定义1.1若代数系统{G ; ⦁}满足以下条件

(1)运算“⦁”满足结合律 , 即对于G中的任意元素a , b , c , 有a⦁(b⦁c)=(a⦁b)⦁c

(2)在G中存在左单位元e , 即对属于集合G的任意a , 有e⦁a=a

(3)G中的任意元素有左逆元 ,

即对属于集合G的任意a , 存在属于集合G的b , 使得b⦁a=e ,

则称{G ; ⦁}是群或称G(关于运算“⦁”)是群 ,

一般地 , 如果没有特别说明 , 那么我们就认为群G是乘法群 ,

并简记a⦁b为ab ,

但是 , 若群G的运算满足交换律(ab=ba , 任意a , b属于群G) ,

则称G是交换群或加法群 , 并用a+b表示a⦁b ,

定义1.2若群G是有限集合 , 则称G所含元素的个数为群G的阶 , 并记为|G|

若|G|=n , 则称G是n阶有限群 , 若群G是无限集合 , 则称G是无限群 ,

例1.1有理数集合Q关于数的加法运算是群 ,

整数集合Z关于数的加法运算是群

Z_n关于加法运算是群 , Z_n中的左单位元为$\overline{0}$ , 任意元素$\overline{a}$的左逆元为$\overline{n - a}$ ,

M_n(R)关于矩阵的加法运算是群 , M_n(R)中的左单位元为零矩阵O_n ,

任意元素A的左逆元为‒A ,

{Q ; +} , {Z ; +}和{M_n(R) ; +}都是无限交换群 , {Z_n ; +}是有限交换群 , 其阶为n ,

常称{Z ; +}为整数加法群 , {Q ; +}为有理数加法群 ,

{Z_n ; +}为(模n的)剩余类加法群 ,

例1.2试证明: 如果规定整数集合Z上的运算“∘”为a∘b=a+b‒2 , 其中a , b属于Z

则Z关于运算“∘”是群 ,

证: 首先 , 因为a∘b=a+b‒2属于Z , 所以“∘”是Z上的运算 ,

其次 , 对属于Z的任意a , b , c , 有

(a∘b)∘c=(a+b‒2)∘c=a+b‒2+c‒2=a+(b+c‒2)‒2=a+(b∘c)‒2=a∘(b∘c) ,

所以 , “∘”满足结合律 ,

再次 , Z中有左单位元e , 若a=e∘a=e+a‒2 , 则e=2 ,

最后 , 对属于Z的任意a , 有左逆元b , 若2=e=b∘a=b+a‒2 , 则b=4‒a ,

至此 , 根据群的定义可知 , Z关于运算“o”是群 ,

根据群的定义 , 我们容易验证群G具有如下的一些简单性质 :

(1)对属于群G的任意a , 有ea=ae=a ,

证: 根据群定义的条件(3)可知 ,

对属于群G的a , 存在属于群G的b , 使得ba=e ,

当然 , 也存在属于群G的c , 使得cb=e ,

所以ae=e(ae)=(cb)(ae)=c(ba)e=c(ee)=c(ba)=ea=a ,

这就是说 , 群的左单位元也是右单位元 ,

(2)对属于群G的任意a , 存在属于群G的b , 使得ba=ab=e ,

证: 根据群定义的条件(3)可知 ,

对属于群G的a , 存在属于群G的b , 使得ba=e ,

对于属于群G的b , 存在属于群G的c , 使得cb=e ,

所以ab=e(ab)=(cb)(ab)=c(ba)b=c(eb)=cb=e ,

这就是说 , 群的左逆元也是右逆元 ,

(3)群G中有唯一元素e满足: 对属于群G的任意a , 有ea=ae=a

(称这样的元素e为G的单位元) ,

证: 设存在属于群G的e' , 满足对属于群G的任意a , 有e'a=ae'=a , 则e=ee'=e' ,

(4)对属于群G的任意a , 群G中满足ab=ba=e的元素b是唯一的 ,

证 : 设存在属于群G的c , 也满足ac=ca=e , 则b=eb=(ca)b=c(ab)=ce=c ,

以后 , 我们称a是可逆元 , b是a的逆元 , 并记为b=a^‒1 ,

(5)对属于群G的任意a , b , 有(a^‒1)^‒1=a , (ab)^‒1=b^‒1a^‒1 ,

(6)群G满足消去律 , 即对任意G中元素a , b , c , 如果ab=ac , 则b=c ;

如果ba=ca , 则b=c ,

至此 , 根据群的性质 , 我们易知群有如下等价定义 ,

定义1.1' 若代数系统{G ; ⦁}满足以下条件 :

(1)运算“⦁”满足结合律 , 即对属于群G的任意a , b , c , 有a⦁(b⦁c)=(a⦁b)⦁c ;

(2)G中有单位元素e , 即对属于群G的任意a , 有e⦁a=a⦁e=a ;

