1 , 试证明交错群A₄有1 , 2 , 3 , 4和12阶子群 , 没有6阶子群 ,

解: A₄的

1阶子群为{(1)} ,

2阶子群为⟨(12)(34)⟩ , ⟨(13)(24)⟩ , ⟨(14)(23)⟩;

3阶子群为⟨(123)⟩ , ⟨(124)⟩ , ⟨(134)⟩ , ⟨(234)⟩;

4阶子群为{(1) , (12)(34) , (13)(24) , (14)(23)} ,

12阶子群为A₄

若有6阶子群H , 由[习题2.5题6]知 , 6阶群有3阶子群 , 所以含有3阶元素

若三个2阶元素都在H中 , 则H有4阶子群 , 矛盾 ,

所以至少有两个3阶元素 , 设为a , b , 满足⟨a⟩⋂⟨b⟩={e} ,

则H={e , a , a² , b , ab , a²b} ,

显然 , b²不属于{e , a , a² , b , ab , a²b} , 矛盾 , 所以没有6阶子群 ,

2 , 写出4次对称群S₄的一个西罗3‒子群 ,

解: |S₄|=24=3×2² , 从而S₄的西罗3‒子群为3阶的 ,

又因(123)为S₄的一个3阶元 , 从而⟨(123)⟩即为S₄的一个西罗3‒子群 ,

3 , 证明有限交换单群是素数阶的 ,

证明: 不妨设G为有限交换单群 ,

若$p\left| |G| \right.\$ , p为素数 , 则G含有p阶子群 , 也是G的正规子群 ,

因为G是单群 , 所以这个子群为G , 即|G|为素数 ,

4 , 令p , q是互不相同的素数 , 若p∤(q‒1) , q∤(p‒1) , 试证明pq阶群是循环群 ,

证明: 设G是pq阶群 , 有西罗p‒子群和西罗q‒子群 ,

由已知条件可知p , q阶群都只有一个 , 因而是G的正规子群 ,

设它们分别为⟨a⟩和⟨b⟩ , 易知⟨a⟩⋂⟨b⟩={e} , 从而aba^‒1b^‒1属于⟨a⟩⋂⟨b⟩={e} , ,

因此ab=ba , 从而ab的阶为pq , 所以G=⟨ab⟩是循环群 ,

5 , 证明85 , 145阶群是循环群 ,

证明: 85=5×17 , 145=5×29 , 由上题得证 ,

6 , 若p , q是五不相同的素数 , 试证明pq阶群不是单群 ,

证明: 令|G|=pq , 则存在p , q阶子群 ,

不妨设q＜p , 则p阶子群个数k满足k|q , k≡1(mod p) ,

从而k=1 , 即G有p阶正规子群 , 故G不是单群 ,

7 , 证明22 , 40阶群不是单群 ,

证明: 22=2×11 , 2 , 11为不同素数 , 故22阶群不是单群 ,

40=2³×5 , 所以40阶群G有5阶子群K ,

K的个数为k且k|8 , k≡1(mod 5) , 则k=1 ,

因此K为G的正规子群 , 故G不是单群

8 , 若p , q是互不相同的素数 ,

试证明p²q阶群必含有p²阶正规子群或q阶正规子群 ,

证明: 令|G|=p²q , 则存在p²阶和q阶子群 ,

若q＜p , 则p²阶子群只有1个 , 这个p²阶子群是正规子群 ,

若q＞p , 则q阶子群个数可能为1个或p²个 ,

若q阶子群个数为1个 , 则这个q阶子群是正规子群 ,

若q阶子群个数有p²个 ,

则余下p²q‒[p²q‒(p²‒1)]=p²‒1个元素与单位元e构成一个p²阶子群 ,

因此p²阶子群是正规子群 ,

9 , 证明非交换的6阶群同构于对称群S₃

解: 因为6=2×3 , 所以6阶群有3阶元素a , 2阶元素b ,

则G={e , a , a² , b , ab , a²b} ,

因为这个群是非交换群 , 所以ba≠ab , 只能有ba=a²b ,

定义映射φ , 满足φ(a)=(123) , φ(b)=(12) , 则易知非交换的6阶群与S₃同构 ,

(若6阶群是交换的 , 则有2 , 3阶元素a , b , 而ab阶为6 ,

所以6阶交换群是循环群 ,

应用此题可以解决第1题: 非循环6阶群 , 有三个2阶元 , 两个3阶元 , )

习题1写出S₄的三个西罗2‒子群和一个西罗3‒子群 ,

解: |S₄|=2²3 ,

S₄的

西罗3‒子群为⟨(123)⟩ , ⟨(124)⟩ , ⟨(134)⟩ , ⟨(234)⟩ ,

西罗2‒子群为

{1 , (13) , (24) , (12)(34) , (13)(24) , (14)(23) , (1234) , (1432)} ,

{1 , (12) , (34) , (12)(34) , (13)(24) , (14)(23) , (1324) , (1432)} ,

{1 , (14) , (23) , (13)(24) , (14)(23) , (12)(34) , (1243) , (1342)} ,

习题2写出4次交错群A₄的一个西罗2‒子群和一个西罗3‒子群 ,

解: |A₄|=12=3×2² , 从而A₄的西罗3‒子群为3阶的 ,

又因(123)为A₄的一个3阶元 , 从而⟨(123)⟩为A₄的一个西罗3‒子群 ,

西罗2‒子群是4阶子群 ,

因此西罗2‒子群为{(1) , (12)(34) , (13)(24) , (14)(23)} ,

习题3设G是pq阶交换群 , 其中p , q是互不相同的素数 , 试证明G是循环群

证明: G有p , q阶子群 , 这两个子群为循环群 ,

设为H=⟨a⟩ , K=⟨b⟩ , 则ab的阶为pq , 所以G=⟨ab⟩是循环群 ,

习题4证明15阶群G最多含有一个5阶子群 ,

证明: 15=3⦁5 , 而3∤4 , 5∤2 , 则根据[习题2.8题4]可知15阶群是循环群 ,

因此5阶子群唯一 ,

习题5设G是有限交换群 ,

试证明若G的每个元素的阶是素数p的方幂 , 则G是p‒群 ,

证明: 若存在不等于p的素数q , 有$q\left| |G| \right.\$ ,

则根据[第二章引理8.1]知G有g阶元素 , 矛盾 ,

习题6设群G的阶为pqr , 其中p , q , r是互不相同的素数 , 试证明G不是单群 ,

证明: 设p＜q＜r , 则p , q , r阶子群都存在 , 个数分别为k_p , k_q , k_r , 则k_r|pq ,

因此k_r=1或者k_r=pq ,

当k_r=1时 , r阶子群是正规子群 , G不是单群 ,

当k_r=pq时 , 去掉pq个r阶子群的元素 , G中还剩下pq个元素 ,

k_q|pr , k_q≡1(mod q) , 因此k_q=1或者k_q=pr ,

当k_q=1时 , q阶子群是正规子群 , G不是单群 ,

当k_q=pr时 , 需要k_q=prq‒pr+1个元素构成q阶子群 ,

至少p‒1个元素构成p阶子群 ,

而(prq‒pr+1)+(p‒1)‒pq=p(q‒1)(1‒r)＜0 , 矛盾 ,