在第2节中我们已经知道循环群是指由一个元素生成的群 ,

因而 , 循环群是交换群 , 循环群的子群是正规子群 ,

本节将进一步讨论循环群的结构及其子群和生成元的一些简单性质 ,

定理5.1设循环群G=⟨a⟩ , 若a的所有不同的整数幂都互不相等 ,

即a^k≠a^l , k , l都属于Z , 且k≠l

则⟨a⟩含有无穷多个元素 , 即⟨a⟩={⋯ , a^‒2 , a^‒1 , a⁰ , a¹ , a² , ⋯} , 进而⟨a⟩={Z ; +}

证: 只需证φ: G→Z , a^k→k是群同构 ,

定理5.2设循环群G=⟨a⟩ , 若a的不同的整数幂中有两个是相等的 ,

则存在正整数n , 使得⟨a⟩={a⁰ , a¹ , a² , ⋯ , a^n‒1} , 进而⟨a⟩≅{Z_n ; +} ,

证: 由于a的整数幂中有两个是相等的 ,

所以不妨设s大于t时 , 有a^s=a^t , 即a^s‒t=e , 其中e是循环群⟨a⟩中的单位元 ,

这就是说 , 存在一正整数m , 使得a^m=e ,

所以我们可以找到一个使得a^m=e成立的最小正整数n ,

n=min{m|a^m=e , m＞0 , m∈Z} , 那么 , ⟨a⟩={a⁰ , a¹ , a² , ⋯ , a^n‒1} ,

事实上 , 若a^k属于⟨a⟩ , 则k=nq+r , 其中0⩽r<n ,

于是a^k=a^nq+r=(aⁿ)^qa^r=ea^r=a^r , 即⟨a⟩包含于{a⁰ , a¹ , a² , ⋯ , a^n‒1} ,

反之 , 有{a⁰ , a¹ , a² , ⋯ , a^n‒1}包含于⟨a⟩ , 所以⟨a⟩={a⁰ , a¹ , a² , ⋯ , a^n‒1} ,

另外 , 在集合{a⁰ , a¹ , a² , ⋯ , a^n‒1}中没有两个相等的元素 ,

如若不然 , 则存在aⁱ=a^j , 0⩽i＜j⩽(n‒1) , 即a^j‒i=e ,

但是 , 此时0＜(j‒i)＜n , 矛盾 ,

至于⟨a⟩与Z_n的同构性 , 只需考虑映射φ: ⟨a⟩→Z , a^k→$\overline{k}$即可 ,

由上述定理我们知道:

若a的整数幂中有两个是相等的 ,

则循环群⟨a⟩含有有限个元素 , 称其为有限循环群 ;

否则 , ⟨a⟩含无穷多个元素 , 称其为无限循环群 ,

推论5.1 n阶有限循环群同构于Z_n , 无限循环群同构于Z ,

当且仅当两个有限循环群阶相同时它们互同构 ,

在定理5.2中 , 我们注意到 , 当循环群⟨a⟩含有有限个元素时 ,

其所含元素的个数与满足a^m=e成立的最小正整数n联系密切 ,

定义5.1设a是群G中的元素 , 若存在最小正整数n使得aⁿ=e ,

则称a的阶为n , 否则称a是无限阶的 ,

显然 , 群G的循环子群⟨a⟩的阶就是元素a的阶 ,

例5.1写出四次单位根群中所有元素的阶 ,

解: 令四次单位根群为G={1 , ‒1 , i , ‒i} ,

因为1¹=1 ,

(‒1)¹≠1 , (‒1)²=1 ,

i¹=i , i²=‒1 , i³=‒i , i⁴=1 ,

(‒i)¹=‒i , (‒i)²=‒1 , (‒i)³=i , (‒i)⁴=1 ,

所以 , 1的阶为1 , ‒1的阶为2 , ±i的阶为4 ,

例5.2在一般线性群GL₂(R)中 , 求A=$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & 1 \end{pmatrix}$ , B=$\begin{pmatrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$和AB的阶 ,

解: 计算可知A² , A³ , A⁴ , A⁵都不为E , 而A⁶=E , 所以A的阶是6 ,

B² , B³都不为E , 而B⁴=E , 所以B的阶是4 ,

(AB)ⁿ=$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & 1 \end{pmatrix}$≠E , 所以AB是无限阶的 ,

关于元素的阶我们有如下简单性质 ,

命题5.1设a是群G中的元素 , a的阶为n , 则

(1)a^k=e⟺n|k ;

(2)若G是有限阶群 , 则$n\left| |G| \right.\$且a^|G|=e ;

