁G_s=g₂G_s

从而gG_s→gs给出了由G_s的所有左陪集集合至轨道集合$\overline{s}$之间的双射 ,

所以|$\overline{s}$|=|G: G_s| ,

由拉格朗日定理知|G: G_s|是|G|的因数 , 因而|$\overline{s}$|是|G|的因数 ,

推论7.1设G是有限群 , S是有限集合 ,

$$若S是G - 集,则|S| = \sum_{s\ \in \ I}^{}{|\overline{s}|} = \sum_{s\ \in \ I}^{}{|G:G_{s}|},\ 其中I为不相交轨道的代表元集合$$

$$我们称此推论中的|S| = \sum_{s\ \in \ I}^{}{|\overline{s}|} = \sum_{s\ \in \ I}^{}{|G:G_{s}|},\ 为集合S的轨道分解方程$$

下面我们讨论从给定的群G本身得到的G‒集及相关性质 ,

定义7.3设G是群 , 对属于群G的任意a , b ,

若存在属于G的g使得b=gag^‒1 , 则称a与b(在G中)共轭 ,

对G的子群A , B ,

若存在属于G的g使得B=gAg^‒1 , 则称A与B(在G中)共轭 ,

例7.2设G是群 ,

则存在一个显然的群G在集合G上的作用G×G→G , (g , a)→ gag^‒1

称为群G的共轭作用 ,

此时 , 对属于G的a , a的稳定子群G_a={g∈G|ga=ag}

是与a可交换的元素构成的集合 ,

a的轨道$\overline{a}$=Ga={gag^‒1|g∈G}是与a共轭的元素构成的集合 ,

我们又称其为群G的共轭类 ,

$$相应地,轨道分解方程|G| = \sum_{a\ \in \ I}^{}{|\overline{a}|} = \sum_{a\ \in \ I}^{}{|G:G_{a}|}又称为群G的类方程\$$

其中的I表示不相交的共轭类代表元的集合 ,

显然 , 在群G的共轭作用之下 , 同一轨道中的元素彼此共轭 ,

同一轨道中元素的稳定子群彼此共轭 , 即若b=gag^‒1 , 则G_b=gG_ag^‒1 ,

注意 , 由于a属于C(G)⟺$\overline{a}$={a} ,

$$所以群的类方程又可以表示成|G| = |C(G)| + \sum_{a\ \in \ I - C(G)}^{}{|G:G_{a}|}$$

$$若|G| = p^{n}(p是素数),由|\overline{a}| = |G:G_{a}|是|G|的因数可知，p整除\sum_{a\ \in \ I - C(G)}^{}{|G:G_{a}|}$$

从而p整除|C(G)| ,

而对于群G , 显然有e属于C(G) , 因此当n⩾1时 , 我们有|C(G)|＞1 ,

定义7.4若|G|=pⁿ(p是素数 , n⩾1) , 则称G是p‒群 ,

据拉格朗日定理可知 , 若G是p‒群 , 则G的任意一个非平凡子群仍为p‒群

特别地 , G的中心仍为p‒群 ,

习题