(3)G中任意元素都有逆元 , 即对属于群G的任意a , 存在属于群G的b ,

使得b⦁a=a⦁b=e ,

则称G关于运算“⦁”是群 ,

简单来说 , 所谓群就是满足运算封闭 , 结合律成立 , 存在单位元 ,

而且每个元素都有逆元等条件的集合 ,

但是 , 若代数系统{G ; ⦁}满足条件(1) , 则称G是半群 ,

若代数系统{G ; ⦁}满足条件(1)和(2) , 则称G是有单位元的半群 ,

例如 , 代数系统{Q ; ⦁} , {Z ; ⦁} , {Z_n ; ⦁}和{M_n(R) ; ⦁}都是有单位元的半群 ,

定理1.1有限半群G为群的充分必要条件是在G中消去律成立 ,

证: 必要性是已知的 , 下面来证充分性 ,

设G={a₁ , a₂ , ⋯ , a_n} ,

因为在G中消去律成立 , 所以a₁a₁ , a₂a₁ , ⋯ , a_na₁是G中n个不同元素 ,

进而 , {a₁a₁ , a₂a₁ , ⋯ , a_na₁}=G , 因此 , 存在属于群G的a , 使得aa₁=a₁ ,

接下来我们说明a就是G的单位元 ,

同样地 , 根据G中消去律成立 , 我们有{a₁a₁ , a₁a₂ , ⋯ , a₁a_n}=G

那么 , 对属于群G的任意a_j , 存在属于群G的b , 使得a₁b=a_j

从而 , aa_j=a(a₁b)=(aa₁)b=a₁b=a_j , 即a是G的左单位元 ,

对属于群G的任意a_j

因为{a₁a_j , a₂a_j , ⋯ , a_na_j}=G , 所以存在属于群G的c , 使得ca_j=a ,

即a_j有左逆元c

从而 , 由群的定义可知 , G是群 ,

以后我们将群G中元素a的幂定义为

aⁿ=aa⋯a , (a^‒1)ⁿ=a^‒n=(a^‒1)(a^‒1)⋯(a^‒1)

其中n是正整数 , 并规定a⁰=e ,

若G是交换群 , 则G的单位元又叫零元 , 逆元又叫负元 ,

在不引起混淆的情况下 , 将零元记作0 , 而将元素a的负元记作‒a ,

并且记na=a+a+⋯+a , ‒na=(‒a)+(‒a)+⋯+(‒a)

其中n是正整数 , 规定0a=0 ,

下面我们来看几个常用群的例子 ,

例1.3非零有理数集合Q^*关于数的乘法运算是群 ,

{Q^* ; ⦁}的单位元是数1 , {Q^* ; ⦁}的每个元素a的逆元是数a^‒1 ,

例1.4证明代数系统{$Z_{p}^{\ast}$ ; ⦁}是交换群 , 这里p是素数 , $Z_{p}^{\ast}$=Z_p‒{$\overline{0}$} ,

证: 对属于$Z_{p}^{\ast}$的任意$\overline{a}$ , 有$\overline{1}\overline{a}$=$\overline{a}$ , 即$\overline{1}$是$Z_{p}^{\ast}$的左单位元 ,

因为$\overline{a}$属于$Z_{p}^{\ast}$ , 所以a与p互素 , 进而存在整数s , t , 使得sa+tp=1 ,

因此$\overline{sa}$=$\overline{sa}$+$\overline{tp}$=$\overline{sa + tp}$=$\overline{1}$ , 即$\overline{a}$有左逆元 ,

另外 , 代数系统$Z_{p}^{\ast}$上的乘法运算满足结合律和交换律 , 因而{$Z_{p}^{\ast}$ ; ⦁}是交换群

例1.5易知 , M_n(R)的子集合CL_n(R)={A∈M_n(R)|det(A)≠0}

关于矩阵的乘法运算是群 ,

一般地 , 我们称GL_n(R)为实数域R上的n阶一般线性群 ,

另外 , 当n>1时 , GL_n(R)不是交换群 ,

例如 , $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$与$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$不相等 ,

例1.6非空集合A上所有双变换构成的集合S_A关于变换的乘法运算构成群

称为集合A上的全变换群 ,

这个群的单位元是A上的恒等变换 , 每个变换的逆元是其逆变换 ,

特别地 , 当A是含n个元素的有限集合时 ,

A上所有双变换构成的集合S_n关于变换的乘法运算构成的群称为n次对称群

当n⩾3时 , S_n不是交换群 ,

例1.7试求S_n(n⩾3)中的乘积(123)(12)和(12)(123) ,

解: 如下式

(12)

(123)

知(123)(21)=(13) , 而(12)(123)=(12)(12)(23)=(23) ,

此例表明 , S_n(n⩾3)的乘法运算不满足交换律 , 即n⩾3时 , S_n不是交换群 ,

但是 , 当n⩽2时 , S_n是交换群 ,

例1.8证明2 , 3 , 4阶群一定是交换群 ,

证 :

记2阶群为G={e , a} , 则G显然是交换群 , 且a²=e , a^‒1=a ,

记3阶群为G={e , a , b} , 则ab属于G , 但是ab≠a(否则b=e) , ab≠b(否则a=e) ,

因此 , ab=e , b=a^‒1 , 即3阶群G={e , a , a^‒1}是交换群 , 且a²=a^‒1 , a³=e ,

记4阶群为{e , a , b , c} , 则根据逆元的唯一性知 ,

表达式ab=e和ac=e至少有一个不成立 , 不妨设ab≠e ,

事实上 , ab也不等于a或b(否则 , 若ab=a或ab=b , 则b=e或a=e , 矛盾) ,

因此 , ab=c , 同理可证ba=c , 所以G={e , a , b , ab=ba}是交换群 ,

习题