(3)设r是正整数 , 则a^r的阶为$\frac{n}{(n,r)}$ , 这里(n , r)表示n和r的最大公因数 ,

证: (1)若a^k=e , 则由h=nq+r , 其中0⩽r<n ,

得a^r=(aⁿ)^qa^r=a^nq+r=a^k=e , 所以r=0 ,

因此 , k=nq , n|k , 若n|k , 则显然有a^k=e ,

(2)根据拉格朗日定理可知 , ⟨a⟩的阶是G的阶的因数 ,

从而a的阶是G的阶的因数 , 即$n\left| |G| \right.\$ , 从而a^|G|=e ,

(3)设a^r的阶为q , 则a^rq=(a^r)^q=e , 从而n|rq , $\left. \ \frac{n}{(n,r)} \right|q$ ,

再由$\left( a^{r} \right)^{\frac{n}{(n,r)}}$=$\left( a^{n} \right)^{\frac{r}{(n,r)}}$=e可知 , $q\left| \frac{n}{(n,r)} \right.\$ , 于是 , q=$\frac{n}{(n,r)}$ , 结论得证 ,

命题5.2设a , b是群G的阶分别为n , m的元素 ,

若(⟨a⟩⋂⟨b⟩)={e}且ab=ba , 则ab的阶为[n , m] ,

这里[n , m]表示n和m的最小公倍数 ,

证: 设ab的阶为q , 则(ab)^q=e , 再由ab=ba得ab=e ,

从而a^q=b^‒q属于(⟨a⟩⋂⟨b⟩)={e} , 即a^q=b^q=e ,

故n|q , m|q , 因此[n , m]|q ,

而(ab)^{[n , m]}=e , 因此q|[n , m] ,

于是q=[n , m] , 结论得证 ,

推论5.2设a , b是群G的阶分别为n , m的元素 , 则下列结论成立:

(1)若s是n的一个正因数 , 则$a^{\frac{n}{s}}$的阶为s ;

(2)设r是正整数 , 则a^r的阶为n⟺(n , r)=1 ;

(3)若ab=ba , 且(n , m)=1 , 则ab的阶为nm ,

利用元素阶的性质 , 我们可以给出低阶群的分类 ,

例5.3证明素数阶群G是循环群 ,

证: 由于对属于G的任意a , a的阶是G的阶的因数 ,

故若a≠e , 则a的阶等于G的阶 , 从而G=⟨a⟩是循环群 ,

由例5.3 , 我们很容易知道 , 2阶、3阶、5阶群都是循环群 ,

它们分别同构于{Z₂ ; +}、{Z₃ ; +}和{Z₅ ; +} ,

例5.4确定所有互不同构的4阶群 ,

解: 若G是循环群 , 则G同构于剩余类加法群Z₄ ,

若G不是循环群 , 根据例1.8可知 , G是交换群 ,

不妨设G={e , a₁ , a₂ , a₃}这里a₃=a₁a₂=a₂a₁ , $a_{1}^{\ 2}$=$b_{1}^{2}$=e ,

若G'是另一个4阶非循环群 , 则G≅G' ,

事实上 , 设G'={e' , $a_{1}^{\ '}$ , $a_{2}^{\ '}$ , $a_{3}^{\ '}$} , 这里$a_{3}^{\ '}$=$a_{1}^{\ '}a_{2}^{\ '}$ ,

若定义映射φ: G→G' , 使得φ(e)=e' , φ(a_i)=$a_{i}^{\ '}$ , 则这是一个双射 ,

且容易验证φ保持运算 , 所以G≅G' ,

由此可知所有的4阶非循环群都是同构的 , 它是阶数最小的非循环群 ,

一般地 , 称4阶非循环群为克莱因四元群 ,

综上 , 4阶群有两类: 一类是循环群 , 一类是克莱因四元群 ,

下面我们来讨论循环群的生成元及其子群的一些简单性质 ,

例5.5求Z₁₂中阶为12的元素 ,

解: 令$\overline{r}$ ∈ Z₁₂=⟨$\overline{1}$⟩ ,

则根据推论5.2 , $\overline{r}$=r$\overline{1}$的阶为12的充分必要条件是(r , 12)=1 ,

所以Z₁₂中阶为12的元素有$\overline{1}$ , $\overline{5}$ , $\overline{7}$ , $\overline{11}$ ,

这表明$\overline{1}$ , $\overline{5}$ , $\overline{7}$ , $\overline{11}$都是循环群Z₁₂的生成元 ,

例5.5说明 , 循环群的生成元不是唯一的 ,

那么 , 在一个循环群中 , 怎样的元索才能是生成元呢?其生成元又有多少呢?

命题5.3(1)在无限循环群⟨a⟩中 , 恰有两个生成元a和a^‒1 ;

(2)在n阶循环群⟨a⟩中 , a^r(r是正整数)是⟨a⟩的生成元⟺(n , r)=1 ,

从而⟨a⟩的生成元的个数为φ(n) ,

这里φ(n)表示欧拉函数(与n互素的且小于n的正整数的个数) ,

证: (1)设a^r是⟨a⟩的生成元 ,

则⟨a⟩的每个元素(包括a)可以表为a^r的方幂 , 即存在整数s使得a=a^sr ,

又因为⟨a⟩是无限循环群 , 所以sr=1 , r=±1 , 即⟨a⟩中恰有两个生成元a和a^‒1 ,

(2)由推论5.2可知 , a^r是⟨a⟩的生成元⟺(n , r)=1 ,

当然 , 满足(n , r)=1(1⩽r＜n)的r的个数恰为欧拉函数φ(n) ,

显然 , 循环群⟨a⟩的任意元素的所有整数方幂⟨a^r⟩都构成该群的一个循环子群 ,

那么循环群⟨a⟩的任意一个子群是否是循环子群 , 且其形式为⟨a^r⟩呢?

定理5.3循环群⟨a⟩的子群是循环群 ,

证: 设H是⟨a⟩的子群 ,

不妨设H≠{e} , 令s=min{k ∈ Z⁺|a^k ∈ H} , 则H=⟨a^s⟩ ,

事实上 , 若a^k属于H , k=qs+r , 0⩽r＜s , 则a^k=a^qs+r=(a^s)^qa^r , 即a^r属于H ,

由s的定义知道必有r=0 , 即k=qs , 所以a^k属于⟨a^s⟩ , H包含于⟨a^s⟩ ,

因为a^s属于H , 所以⟨a^s⟩包含于H , 于是H=⟨a^s⟩是循环群 ,

显然 , 有限循环群的元素的阶是有限的 , 有限循环群的子群是有限循环群 ,

但在无限循环群中 , 除单位元以外其他元素的阶都是无限的 ,

无限循环群的非平凡子群是无限循环群 ,

定理5.4设⟨a⟩是n阶循环群 , 若r是n的一个正因数 ,

则⟨a⟩有唯一一个r阶循环子群 ,

证: 首先 ; ⟨a⟩有r阶循环子群 , 例如 , ⟨$a^{\frac{n}{r}}$⟩就是一个r阶循环子群 ,

其次 , r阶循环子群只有一个 ,

因若另有a^k的阶是r , 则n|kr , 即$\left. \ \frac{n}{r} \right|k$ , 所以a^k属于⟨$a^{\frac{n}{r}}$⟩ , ⟨a^k⟩包含于⟨$a^{\frac{n}{r}}$⟩ ,

但是 , ⟨a^k⟩和⟨$a^{\frac{n}{r}}$⟩都是r阶群 , 所以⟨a^k⟩=⟨$a^{\frac{n}{r}}$⟩ ,

推论5.3(1)若⟨a⟩是无限循环群 , 则⟨a⟩的全部子群为{⟨a^s⟩|s=0 , 1 , 2 , ⋯} ;

(2)若⟨a⟩是n阶循环群 , 则⟨a⟩的全部子群为{⟨a^s⟩|s是n的正因数}

证: (1)因为⟨a⟩的子群都是无限循环群且形式为⟨a^s⟩ , 其中s=0 , 1 , 2 , ⋯

若⟨a^s⟩=⟨a^r⟩ , 则a^s属于⟨a^r⟩ , 于是存在k , 使得a^s=a^rk ,

但是a是无限阶的 , 所以s=rk , r|s ,

同理s|r , 于是s=r , 因此 , ⟨a⟩的全部子群为{⟨a^s⟩|s=0 , 1 , 2 , ⋯} ,

(2)设H是⟨a⟩的子群 , 若H的阶为r , 则由拉格朗日定理知 , r是n的正因数 ,

反之 , 若r是n的正因数 , 由定理5.4可知 , r阶循环子群是存在且唯一的 ,

若H是r阶循环子群 , 则H=⟨$a^{\frac{n}{r}}$⟩ ,

例5.6整数加法群Z=⟨1⟩的全部子群为{⟨s⟩|s=0 , 1 , 2 , ⋯} ,

剩余类加法群Z_n=⟨$\overline{1}$⟩的全部子群为{⟨s$\overline{1}$⟩|s是n的正因数} ,

例5.7求Z₁₂的全部子群

解: Z₁₂的全部子群为{⟨s$\overline{1}$⟩=⟨$\overline{s}$⟩|s=1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12} ,

即⟨$\overline{1}$⟩ , ⟨$\overline{2}$⟩ , ⟨$\overline{3}$⟩ , ⟨$\overline{4}$⟩ , ⟨$\overline{6}$⟩ , ⟨$\overline{12}$⟩

习题